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第 2 课时 算术平方根
教学目标
课题 第2课时 算术平方根 授课人
1.了解算术平方根的概念及其非负性.
素养目标 2.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.
3.体验无限不循环小数的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数.
教学重点 算术平方根的概念、用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.
教学难点 用夹逼法估算一个无限不循环小数的大小.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：
【情境导入】
创 设 情
境，新知 如图，一个正方形的边长为a.如果它的面积为3，那么a究
导入 竟是多少呢？
【教学建议】
引 导 学
设计意图
生体会 是
借助实例 一个有着确
让学生感 定大小的数，
根据正方形的面积公式，a2=3.
受算术平 再让学生猜
方根的产 再根据上节课学习的平方根的概念，由a2=3，可得a= 测它的大致
生是实际 范围.
.但一个正方形的边长不可能是负数，所以a= .在实际生活
生活的需
要，也是 中，我们很多时候需要求解的都是一个数的正的平方根.此外，
数学运算 究竟有多大呢？这就是我们今天要学习的内容.
的需要.
活动二：
探究点1 算术平方根的概念与求算术平方根
【教学建议】
问 题 引
概念引入：
入，自主 可 给 学
探究 我们知道，正数a有两个平方根,其中正的平方根 叫 生总结算术
平方根的双
作a的算术平方根.正数a的算术平方根用 来表示.
重非负性:对
设计意图
规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为 . 于 ，
引入算术 例1 （教材P42例3）求下列各数的算术平方根: （1）要使
平方根的
有意义，
概 念 , 进 (1)100； (2) ； (3)0.0001.
一步巩固 则 a≥ 0
开平方运 解：(1)因为102=100， （“≥”读作
算 的 能 “大于或等
所以100的算术平方根是10，即 =10；
力. 于”，后同）；
教学步骤 师生活动（2）根据
(2)因为 = ， 算术平方根
本身的概念，
可知 ≥0.
所以 的算术平方根是 ，即 = ；
(3)因为0.012=0.0001，
所以0.0001的算术平方根是0.01，即 =0.01.
从例1可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就越大
.这个结论对所有正数都成立，即若a>b>0，则 > .
【对应训练】
教材P43练习第1，2题.
设计意图 探究点2 通过夹逼法估算无限不循环小数的大小——估算
的大小
引入无限
不循环小 1.教材P42探究.
数 的 概 2.（教材P43探究）通过夹逼法估算 的大小，先定大范
念，引导
围，然后逐步缩小：
学生经历
方法（对两个连续整数或
“ 夹 逼
小数用平方法逐步进行比 步骤 【教学建议】
法”估算
较）
无限不循 培养学生的
环小数的 通过估算，确定 在哪两
因为12=1，22=4，所
估算能力，感
过程. 个连续的整数之间 以1＜ ＜2 受 “ 夹 逼
因为 1.42=1.96， 法”，发展抽
通过估算，确定 在哪两 1.52=2.25 ， 所 以 象思维，了解
个连续的一位小数之间 无限不循环
1.4＜ ＜1.5
小数的特征.
用夹逼法
因为 在学生熟悉
估算 1.412=1.9881， 教材以后，可
的大小 通过估算，确定 在哪两 1.422=2.0164，所 以试着让学
个连续的两位小数之间 以1.41＜ ＜ 生模仿教材
1.42 估 计 或
因为
等无限不
1.4142=1.999396，
通过估算，确定 在哪两 1.4152=2.002225， 循环小数的
近似值，不仅
个连续的三位小数之间
所以1.414＜
渗透类比思
＜1.415 想，还能培养
…… …… 学生学以致
用的能力.
通过上述步骤，可以得到 更精确的近似值，请问从中你
发现了什么问题吗？
无法得到 的准确值，只能得到近似值.
概念引入：
事实上， =1.414213562373…，它是一个无限不循环
小数(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循
环的小数).
教学步骤 师生活动实际上，很多正有理数的算术平方根(例如 ， ，
等)都是无限不循环小数.
问题：你以前见过无限不循环小数吗？请举例说明.
见过.如π（圆周率）.
【对应训练】
1.估计 的值在（ B ）
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
2.已知a，b是两个连续整数，且a< <b，则a+b= 9 .
例2 已知 与 互为相反数，求ab的算术 【教学建议】
活动三：
综 合 训 平方根. 学 生 自
练，提升 解：根据题意，得1-3a=0，b-108=0， 主探究，对此
探究 类算术平方
所以a= ，b=108，所以ab= ×108=36.
根综合其非
设计意图 负性类型题
因为62=36，所以ab的算术平方根是6.
目进行练习
巩固加深 【对应训练】 巩固，加深理
对于算术 解，这也有利
平方根及 若|x+1|+ =0，求2y+x的算术平方根. 于为以后学
其非负性 习二次根式
解：由|x+1|+ =0，可知x+1=0，y-8=0，
的理解. 的性质打下
所以x=-1，y=8，所以2y+x=2×8+(-1)=15. 坚实的基础.
故2y+x的算术平方根是 .
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子（或“随堂作业”册子）相应课
时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是算术平方根？什么是算术平方根的双重非负性？
2.怎样求一个数的算术平方根的近似值？
3.什么是无限不循环小数？
【知识结构】
活动四：
随 堂 训
练，课堂
总结
【作业布置】
1.教材P46习题8.1第2，3（2）（4），7，10题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
第2课时 算术平方根
1.算术平方根的概念.
板书设计
2.算术平方根的“双重非负性”.本节课先介绍算术平方根的概念，并总结算术平方根的双重非负性，然后
和学生一起探究用夹逼法估算一个数的算术平方根的近似值的方法，让学生从
教学反思 被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.通
过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新问题，让学生体会研究数学问题的
新方法.
解题大招 算术平方根相关性质的综合运用
算术平方根的性质归纳：
① 算术平方根的双重非负性：算术平方根本身是非负数，算术平方根的被开方数也是
非负数.
拓展：非负性的应用：几个非负数的和等于 0，则这几个非负数均等于 0.即若
，则a=b=…=m=0.
② 一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身.即 =a.
③ 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，再根据这个数的正负去绝对值符
号.即 = .
例1 的算术平方根是（ B ）
A．9 B．3 C．±9 D．±3
解析：因为 =9，9的算术平方根为3，所以 的算术平方根是3.故选B.
例2 若 ，则x+2y的值为（ A ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
解析：因为 ，所以x-1=0，x+y=0，所以x=1,y=-1,所以x+2y=-1.故选
A.
例3 计算： = 3 ， = 0 . 7 ， = 0 ， = 6 ， = .
(1)根据计算结果，回答 一定等于a吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言
描述出来.
(2)利用你总结的规律，计算： .
解：(1) 不一定等于a, = .(2)原式=|3.14-π|=π-3.14.
培优点 算术平方根在正方形拼图中的应用
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