24年人教版九上数学知识点总结＋例题_24秋《初中各科知识点梳理》_2024秋《名师总结》知识点789年级全科_24秋《名师总结》知识点九年级全科

2024年人教版九年级上册数学 知识点总结＋例题 第1页第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的 方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 1 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一 次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方 程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典型例题： m 21 1、已知关于 x 的方程（m+ ）x +（m-3）-1=0 是一元二次方程，求 m 的值。 3 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接 开平方。一般地，对于形如 x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得 x = a ,x = a . 1 2 （2）直接开平方法适用于解形如 x2=p 或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果 p≥0，就可 以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方 第2页根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ①移项； ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把 一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，如果 b2-4ac≥0，那么方程的两个 2 b b 4ac 根为 x= ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式， 2a 我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法 叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： 第3页①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般 a 化为正值 ②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； ③求出 b2-4ac 的值； ④若 b2-4ac≥0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若 b2-4ac＜0，则 方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它， 即△=b2-4ac. △＞0，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 一元二次方程 △=0，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式 △＜0，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 21.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求 两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2）因式分解法的详细步骤： 1 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； 2 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和 完全平方公式； 3 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 4 解一元一次方程即可得到原方程的解。 第4页知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如 x2=p 或（mx+n）2=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一 次因式的积的一元二次方程。 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根为 x ,x ,则有 x +x =-p,x x =q. 1 2 1 2 1 2 若一元二次方程 a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x ,x ,则有 x +x = b , x x = c 1 2 1 2 1 2 a a 22.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间 的等量关系。 （2）设：是指设元，也就是设出未知数。 （3）列：列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然 后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4）解：就是解方程，求出未知数的值。 第5页（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6）答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是 100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低后 的等量关系为 a（1 x ）2=b。 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有： ①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量； ③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来，建立一元二次方程。 中考回顾 1.(2017四川绵阳中考)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为( C ) A.-8 B.8 C.16 D.-16 2.(2017新疆中考)已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( A ) A.-3 B.-2 C.3 D.6 3.(2017河南中考)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是( B ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 第6页4.(2017青海西宁中考)若x ,x 是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根,则 x +x 的值是 15. 1 2 2 1 5.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是 m<2 . 21 6.(2017四川成都中考)已知x ,x 是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根,且 =10,则a= 1 2 4 模拟预测 1.方程x2+x-12=0的两个根为( D ) A.x =-2,x =6 B.x =-6,x =2 1 2 1 2 C.x =-3,x =4 D.x =-4,x =3 1 2 1 2 2.对形如(x+m)2=n的方程,下列说法正确的是( C ) A.都可以用直接开平方得x=-m± B.都可以用直接开平方得x=-n± C.当n≥0时,直接开平方得x=-m± D.当n≥0时,直接开平方得x=-n± 3.三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的解,则第三边的长为( A ) A.7 B.3 C.7或3 D.无法确定 4.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均 每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是 ( A ) A.289(1-x)2=256 B.256(1-x)2=289 C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 5.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值等于( ) A.1 B.2 C.1或2 D.0 解析:由常数项为零,知m2-3m+2=0,解之,得m =1,m =2.又二次项系数m-1≠0,所以m≠1.综上可知,m=2.故选B. 1 2 6.若关于x的一元二次方程x2-3x-2a=0有两个实数根,则a可取的最大负整数为 . 解析:由题意可知Δ=9+8a≥0,故a≥- , 所以a可取的最大负整数为-1. 7.已知 x ,x 是关于 x 的一元二次方程 x2-(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根,且满足 x +x =m2,则 m 的值 1 2 1 2 是 . 解析:因为一元二次方程有两个不相等的实数根,所以[-(2m+3)]2-4m2>0,即m>- ;由根与系数的关系可知x +x =2m+3, 1 2 所以2m+3=m2,得m =-1,m =3,故m=3. 1 2 8.某地特产专卖店销售核桃,其进价为40元/千克,如果按60元/千克出售,那么平均每天可售出100kg.后来经过市场调 查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元,请回 答: (1)每千克核桃应降价多少元? (2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售? (1)设每千克核桃应降价x元,根据题意,得 (60-x-40) =2240. 化简,得x2-10x+24=0. 解得x =4,x =6. 1 2 答:每千克核桃应降价4元或6元. (2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元,因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为 60-6=54(元),所以 100%=90%. 答:该店应按原售价的九折出售. 第7页第 22 章 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果 y  ax2 bxc(a,b,c 是常数， a  0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数. 2.二次函数 y  ax2的性质 （1）抛物线 y  ax2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴. （2）函数 y  ax2的图像与 a 的符号关系. ①当 a  0 时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当 a  0 时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y  ax2（a  0）. 3.二次函数 y  ax2 bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线. 4.二次函数 y  ax2 bxc 用配方法可化成： b 4acb2 y  a  xh 2 k 的形式，其中 h   ，k  . 2a 4a 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① y  ax2；② y  ax2 k ；③ y  a  xh 2；④ y  a  xh 2 k ；⑤ y  ax2 bxc . 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a  0 时，开口向上；当 a  0 时，开口向下； 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大。 a a ②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x  h .特别地， y 轴记作直线 x  0 . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的 a 开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法  b  2 4acb2 （1）公式法： y  ax2 bxc  ax   ，  2a 4a 第8页b 4acb2 b ∴顶点是（ ， ），对称轴是直线 x   . 2a 4a 2a （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y  a  xh 2 k 的形式，得到顶 点为( h , k )，对称轴是直线 x  h . （3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线 的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线 y  ax2 bxc 中， a,b,c 的作用 （1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y  ax2中的 a 完全一样. （2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y  ax2 bxc 的对称轴是直线 b b x   ，故：① b  0 时，对称轴为 y 轴；②  0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在 y 轴 2a a b 左侧；③  0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧，“左同右异”. a （3） c 的大小决定抛物线 y  ax2 bxc 与 y 轴交点的位置. 当 x  0 时， y  c ，∴抛物线 y  ax2 bxc 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）： ① c  0 ，抛物线经过原点; ② c  0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c  0 ,与 y 轴交于负半轴. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y  ax2 x  0 （ y 轴） （0,0） 当 时 y  ax2 k a  0 x  0 （ y 轴） (0, k ) 开口向上 y  a  xh 2 x  h ( h ,0) 当 时 y  a  xh 2 k a  0 x  h ( h , k ) 开口向下 b y  ax2 bxc x   b 4acb2 2a ( ， ) 2a 4a 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式： y  ax2 bxc .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式. 第9页（2）顶点式： y  a  xh 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 、 x ，通常选用交点式： y  a  x x  x x . 1 2 1 2 12.直线与抛物线的交点 （1） y 轴与抛物线 y  ax2 bxc 得交点为(0, c ). （2）与 y 轴平行的直线 x  h 与抛物线 y  ax2 bxc 有且只有一个交点( h , ah2 bhc ). （3）抛物线与 轴的交点 x 二次函数 y  ax2 bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 、 x ，是对应一元二次 1 2 方程 ax2 bxc  0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次 方程的根的判别式判定： ①有两个交点   0 抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点（顶点在 x 轴上）   0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点   0 抛物线与 x 轴相离. （4）平行于 轴的直线与抛物线的交点 x 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的 纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax2 bxc  k 的两个实数根. （5）一次函数 y kxn  k 0 的图像 l 与二次函数 y  ax2 bxc  a  0 的图像 G 的交点， y kxn 由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 l 与 G y ax2 bxc 有两个交点; ②方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时 l 与 没有交点. G （6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y  ax2 bxc 与 x 轴两交点为 A  x，0 ，B  x ，0 ，由于 x 、 x 是方程 ax2 bxc  0 的两个根，故 1 2 1 2 b c x  x   ,x x  1 2 a 1 2 a  b 2 4c b2 4ac  AB x x   x x 2   x x 2 4x x       1 2 1 2 1 2 1 2  a a a a 第10页中考回顾 1.(2017天津中考)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移 后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为( A ) A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-1 2.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是( B ) A.abc<0,b2-4ac>0 B.abc>0,b2-4ac>0 C.abc<0,b2-4ac<0 D.abc>0,b2-4ac<0 3.(2017 内蒙古赤峰中考)如果关于 x 的方程 x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m的取 值范围是 m<2 . 4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0), 顶点C的坐标为(1,4). 备用图 (1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式; (2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大 值; (3)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使 BDQ中BD边上的高为2 ,若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理 由. △ 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4. ∵点B(3,0)在该二次函数的图象上, ∴0=a(3-1)2+4,解得:a=-1. ∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3. ∵点D在y轴上,所以可令x=0,解得:y=3. ∴点D的坐标为(0,3). 设直线BD的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1. ∴直线BD的解析式为y=-x+3. （2）设点P的横坐标为m(m>0), 则P(m,-m+3), M(m,-m2+2m+3), PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=- , PM最大值为 (3)如图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD于点H,则QH=2 设Q(x,-x2+2x+3),则G(x,-x+3), QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|. ∵ DOB是等腰直角三角形, ∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°. △ 第11页∴sin∠1= ,∴QG=4. 得|-x2+3x|=4, 当-x2+3x=4时,Δ=9-16<0,方程无实数根. 当-x2+3x=-4时,解得:x =-1,x =4,Q (4,-5),Q (-1,0). 1 2 1 2 模拟预测 1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( D ) A.k<3 B.k<3,且k≠0 C.k≤3 D.k≤3,且k≠0 2.若点M(-2,y ),N(-1,y ),P(8,y )在抛物线y=- x2+2x上,则下列结论正确的是( C ) 1 2 3 A.y 0)的两个实数根x ,x 满足x +x =4和x ·x =3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 1 2 1 2 1 2 有可能是( ) 解析:∵x +x =4,∴- =4. 1 2 ∴二次函数的对称轴为x=- =2. ∵x ·x =3, =3. 1 2 当a>0时,c>0,∴二次函数图象交于y轴的正半轴. 4.小明在用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c 的图象时,列了如下表格: x … -2 -1 0 1 2 … y … -6 -4 -2 -2 -2 … 根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c 在x=3时,y= -4 . 5.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为 k=0或k=-1. 6.抛物线y=-x2+bx+c的图象如图,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位 长度,则平移后的解析式为 . 解析:由题中图象可知,对称轴x=1, 所以 - =1,即b=2. 把点(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3. 故原图象的解析式为 y=-x2+2x+3,即 y=-(x-1)2+4,然后向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,得 第12页y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x. 答案:y=-x2-2x 7.如图①,若抛物线 L 的顶点 A 在抛物线 L 上,抛物线 L 的顶点 B 也在抛物线 L 上(点 A 与点 B 不重 1 2 2 1 合),我们把这样的两抛物线 L ,L 互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条. 1 2 (1)如图②,已知抛物线L :y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D 3 的坐标; (2)请求出以点 D 为顶点的 L 的“友好”抛物线 L 的解析式,并指出 L 与L 中 y 同时随 x增大而增大的 3 4 3 4 自变量的取值范围; (3)若抛物线 y=a (x-m)2+n 的任意一条“友好”抛物线的解析式为 y=a (x-h)2+k,请写出 a 与 a 的关系式, 1 2 1 2 并说明理由. 解:(1)∵抛物线 L :y=2x2-8x+4, 3 ∴y=2(x-2)2-4. ∴顶点为(2,-4),对称轴为 x=2, 设 x=0,则 y=4,∴C(0,4). ∴点 C 关于该抛物线对称轴对称的对称点 D 的坐标为(4,4). (2)∵以点 D(4,4)为顶点的 L 的友好抛物线 L 还过点(2,-4),∴L 的解析式为 3 4 4 y=-2(x-4)2+4.∴L 与 L 中 y 同时随 x 增大而增大的自变量的取值范围是 2≤x≤4. 3 4 (3)a =-a , 1 2 理由如下:∵抛物线 L 的顶点 A 在抛物线 L 上,抛物线 L 的顶点 B 也在抛物线 L 1 2 2 1 上, ∴可以列出两个方程 由①+②,得(a +a )(m-h)2=0,∴a =-a . 1 2 1 2 第13页第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二 旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心 的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改 变，只改变了图形的位置。 知识点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2） 对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。 步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 23.2 中心对称 知识点一 中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么 第14页就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系； 只有一个对称中心；绕对称中心旋转 180°两个图形能够完全重合。 知识点二 作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称 中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。 知识点三 中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心 平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 知识点四 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 知识点五 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点 p（x,y） 关于原点对称点为（-x,-y）。 第15页中考回顾 1.(2017四川绵阳中考)下列图案中,属于轴对称图形的是 ( A ) 2.(2017天津中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是 ( C ) 3.(2017内蒙古呼和浩特中考)图中序号①②③④对应的四个三角形,都是 ABC 这个图形进行了一次变 换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是( :A ) △ A.① B.② C.③ D.④ 解析:∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形, ∴通过轴对称得到的是①.故选 A. 4.(2017西宁中考)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( A ) A.等边三角形 B.平行四边形 C.正六边形 D.圆 5.(2017江苏淮安中考)点P(1,-2)关于 y轴对称的点的坐标是( C ) A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 解析:P(1,-2)关于 y轴对称的点的坐标是(-1,-2),故选 C. 6.(2017四川宜宾中考)如图,在矩形 ABCD中,BC=8,CD=6,将 ABE沿BE折叠,使点 A 恰好落在对角线 BD上的点 F 处,则DE 的长是( C ) △ A.3 B. C.5 D. 解析:∵在矩形 ABCD中,∠BAE=90°, 且由折叠可得 BEF≌ BEA, ∴∠BFE=90°,AE=EF,AB=BF, △ △ 在Rt ABD中,AB=CD=6,BC=AD=8, 根据勾股定理得 BD=10,即 FD=10-6=4, △ 设EF=AE=x,则有 ED=8-x, 根据勾股定理得 x2+42=(8-x)2, 解得x=3,所以 DE=8-3=5,故选C. 7.(2017山东枣庄中考)如图,把正方形纸片ABCD先沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过 点B 折叠纸片,使点 A 落在 MN上的点 F 处,折痕为 BE.若AB 的长为 2,则FM 的长为( B ) A.2 B. C. D.1 第16页解析:∵四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,∴FB=AB=2,BM=1, 则在Rt BMF中,FM= ,故选 B. 8.(2017湖南长沙中考)如图,将正方形 ABCD折叠,使顶点 A 与CD边上的一点H 重合(H 不与端点 C,D △ 重合),折痕交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,边 AB 折叠后与边 BC 交于点 G.设正方形 ABCD 的周长为 m, CHG的周长为 n,则 的值为( B ) △ A. B. C. D.随H 点位置的变化而变化 解析:设 CH=x,DE=y,则 DH= -x,EH=EA= -y,∵∠EHG=90°, ∴ ∠ DHE+ ∠ CHG=90°. ∵∠DHE+∠DEH=90°, ∴∠DEH=∠CHG, 又∵∠D=∠C=90°, DEH∽ CHG, ∴ ,△ 即 △ , ∴CG= ,HG= , CHG的周长 n=CH+CG+HG= , △ 在Rt DEH 中,DH2+DE2=EH2, 即 △ +y2= , 整理得 -x2= , ∴n=CH+HG+CG= . 故 .故选 B. 模拟预测 1.下列标志中,可以看作是中心对称图形的是( D ) 2.下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是( B ) 3.如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B',AB'与DC相交于点E,则下列结论 一定正确的是( ) 第17页A.∠DAB'=∠CAB' B.∠ACD=∠B'CD C.AD=AE D.AE=CE 答案:D 4.如图,把一张长方形纸片对折,折痕为 AB,再以 AB 的中点 O 为顶点把平角∠AOB 三等分,沿平角的三 等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平 后得到的平面图形一定是( D ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 解析:根据第一次对折以及三等分平角可知将 360°进行 6 等分,即多边形的中心角为 60°,由最后的剪切 可知所得图形符合正六边形特征.故选 D. 5.如图,直线l是四边形ABCD的对称轴.若AB=CD,有下面的结论:①AB∥CD;②AC⊥BD;③AO=OC;④ AB⊥BC.其中正确的结论有 .(填序号) 答案:①②③ 6.如图,在四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将 BMN沿MN翻折,得 FMN,若MF∥AD,FN∥ DC,则∠B= 95° △ △ . 解析:∵FN∥DC,∴∠BNF=∠C=70°. ∵MF∥AD,∴∠BMF=∠A=100°. 由翻折知,∠F=∠B. 又∵∠BMF+∠B+∠BNF+∠F=360°, ∴100°+∠B+70°+∠F=360°, ∴∠F=∠B= =95°. 7.如图,在平面直角坐标系中,若 ABC 与 A B C 关于点 E 成中心对称,则对称中心点 E 的坐标是 1 1 1 (3,-1) △ △ 8.在 Rt ABC 中,∠BAC=90°,AB=3,M 为边 BC 上的点,连接 AM(如图).如果 ABM 沿直线 AM 翻折后, 点B 恰好落在边 AC的中点处,那么点 M 到AC的距离是 2 . △ △ 解析:如图,过点 M作 MN⊥AC于N, 第18页由折叠性质可知,∠BAM=∠CAM=45°. ∵点B 恰好落在边 AC的中点处, ∴AC=2AB=6. ∵∠ANM=90°, ∴∠CAM=∠AMN=45°. ∴MN=AN. 由Rt CNM∽Rt CAB,得 , △ △ ∴ . ∴MN=2. 9. ABC在平面直角坐标系中的位置如图. △ (1)作出 ABC关于 y轴对称的 A B C ,并写出 A B C 各顶点的坐标; 1 1 1 1 1 1 (2)将 ABC向右平移 6个单位,作出平移后的 A B C ,并写出 A B C 各顶点的坐标; 2 2 2 2 2 2 △ △ △ (3)观察 A B C 与 A B C ,它们是否关于某直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴. 1 1 1 2 2 2 △ △ △ 解 :(1)△A 1 B 1 C 1 如 △ 图 ,A 1 (0,4),B 1 (2,2),C 1 (1,1).(2) A 2 B 2 C 2 如 图 .A 2 (6,4),B 2 (4,2),C 2 (5,1).(3) A 1 B 1 C 1 与 A 2 B 2 C△2 关于直线x=3对称.如图. △ △ △ 第19页第二十四章 圆 24.1.1 圆 知识点一 圆的定义 圆的定义： 第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所 形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。 第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观 点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二 圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把 圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完 全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二 垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径 为 MD，AB 是弦， 且 CD⊥AB， 垂足为 C 第20页 D垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径 MD 与非直径弦 AB 相交于点 C， CD⊥AB ⌒ ⌒ AC=BC AM=BM ⌒ ⌒ AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不 是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点 弦、弧、圆心角的关系 （1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等， 所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、 弦不一定相等。 24.1.4 圆周角 知识点一 圆周角定理 （1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半。 （2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦 是直径。 第21页（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧” 是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两 类。 知识点二 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接 多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质：(1)圆内接四边形的对角互补。 (2)四个内角的和是 360° (3)圆内接四边形的外角等于其内对角 24.2 点、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。 （2）用数量关系表示：若设⊙O 的半径是 r，点 P 到圆的距离 OP=d，则有： 点 P 在圆外 d＞r；点 p 在圆上 d=r；点 p 在圆内 d＜r。 知识点二 （1）经过在同一条直线上的三个点不能作圆 （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以 作圆，且只能作一个圆。 知识点三 三角形的外接圆与外心 （1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 （2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 知识点四 反证法 （1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正 确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。 第22页（2）反证法的一般步骤： 1 假设命题的结论不成立； 2 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛 盾的结论； 3 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。 24.2.2 直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 （2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设⊙O 的半径是 r，直线 l 与圆心 0 的距离为 d，则有： 直线 l 和⊙O 相交 d ＜ r； 直线 l 和⊙O 相切 d = r； 直线 l 和⊙O 相离 d ＞ r。 知识点二 切线的判定和性质 （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3）切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过 圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 知识点三 切线长定理 （1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这 点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角。 （3）注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度 第23页量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个 是切点。 知识点四 三角形的内切圆和内心 (1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角 形叫做圆的外切三角形。 (2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。 (3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时， 过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。 (4) 直角三角形内切圆半径的求解方法： ①直角三角形直角边为 a.b，斜边为 c，直角三角形内切圆半径为 r. a-r+b-r=c, abc 得 r  。 2 1 1 ab ②根据三角形面积的表示方法： ab= (abc)r, r  . 2 2 abc 24.3 正多边形和圆 知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，顺次连接各 分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二 正多边形的性质 （1）各边相等，各角相等； （2）都是轴对称图形，正 n 边形有 n 条对称轴，每一条对称轴都经过 n 边形的中心。 第24页（3）正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成 2n 个全等的直角三角形。 （4）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都 经过正 n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时，这个正 n 边形也是中心对称 图形，正 n 边形的中心就是对称中心。 (n2)180 360 （5）正 n 边形的每一个内角等于 ，中心角和外角相等，等于 。 n n 24.4 弧长和扇形面积 nR 知识点一 弧长公式 L= 180 在半径为 R 的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长 C=2πR，所以 n°的圆心 n nR 角所对的弧长的计算公式 L= ×2πR= 。 360 180 知识点二 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积 S=πR2，所以圆心角 nR2 为 n°的扇形的面积为 S = 。 扇形 360 比较扇形的弧长公式和面积公式发现： nR2 nR 1 1 1 S =   R  lR,所以s  lR 扇形 360 180 2 2 扇形 2 知识点三 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展 开图是一个扇形。设圆锥的母线长为 ，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 ， l l 1 扇形的弧长为 2πr，因此圆锥的侧面积 s  2rl rl 。圆锥的全面积为 圆锥侧 2 s  s s rl r2。 圆锥全 圆锥侧 底 中考回顾 1.(2017甘肃天水中考)如图,AB是 O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4 , ☉ 则S =( B ) 阴影 A.2π B. π C. π D. π 第25页2\(2017四川中考)如图,AB是 O的直径,且AB 经过弦CD的中点H,已知 ☉ cos ∠CDB= ,BD=5,则OH 的长度为( D ) A. B. C.1 D. 3.(2017甘肃兰州中考)如图,在 O中, ,点 D在 O上,∠CDB=25°, ☉ ☉ 则∠AOB=( B ) A.45° B.50° C.55° D.60° 4.(2017 山东青岛中考)如图,AB 是 O 的直径,点 C,D,E 在 O 上,若∠AED=20°,则∠BCD 的度数为 ☉ ☉ ( B ) A.100° B.110° C.115° D.120° 5.(2017湖北黄冈中考)如图,在 O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为( B ) ☉ A.30° B.35° C.45° D.70° 6.(2017 福建中考)如图,AB 是 O 的直径,C,D是 O 上位于 AB 异侧的两点.下列四个 ☉ ☉ 角中,一定与∠ACD互余的角是( D ) A.∠ADC B.∠ABD C.∠BAC D.∠BAD 7.(2017贵州黔东南州中考)如图, O的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足为 E,∠A=15°,半径 ☉ 为2,则弦 CD的长为( A ) A.2 B.-1 C. D.4 模拟预测 1.如图,点A,B,C 在 O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC 等于( B ) ☉ A.60° B.70° C.120° D.140° 解析:如图,过点A作 O的直径,交 O于点D. ☉ ☉ 在 OAB 中,∵OA=OB, ∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°. △ 同理可得,∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°, ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=140°.故选D. 2.如图,AB 是 O的弦,半径OA=2,∠AOB=120°,则弦AB的长是( B ) ☉ A.2 B.2 C. D.3 3.如图,四边形ABCD内接于 O,F是 上一点,且 ,连接CF并延长交AD 的 ☉ 延长线于点E,连接AC. 第26页若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E 的度数为( B ) A.45° B.50° C.55° D.60° 4.如图, O是 ABC 的外接圆,∠B=60°, O的半径为4,则AC 的长等于( A ) ☉ ☉ A.4 △B.6 C.2 D.8 5.如图,AB是 O 的直径,弦CD 交AB 于点 E,且AE=CD=8,∠BAC= ∠BOD,则 O 的半径 ☉ ☉ 为( B. ) A.4 B.5 C.4D.3 ∵∠BAC= ∠BOD,∴ ,∴AB⊥CD. ∵AE=CD=8,∴DE= CD=4. 设 OD=r,则 OE=AE-r=8-r.在 Rt ODE 中,OD=r,DE=4,OE=8-r. ∵OD2=DE2+OE2,∴r2=42+(8-r)△2,解得 r=5. 6.若 O 的半径为 1,弦 AB= ,弦 AC= ,则∠BAC 的度数 ☉ 为 15°或 75°. 7.如图, ABC 是 O 的内接三角形,点 D 是 的中点,已知∠AOB=98°, ☉ ∠COB=△120°.则∠ABD 的度数是 101°. 8.如图,将三角板的直角顶点放在 O的圆心上,两条直角边分别交 O于A,B ☉ ☉ 两点,点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB.则∠APB为 45°. 9.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限, P与 ☉ x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0), P的半径为 ,则点P的坐标 ☉ 为 (3,2). 10.如图,已知 AB 是 O的直径,AC是弦,过点 O作OD⊥AC 于点 D,连接BC. ☉ (1)求证:OD= BC; (2)若∠BAC=40°,求 的度数. (1)证明 :(证法一)∵AB 是 O 的直径,∴OA=OB. ☉ 又 OD⊥AC,∴∠ODA=∠BCA=90°. ∴OD∥BC.∴AD=CD.∴OD= BC. 第27页(证法二)∵AB 是 O 的直径, ∴∠C=90°,OA= AB. ☉ ∵OD⊥AC,即∠ADO=90°,∴∠C=∠ADO. 又∠A=∠A,∴ ADO∽ ACB. ∴ .∴△OD= B△C. (2)解 :(解法一)∵AB 是 O 的直径,∠A=40°, ☉ ∴∠C=90° ∴ 的度数为:2×(90°+40°)=260°. (解法二)∵AB 是 O 的直径,∠A=40°, ☉ ∴∠C=90°,∴∠B=50°. ∴ 的度数为 100°.∴ 的度数为 260°. 第28页第 25 章 随机事件与概率 25.1.1 随机事件 知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必 然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的 事件称为随机事件。 必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。 知识点二 事件发生的可能性的大小 必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 25.1.2 概率 知识点 概率 一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事 件 A 发生的概率，记作 P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事 m 件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率 P（A）= 。由 m 和 n 的含义可知 0 n m ≤m≤n，因此 0≤ ≤1，因此 0≤P（A）≤1. n 当 A 为必然事件时，P（A）=1；当 A 为不可能事件时，P（A）=0. 25.2 用列举法求概率 知识点一 用列举法求概率 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等， m 事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率 P（A）= 。 n 知识点二 用列表发求概率 当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所 第29页有可能的结果，通常用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件 发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 知识点三 用树形图求概率 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出 所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方 式，并求出概率的方法。 （1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。 （2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务 必相同。 25.3 用频率估计概率 知识点 在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当 我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可 以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。 m 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 稳定于某一个常数 P，那么事 n 件 A 发生的频率 P（A）=p 。 中考回顾 1.(2017新疆中考)下列事件中,是必然事件的是( B ) A.购买一张彩票,中奖 B.通常温度降到 0 ℃以下,纯净的水结冰 C.明天一定是晴天 D.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 2.(2017四川自贡中考)下列成语描述的事件为随机事件的是( B ) A.水涨船高 B.守株待兔 C.水中捞月 D.缘木求鱼 3.(2017浙江绍兴中考)在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球,它们除颜色外其他均相同,从中 任意摸出一个球,则摸出黑球的概率是( B ) A. B. C. D. 4.(2017湖南岳阳中考)从 ,0,π,3.14,6这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是( C ) A. B. C. D. 第30页5.(2017四川凉山州中考)指出下列事件中是随机事件的个 数( C ) ①投掷一枚硬币正面朝上;②明天太阳从东方升起;③五边 形的内角和是 560°;④ 购买一张彩票中奖. A.0 B.1 C.2 D.3 6.(2017 海南中考)如图,两个转盘分别自由转动一次,当停止转动时,两个转盘的指针都指向 2 的概率为 ( D ) A. B. C. D. 7.(2017湖北宜昌中考)九(1)班在参加学校4×100m接力赛时,安排了甲,乙,丙,丁四位选手,他们的顺序由 抽签随机决定,则甲跑第一棒的概率为( D ) A.1 B. C. D. 8.(2017内蒙古赤峰中考)小明向如图所示的正方形 ABCD区域内投掷飞镖,点E 是以 AB为直径的半圆 与对角线 AC 的交点.如果小明投掷飞镖一次,那么飞镖落在阴影部分的概率为( B ) A. B. C. D. 模拟预测 1.小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共 12 页,其中语文 4 页、数学 2 页、英语 6 页,他随机地从讲义 夹中抽出 1页,抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为( C ) A. B. C. D. 2.从n 个苹果和 3个雪梨中,任选 1个,若选中苹果的概率是 ,则 n的值是( B ) A.6 B.3 C.2 D.1 3.如图,随机闭合开关 K ,K ,K 中的两个,则能让两盏灯泡同时发光的概率为( B ) 1 2 3 A. B. C. D. 解析:观察题图可知,共有 3 种等可能的情况——闭合开关 K K 、闭合开 关K K 、闭 1 2 1 3 合开关 K K ,其中当闭合开关 K K 时,能让两盏灯泡同时发光,所以所求的概率为 ,故选 B. 2 3 1 3 4. 如 图 , ABC 是 一 块 绿 化 带 , 将 阴 影 部 分 修 建 为 花 圃 ,已 知 AB=15,AC=9,BC=12,阴影部分是 ABC 的内切圆,一只自由飞翔的小鸟 将随机落在 △ 这块绿化带上,则小鸟落在花圃上的概率为( B ) △ A. B. C. D. 5.一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.将骰子抛掷两次,掷第一次,将朝上一面 的点数记为 x,掷第二次,将朝上一面的点数记为 y,则点(x,y)落在直线 y=-x+5上的概率为( C ) A. B. C. D. 第31页解析:由树状图或列表可得,正方体骰子抛掷两次正面朝上的情况共有 36 种,而满足 y=-x+5 的情况有 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共 4种,所以概率 P= ,故选 C. 6.有三张大小、形状完全相同的卡片,卡片上分别写有数字 1,2,3,从这三张卡片中随机先后不放回地抽取 两张,用抽出的卡片上的数字组成两位数(先抽取的数作为十位上的数,后抽取的数作为个位上的数),这 个两位数是偶数的概率是 解析:同时抽取两张,如果是 1和 2,可组成 12和 21;如果是 1和 3,可组成 13 和 31;如果是 2和 3,可组成 23和32.共6种结果,其中是偶数的有 12,32两种,所以这个两位数是偶数的概率为 . 7.不透明袋子中装有 9个球,其中有 2个红球、3个绿球和 4个蓝球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子 中随机取出 1个球,则它是红球的概率是 . 8.从-2,-1,0,1,2 这 5 个数中,随机抽取一个数记为 a,则使关于 x 的不等式组 有解,且使关于 y 的 一元一次方程 +1= 的解为负数的概率为 . 9.有 3张背面相同的纸牌 A,B,C,其正面分别画有三个不同的几何图形(如图).将这 3 张纸牌背面朝上洗 匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张. (1)求出两次摸牌的所有等可能结果(用树状图或列表法求解,纸牌可用 A,B,C表示); (2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率. 解:(1)画树状图得: ∴一共有 9种情况:(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C). (2)B 与C 是中心对称图形, ∴摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌有 4种; ∴摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率是 第32页