文档内容
二十一章 一元二次方程（知识清单）
一、学习目标
1)了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次
方程的过程中体会转换、降次等数学思想。
2)通过根的判别式判断一元二次方程的情况，了解根与系数的关系。
3)能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养
学生分析问题、解决问题的意识和能力。
重点：
1.理解与掌握一元二次方程及其有关的概念。
2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3.利用一元二次方程解决实际问题。
难点：
1.理解用根的判别式判别根的情况。
2.一元二次方程求根公式的推导。
3.一元二次方程根与系数的关系。
二、学习过程
章节介绍
解一元二次方程方法为本章基础内容，它的计算量相对较大，对正确率要求比较高，要求根据方程的
结构，选用合适的方法解方程。大题通常考查利用一元二次方程解决实际问题和一元二次方程根与系数关
系，利用一元二次方程解决实际问题难点在于找等量关系，正确列出方程并求解，从而解决实际问题。利
用根与系数的关系求代数式的值，难度较大，需要多加练习，灵活运用根与系数关系变形求解！
知识梳理1.一元二次方程的概念：只含有_______未知数（元），并且未知数最高次数是_____，等号两边都是
________，这样的方程叫一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式为___________________________________。
3.一元一次方程与一元二次方程的相同点与不同点：
4.一般地，对于方程x2＝p ①，
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个____________的实数根______________________；
2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程① _______实数根。
5.将方程通过配成____________形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是为了___________，
把一个一元二次方程转化成______一元一次方程来解。
用配方法解一元二次方程的关键：
6.通过配方法解一元二次方程的步骤:
1）移项：将含有x的项移到方程的_____________，常数项移到方程的______________；
2）二次项系数化为1：两边同除以______________________；
3）配方：方程两边都加上_____________________________；
4）将原方程变成_______________________的形式；
5）判断右边代数式的符号，若p_________0，可以利用直接开方法求解；
若p________0，原方程无实数根。
【注意】配方的关键：利用已知两项a2±2ab来确定第三项，只要二次项系数为1，则第三项一定是
_________ .
7.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p ①
的形式，那么就有：
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个________________的实数根______________________；
2)当p＝0时，方程①有两个________________的实数根______________________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______实数根。
8.判别式概念：一般地，式子________________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。判别式表示：通常用希腊字母“__________”表示，即__________________
9.当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为_____________的形式，这个式子叫做一元二次方程
ax2+bx+c=0的求根公式。解一元二次方程时，把各系数直接________________，可以省略配方过程而直接
求一元二次方程根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
10. 公式法解一元二次方程的步骤:
1）将原方程化为_______________，确定______________的值
【小技巧】若系数是分数通常将其化为________________，方便计算。
2）求出_______________的值，根据_______________值的情况确定一元二次方程是否有解。
3）如果______________________, 将a、b、c的值代入求根公式。
【易错点】a、b、c的值代入求根公式时易遗漏________________。
4）最后求出原方程的解。
11.先因式分解，使一元二次方程转化为____________________的形式，从而实现________，这种解一元
二次方程的方法叫做因式分解法。
12.通过因式分解法解一元二次方程的步骤:
1.移项：使一元二次方程等式右边为_______；
2.分解：把左边运用因式分解法化为 _ _______________ _的形式；
3.赋值：令每个因式等于0，得到 _ _______________ _；
4.求解： _ _______________________ _，最后得到方程的解。
归纳：__________________________________________。
13.解一元二次方程的方法
解一元二次方程的基本思路是：
14.当Δ≥0时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的___________，
两根的积等于常数项与二次项系数的___________，
即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为:人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。
【易错点】使用韦达定理的前提条件：
15. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x,x
1 2
1）平方和
x2+x2=
1 2
1 1
2）倒数和 + =
x1 x2
3）差的绝对值 | x - x |=
1 2
x x =
4) 1+ 2
x x
2 1
5）(x +1)(x +1)=
1 2
16.利用一元二次方程解决实际问题：
1）传播问题：明确每轮传播中的___________个数，以及这一轮被传染的__________．
2) 增长率问题：
①如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为____________，第二次增长后
的数量为____________．
②如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为 __________，第二次下降后
的数量为___________．
3）几何问题：
①常见几何____________是等量关系。
②解决课本封面、小路宽度常采用____________列方程。
4) 数字问题：
①若个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则十位数字表示为____________.百位数字表示
_____________.
②日历中的某个日期，左右相差___________，上下相差___________.
5）利润问题：单件利润=___________,总利润=________________
6) 表格问题：理解题干内容，从题干中获取信息。
7）动点问题：在动点中观察图形的变化情况，需理解动点在图形不同位置情况，才能做好计算推理过程。
在变化中找到不变的性质是解决动点问题的基本思路。
考点解读
考查题型一 一元二次方程的定义1．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）若关于x的方程 是一元二次方程，求m
的值．
【详解】解：由题意得， ，
由①得， ，
由②得， ，
所以，m的值为 ．
2．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）若方程 是关于 的一元二次方程，求
的值．
【详解】解：∵方程 是关于 的一元二次方程，
∴ ，
解得 ．
3．（2022秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）证明：关于x的方程
，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【详解】解：由关于x的方程 可知：
，
∵ ，
∴ ，
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
考查题型二 一元二次方程的解
1．（2022秋·北京·九年级统考期末）已知m是方程 的一个根，求代数式
的值．
【详解】解：由m是方程 的一个根可得 ，即 ，将 代入，可得原式
2．（2022秋·北京朝阳·九年级统考期末）已知 是关于x的方程 的一个根，求代数
式 的值．
【详解】解：
．
∵ 是关于x的方程 的一个根，
∴ ．
∴ ．
∴原式 ．
3．（2022秋·江苏·九年级期中）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式 ÷（a+3﹣
）的值．
【详解】解：原式=
=
=
=
∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，
∴a2+4a=21，即a（a+4）=21，
原式= ．
考查题型三 选用合适的方法求解一元二次方程
1．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）解下列方程
(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解： ，
，
，
，
或 ，
∴ ， ；
（2） ，
，
，
，
∴ ， ；
（3） ，
，
或 ，
∴ ， ．
2．（2022秋·广东汕尾·九年级校考期中）解方程：(1) ；
(2) ．
【详解】（1）解：
∴ ， ．
（2）解：
∴ ， ．
3．（2022秋·新疆昌吉·九年级校考期末）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
（2） ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ．
考查题型四 根据一元二次方程根的情况求参数1．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期中）已知关于 的方程 ．
(1) 是方程的根吗？请说明理由．
(2)当 取何值时，方程有实数根？
【详解】（1）解：将 代入方程，得： ，
化简得： 等式不成立，
故 不是方程的根.
（2）当 时，关于 的方程 有实数根.
，
解得，
当 时，可得 ，
综上可得：当 时，方程有实数根；
2．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
【详解】（1）解：证明：
．
，
方程总有两个实数根．
（2）解方程 ，
可得 ，
解得 ， ，
若方程有一个根为负数，则 ，
故 ，
正整数 ．3．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）已知方程 ：
(1)当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？
(2)当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
(3)当a取什么值时，方程有实数根？
【详解】（1）解：当方程有两个相等的实数根时：
，
解得： ；
∴当 时，方程有两个相等的实数根；
（2）解：当方程有两个不相等的实数根时：
，
解得： ；
又∵ ，
∴当 且 时，方程有两个不相等的实数根；
（3）当 时，方程为一元二次方程，由（1）（2）可知：
当 且 是，方程 有实数根；
当 时，方程变为： ，解得 ，方程有实数根；
综上，当 时，方程有实数根．
4．（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
【详解】（1）解：依题意，得
∵
∴方程总有两个实数根；
（2）解：方程
由（1）得
∴ ，∴ ， ，
∵方程的一根大于2，一根小于1，
∴∴ ．
∴m的取值范围是 ．
考查题型五 一元二次方程根与系数的关系
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考期末）关于 的一元二次方程 的两实数根分别为 、
，且 ，求 的值．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 的两实数根分别为 、 ，
，
，
，
，
把 代入 得： ，
解得： ．
2．（2022秋·广东汕尾·九年级校考期中）已知关于 的一元二次方程 的一个根是1，求
的值及方程的另一个根．
【详解】解：设方程的另一个根为 ，
∵关于 的一元二次方程 的一个根是1，
∴ ， ，
则 ， ，
故 ，方程的另一根为 ．
3．（2022秋·新疆昌吉·九年级校考期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相
等的实数根．
(1)求k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为 ， ，当 时，求 的值．
【详解】（1）解： 方程有两个不相等的实数根，
，即 ，
解得 ；
（2）当 时，方程为 ，
， ，
．
4．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)已知该方程的两个根为 ， ，且满足 ，求 的值．
【详解】（1）解：由题意知 ，
，
不论 取何值， ，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）由题意知 ， ，
又 ，
，
解得 ．
5．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程 有两个实数
根 和 ．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根 ， 满足 ，求实数k的值．
【详解】（1）由题意得： ，解得 ；
（2）根据题意得 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
则 ，
整理得 ，
解得 ， ，
又 ，故
考查题型六 利用一元二次方程解决实际问题
1．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后
就会有64个人被感染．
(1)求每轮感染中平均一个人会感染几个人；
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过500人．
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人会感染x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）=64，
解得：x=7，x=-9（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮感染中平均一个人会感染7个人．
（2）64×（1+7）=512（人），512＞500．
答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过500人．
2．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总
营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七
天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x=0.2=20%，x=﹣2.2(不合题意，舍去)．
1 2
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
3．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12
米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为54平方米的花圃，那么 的长为多少米？
(2)能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出 的长；若不能，请说明理由．
【详解】（1）设 的长为 米，则 ，根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ， ，
∵墙的最大可用长度为 米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的长为 米；
（2）不能围成面积为 平方米的花圃．
理由如下：
根据题意，得 ，整理，得 ．
∵ ，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为 平方米的花圃．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知三个连续正整数的平方和
为194，求这三个正整数．
【详解】解：设这三个连续正整数依次为 ， ， ，其中 为自然数，则 ，依题意列方程得：
，
化简得：
解得： ， （舍去），
， ．
答：这三个正整数为7，8，9．
5．（2022秋·山东济南·九年级校联考期中）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每
件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．
经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要
使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【详解】（1）解：设每件服装降价x元．
由题意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x=20，x=10，
1 2
为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（2）解：不可能，理由如下：
依题意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
6．（2022秋·广东江门·九年级统考期末）如图，在 中， ， ， ．点
从点 开始沿 边向点 以1cm/s的速度移动、同时点 从点 开始沿 边向点 以2cm/s的速度移动，
当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．(1) 的面积能否等于 ？请说明理由．
(2)几秒后，四边形 的面积等于 ？请写出过程．
【详解】（1）解： 的面积不能等于 ，理由如下：
s， s，
运动时间 的取值范围为： ，
根据题意可得： cm， cm， cm，
假设 的面积等于 ，
则 ，
整理得： ，
，
所列方程没有实数根，
的面积不能等于 ；
（2）解：由（1）得： cm， cm， cm，运动时间 的取值范围为： ，
四边形 的面积等于 ，
，
整理得： ，解得 ， ，
当当 时， 点重合，不符合题意，舍去，
，
答：1s后，四边形 的面积等于 ．
7．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中， ， ，点P从
点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，
当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）．
(1) ______cm， ______cm（用含x的式子表示）；
(2)若 时，求x的值；
(3)当x为何值时， 将成为以 为斜边的直角三角形．
【详解】（1）由题可得： ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（2）在 中， ，即 ，
解得： 或 ；
（3） ， ， ，
∵ 是以 为斜边的直角三角形，∴ ，
解得： 或 ，
∴当 为 或 时， 是以 为斜边的直角三角形．
8．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈
出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为 ，则最大的数为______（用含 的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为 ，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为 ，根据题意，得 .
解得 （不符合题意负值舍去）
