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第二课时——直接开方法与配方法（答案卷）
知识点一：直接开方法：
直接开平方法：根据 平方根 的意义将一元二次方程“降次”为 一元一次方程 进行求
解。
①解形如 的方程
当 时，方程有 两个相等 的实数根，即 。
当 时，方程有 两个不相等 的实数根，即 。
当 时，方程 没有 实数根。
特别提醒：①形如 的一元二次方程若有解，则两个解互为相反数。
【类型一：直接开方法解 的方程】
1．方程x2＝4的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝±2
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵x2＝4，
∴x＝±2，
故选：D．
2．方程x2﹣16＝0的解为 ．
【分析】移项，再直接开平方求解．
【解答】解：方程x2﹣16＝0，
移项，得x2＝16，开平方，得x＝±4，
故答案为：x ＝4，x ＝﹣4．
1 2
3．一元二次方程9x2﹣1＝0的根是（ ）
A．x ＝x ＝3 B．x ＝3，x ＝﹣3
1 2 1 2
C．x ＝ ，x ＝﹣ D．x ＝x ＝
1 2 1 2
【分析】利用直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵9x2﹣1＝0，
∴9x2＝1，
则x2＝ ，
解得x ＝ ，x ＝﹣ ，
1 2
故选：C．
4．解方程：
（1）x2＝9； （2）4x2﹣25＝0．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2＝9，
∴x ＝3，x ＝﹣3；
1 2
（2）∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
则x2＝ ，
∴x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2【类型二：两根关系求值】
5．如果2是方程x2﹣m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】根据方程的解的定义即可求出m的值．
【解答】解：将x＝2代入x2﹣m＝0，
∴4﹣m＝0，
∴m＝4，
故选：D．
6．若x ，x 是方程x2＝16的两根，则x +x 的值是（ ）
1 2 1 2
A．16 B．8 C．4 D．0
【分析】先利用直接开平方法求解得出x ，x 的值，再计算加法即可．
1 2
【解答】解：∵x2＝16，
∴x ＝4，x ＝﹣4，
1 2
则x +x ＝0，
1 2
故选：D．
7．如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是 ．
【分析】根据平方根的定义解方程x2﹣9＝0即可求得a．
【解答】解：解方程x2﹣9＝0，
移项得，x2＝9，
解得，x ＝3，x ＝﹣3，
1 2
因为a＞b，
所以a＝3，
故答案为：3．8．若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则式子 的值是 ．
【分析】利用方程特点得到关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根互为相反数，所以m+1+2m﹣
4＝0，解方程得到方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为2或﹣2，所以x2＝ ＝4，然后利用整体的方法
计算代数式的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，
∴关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为2或﹣2，
∴x2＝ ＝4，
∴原式＝2﹣3× ＝2﹣3×4＝﹣10．
故答案为﹣10．
②解形如 的方程
当 时，一元二次方程降次为 和 。方程的两个根
为： 。
当 时，一元二次方程降次为 。方程的两个根为 。
当 时，一元二次方程 无解 。
【类型一：直接开方法解 的方程】
9．若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一
个一元一次方程是（ ）A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵（x+6）2＝64，
∴x+6＝8或x+6＝﹣8，
故选：D．
10．方程（x+1）2＝9的解为（ ）
A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4
【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程（x+1）2＝9，
开方得：x+1＝3或x+1＝﹣3，
解得：x ＝2，x ＝﹣4．
1 2
故选：A．
11．一元二次方程（x﹣22）2＝0的根为（ ）
A．x ＝x ＝22 B．x ＝x ＝﹣22
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝22 D．x ＝﹣22，x ＝22
1 2 1 2
【分析】根据方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵（x﹣22）2＝0，
∴x﹣22＝0或x﹣22＝0，
解得：x ＝x ＝22，
1 2
故选：A．
12．用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（ ）
A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5）
C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5
【分析】一元二次方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【解答】解：（3x+1）2＝（2x﹣5）2
开方得3x+1＝±（2x﹣5），
故选：C．
13．解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0 （2）（3x﹣1）2＝（x+1）2．
【分析】（1）先移项，写成（x+a）2＝b的形式，然后利用数的开方解答．
（2）方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【解答】解：（1）移项得，（2x+3）2＝25，
开方得，2x+3＝±5，
解得x ＝1，x ＝﹣4．
1 2
（2）方程两边直接开方得：
3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1），
∴2x＝2，或4x＝0，
解得：x ＝1，x ＝0．
1 2
【类型一：根据根的情况求取值范围】
14．若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
【分析】根据直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣m＝0，
∴x2＝m，
由x2﹣m＝0知m≥0，
故选：D．15．若方程（x﹣2）2＝k﹣5可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k≥0 C．k≥5 D．k＞5
【分析】若方程（x﹣2）2＝k﹣5可以直接用开平方法解，则k﹣5≥0．
【解答】解：由题意知，k﹣5≥0．
解得k≥5．
故选：C．
16．用直接开平方法解方程（x+h）2＝k，方程必须满足的条件是（ ）
A．k≥0 B．h≥0 C．h k＞0 D．k＜0
【分析】根据一个数的平方是非负数，可得k≥0．
【解答】解：∵（x+h）2≥0，
∴k≥0．
故选：A．
知识点二：配方法：
1. 完全平方公式：我们把形如 或 的式子叫做完全平方式。
特别提示：完全平方公式的特点：有两项为平方项，第三项是平方两项的底数的乘积
的两倍或底数的乘积的两倍的相反数。
【类型一：判断完全平方公式】
17．下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2﹣x+ B．1+4x2 C．a2+ab+b2 D．x2+2x﹣1
【分析】完全平方式有两个，是a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2，据此即可判断．【解答】解：A、是完全平方式，故本选项正确；
B、不是完全平方式，故本选项错误；
C、不是完全平方式，故本选项错误；
D、不是完全平方式，故本选项错误；
故选：A．
18．下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+x y+1 D．x2+2x﹣1
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平
方．
【解答】解：A、x2﹣x+ 是完全平方式；
B、缺少中间项±2x，不是完全平方式；
C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；
D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式．
故选：A．
【类型一：利用完全平方式的特点求值】
19．已知x2+k x y+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
【分析】根据完全平方公式的特点求解．
【解答】解：根据题意，原式是一个完全平方式，
∵64y2＝（±8y）2，
∴原式可化成＝（x±8y）2，
展开可得x2±16xy+64y2，
∴kxy＝±16xy，∴k＝±16．
故选：D．
20．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（ ）
A．±8 B．﹣3或5 C．﹣3 D．5
【分析】由于x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，然后根据完全平方公式即可得到关于m的
方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，
∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，
∴m＝5或﹣3．
故选：B．
21．若x2﹣4x+k是完全平方式，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+k是一个完全平方式，
∴k＝（ ）2＝4，
故选：B．
22．若x2﹣6xy+N是一个完全平方式，那么N是（ ）
A．9y2 B．y2 C．3y2 D．6y2
【分析】首项是x的平方，中间项可写成2•x•3y，所以，末项是3y的平方，即可得出完全平方式；
【解答】解：x2﹣6xy+N是一个完全平方式，
∴x2﹣6xy+N＝（x﹣3y）2，
整理得，x2﹣6xy+N＝x2﹣6xy+9y2，
∴N＝9y2．故选：A．
2. 配方法解方程：
通过把一元二次方程配方成 完全平方公式 的形式来解一元二次方程的方法叫做配
方法。具体方法步骤如下：
第一步：化——将一元二次方程化为一般形式，并将二次项系数化为1。方程左右两边
同时除以 二次项系数 。
第二步：移——将常数项移到等号的右边。
注意：有时先将常数项移到等号右边再将系数化为1。
第三步：配——配一次项系数一半的平方。方程的左右两边都 加上 一次项系数一
半的平方，得到完全平方公式。
第四步：开方——按照直接开平方法求解一元二次方程。
【类型一：配方变形】
23. 下列用配方法解方程 x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
x2﹣x﹣2＝0 x2﹣2x＝4 x2﹣2x+1＝5 （x﹣1）2＝5 x＝ +1
A．① B．② C．③ D．④
【分析】观察解方程步骤，找出出错的步骤即可．
【解答】解：用配方法解方程 x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中， x2﹣x﹣2＝0 x2﹣2x＝4 x2﹣2x+1＝5
（x﹣1）2＝5 x＝ +1，
出现错误的是④．故选：D．
24．下列是小明同学用配方法解方程2x2﹣12x﹣1＝0的过程：
解：2x2﹣12x＝1，⋯⋯第1步
x2﹣6x＝1，⋯⋯第2步
x2﹣6x+9＝1+9，……第3步
（x﹣3）2＝10，x﹣3＝± ⋯⋯第4步
∴x ＝3+ ，x ＝3﹣ ．
1 2
最开始出现错误的是（ ）
A．第1步 B．第2步 C．第3步 D．第4步
【分析】将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为 1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配
成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：2x2﹣12x＝1，⋯⋯第1步，
x2﹣6x＝ ，⋯⋯第2步，
x2﹣6x+9＝ +9，……第3步，
（x﹣3）2＝ ，x﹣3＝± ⋯⋯第4步，
∴x ＝3+ ，x ＝3﹣ ．
1 2
所以原解答过程从第2步开始出现错误，
故选：B．
25．一元二次方程x2﹣6x＝﹣5配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝13
【分析】根据完全平方公式配方，再得出选项即可．【解答】解：x2﹣6x＝﹣5，
配方得：x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
故选：A．
26．一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A．（x﹣1）2＝m2+1 B．（x﹣1）2＝m﹣1
C．（x﹣1）2＝1﹣m D．（x﹣1）2＝m+1
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣m＝0，
∴x2﹣2x＝m，
∴x2﹣2x+1＝m+1，
∴（x﹣1）2＝m+1．
故选：D．
【类型一：利用配方变形求字母】
27．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1＝0，变形为（x+h）2＝k，则h＝ ，k＝ ．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：原方程可以化为：
，
移项，得x2+ x＝﹣ ，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+ x+ ＝﹣ + ，
配方，得
（x+ ）2＝
比较对应系数，有： ；
故答案是： 、 ．
28．若一元二次方程﹣x2+bx﹣5＝0配方后为（x﹣3）2＝k，则b，k的值分别是（ ）
A．6，4 B．6，5 C．﹣6，5 D．﹣6，4
【分析】先把方程的二次项系数化成1，再根据完全平方公式把（x﹣3）2展开，得出﹣b＝﹣6，9﹣k＝
5，再求出b和k即可．
【解答】解：∵﹣x2+bx﹣5＝0，
∴方程两边都除以﹣1得：x2﹣bx+5＝0，
（x﹣3）2＝k，
x2﹣6x+9＝k，
x2﹣6x+9﹣k＝0，
∵一元二次方程﹣x2+bx﹣5＝0配方后为（x﹣3）2＝k，
∴﹣b＝﹣6，9﹣k＝5，
解得：b＝6，k＝4，
故选：A．29．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
【类型一：利用配方法解方程】
30. 解方程：
（1）x2+2＝2 x． （2）2x2﹣3x+1＝0．
（3）2x2+4x﹣1＝0 （4）x2﹣8x+1＝0．
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2+2＝2 x，
∴x2﹣2 x+2＝0，
（x﹣ ）2＝0，
∴x ＝x ＝ ．
1 2
（2）x2﹣ x＝﹣ ，
x2﹣ x+ ＝﹣ + ，
（x﹣ ）2＝
x﹣ ＝± ，所以x ＝ ，x ＝1．
1 2
（3）x2+2x﹣ ＝0，
x2+2x+1＝ +1，
（x+1）2＝
x+1＝± ，
所以x ＝ ，x ＝ ．
1 2
（4）∵x2﹣8x+1＝0，
∴x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，
∴（x﹣4）2＝15，
解得 ．
3. 配方法求二次三项式的最值：
利用配方法求将二次三项式 配方成 的形式从而求出二次三项式
的最值。具体步骤如下：
第一步：提——提公因数，公因数为 二次项系数 。即 。
第二步：配——配一次项系数一半的平方。式子加上一次项系数一半的平方，为了使式
子不发生变化，再减去一次项系数一半的平方。即： 。
第三步：化——将式子化为 的形式。即 。当
时，二次三项式取得最值，最值为 。
特别提示：若 ，则二次三项式有最小值。若 ，则二次三项式有最大值。
【类型一：求式子的最值】
31．代数式x2﹣2x+5的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．10
【分析】先将代数式配方，根据完全平方式的非负性即可求得最小值．
【解答】解：x2﹣2x+5＝x2﹣2x+1+4＝（x﹣1）2+4，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+4≥4，
∴代数式的最小值是4，
故选：B．
32．代数式x2﹣4x+3的最小值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．5
【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
则当x＝2时，代数式x2﹣4x+3取得最小值，最小值是﹣1，
故选：A．
33．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是 ．
【分析】先将条件变形，得 y2＝﹣2x2+6x，再将 x2+y2+2x 配方成﹣（x﹣4）2+16，根据 y2＝﹣
2x2+6x≥0，求出x的取值范围，即可求出最大值．
【解答】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，
∴y2＝﹣2x2+6x，
∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，
∵（x﹣4）2≥0，
∴x2+y2+2x≤16，
∵y2＝﹣2x2+6x≥0，
解得0≤x≤3，
当x＝3时，x2+y2+2x取得最大值为15，
故答案为：15．
【类型二：分组配方求值】
34．已知a、b满足等式x＝a2+b2+5，y＝2（2b﹣a），则x、y的大小关系是（ ）
A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y
【分析】把x与y代入x﹣y中，判断差的正负即可得到大小关系．
【解答】解：∵x﹣y＝a2+b2+5﹣2（2b﹣a）＝a2+b2+5﹣4b+2a＝（a+1）2+（b﹣2）2≥0，
∴x≥y．
故选：D．
35．对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（ ）A．2 B． C．﹣ D．
【分析】先将等式左边配方，再求值．
【解答】解：∵a2+2a+b2﹣4b+5＝0，
∴a2+2a+1+b2﹣4b+4＝0．
∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0．
∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴b2a＝2﹣2＝ ．
故选：D．
36．已知x2+y2+13＝4y﹣6x，则化简 的结果是（ ）
A．0 B．2 C．6 D．12
【分析】先将已知等式移项，使等式右边为0，再将左边配方，利用非负数的性质求出x、y，再代入
，计算即可．
【解答】解：x2+y2+13＝4y﹣6x，
x2+6x+9+y2﹣4y+4＝0，
（x+3）2+（y﹣2）2＝0，
x+3＝0，y﹣2＝0，
x＝﹣3，y＝2，
∴ ＝ ＝2 ．
故选：B．一、选择题（10题）
1．方程（x﹣3）2＝4的根为（ ）
A．x ＝x ＝5 B．x ＝5，x ＝1 C．x ＝x ＝1 D．x ＝7，x ＝﹣1
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程（x﹣3）2＝4，
开方得：x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得：x ＝5，x ＝1．
1 2
故选：B．
2．若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2【分析】把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，然后解关于c的方程．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，
解得c＝4．
故选：B．
3．若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1
【分析】由于方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m﹣1≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≥0，
所以m≥1．
故选：B．
4．对于方程（ax+b）2＝c下列叙述正确的是（ ）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是x＝
C．当c≥0时，方程可化为：ax+b＝ 或ax+b＝﹣
D．当c＝0时，x＝
【分析】讨论：当c＜0或c≥0，利用平方根的定义可判断方程的根的情况，若有根，则可利用直接开
平方法解方程，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：当c＜0，方程没有实数解；当c≥0时，方程有实数根，则ax+b＝± ，解得x ＝
1
，x ＝ ，当c＝0时，解得x ＝x ＝﹣ ．
2 1 2
故选：C．
5．用配方法解一元二次方程 时，下列变形正确的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后得到结果，即可作出
判断．
【解答】解：方程移项得：y2﹣y＝ ，
配方得：y2﹣y+ ＝ ，
整理得：（y﹣ ）2＝ ．
故选：B．
6．将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用配方法进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
∴k＝4，
故选：D．
7．若x2+m x+5＝（x﹣3）2+n，则（ ）
A．m＝﹣3，n＝4 B．m＝﹣3，n＝﹣4 C．m＝﹣6，n＝4 D．m＝﹣6，n＝﹣4
【分析】先将（x﹣3）2+n展开为x2﹣6x+9+n，再根据题意可得m＝﹣6，5＝9+n，即可求出m和n的值．【解答】解：（x﹣3）2+n＝x2﹣6x+9+n，
根据题意，得m＝﹣6，5＝9+n，
解得m＝﹣6，n＝﹣4，
故选：D．
8．已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】配方后根据非负数的性质可得x和y的值，再代入x+y进行计算即可．
【解答】解：∵x2+y2﹣2x+6y+10＝0，
∴x2﹣2x+1+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
∴x＝1，y＝﹣3，
∴x+y＝1﹣3＝﹣2；
故选：B．
9．已知关于x的分式方程 有增根，且ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程有增根求出m的值，然后把m的值代入ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，利用配方法进
行计算即可解答．
【解答】解： ，
x+m﹣3m＝3（x﹣4），
解得：x＝6﹣m，
∵分式方程有增根，
∴x＝4，把x＝4代入x＝6﹣m中，
4＝6﹣m，
解得：m＝2，
当m＝2时，ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，
∴2a2+b2+4a﹣6b+11＝0，
∴2a2+4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a2+2a+1）+（b2﹣6b+9）＝0，
∴2（a+1）2+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴a+b＝﹣1+3＝2，
故选：B．
50．已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的值为（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7
【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所
求式子的值．
【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，
∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），
∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，
∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，
解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，
∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．故选：A．
二、填空题（6题）
11．一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是 ．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：x2﹣9＝0，
移项得，x2＝9，
解得，x ＝3，x ＝﹣3．
1 2
故答案为：x ＝3，x ＝﹣3．
1 2
12．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是 ．
【分析】利用直接开平方法解方程得到一元二次方程 ax2＝b（ab＞0）的两个根互为相反数，则
m+1+2m﹣7＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得m+1+2m﹣7＝0，
解得m＝2．
即m的值为2．
故答案为：2．
13．当x满足 时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集确定出x的范围，求出方程的解判断即可．
【解答】解：不等式组整理得： ，
解得：2＜x＜6，
方程移项得：x2﹣2x＝5，
配方得：x2﹣2x+1＝6，即（x﹣1）2＝6，
开方得：x﹣1＝± ，解得：x＝1+ 或x＝1﹣ （不合题意，舍去），
则方程的根是x＝1+ ．
14．对方程x2＋ － ＝0进行配方，得 ，其中m＝ ．
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m．
【解答】解：由题意得：m＝（ ÷2）2＝ ．
故答案为： ．
15．当a＝ 时，代数式a2﹣6a﹣9有最小值为 ．
【分析】将代数式中的﹣9变形为9﹣18，前三项利用完全平方公式变形，根据完全平方式的最小值为
0，求出代数式的最小值，以及此时a的值．
【解答】解：a2﹣6a﹣9
＝a2﹣6a+9﹣18
＝（a﹣3）2﹣18，
∵（a﹣3）2≥0，
∴当a﹣3＝0，即a＝3时，代数式a2﹣6a﹣9有最小值为﹣18．
故答案为：3，﹣18．
16．阅读材料
例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣
8．
根据上面的方法解决下列问题：
（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．
（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法后可得结论；
（2）将多项式重新分组，改写成（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得结论．
【解答】解：（1）∵m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣9，
∴当m＝2时，m2﹣4m﹣5有最小值，最小值是﹣9．
故答案为：﹣9；
（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18
＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，最小值是5．
故答案为：5．
三、解答题（4题）
17．解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0； （2）x2﹣4x﹣8＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x ＝5，x ＝1；
1 2
（2）∵x2﹣4x﹣8＝0，
∴x2﹣4x＝8，
则x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，∴x﹣2＝ ，
∴x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 ．
1 2
18．（1）化简；（m+1）（m﹣1）﹣m2．
（2）小华在解方程（x+6）2﹣9＝0，解答过程如下；
解，移项，得（x+6）2＝9……第一步
两边开平方，得x+6＝3………第二步
所以x＝﹣3……第三步
小华的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．
【分析】（1）先利用平方差公式展开，然后合并即可；
（2）两边开方得到x+6＝±3，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣1﹣m2＝﹣1；
（2）小华的解答从第二步开始出错．
正确的解答过程为：
解，移项，得（x+6）2＝9，
两边开平方，得x+6＝±3，
所以x ＝﹣3，x ＝﹣9．
1 2
19．（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完
全平方公式变形，开方即可求出解；
（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公
式变形，开方即可求出解．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x＝﹣ ，配方得：x2﹣3x+ ＝ ﹣ ，即（x﹣ ）2＝ ，
开方得：x﹣ ＝± ，
解得：x ＝ + ，x ＝ ﹣ ；
1 2
（2）方程整理得：x2+ x＝﹣ ，
配方得：x2+ x+ ＝ ﹣ ，即（x+ ）2＝ ，
开方得：x+ ＝± ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
20．我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，
即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ；
（2）求2x2+4x的最小值．
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小．【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
故答案为：﹣2，1．
（2）2x2+4x＝2（x2+2x+1﹣1）＝2（x+1）2﹣2，
∵2（x+1）2≥0，
∴当x+1＝0即x＝﹣1时，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
