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第四课时——因式分解法与整体法（答案卷）
知识点一：因式分解法：
1. 因式分解法：
利用因式分解求解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
2. 基本原理：
左边为整式的乘积的形式，右边等于0，则让左边的整式分别等于0即可求解。
即： ，则 0 或 0 。
3. 因式分解的方法：
① 提公因式法 ；
② 公式法 ；包含 平方差公式 和 完全平方公式 。
③ 十字相乘法 。
常用的因式分解法解方程的两种方法是 提公因式法 和 十字相乘法 。
【类型一：直接利用等式等于0求解方程】
1．方程x（x﹣6）＝0的解是（ ）
A．x＝6 B．x ＝0，x ＝6 C．x＝﹣6 D．x ＝0，x ＝﹣6
1 2 1 2
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：x（x﹣6）＝0
x＝0或x﹣6＝0
解得x ＝0，x ＝6．
1 2
故选：B．2．若关于x的一元二次方程的根分别为﹣5，7，则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x﹣7）＝0 B．（x﹣5）（x+7）＝0
C．（x+5）（x+7）＝0 D．（x﹣5）（x﹣7）＝0
【分析】解此题可以采用排除法，各选择答案都很简单，解方程即可．也可根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵（x+5）（x﹣7）＝0
∴x+5＝0或x﹣7＝0
∴x ＝﹣5，x ＝7
1 2
故选：A．
3．一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0的根是 ．
【分析】利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x ＝2，x ＝﹣3，
1 2
故答案为x ＝2，x ＝﹣3．
1 2
【类型二：提公因式解方程】
4．方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（ ）
A．x＝1 B．x ＝﹣3，x ＝1 C．x ＝﹣2，x ＝1 D．x ＝﹣3，x ＝0
1 2 1 2 1 2
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
则x﹣1＝0或x+2＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣2，
1 2
故选：C．5．用因式分解法把方程5y（y﹣3）＝3﹣y分解成两个一次方程，正确的是（ ）
A．y﹣3＝0，5y﹣1＝0 B．5y＝0，y﹣3＝0
C．5y+1＝0，y﹣3＝0 D．5y＝1，y﹣3＝3﹣y
【分析】此题是提公因式法，公因式为（y﹣3），解题时要注意先要移项，特别是移项要变号，所以原
式变形为5y（y﹣3）+（y﹣3）＝0．
【解答】解：据题意得
5y（y﹣3）+（y﹣3）＝0
∴（y﹣3）（5y+1）＝0
∴5y+1＝0或y﹣3＝0．故选C．
6．一元二次方程x（x+1）﹣2（x+1）＝0的根是 ．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣2）＝0，
则x+1＝0或x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝2，
故答案为：x＝﹣1或x＝2．
7．解方程：（x+1）2＝5x+5．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：∵（x+1）2＝5（x+1），
∴（x+1）2﹣5（x+1）＝0，
则（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
∴x ＝4，x ＝﹣1．
1 2
【类型三：十字相乘法解方程】8．方程x2+x﹣6＝0的两个根为（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝﹣2 B．x ＝﹣3，x ＝2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2，x ＝3 D．x ＝2，x ＝3
1 2 1 2
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
则x+3＝0或x﹣2＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝2，
1 2
故选：B．
9．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，那么这个三角形的周长
可能是（ ）
A．13 B．18 C．22 D．26
【分析】先利用因式分解法解方程，再由三角形三边关系判断出第三边的长度范围，从而确定周长的范
围，即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣13x+36＝0，
∴（x﹣4）（x﹣9）＝0，
则x﹣4＝0或x﹣9＝0，
解得x ＝4，x ＝9，
1 2
则此三角形第三边的长度需满足5＜第三边长度＜13，
所以此三角形的周长需满足18＜周长＜26，
故选：C．
10．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
【分析】法1：利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可；法2：利用根与系数的关系求出两根之积，再根据对角线乘积的一半求出菱形面积即可．
【解答】解：法1：方程x2﹣10x+24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为 ×4×6＝12；
法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根，
∴ab＝24，
则这个菱形的面积为 ab＝12．
故选：C．
11．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为
（ ）
A．12 B．14 C．16 D．12或16
【分析】求出已知方程的解确定出AB的长，即可求出周长．
【解答】解：方程x2﹣7x+12＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，
可得x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝3或x＝4，
当AB＝3时，3+3＝6，不能构成三角形，舍去；
当AB＝4时，菱形周长为16．
故选：C．知识点一：整体法（换元法）
1. 整体法：通过把一元二次方程中某一部分看做一个整体进行求解一元二次方程的方法
叫做整体法。通常会把看成整体的部分用其他未知数代替，所以又叫换元法。
2. 例题讲解：
解（2x+1）2+3（2x+1）+2＝0．
解：设2x+1＝y，
则原方程可化为：y2+3y+2＝0，
∴（y+1）（y+2）＝0，
解得：y＝﹣1或y＝﹣2，
即2x+1＝﹣1或2x+1＝﹣2，
解得x ＝﹣1，x ＝ ．
1 2
【类型一：利用整体法求值】
12．若实数x、y满足（x+y+3）（x+y﹣1）＝0，则x+y的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3或﹣1 D．﹣3或1
【分析】展开后分解因式得到x+y+3）（x+y﹣1）＝0，推出x+y+3＝0，x+y﹣1＝0，把x+y当作一个整
体求出即可．
【解答】解：（x+y+3）（x+y﹣1）＝0，
（x+y）2+2（x+y）﹣3＝0，
（x+y+3）（x+y﹣1）＝0，
x+y+3＝0，x+y﹣1＝0，
∴x+y＝﹣3，x+y＝1．
故选：D．13．若实数x，y满足（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，则x+y的值为 ．
【分析】将x+y看作一个整体，求出x+y的值即可．
【解答】解：（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，
可得：x+y+2＝0或x+y﹣1＝0，
解得：x+y＝﹣2或1．
故答案为：﹣2或1
14．若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）＝0．则x2+y2的值为（ ）
A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2或﹣1
【分析】由（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）＝0，就可以得出x2+y2+2＝0或x2+y2﹣2＝0．直接求出x2+y2的值即
可．
【解答】解：∵（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）＝0，
∴x2+y2+2＝0或x2+y2﹣2＝0，
∴x2+y2＝﹣2（舍去）或x2+y2＝2，
∴x2+y2的值为2．
故选：B．
15．若（x2+y2）2+3（x2+y2）﹣4＝0，则x2+y2＝ ．
【分析】先设x2+y2＝t，则方程即可变形为t2+3t﹣4＝0，解方程即可求得t，根据x2+y2≥0，即x2+y2的
值
【解答】解：设t＝x2+y2，则原方程可化为：t2+3t﹣4＝0，
即（t﹣1）（t+4）＝0
∴t＝﹣4或1，
∵x2+y2≥0，
∴t＝1，
即x2+y2＝1，故答案为1．
16．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
【分析】设y＝x2﹣2x+1，将已知方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
【类型一：利用整体法解方程】
17．解方程（x﹣x2）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，若设y＝x2﹣x，则原方程可化为 ．
【分析】因为平方中的数乘以﹣1，值不变，所以（x﹣x2）2＝（x2﹣x）2，可将（x﹣x2）2换成（x2﹣
x）2，然后把y＝x2﹣x代入方程，即可．
【解答】解：原方程可变形为：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0
∵y＝x2﹣x，
∴原方程可化为：y2﹣4y﹣12＝0．
18．解下列方程：
（1）2（x2﹣7x）2﹣21（x2﹣7x）+10＝0；
（2）（2x2+3x）2﹣4（2x2+3x）﹣5＝0．
【分析】（1）利用换元法，先设x2﹣7x＝a，然后根据解二元一次方程的方法，可以得到a的值，然后
即可得到该方程的解；
（2）利用换元法，先设2x2+3x＝a，然后根据解二元一次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到
该方程的解
【解答】解：（1）2（x2﹣7x）2﹣21（x2﹣7x）+10＝0设x2﹣7x＝a，
则2a2﹣21a+10＝0
（2a﹣1）（a﹣10）＝0
∴2a﹣1＝0或a﹣10＝0，
解得，a ＝0.5，a ＝10，
1 2
∴x2﹣7x＝0.5或x2﹣7x＝10，
∴2x2﹣14x﹣1＝0或x2﹣7x﹣10＝0，
解得，x ＝ ，x ＝ ，x ＝ ，x ＝ ；
1 2 3 4
（2）（2x2+3x）2﹣4（2x2+3x）﹣5＝0
设2x2+3x＝a，
则a2﹣4a﹣5＝0
（a﹣5）（a+1）＝0，
∴a﹣5＝0或a+1＝0，
解得，a ＝5，a ＝﹣1，
1 2
∴2x2+3x＝5或2x2+3x＝﹣1，
∴2x2+3x﹣5＝0或2x2+3x+1＝0，
解得，x ＝﹣2.5，x ＝1，x ＝﹣0.5，x ＝﹣1．
1 2 3 4
【类型一：利用合适的方法解方程】
19．选择适当的方法解下列一元二次方程
（1）（3y﹣2）2＝（2y﹣3）2 （2）2（1﹣x）2＝x﹣1
（3）﹣3x2+4x+1＝0 （4）（x+1）2﹣7（x+1）﹣18＝0．
【分析】（1）根据因式分解法解答即可；
（2）根据因式分解法解答即可；（3）根据公式法解答即可；
（4）根据因式分解法解答即可；
【解答】解：（1）原方程变形为：（3y﹣2+2y﹣3）（3y﹣2﹣2y+3）＝0
解得：y ＝1，y ＝﹣1；
1 2
（2）原方程变形为：（x﹣1）（2x﹣2﹣1）＝0，
解得： ；
（3） ， ；
（4）原方程变形为：（x+1+2）（x+1﹣9）＝0，
解得：x ＝﹣3，x ＝8．
1 2
20．解方程：
（1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2． （2）3x2﹣6x+1＝0．
（3）3x2+5（2x+1）＝0． （4）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣8＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；
（2）利用配方法解出方程；
（3）利用公式法解出方程；
（4）利用因式分解法解出方程．
【解答】解：（1）∵（x﹣4）2＝（5﹣2x）2，
∴x﹣4＝±（5﹣2x），
所以x ＝1，x ＝3；
1 2
（2）方程变形得：x2﹣2x＝﹣ ，
配方得：x2﹣2x+1＝ ，即（x﹣1）2＝ ，开方得：x﹣1＝± ，
解得：x ＝1+ ，x ＝1﹣ ；
1 2
（3）方程化为一般形式，得3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴b2﹣4ac＝102﹣4×3×5＝40，
∴x＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ；
1 2
（4）方程分解得：（x﹣1﹣4）（x﹣1+2）＝0，
可得x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x＝5或x＝﹣1．一．选择题（共10小题）
1．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x ＝1，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2
【分析】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
故选：D．
2．方程（x﹣3）（x+4）＝0的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣4 C．x ＝3，x ＝﹣4 D．x ＝﹣3，x ＝4
1 2 1 2
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x﹣3＝0或x+4＝0，
所以x ＝3，x ＝﹣4．
1 2
故选：C．
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根．则该等腰三角形的周长是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．10或8
【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边为2，2，4时，②当等腰三角形的
三边为2，4，4时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
①当等腰三角形的三边为2，2，4时，2+2＝4，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍
去；②当等腰三角形的三边为2，4，4时，此时能组成三角形，三角形的周长是2+4+4＝10，
故选：C．
4．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0一个实数根，则该三角形的面积
是（ ）
A．24 B．48 C．24或8 D．8
【分析】先利用因式分解法解方程得到所以 x ＝6，x ＝10，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，
1 2
在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，作AD⊥BC，则BD＝CD＝4，利用勾股定理计算出AD＝2 ，接
着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，
然后根据三角形面积公式计算三角形面积．
【解答】解：x2﹣16x+60＝0
（x﹣6）（x﹣10）＝0，
x﹣6＝0或x﹣10＝0，
所以x ＝6，x ＝10，
1 2
当第三边长为6时，如图，
在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，作AD⊥BC，则BD＝CD＝4，AD＝ ＝ ＝2
，
所以该三角形的面积＝ ×8×2 ＝8 ；
当第三边长为10时，由于62+82＝102，此三角形为直角三角形，
所以该三角形的面积＝ ×8×6＝24，
即该三角形的面积为24或8 ．
故选：C．5．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再
判断即可．
【解答】解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，
此时方程有解，
故选：D．
6．用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）＝12时，如果设x2+x＝y，那么原方程可变形为（ ）
A．y2+y+12＝0 B．y2﹣y﹣12＝0 C．y2﹣y+12＝0 D．y2+y﹣12＝0
【分析】将原方程中的x2+x换成y，再移项即可．
【解答】解：根据题意，得
y2+y＝12，即y2+y﹣12＝0；
故选：D．
7．若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（ ）A．﹣1或 B．1或﹣ C．1或﹣ D．1或
【分析】直接利用2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数得出2x2+1+4x2﹣2x﹣5＝0，进而整理利用十字
相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：∵2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，
∴2x2+1+4x2﹣2x﹣5＝0，
则3x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
解得：x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
故选：B．
8．定义一种新运算：a♣b＝a（a﹣b），例如，4♣3＝4×（4﹣3）＝4，若x♣2＝3，则x的值是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣1 C．x ＝3，x ＝1 D．x ＝3，x ＝﹣1
1 2 1 2
【分析】先根据新定义得到x（x﹣2）＝3，再把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：∵x♣2＝3，
∴x（x﹣2）＝3，
整理得x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
故选：D．
9．已知y ＝a2+b2，y ＝y ﹣3，且y •y ＝4，则y 的值为（ ）
1 2 1 1 2 1
A．4 B．﹣1 C．﹣4或1 D．﹣1或4
【分析】将y 与y 的值代入y •y ＝4，以a2+b2为整体，求出它的值即可．
1 2 1 2
【解答】解：∵y ＝a2+b2，y ＝y ﹣3，
1 2 1∴y ＝a2+b2﹣3，
2
∵y •y ＝4，
1 2
∴（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，
解得a2+b2＝﹣1或4，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝4．
故选：A．
10．方程x2﹣4|x|+3＝0的解是（ ）
A．x＝±1或x＝±3 B．x＝1和x＝3 C．x＝﹣1或x＝﹣3 D．无实数根
【分析】本题应对方程去绝对值，然后将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为 0，这两式
中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：①x＞0，原方程可变形为：x2﹣4x+3＝0即（x﹣3）（x﹣1）＝0
∴x＝3或1；
②x＜0，原方程变形为：x2+4x+3＝0即（x+3）（x+1）＝0
∴x＝﹣3或﹣1．
因此本题的解为x＝±1或x＝±3．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．小明在解一元二次方程x2＝2x时，只得到一个根x＝2，则被他漏掉的一个根是x＝ ．
【分析】求出方程的解即可确定出所求．
【解答】解：方程x2＝2x，
移项得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，解得：x ＝0，x ＝2，
1 2
则被他漏掉的一个根是x＝0．
故答案为：0．
12．已知x y≠0，且3x2﹣2xy﹣8y2＝0，则 ＝ ．
【分析】把方程分解因式，求出x、y的关系，再求比值．
【解答】解：3x2﹣2xy﹣8y2＝0，
（3x+4y）（x﹣2y）＝0
∴3x＝﹣4y，x＝2y，
等式的两边都除以3y得： ＝﹣ ，
等式的两边都除以y得： ＝2，
∴ ＝﹣ ，或 ＝2．
13．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为 ．
【分析】将x2﹣x看作一个整体，然后用换元法解方程求出x2﹣x的值，再整体代值求解．
【解答】解：设x2﹣x＝m，则原方程可化为：
m2﹣4m﹣12＝0，解得m＝﹣2，m＝6；
当m＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8＜0，原方程没有实数根，故m＝﹣2不合题意，舍
去；
当m＝6时，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0，Δ＝1+24＞0，故m的值为6；
∴x2﹣x+1＝m+1＝7．
故答案为：7．
14．若（x+y）2﹣2x﹣2y+1＝0，则（x+y）999＝ ．【分析】设x+y＝a，则方程化为a2﹣2a+1＝0，求出a的值，即可得出x+y的值，代入求出即可．
【解答】解：（x+y）2﹣2x﹣2y+1＝0，
（x+y）2﹣2（x+y）+1＝0，
设x+y＝a，
则方程化为a2﹣2a+1＝0，
解得：a ＝a ＝1，
1 2
即x+y＝1，
所以（x+y）999＝1．
故答案为：1．
15．等腰（非等边）三角形的边长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则此三角形的面积为 ．
【分析】先利用因式分解法求出方程的根，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理得出此三
角形的三边长，然后利用勾股定理、等腰三角形的性质求出 AD的长，最后利用三角形的面积公式即可
得．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得x ＝2，x ＝4，
1 2
由题意得：这个三角形的三边长分别为2，2，4或2，4，4，
（1）当这个三角形的三边长分别为2，2，4时，
∵2+2＝4，
∴不满足三角形的三边关系，舍去；
（2）当这个三角形的三边长分别为2，4，4时，
∵2+4＞4，
∴满足三角形的三边关系，
如图，设这个三角形为等腰△ABC，其中AB＝AC＝4，BC＝2，过点A作AD⊥BC于点D，
则BD＝CD＝ BC＝1（等腰三角形的三线合一），
∴AD＝ ＝ ＝ ，
∴S△ABC ＝ ＝ ＝ ，
即此三角形的面积为 ，
故答案为： ．
16．关于x的代数式x2+（m+2）x+（4m﹣7）中，当m＝ 时，代数式为完全平方式．
【分析】此题考查了一次项的求法，一次项系数等于二次项系数的算术平方根与常数项的算术平方根的
积得2倍，注意完全平方式有两个，所以一次项系数有两个．
【解答】解：∵m+2＝±2×1× ，
∴（m+2）2＝4（4m﹣7），
∴m2﹣12m+32＝0，
∴（m﹣4）（m﹣8）＝0，
∴m ＝4，m ＝8
1 2
∴当m＝4或8时，代数式为完全平方式．
三．解答题（共4小题）
17．解方程
（1）x2+4x﹣5＝0 （2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）
【分析】根据解一元二次方程的方法﹣因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）因式分解得（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x ＝﹣5，x ＝1；
1 2
（2）3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
∴x ＝2，x ＝ ．
1 2
18．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9
因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的
运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．
【分析】（1）设2x2+2y2＝a，则原方程化为（a+3）（a﹣3）＝27，求出a，再求出x2+y2即可；
（1）设最小的正整数为x，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，列方程，并同理利用换元法解方程即可．
【解答】解：（1）设2x2+2y2＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，整理得a2﹣9＝27，a2＝36，
∴a＝±6，
因为2x2+2y2≥0，所以2x2+2y2＝6，x2+y2＝3，
（2）设最小的正整数为x，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，
根据题意得：x（x+1）（x+2）（x+3）＝11880，
[x（x+3）][（x+1）（x+2）]＝11880，（x2+3x）（x2+3x+2）＝11880，
设x2+3x＝a，则原方程变为a（a+2）＝11880，整理得a2+2a＝11880，
a2+2a+1＝11881，
（a+1）2＝11881，
a+1＝±109，
∴a＝108或﹣110，
∵a是正整数，
∴a＝108，
∴x2+3x＝108，
x＝9或﹣12（舍）
答：这四个连续正整数分别是9，10，11，12．
19．阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x ＝2，x ＝﹣1（不合题意，舍去）．
1 2
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x ＝﹣2，x ＝1（不合题意，舍去）．
1 2
∴原方程的根是x ＝2，x ＝﹣2
1 2
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
【分析】分为两种情况：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2
＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0，
（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x ＝1，x ＝0（不合题意，舍去）．
1 2
（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x ＝﹣2，x ＝1（不合题意，舍去）．
1 2
故原方程的根是x ＝1，x ＝﹣2．
1 2
20．解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，
解得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
（3）解方程 x2﹣3|x|＝18．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后
再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
（3）设|x|＝y，原方程可化为y2﹣3y﹣18＝0，求出y的值，再解绝对值方程．
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元法达到 降次的目的，体现了数学的转
化思想．
故答案是：换元 降次；
（2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y ＝6，y ＝﹣2．
1 2
由x2+x＝6，得x ＝﹣3，x ＝2．
1 2
由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无解．
所以原方程的解为x ＝﹣3，x ＝2．
1 2
（3）原方程可化为|x|2﹣3|x|﹣18＝0，
设|x|＝y，原方程可化为y2﹣3y﹣18＝0，
解得y ＝6，y ＝﹣3．
1 2由|x|＝6，得x ＝﹣6，x ＝6．
1 2
由|x|＝﹣3，此时方程无解．
所以原方程的解为x ＝﹣6，x ＝6．
1 2
