人教版九年级数学上册教案：21.2.3公式法_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_04教案（多套）_教案2（赠送）

21.2.3 公式法 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元 二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的 推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 （老师点评） （1）移项，得：6x2-7x=-1 7 1 二次项系数化为1，得：x2- x=- 6 6 7 7 1 7 配方，得：x2- x+（ ）2=- +（ ）2 6 12 6 12 7 25 （x- ）2= 12 144 7 5 5 7 75 x- =± x = + = =1 1 12 12 12 12 12 5 7 75 1 x =- + = = 2 12 12 12 6 （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解． 二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出 它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 1问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x =b b2 4ac ，x = 1 2 2a b b2 4ac 2a 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据 上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax2+bx=-c b c 二次项系数化为1，得x2+ x=- a a b b c b 配方，得：x2+ x+（ ）2=- +（ ）2 a 2a a 2a 即（x+ b ）2=b2 4ac 2a 4a2 ∵b2-4ac≥0且4a2>0 ∴b2 4ac ≥0 4a2 直接开平方，得：x+ b =± b2 4ac 2a 2a 即x=b b2 4ac 2a ∴x =b b2 4ac ，x =b b2 4ac 1 2 2a 2a 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、 b、c代入式子x=b b2 4ac 就得到方程的根． 2a （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0 2x=(4) 24 42 6 2 6   22 4 2 ∴x =2 6 ，x =2 6 1 2 2 2 （2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0 x=(5) 49 57  23 6 1 x =2，x =- 1 2 3 （3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0 ∴x=(11) 13 11 13  23 6 ∴x =11 13 ，x =11 13 1 2 6 6 （3）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习 教材P 练习1．（1）、（3）、（5） 42 四、应用拓展 例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列问题． xm22 （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: m2 11 m2 10 m10 ① 或② 或③    (m1)(m2)0 m20 m20 解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 3当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x=(1) 9 13  22 4 1 x =，x =- 1 2 2 1 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x =1，x =- ． 1 2 2 （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m2+1=0，m不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 1 解得x=- 3 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当 1 m=-1 时，其一元一次方程的根为x=- ． 3 五、归纳小结 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业 1．教材复习巩固4． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）． A．x=3 6 B．x=3 6 2 2 C．x=32 3 D．x=32 3 2 2 42．方程 x2+4 x+6 =0的根是（ ）． 2 3 2 A．x = ，x = B．x =6，x = 1 2 2 3 1 2 2 C．x =2 ，x = D．x =x =- 1 2 2 2 1 2 6 3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2 二、填空题 1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4． 3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 三、综合提高题 1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0． b c 2．设x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x +x =- ，x ·x = ； 1 2 1 2 a 1 2 a （2）求代数式a（x 3+x 3）+b（x 2+x 2）+c（x +x ）的值． 1 2 1 2 1 2 3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这 个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按 A 每千瓦时 元收费． 100 （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A 表示） （2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？ 答案: 一、1．D 2．D 3．C 二、1．x=b b2 4ac ，b2-4ac≥0 2．4 3．-3 2a 三、1．x=2a 4a2 4b2 4a2 =a±│b│ 2 2．（1）∵x 、x 是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根， 1 2 ∴x =b b2 4ac ，x =b b2 4ac 1 2 2a 2a ∴x +x =b b2 4ac b b2 4ac =- b ， 1 2 2a a 5x ·x =b b2 4ac ·b b2 4ac = c 1 2 2a 2a a （2）∵x ，x 是ax2+bx+c=0的两根，∴ax 2+bx +c=0，ax 2+bx +c=0 1 2 1 1 2 2 原式=ax 3+bx 2+c x +ax 3+bx 2+cx 1 1 1 1 2 2 2 =x （ax 2+bx +c）+x （ax 2+bx +c） 1 1 1 2 2 2 =0 A 1 9 3．（1）超过部分电费=（90-A）· =- A2+ A 100 100 10 A （2）依题意，得：（80-A）· =15，A =30（舍去），A =50 100 1 2 6