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第二课时——直接开方法与配方法
知识点一：直接开方法：
直接开平方法：根据 的意义将一元二次方程“降次”为 进行求解。
①解形如 的方程
当 时，方程有 的实数根，即 。
当 时，方程有 的实数根，即 。
当 时，方程 实数根。
特别提醒：①形如 的一元二次方程若有解，则两个解互为相反数。
【类型一：直接开方法解 的方程】
1．方程x2＝4的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝±2
2．方程x2﹣16＝0的解为 ．
3．一元二次方程9x2﹣1＝0的根是（ ）
A．x ＝x ＝3 B．x ＝3，x ＝﹣3
1 2 1 2
C．x ＝ ，x ＝﹣ D．x ＝x ＝
1 2 1 2
4．解方程：
（1）x2＝9； （2）4x2﹣25＝0．【类型二：两根关系求值】
5．如果2是方程x2﹣m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
6．若x ，x 是方程x2＝16的两根，则x +x 的值是（ ）
1 2 1 2
A．16 B．8 C．4 D．0
7．如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是 ．
8．若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则式子 的值是 ．
②解形如 的方程
当 时，一元二次方程降次为 和 。方程的两个根
为： 。
当 时，一元二次方程降次为 。方程的两个根为 。
当 时，一元二次方程 。
【类型一：直接开方法解 的方程】
9．若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一
个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8
10．方程（x+1）2＝9的解为（ ）
A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4
11．一元二次方程（x﹣22）2＝0的根为（ ）
A．x ＝x ＝22 B．x ＝x ＝﹣22
1 2 1 2C．x ＝0，x ＝22 D．x ＝﹣22，x ＝22
1 2 1 2
12．用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（ ）
A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5）
C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5
13．解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0 （2）（3x﹣1）2＝（x+1）2．
【类型一：根据根的情况求取值范围】
14．若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
15．若方程（x﹣2）2＝k﹣5可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k≥0 C．k≥5 D．k＞5
16．用直接开平方法解方程（x+h）2＝k，方程必须满足的条件是（ ）
A．k≥0 B．h≥0 C．h k＞0 D．k＜0
知识点二：配方法：
1. 完全平方公式：我们把形如 或 的式子叫做完全平方式。
特别提示：完全平方公式的特点：有两项为平方项，第三项是平方两项的底数的乘积
的两倍或底数的乘积的两倍的相反数。
【类型一：判断完全平方公式】17．下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2﹣x+ B．1+4x2 C．a2+ab+b2 D．x2+2x﹣1
18．下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+x y+1 D．x2+2x﹣1
【类型一：利用完全平方式的特点求值】
19．已知x2+k x y+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
20．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（ ）
A．±8 B．﹣3或5 C．﹣3 D．5
21．若x2﹣4x+k是完全平方式，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
22．若x2﹣6xy+N是一个完全平方式，那么N是（ ）
A．9y2 B．y2 C．3y2 D．6y2
2. 配方法解方程：
通过把一元二次方程配方成 的形式来解一元二次方程的方法叫做配
方法。具体方法步骤如下：
第一步：化——将一元二次方程化为一般形式，并将二次项系数化为1。方程左右两边
同时除以 。
第二步：移——将常数项移到等号的右边。
注意：有时先将常数项移到等号右边再将系数化为1。
第三步：配——配一次项系数一半的平方。方程的左右两边都 一次项系数一半的平方，得到完全平方公式。
第四步：开方——按照直接开平方法求解一元二次方程。
【类型一：配方变形】
23. 下列用配方法解方程 x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
x2﹣x﹣2＝0 x2﹣2x＝4 x2﹣2x+1＝5 （x﹣1）2＝5 x＝ +1
A．① B．② C．③ D．④
24．下列是小明同学用配方法解方程2x2﹣12x﹣1＝0的过程：
解：2x2﹣12x＝1，⋯⋯第1步
x2﹣6x＝1，⋯⋯第2步
x2﹣6x+9＝1+9，……第3步
（x﹣3）2＝10，x﹣3＝± ⋯⋯第4步
∴x ＝3+ ，x ＝3﹣ ．
1 2
最开始出现错误的是（ ）
A．第1步 B．第2步 C．第3步 D．第4步
25．一元二次方程x2﹣6x＝﹣5配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝13
26．一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A．（x﹣1）2＝m2+1 B．（x﹣1）2＝m﹣1
C．（x﹣1）2＝1﹣m D．（x﹣1）2＝m+1【类型一：利用配方变形求字母】
27．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1＝0，变形为（x+h）2＝k，则h＝ ，k＝ ．
28．若一元二次方程﹣x2+bx﹣5＝0配方后为（x﹣3）2＝k，则b，k的值分别是（ ）
A．6，4 B．6，5 C．﹣6，5 D．﹣6，4
29．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【类型一：利用配方法解方程】
30. 解方程：
（1）x2+2＝2 x． （2）2x2﹣3x+1＝0．
（3）2x2+4x﹣1＝0 （4）x2﹣8x+1＝0．
3. 配方法求二次三项式的最值：
利用配方法求将二次三项式 配方成 的形式从而求出二次三项式
的最值。具体步骤如下：
第一步：提——提公因数，公因数为 。即 。
第二步：配——配一次项系数一半的平方。式子加上一次项系数一半的平方，为了使式
子不发生变化，再减去一次项系数一半的平方。即： 。
第三步：化——将式子化为 的形式。即 。当
时，二次三项式取得最值，最值为 。
特别提示：若 ，则二次三项式有最小值。若 ，则二次三项式有最大值。
【类型一：求式子的最值】
31．代数式x2﹣2x+5的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．10
32．代数式x2﹣4x+3的最小值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．5
33．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是 ．
【类型二：分组配方求值】
34．已知a、b满足等式x＝a2+b2+5，y＝2（2b﹣a），则x、y的大小关系是（ ）
A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y
35．对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（ ）
A．2 B． C．﹣ D．
36．已知x2+y2+13＝4y﹣6x，则化简 的结果是（ ）
A．0 B．2 C．6 D．12一、选择题（10题）
1．方程（x﹣3）2＝4的根为（ ）
A．x ＝x ＝5 B．x ＝5，x ＝1 C．x ＝x ＝1 D．x ＝7，x ＝﹣1
1 2 1 2 1 2 1 2
2．若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
3．若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1
4．对于方程（ax+b）2＝c下列叙述正确的是（ ）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是x＝
C．当c≥0时，方程可化为：ax+b＝ 或ax+b＝﹣
D．当c＝0时，x＝
5．用配方法解一元二次方程 时，下列变形正确的是（ ）A． B．
C． D．
6．将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若x2+m x+5＝（x﹣3）2+n，则（ ）
A．m＝﹣3，n＝4 B．m＝﹣3，n＝﹣4 C．m＝﹣6，n＝4 D．m＝﹣6，n＝﹣4
8．已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
9．已知关于x的分式方程 有增根，且ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的值为（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7
二、填空题（6题）
11．一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是 ．
12．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是 ．
13．当x满足 时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是 ．
14．对方程x2＋ － ＝0进行配方，得 ，其中m＝ ．
15．当a＝ 时，代数式a2﹣6a﹣9有最小值为 ．
16．阅读材料例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣
8．
根据上面的方法解决下列问题：
（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．
（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．
三、解答题（4题）
17．解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0； （2）x2﹣4x﹣8＝0．
18．（1）化简；（m+1）（m﹣1）﹣m2．
（2）小华在解方程（x+6）2﹣9＝0，解答过程如下；
解，移项，得（x+6）2＝9……第一步
两边开平方，得x+6＝3………第二步
所以x＝﹣3……第三步
小华的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．
19．（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．20．我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，
即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ；
（2）求2x2+4x的最小值．
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
