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专题 01 一元二次方程定义、解法、根与系数的关系之八大题型
一元二次方程的定义
例题：（2023上·广西柳州·九年级校考期末）下列式子是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 不是等式，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、 不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、 是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、 是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整
式方程是一元二次方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南许昌·九年级统考期末）若关于 的一元二次方程 的常数
项为0，则 的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义及常数项为0得出 ，进行计算即可得出答案．【详解】解： 关于 的一元二次方程 的常数项为0，
，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，经过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最
高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，熟练掌握此定义是解题的关键．
2．（2023下·江苏·八年级统考期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得： ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是
2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
一元二次方程的一般形式
例题：（2023下·浙江·八年级统考期末）把一元二次方程 化成一般形式，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的一般形式为 求解即可．【详解】解：由 得： ，则 ，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式结构特征是解答的
关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数
和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ，
由此即可完成解答．
【详解】解：一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的各项系数，理解一元二次方程的概念是解题的关键．
2．（2023上·河北邢台·九年级统考期末）一元二次方程 化成一般形式后，一次项系数是
1，常数项是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】首先移项把3移到等号左边，然后再确定常数项．
【详解】解： ，
移项，得 ，
即一元二次方程 化成一般式后，一次项系数是1，常数项是 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于 的一元二次方程经
过整理，都能化成如下形式 ．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中
叫做二次项， 叫做二次项系数； 叫做一次项； 叫做常数项．一元二次方程的解
例题：（2023上·云南红河·九年级统考期末）若 是方程 的一个根，则m的值是
（ ）
A．16 B． C． D．10
【答案】A
【分析】将 代入方程，求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
解得： ；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．解题的关键是掌握方程的解是使方程成立的未知数的值．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如果关于 的一元二次方程 的一个解是
，则代数式 的值为（ ）
A． B．2021 C． D．2025
【答案】D
【分析】根据一元二次方程 的一个解是 ，得到 即 ，代入计
算即可．
【详解】∵一元二次方程 的一个解是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期末）关于 的一元二次方程
有一根为 ，则 ．
【答案】【分析】将 代入 中求得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定符
合题意的m的值即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有一根为 ，
， ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解及其定义，特别注意二次项系数不能为0．
3．（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）如果 是关于x的方程 的一个根，则
．
【答案】0或1/1或0
【分析】把 代入已知方程，列出关于 的新方程，通过解新方程求得 的值即可．
【详解】解：把 代入 ，得
，
解得： 或 ，
故答案为：0或1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程．
一元二次方程的解法
例题：（2023下·福建福州·八年级校考期末）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)方程没有实数根
(2)
【分析】对于（1），根据配方法解该方程；
对于（2），先提出公因式 得到因式乘积的形式，即可得出答案．
【详解】（1）解：移项，两边都加上4，得 ，配方，得 ，
∴方程没有实数根；
（2）提公因式，得 ，
即 ，
∴ 或 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根据题目的特点选择不同的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·云南红河·九年级统考期末）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用求根公式直接求解即可得到答案；
（2）利用因式分解法求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：原方程变形得，
，
因式分解得，
，∴ ， ；
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解．
2．（2023下·陕西西安·八年级校考期末）解一元二次方程：
(1) （配方法）； (2) （公式法）．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）以移项，再配方，开方，最后求解即可；
（2）先确定a、b、c的值，再求出根的判别式，最后将a、b、c的值代入求根公式即可求解．
【详解】（1）解： ，
移项，得： ，
配方，得： ，即 ，
开方，得： 或 ，
解得： ， ；
（2）解： ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了用配方法和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握完全平方公式，以及求根公式 ．
根据判别式判断一元二次方程的根的情况
例题：（2023下·山东烟台·八年级统考期末）关于 的一元二次方程 的根的情况为
（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】先计算出一元二次方程根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即
可．
【详解】解：∵ ，
方程无实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式：一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等
的实数根；当 时，方程无实数根．
【变式训练】
1．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）关于x的方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】先计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况即可.
【详解】解：∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B.
【点睛】本题主要考查根的判别式，要熟练掌握各种情况，准确判断根的个数.2．（2023上·河南周口·九年级统考期末）已知a，b，c为常数，点 在第四象限，则关于x的
一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【答案】B
【分析】根据点 在第四象限得 ，可得 ，则方程 的判别式
，即可得．
【详解】解：∵点 在第四象限，
∴ ，
∴ ，
∴方程 的判别式 ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点．
根据一元二次方程根的情况求参数
例题：（2023上·江苏常州·九年级统考期末）若一元二次方程 有两个不相等的实
数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，计算出根的判别式大于0，即可求得k值．
【详解】解：方程 ，
这里 ，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
【变式训练】1．（2023上·上海杨浦·八年级统考期末）关于 的方程 有实数根，则 的取值
范围是 ．
【答案】任意实数
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：方程 整理得 ，
∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
∴ 的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，
若 ，则方程没有实数根．
2．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）已知关于x的一元二次方程
有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】由题意得根的判别式大于等于0，即可得到关于m的不等式，同时结合二次项不为0，即
可得到结果．
【详解】解：由题意，得： 且 ，
解得： 且 ；
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键．
一元二次方程的根与系数的关系
例题：（2023上·四川泸州·九年级校考期末）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系、一元二次方程解的概念，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握 ．
【变式训练】
1．（2023下·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）已知m，n是方程 的两根，则
的值为 ．
【答案】4
【分析】先根据根与系数的关系得到 ，再把 展开整理得到
，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得 ，
所以
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根时，
．2．（2023下·山东威海·八年级校联考期末）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则
的值为
【答案】6
【分析】根据题意整理代数式 ，由于 ， 是一元二次方程的根，
则 ， ．
【详解】解：整理得： ，
， 是一元二次方程 的两根，
， ，
代入原式得：
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练
掌握一元二次方程根与系数的关系解题的关键．
判别式和根与系数的关系综合问题
例题：（2023上·湖南张家界·九年级统考期末）已知关于 的一元二次方程
．
(1)若方程有实数根，求实数 的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根的判别式得出 ，求出不等式的解集即可；
（2）将 转化为 ，再代入计算即可解答．
【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有实数根，，
解得： ，
即 的取值范围是 ；
（2） ， ，
，
，
，即 ，
解得 或 ．
；
．
故 的值为2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢
记“当 时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 、 ，找
出关于 的一元二次方程．
【变式训练】
1．（2023下·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
(1)求实数 的取值范围；
(2)设方程两个实数根分别为 ， ，且满足 ，求 的值．
【答案】(1) 且 ；
(2) ．
【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于 的不等式，则可求得 的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，用 表示出 和 的值，由条件可得到关于 的方程，则可求得 的值．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
且 ，即 且 ，
解得 且 ；
（2）解：由根与系数的关系可得 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
由（1）可知 且 ，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的
个数与根的判别式的关系是解题的关键．
2．（2023上·湖南怀化·九年级统考期末）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根．
(1)求 的取值范围．
(2)若方程的两个实数根为 和 ， ，求 的值．
【答案】(1) 且
(2)
【分析】（1）根据根的判别式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 有两个实数根，
∴ ， ，
即 ， ，解得 且 ；
（2）解：根据题意，得 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
经检验得， 是分式方程的解，且符合题意；
是分式方程的解，但不符合题意．
故 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的概念，根的判别式，根与系数关系等知识，掌握以上知识是
解题的关键．
一、单选题
1．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）一元二次方程 化为一般形式后，常数项
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程化为一般形式后，找出常数项即可．
【详解】解：方程整理得： ，
则常数项为 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为： 为常数且
．
2．（2023上·上海杨浦·八年级统考期末）如果 是方程 的根，那么 的值是
（ ）A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程的解的定义，将 代入方程 并求解即可获得答案．
【详解】解：将 代入方程 ，
可得 ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解以及解一元一次方程，解题关键是理解方程的解即为能使方程左
右两边相等的未知数的值．
3．（2019上·山东菏泽·九年级阶段练习）关于 的一元二次方程 的一个根是 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】由一元二次方程的定义，可知 ；一根是 ，代入 可得
的值可求．
【详解】解： 是关于 的一元二次方程， ，即
由一个根是 ，代入 ，可得 ，解之得 ；
由 得
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为 ．解题时须注意，
此为易错点．否则选C就错了．
4．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）如果方程 是关于x的一元二次方程，
那么m的值为（ ）
A． B．3 C． D．不存在【答案】C
【分析】利用一元二次方程定义可得 ，且 ，再解出m的值即可．
【详解】由题意得： ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有
一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
5．（2023下·北京平谷·八年级统考期末）已知关于 的方程 有两个不等实数根，
则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】根据方程有两个不相等的实数根列出关于 的不等式组，求出 的取值范围即可．
【详解】解： 关于 的方程 有两个不等实数根，
，
解得 且 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程 的根与
的关系是解答此题的关键．
二、填空题
6．（2023下·福建莆田·八年级校考期末）一元二次方程 一次项系数为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【详解】解：一元二次方程 的一次项系数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找项的系数时带着前面的符号．7．（2023上·云南保山·九年级统考期末）如果关于x的方程 是一元二次方程，
则m的值是 ．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的定义，得到 ， ，求解即可得出m的值．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程，
，
或 ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的定义：只有一个未知数
且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ，特别要
注意 的条件．
8．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）若 和 是一元二次方程 的两个实数根，则
．
【答案】8
【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出 ， ，求出 ，
再代入求出即可．
【详解】解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系和求代数式的值等知识点，能求出
和 是解此题的关键．
9．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）若a是关于x一元二次方程 的一个实数
根，则 的值是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根的定义，可得 ，从而得到
，即可求解．
【详解】解：∵a是关于x一元二次方程 的一个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数
的值是方程的解是解题的关键．
10．（2023上·湖南永州·九年级统考期末）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程
的根，则三角形的周长＝ ．
【答案】11
【分析】根据三角形的三边关系以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解： ，
或 ，
当 时，
，
能组成三角形，
三角形的周长为 ，
当 时，
，不能组成三角形，
故答案为：11．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
三、解答题
11．（2023下·山东威海·八年级统考期末）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解即可；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
移项得， ，
提公因式，得， ，
∴ ；
（2）解： ，
， ， ，
∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题
的关键．
12．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）解下列方程：
(1) ；(公式法)
(2) ；(配方法)
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) ，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据公式法解一元二次方程；
（4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解： ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ；
（2）解： ，
，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（3）解： ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ；
（4）解： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
13．（2023上·广西防城港·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是 ，求m的值及方程的另一个根．
【答案】(1) 且
(2) ，【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）把 代入方程，可求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴ ，即 ，
解得： ，
又∵ ，
∴m的取值范围是 且 ．
（2）解：把 代入方程得： ，
解得： ．
∴原方程为 ，
设方程的另一个根为a，
∵方程有一个根是 ，
∴ ，
解得： ，
即方程的另一个根为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌
握相关知识点是解题的关键．
14．（2023上·广东广州·九年级校考期末）已知关于 的一元二次方程 有实
数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，求 的值．
【答案】(1) 的取值范围为： 且
(2) 或
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出 的范围即可；（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出 的
值．
【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
，即 ，
整理得： ，
解得： ，
，
的取值范围为： 且 ；
（2）解： 该方程的两个实数根分别为 ，
， ，
，
，
即 ，
整理得： ，
解得： ， ，
的值为 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本
题的关键．
15．（2023上·江西宜春·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程 有
实数根．
(1)求a的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，求a的值．
【答案】(1) ；
(2)a的值为1．
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围即可；
（2）用两根的和与两根的积表示已知等式，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出
a的值．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，即 ，
整理得： ，
解得： ；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，即 ，
解得： (舍去)或 ，
则a的值为1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次
方程的相关知识并灵活应用是解题的关键．
