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第5 章 一元一次方程（单元测试·培优卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）一元一次方程 中的部分数字被墨渍污染，翻看
答案知此方程的解为 ，则被墨渍污染的数字“ ”为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）下列方程的变形中，符合等式性质的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）方程 的解的个数是（ ）
A．1个 B．2020个 C．2021个 D．无穷多个
4．（2024七年级上·全国·专题练习）设 ，有 ，则y的值是（ ）
A． B．4 C． D．1
5．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）方程 的解（ ）
A． B． C． D．2
6．（19-20七年级上·湖南长沙·期末）若不论k取什么实数，关于x的方程 （a、b是常
数）的根总是x＝1，则a+b＝（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于
的一元一次方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明在某月的日历上圈出三个数a,b,c，并求出它们的和是 ，则
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司这三个数在日历中的位置不可能的是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为 ，16，（规定
数轴上两点A、B之间的距离记为 ）．若点C在A，B两点之间，且满足 ，则点C对应的
数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
10．（21-22六年级下·上海闵行·期中）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，
将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下
列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024七年级上·全国·专题练习）已知 是关于x的一元一次方程，则 ．
12．（23-24七年级上·全国·单元测试）解关于 的方程： ，可得 ．
13．（2024七年级上·全国·专题练习）某同学在解方程 去分母时，方程右边的 忘记了
乘 ，因而求得方程的解为 ．则 的值为 ，原方程的解为 ．
14．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知关于x的一元一次方程 的解是正整数，则整
数m的值为 ．
15．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）某厂会计发现现金多了273.6元，经查账发现原来是一笔支出款的
小数点错了一位，则这笔款是 元．
试卷第2页，共3页
学科网（北京）股份有限公司16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有理数都可以表示为 （ 且 不可约分）的形
式，无限循环小数也可以写成这种形式，以 为例：设 ，即 ，则 ，则
有 ，可得 ，即 ，则 ．
17．（2024七年级上·全国·专题练习）在一个圆形跑道上，小华与小明分别从一条直径的两端同时出发，
相向而行．第一次相遇时，小华走了80米．相遇后，两人继续向前行走，在小明还差55米就走完一圈时，
与小华再次相遇，这个圆形跑道的周长是 米．
18．（2024七年级上·全国·专题练习）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（2024七年级上·浙江·专题练习）解下列一元一次方程．
(1) ； (2) ．
20．（本小题满分8分）（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）解方程：
(1) (2)
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司21．（本小题满分10分）（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程 可
以有多种不同的解法，观察此方程，设 ．
(1)原方程可变形为 ，解方程得： ，从而可得 ．
(2)上述解法所用到的数学思想是 ．
(3)利用上述方法解方程：
22．（本小题满分10分）（22-23七年级上·湖南郴州·阶段练习）在一元一次方程中，如果两个方程的解
相同，则称这两个方程为同解方程．
(1)若关于 的两个方程 与 是同解方程，求 的值；
(2)已知关于 的方程 有整数解，那么满足条件的所有整数 _______．
(3)若关于 的两个方程 与 是同解方程，求此时符合要求的正整数
的值．
23．（本小题满分10分）（23-24七年级上·浙江杭州·期中）小明同学用的练习本可以在甲、乙两个商店
买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六
折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖．
(1)当购买数量超过10本时，请用含 的式子分别表示在甲、乙两商店购买本子的费用．
(2)小明要买25本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由．
(3)小明现有30元，最多可买多少本练习本？
24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·陕西榆林·期中）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费
如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
试卷第4页，共3页
学科网（北京）股份有限公司不超过12 的部分 a元/
超过12 但不超过20 的部分 元/
超过20 的部分 元/
(1)某户4月份用了13 的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示）
(2)设某户月用水量为n ，当 ， 时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示）
(3)当 时，甲、乙两户一个月共用水32 ，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x
，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示）
试卷第5页，共3页
学科网（北京）股份有限公司参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D B A C D D C C
1．A
【分析】本题考查了一元一次方程的解，把 代入方程即可求解，熟知方程的解即为能使方程成立的未
知数的值是解题的关键．
【详解】解：把 代入方程 得，
，
∴ ，
故选： ．
2．D
【分析】本题考查了等式的性质，解题关键是熟记等式的性质；
根据等式的性质逐项判断即可得出答案．
【详解】A. 由 ，得 ，不符合题意；
B. 由 ，得 ，不符合题意；
C. 由 ，得 ，不符合题意；
D. 由 ，得 ，符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的
意义即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴方程 的解的个数是无穷多个，
故选：D．
4．B
【分析】此题考查解一元一次方程，根据题意列得方程求解即可，正确掌握一元一次方程的解法是解题的
关键．
6
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设 ， ，
则
去括号得
解得
故选：B．
5．A
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，根据方程的特点，逐步的去分母与去括号即可得到答案．
【详解】解： ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
故选A
6．C
【分析】把 代入 得到 ，根据方程的根总是 ，推出 ，
解出 、 的值，计算 即可得出答案．
【详解】把 代入得： ，
7
学科网（北京）股份有限公司去分母得： ，
即 ，
不论k取什么实数，关于x的方程 的根总是x＝1，
，
解得： ， ，
．
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程与一元一次方程的应用，根据题意得出关于 、 的方程是解题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设
，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可．
【详解】设 ，
方程 的解，
即为 的解，
的解为 ，
，
解得 ，
关于 的一元一次方程 的解为 ．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意对每个选项列出方程求解是解题的关键
【详解】解：设最小的数 ，
对于 选项， ，可得 ，
解得： ，故本选项不符合题意；
8
学科网（北京）股份有限公司对于B选项， ，
，
解得：x=6，故本选项不符合题意；
对于C选项， ，
，
解得： ，故本选项不符合题意；
对于D选项，
可得 ，
解得： ，故本选项符合题意；
故选D．
9．C
【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，设点C对应的数是 ，表示出 和 ，
再结合 列方程求解即可．
【详解】解：设点C对应的数是 ，
∵点A、B表示的数分别为 ，16，点C在A，B两点之间
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点C对应的数是 ，
故选：C．
10．C
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．
学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排4人，将会空出5
间宿舍，则宿舍数可表示为 ；如果每间宿舍安排3人，就会有100人没床位，则宿舍数可表示为
9
学科网（北京）股份有限公司，从而列出方程．
【详解】解：学校住宿的学生人数为x，根据题意得：
，
故选：C．
11．1
【详解】根据题意，得 ，
解得 或 ．
因为 ，所以 ．
综上可知， ．
12．
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．方程去括号，移项合并，把
系数化为1，即可解题．
【详解】解：
解得： ，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
方程右边的 项没有乘 ，则所得的式子是： ，再把 代入即可得到一个关于 的方程，
求得 的值，然后把 的值代入 中，最后解方程即可．
【详解】解：方程右边的 项没有乘 ，则所得的式子是： ，
把 代入方程，得 ，
解得： ，
10
学科网（北京）股份有限公司方程为 ，
去分母，得 ，
解得： ，
故答案为： ， ．
14．3或4或6
【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键．
根据方程的解是正整数，可得4的约数，根据4的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：由 ，得 ，
因为关于x的方程 的解是正整数，
得 ，或 ．
解得 ，或 ．
故答案为：3或4或6．
15．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设笔款是 元，根据现金多了273.6元列方程即可．
【详解】解：设笔款是 元，则现在数量为 （元），
由题意可得， ，
解得 ，
答：这笔款是 元，
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设 ，则 ，根据题中所给方法列出方程即可求
解，读懂题意是解题的关键．
【详解】解：设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
11
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
17．370
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据两次相遇两人的路程之和间的关系，可得出第二次相遇的时间是第一次相遇的时间的3倍，设这个圆
形跑道的周长是x米，利用第二次相遇两人的路程之和为一个半圆形跑道的周长，可列出关于x的一元一
次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵第一次相遇，两人的路程之和为半个圆形跑道的周长，第二次相遇，两人的路程之和为一
个半圆形跑道的周长，
∴第二次相遇的时间是第一次相遇的时间的3倍．
设这个圆形跑道的周长是x米，
根据题意得： ，
解得： ，
∴这个圆形跑道的周长是370米．
故答案为：370．
18．
【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水
瓶中水的体积为 右边一个圆柱形水瓶中水的体积为 ，然后再根据两个水
瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键．
【详解】解：∵大量筒的直径为 ，大量筒中水面的高为 ，
∴大量筒中水的体积为：
∵小量筒的直径为 ，小量筒中水面的高为
∴小量筒的体积为： ，
12
学科网（北京）股份有限公司∵大小两个量筒中的水量相同，
，
故答案为： ．
19．(1)x
(2)y
【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；
（2）去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，两题有一定的难度．
（1）先利用分数的基本性质把分子分母的小数化为整数，再去分母化为系数为整数的方程，再去括号、
移项、合并同类项即可求解；
（2）利用乘法分配律可化为 ，再计算
13
学科网（北京）股份有限公司的值；由于每一个分数可拆成分母相邻的两个分数的差，最后即可求得 的值，
从而求解方程．
【详解】（1）解：原方程可化为： ，
去分母得： ，
整理得： ，
解得： ；
（2）解：原式可化为：
而
，
即 ，
解得： ．
21．(1) ，
(2)换元思想（整体思想）
(3)
【分析】本题通过代换法的应用以及解一元一次方程，掌握换元思想是解题关键．
（1）解出方程得到 的值，进而得到 的值即可；
（2）解题方法用到了换元思想；
（3）设 ，将原方程换成 的方程，解出方程得到 的值，进而得到 的值即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
14
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，解得x=−1，
故答案为： ， ．
（2）上述解法用到的数学思想为换元思想或者整体思想．
故答案为：换元思想（整体思想）．
（3）设 ，原方程变形为： ，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ．
22．(1)
(2)
(3) 或 ．
【分析】(1)根据题意解方程再把方程的解代入到 求出 即可；
（2）把 当作已知数解方程，用含 的表达式表示 ，再根据方程有整数解求 即可；
（3）把 当成已知数，用含 的表达式表示 ，再根据两方程同解列方程求 即可；
【详解】（1）解：
，
把 代入 ，得 ，
解得
（2）解：
15
学科网（北京）股份有限公司解得：
∵关于 的方程 有整数解，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴ ；
（3）解关于x的两个方程 与
得 ， ，
∵关于x的两个方程 与 是同解方程，
∴ ，
∴ ，
，
∵ 是正整数，
∴ 或 ．
【点睛】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数，掌握方程的解的定义以及解
一元一次方程是解题的关键．
23．(1) 元； 元
(2)在甲商店购买较省钱，见解析
(3)小明现有30元，最多可买43本练习本
【分析】本题考查了列代数式，涉及到解一元一次方程，关键是解方程时不能出错，最后的结果要取整数．
（1）根据题意，分别列出在甲乙两个商店购买本子的费用的代数式；
（2）购买25本练习本，分别把 代入表示甲、乙两个商店的费用的代数式，即可得到结果；
（3）现有30元钱，得到两个方程，分别解方程，即可得到结果．
【详解】（1）解：根据题意，
16
学科网（北京）股份有限公司在甲商店购买需花费： （元 ，
在乙商店购买需花费： （元 ，
答：在甲、乙两商店购买本子的费用分别为： 元； 元．
（2）解：要买25本练习本，
在甲商店需花费： （元 ，
在乙商店需花费： （元 ，
，
在甲商店购买较省钱；
（3）解：小明现有30元，
①若在甲商店购买本子，可得到： ，
即 ，
解得： ，
故在甲店最多可购买43本，
②若在乙店购买本子，可得到： ，
解得： ，
故在乙店最多可购买37本，
小明现有30元，最多可买43本练习本．
24．(1) 元
(2) 元
(3)当 时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当 时，甲、乙两用户一个月共
缴纳的水费为 元
【分析】(1) 根据费用= ，列式计算即可．
(2)根据题意，得，费用= ，得出的结论．
(3) 分 和 ，两种情况计算即可．
本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，当 时，每 费用为 元，当 时，每 费用为 元，
17
学科网（北京）股份有限公司故本月总费用为： （元）．
故该用户4月份应缴纳的水费为 元．
（2）解：根据题意，得 ， ，
故不超过12 的部分费用为： （元）；
超过12 但不超过20 的部分费用为： （元）；
超过20 的部分费用为： （元），
故该户应缴纳的水费为： (元)．
答：应交电费 元．
（3）解：根据题意，得 ，且 元，
根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x ，
故 ；
当 时，甲户用水量超过12 但不超过20 ，乙户用水量不少于12 但少于20 ，
所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
（元）．
当 时，甲的用水量超过20 乙的用水量不超过12 ，
所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
元．
综上所述，当 时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当 时，甲、乙两用户
一个月共缴纳的水费为 元．
18
学科网（北京）股份有限公司19
学科网（北京）股份有限公司
