一元二次方程
一、本章知识结构框图
实际问题 设未知数，列方程 数学问题
ax 2bx c 0 ( a 0 )
开平方法
解
配方法
降
方
次
程
公式法
分解因式法
数学问题的解
实际问题的答案
2
检 验 b b 4 ac
x
2 a
二、具体内容
（一）、一元二次方程的概念
1．理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形
式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
（1）明确只有当二次项系数 0 时，整式方程 ax 2 bx c 0 才是一元二次方程。
a
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).
（3）熟练整理方程的过程
3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解
4．列出实际问题的一元二次方程
（二）、一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方
法、公式法、因式分解法等方法 为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一
元二次方程；
3．体会不同解法的相互的联系；
1 /4．值得注意的几个问题：
(1)开平方法：对于形如 x 2 n 或 ( ax b n ( a 0 ) 的一元二次方程，即一元二次方程的
2
)
一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.
形如 x n 的方程的解法：
2
当 n 0 时， x n ;
当 n 0 时， x 0 ;
x 1 2
当 n 0 时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 ( x m ) n 的方程，再运用开平方
2
法求解。 配方法的
一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 ( x m ) n 的形式；
2
④求解：若 n 0 时，方程的解为 x m n ，若 n 0 时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程 ax 2 bx c 0 ( a 0 ) 的根 x b b 24 ac
2 a
当 b 2 4 0 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；
ac
当 b 2 4 b
ac 0 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为 x x
1
2
当 b 2 4
0 时，方程无实数根.
ac
2 / ； 2 a
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 a , b , c 的值；③代入 b 2 4 ac
中
计算其值，判断方程是否有实数根；④若 b 2 4 0 代入求根公式求值，否则，原方程无
ac
实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也
包 括不完全的一元二次方程。）
（4）因式分解法：
3 /①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一
个为 0，即：若 0 ，则 a 0 或 b 0 ；
ab
②因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程
的左边分解因式；令每一个因 式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方
程的解可得到原方程的两个解。
（5）选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只
不 过应注意二次根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。
（6）解含有字母系数的方程
（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方
法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
（三）、根的判别式 1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并
会用判别式求一元二 次方程中符合题意的参数取值范围。
（1） = b 2 4 ac
（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程 ax 2 bx c 0 （ 0 ）
a
a
0
①当 方程有实数根；
0
时
a
a 0
（当
0 方程有两个不相等的实数根；当
方程有两个相等的实
0 0时
时
数根；）
a
0
②当 方程无实数根；
0
时
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
2．常见的问题类型
（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况
（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围
（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况
①先计算出判别式（关键步骤）；
②用配方法将判别式恒等变形；
③判断判别式的符号；
④总结出结论.
例：求证：方程 ( a 2 1) x 2 2 ax ( a 2 4 ) 0 无实数根。
3 /（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，
那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次
项系数不为 0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。
（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解
答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧
（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合
（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题
（四）、一元二次方程的应用
1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方
程，对结果要结合几何知识检验。 3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化
前的基数（ a ），增长率（ x ），变
化的次数（ n ），变化后的基数（ b ）,这四者之间的关系可以用公式 a (1 x ) n b 表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。
（五）新题型与代几综合题
（1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的
北面有一堵 50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有
400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？
（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流
数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三， 个位平方与寿符，哪位学
子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）
4 /(3)已知： a , b , 分别是 A B 的 三 边 长 ， 当 m 时，关于 x 的 一 元 二 次 方
c C 0 程
2
c ( x 2 m ) b ( x m ) 2 m ax 0 有两个相等的实数根，求证： 是直角三角形。
ABC
（4）已知：a , b , c 分别是 的三边长，求证：方程 b 2 x 2 (b 2 c 2 a 2 ) x 0 没
ABC 2
c
有实数根。
（5）当 m 是 什 么 整 数 时 ， 关 于 x 的 一 元 二 次 方 mx 24 x 4 0 与
程
x 2 4 mx 4 m 4 m 5 0 的根都是整数？（ 1 ）
2 m
（6）已知关于 x 的方程 x 2 2 x m 21
0 ，其中 m 为实数，（1）当 m 为何值
2
x 2 x 2 m
时，方程没有实数根？（2）当 m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三
个 实数根。
答案：（1） m 2 （2） x 1, 1 2 .
（六）相关练习
（一） 一元二次方程的概念
1．一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，
再写出二次项，一次项，常数项：
（1）
5 x 22 3 x (5 x 2, 3 x , 2 )
5 /
2 2（2）
2 6 x 15 x 0 ( 6 x ,15 x , 2 )
（3） 3 y ( y 1) 7 ( y 2 )
(3 y 2, 4 y , 9 )
5
6 /（4） ( m m )( m m ) ( m 2 2 ) 7 5 ( 2 m 2 ,0 ,
（5） (5 a
4 ( a 3 ) (3 a , 2 a , 5 )
2
1) 2 2
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) m 为 何 值 时 ， 关 于 x 的 方 2 是 一 元 二 次 方 程
2 ) x m ( m 3 ) x 4
程 ( m m 。
（ m 2 ）
x
（2）若分式 27 x 8 0 ，则 x （ x 8 ）
x 1
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
(1) 关 于 x 的 一 元 二 次 方 ( a 1) x 2 x a 1 0 有 一 个 根 为 0 ， 则 a
程
（ a 1 ）
(2)已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 ( a 0 ) 有一个根为 1，一个根为 1 ，则
a b c ，a b c （0，0）
（3）已知 c 为实数，并且关于 x 的一元二次方程 x 2 3 x c 0 的一个根的相反数是方程
x 3 x c 0 的一个根，求方程 3 x c 0 的根及 c 的值。 （0，-3，
2
2
x c=0）
7 /（二）一元二次方程的解法
1．开平方法解下列方程：
（ 1 ） 5 x 2 125 （ 5 , x ） （ 2 ） 169 ( x 3 ) 2 289
0 5
x
1 2
56
22
（ x , x ）
1 13 2
13
（3） y 2 0 （原方程无实根） （4） (1 3 ) m 20 （ m m 0 ）
361 1 2
2 ( 3 x 1 2 5
（5） 1) （ x ）
2
8 3
5
2．配方法解方程：
（1） x 2 2 x 5 5 21
（ x 1 6 ） （2） y 2 5 y 1 （ x ）
0
0 2
（3） 2 y 2 4 y 10
（ y 1 ）
3
2
8 /3．公式法解下列方程：
9 /（1）3 x 3 3
2 6 x 2 （ x ） （2）p 2 3 2 3 （ p p 3 ）
3 p
（3） 7 y 2 11 11
y （ y , y 0 ） （4）9 n 5 n （原方程无实数根）
1 7 2 2 2
（5） x 2 ( x 2 )( 2 x 1) 3 15
（ x ）
3
2
4．因式分解法解下列方程：
1
2 2
（ 1 ） x 9 0 （ x 6 ） （ 2 ） 4 y 45 0
4
y
（ y 9 , y 5 ）
1 2
（3） 8 x 2 10 x 3 1 3
0 （ x , x ） （ 4 7 x 2 21 x 0
1 4 2 2 ）
（ x 0 , x 3 ）
1 2
10
1（5） 6 x 2 3 2
3 3 x 2 x 6 （ x , x ） （ 6 ） ( x 5 2 ( x 5 ) 1
2 2 2 ) 2
3 1 2
11（ x x 6 ）
1 2
（7） ( x 2 3 x ) 2 2 ( x 2 3 ) 8 0 （ 2 , x 1, x 4 , x 1 ）
x 1
2 3 4
5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：
7
（ 1 2 ( 2 x 7 ) 2 12 （ x 2 ） （ 2 ） 2 m m 2 1 2 ( m 2 2 m ) 2
） 8 2
2 6
（ m ）
2
（3） 6 x ( x 2 ) ( x 2 )( x 3
3 ) （ x 2 , x ）
1 2 5
（4） y 2 3 y ( 3 2 y ) y ( 1 3 ) y （ y 3 , y 2 ）
3 2
3 2 2
1
（5） 81 ( 2 x 5 27 3
) 2 14 ( x 3 ) 2 （ x , x 2 ）
4 1 10 2
126．解含有字母系数的方程（解关于 x 的方程）：
13（1） x 2 2 m 2 n 2 0 ( x m n , x m n )
mx
1
2
（2） x 2 3 a 4 ax 2 a 1 （ 3 a 1, x a 1 ）
2
x
1 2
（3） ( m n ) x 2 2 m n
nx m n （ m n 0 ） （ 1, x ）
x 2 m n
1
（4） a 2 ( x 2 x 1) a ( x 2 1) ( a 2 1) （讨论 a）
x
（三）一元二次方程的根的判别式
1．不解方程判别方程根的情况：
（1）4 x 2 x 3 7 x （有两个不等的实数根） （2） 3 ( x 2 2 ) （无实数根）
4 x
（3） 4 x 2 5 4 5 （有两个相等的实数根）
x
2． k 为何值时，关于 x 的二次方程 kx 2 6 x 9 （1）有两个不等的实数根 （ k 1且 k
0
10 /0 ）
（2）有两个相等的实数根 （ 1 ）
k 1 ）
（3）无实数根 （
k
10 /3．已知关于ｘ的方程 4 x 2 ( m 2 ) x 1 m 有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程
的根．
1
( m 2 , x x 或
2
1 2
3
m 10 , x x )
1 2 2
4．若方程 x 2 2 ( a 1) x a 2 4 a 5 0 有实数根，求：正整数 a. （ a 1, a 2 ,
a 3 ）
5．对任意实数 m，求证：关于 x 的方程 ( m 2 1) x 2 m 4 0 无实数根.
2
2 mx
6． k 为何值时，方程 ( k 1) x 2 ( 2 k 3 ) x ( k 3 ) 0 有实数根.
11 /4
（当 k 1 0 时，原方程有一个实数根， x ；
5
k
k 1 21
1
0 21 ，所以当 k 且 k 1 时方程有两个实数根。
当 时，解得
k 4
4
0
21
综上所述，当 k 时，方程有实数根.）
4
12 /7．设 m 为整数，且 4 m 时，方程 x 2 2 ( 2 m 3 ) x 4 m 2 14 m 8 0 有两个相异
40
整数根，求 m 的值及方程的根。（当 m =12 时，方程的根 16 , x 2 ；当 m =24 时，
为 x 1 6
2
方程的根为 x 38 , x 252 ）
1
（四）一元二次方程的应用
1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.（3，4，5，面积为 6）
13 /2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少 4，且个位数字与十位数字的平方和比这
个两位数小 4，求这个两位数.（84）
3．某印刷厂在四年中共印刷 1997 万册书，已知第一年印刷了 342 万册，第二年印刷了
500
万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？ (550, 605)
4．某人把 5000 元存入银行，定期一年到期后取出 300 元，将剩余部分（包括利息）继续
存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是 275 元，求存款的年利
率？（不计利息税） （10℅）
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售增
加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1
元，商场每天可多售 出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
14 /（20 元）
6．已知甲乙两人分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 同时出发，甲由 C 向 D 运动，乙由
B
向 C 运动，甲的速度为每分钟 1 千米，乙的速度每分钟 2 千米，若正方形广场周长为 40
千
米，问几分钟后，两人相距 10 千米？ (2 分钟后)
2
7．某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款 200 万元资金，用于生产这种产品，签订
的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的 8%,该产品投放市场后由于产销对
路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余 72 万元,若该公司在生产期间
每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数. (20%)
15 /北
8．如图，东西和南北向两条街道交于 O 点，甲沿东西道由西向东走， B
速度是每秒 4 米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒 3 米，当乙通
过 O 点又继续前进 50 米时，甲刚好通过 O 点，求这两人在相距 85 米 A O
东
时，每个人的位置。（甲离 O84 米，乙离 O13 米） A
B
9．已知关于 x 的方程 ( n 1) x 2 1 0 ①有两个相等的实数根.
mx
(1)求证：关于 y 的方程 m 2 y 2 2 m 2 2 n 3 0 ②必有两个相等的实数根。
my
(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式 m 2 n 12 n 的值。（14）
k
10．一次函数 y x 6 和反比例函数 y ，（1）k 满足什么条件时，这两个函数在同
x
一坐标系中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个公共点为 A、B， 是锐角还是
AOB
钝角？（ 9 且 0 ；钝角）
k k
16 /
