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专题 01 一元二次方程定义、解法、根与系数的关系之八大题型
一元二次方程的定义
例题：（2023上·广西柳州·九年级校考期末）下列式子是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·河南许昌·九年级统考期末）若关于 的一元二次方程 的常数
项为0，则 的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．0
2．（2023下·江苏·八年级统考期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m
的值是（ ）
A． B． C． D．
一元二次方程的一般形式
例题：（2023下·浙江·八年级统考期末）把一元二次方程 化成一般形式，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】1．（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数
和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河北邢台·九年级统考期末）一元二次方程 化成一般形式后，一次项系数是
1，常数项是（ ）
A．2 B． C． D．3
一元二次方程的解
例题：（2023上·云南红河·九年级统考期末）若 是方程 的一个根，则m的值是
（ ）
A．16 B． C． D．10
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如果关于 的一元二次方程 的一个解是
，则代数式 的值为（ ）
A． B．2021 C． D．2025
2．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期末）关于 的一元二次方程
有一根为 ，则 ．
3．（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）如果 是关于x的方程 的一个根，则
．
一元二次方程的解法
例题：（2023下·福建福州·八年级校考期末）解方程：(1) ； (2) ．
【变式训练】
1．（2023上·云南红河·九年级统考期末）解方程：
(1) ； (2) ．
2．（2023下·陕西西安·八年级校考期末）解一元二次方程：
(1) （配方法）； (2) （公式法）．
根据判别式判断一元二次方程的根的情况
例题：（2023下·山东烟台·八年级统考期末）关于 的一元二次方程 的根的情况为
（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【变式训练】
1．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）关于x的方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2023上·河南周口·九年级统考期末）已知a，b，c为常数，点 在第四象限，则关于x的
一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判定
根据一元二次方程根的情况求参数
例题：（2023上·江苏常州·九年级统考期末）若一元二次方程 有两个不相等的实
数根，则k的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（2023上·上海杨浦·八年级统考期末）关于 的方程 有实数根，则 的取值
范围是 ．
2．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）已知关于x的一元二次方程
有实数根，则m的取值范围是 ．
一元二次方程的根与系数的关系
例题：（2023上·四川泸州·九年级校考期末）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，
则 的值为 ．
【变式训练】
1．（2023下·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）已知m，n是方程 的两根，则
的值为 ．
2．（2023下·山东威海·八年级校联考期末）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则
的值为判别式和根与系数的关系综合问题
例题：（2023上·湖南张家界·九年级统考期末）已知关于 的一元二次方程
．
(1)若方程有实数根，求实数 的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求实数 的值．
【变式训练】
1．（2023下·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
(1)求实数 的取值范围；
(2)设方程两个实数根分别为 ， ，且满足 ，求 的值．
2．（2023上·湖南怀化·九年级统考期末）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根．
(1)求 的取值范围．
(2)若方程的两个实数根为 和 ， ，求 的值．一、单选题
1．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）一元二次方程 化为一般形式后，常数项
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·上海杨浦·八年级统考期末）如果 是方程 的根，那么 的值是
（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2019上·山东菏泽·九年级阶段练习）关于 的一元二次方程 的一个根是 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
4．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）如果方程 是关于x的一元二次方程，
那么m的值为（ ）
A． B．3 C． D．不存在
5．（2023下·北京平谷·八年级统考期末）已知关于 的方程 有两个不等实数根，
则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
二、填空题
6．（2023下·福建莆田·八年级校考期末）一元二次方程 一次项系数为 ．
7．（2023上·云南保山·九年级统考期末）如果关于x的方程 是一元二次方程，
则m的值是 ．
8．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）若 和 是一元二次方程 的两个实数根，则
．
9．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）若a是关于x一元二次方程 的一个实数
根，则 的值是 ．10．（2023上·湖南永州·九年级统考期末）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程
的根，则三角形的周长＝ ．
三、解答题
11．（2023下·山东威海·八年级统考期末）用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
12．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）解下列方程：
(1) ；(公式法) (2) ；(配方法)
(3) ； (4) ．
13．（2023上·广西防城港·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是 ，求m的值及方程的另一个根．
14．（2023上·广东广州·九年级校考期末）已知关于 的一元二次方程 有实
数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，求 的值．15．（2023上·江西宜春·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程 有
实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，求a的值．
