文档内容
专题 01 一元二次方程的解法的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、直接开方法解一元二次方程
类型二、配方法解一元二次方程
类型三、公式法解一元二次方程
类型四、用因式分解法解一元二次方程
类型五、换元法解一元二次方程
压轴专题
分题型讲解，对相关的基础内容进行归纳整理，例题后增加相应的变式训练，及时巩固。
类型一、直接开方法解一元二次方程
直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方
法.
要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知
数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
例1．用直接开平方法解下列方程：
(1) ． (2) ．
【变式1-1】解方程： ．
【变式1-2】解方程： ．
【变式1-3】用直接开平方法解下列一元二次方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．类型二、配方法解一元二次方程
配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫配方法.
要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
a2 2abb2 (ab)2
（3）配方法的理论依据是完全平方公式 ．
例2．解一元二次方程： ．
【变式2-1】用配方法解一元二次方程方程： ．
【变式2-2】用配方法解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【变式2-3】用配方法解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ．
类型三、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程 ，当 时， .
2.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程 的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出 的值；
④若 ，则利用公式 求出原方程的解；若 ，则原方程无实
根.
例3．用公式法解方程 ．
【变式3-1】用公式法解一元二次方程：
【变式3-2】用公式法解方程： ．
【变式3-3】解一元二次方程： ．
类型四、用因式分解法解一元二次方程
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
例4．解下列方程：
(1) ； (2)
【变式4-1】解方程：
(1) ； (2) ．
【变式4-2】用十字相乘法解方程：
(1) (2)
【变式4-3】用因式分解法解下列方程：
(1) ． (2) ．类型五、换元法解一元二次方程
1.换元法核心思路：当方程含重复复杂整式（如多项式平方、分式等），设该整式为新元（如 y），将
原方程转化为关于新元的一元二次方程，解出新元后，代回换元式求原未知数。例如方程(x²+3x)² -
2(x²+3x) - 8=0，设y=x²+3x，转化为y²-2y-8=0。
2.关键步骤：①观察方程结构，确定换元对象（重复出现的整式）；②设新元，替换原方程中对应整
式；③解新方程，得新元值；④代回换元式，解出原未知数；⑤验根，确保解符合原方程。
例5．【阅读材料】
方程 是一个一元四次方程，我们可以把 看成一个整体，设 ，则原方
程可化为 ①，
解方程①可得 ， ；
当 时， ，即 ， ；
当 时， ，即 ， ；
原方程的解为 ， ， ， ．
【解决问题】
(1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体
现了数学的转化思想；
(2)已知 ，求 的值；
(3)请仿照材料中的方法，解方程： ．
【变式5-1】阅读下面的材料，回答问题．
解方程 ．
这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次
方程求解，它的解法如下：
解：设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 ， ．
当 时， ， ；当 时， ， ；
所以，原方程有四个根，分别为 ， ， ， ．
请运用以上方法回答问题：
已知 ，求 的值．
【变式5-2】阅读与思考：
下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程
的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形
式，将其开平方，从而进一步求得方程的解．
【例如】解一元二次方程 ，
设 （m为常数），
将原方程化为 ，①
方程①整理，得 ，②
令 ，解得 ．
当 时， ，
方程②化为 ，解得 ，
___________， ___________．
任务：
(1)直接写出材料中“ ”部分方程的解 ___________， ___________．
(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程 ．
【变式5-3】请你完成解答，提炼方法后，完成题（ ）、题（ ）．
（1）解方程 时，我们可以将 看成一个整体，设 ，则原方程可化为
，解得 ， ．当 ，即 ，解得 ；当 ，即 ，解得 ．所以原方程的解 ， ．请你利用这种方法解方程： ．
方法应用：
（2）已知 、 、 为 的三边，若 ， ，请判断 的形状，说明
理由．
（3）已知 为实数且满足 ，请直接写出 的值．
一、单选题
1．用配方法解一元二次方程 时，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于 的方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，有两个解 B．有两个解
C．当 时，有两个解 D．当 时，方程无实根
4．已知菱形 的边长是一元二次方程 的一个根，且两条对角线长的和为 ，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D． 或
二、填空题
5．若方程 能配方成 的形式，则直线 不经过第 象限．
6．已知a，b满足 ，已知 ，x为正数，则 ．
7．已知 ，则 的值为 ．
8．方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．
三、解答题
9．解方程：
(1) ；
(2) ．
10．用十字相乘法解方程
(1)
(2)
11．用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
12．用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) ；(2) ；
(3)
13．解方程
(1)
(2)
(3)
14．用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
15．（1）解方程： ；
（2）解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“ ”，让同学们求解．
球宝和甜宝两位同学的做法如下：
球宝同学的解答 甜宝同学的解答
解：原方程可化为
解：原方程可化为 ，
．
，
当 时，
， ．
当 时， 所以 ，
，
所以 ， ．
所以 ， ．
①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断 （填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因是 ；
②请你写出其他的正确解法．
16．阅读材料，解答问题．材料：为解方程 ，我们可以将 作为一个整体，然
后设 ，则 ．原方程可化为： ，解得： ．
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
所以原方程的解为： ．
(1)方程： 的解为：_______
(2)解方程： ；（写出解题过程）
