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专题 21.1 一元二次方程定义及配方法解一元二次方程
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 一元二次方程的识别】....................................................................................................................1
【考点二 利用一元二次方程的定义求参数的值】........................................................................................3
【考点三 一元二次方程的一般形式、各项系数】........................................................................................5
【考点四 已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】............................................................................6
【考点五 解一元二次方程——直接开平方法】............................................................................................8
【考点六 解一元二次方程——配方法】......................................................................................................10
【考点七 用配方法解一元二次方程错解复原】..........................................................................................13
【考点八 配方法的应用】..............................................................................................................................17
【过关检测】...................................................................................................................................................21
【典型例题】
【考点一 一元二次方程的识别】
【例题1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【详解】解：A．方程 是二元二次方程，故不符合题意；
B．方程 是分式方程，故不符合题意；
C．方程 是一元二次方程，故符合题意；
D．当 时，方程 是一元一次方程，故不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式
方程叫一元二次方程”是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）下列方程中，一定是一元二次
方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：A、 是一元二次方程，符合题意；
B、 含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、 不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、 ，即 不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：含有一个未知数
且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程．
【变式1-2】（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
① ；② ；③ ； ④ ； ⑤ ；⑥
．
A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫
一元二次方程）进行判断即可．
【详解】解：①当 时， 不是一元二次方程；
② 是一元二次方程；
③ 是一元二次方程；④ 是分式方程；
⑤ 不是一元二次方程；
⑥ ，化简得： ，不是一元二次方程．
∴是一元二次方程的是②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是
整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是
．
【变式1-3】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）下列方程：① ；②
；③ ；④ ；⑤ 中，属于一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义即可得答案．
【详解】解：① 不是整式方程，不是一元二次方程；
② ，含有两个未知数，不是一元二次方程；
③ ，符合一元二次方程定义，是一元二次方程；
④ 化简为 ，x的最高次数是1，不是一元二次方程；
⑤ ，当 时，不是一元二次方程．
故答案为：A
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式
方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【考点二 利用一元二次方程的定义求参数的值】【例题2】（2023·全国·九年级假期作业）当 ______时，关于 的方程 是一元二
次方程．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．
【详解】解：∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ， ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： 是常数且
），特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【变式2-1】（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程 是一元二次方程，则a的值为
________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义得出 ，再求出 即可．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，是一元二次方程必须同时满足三个条件：①时整式方程，即等
号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
【变式2-2】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若方程 是关于x的一元二次方
程，则m等于_______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵方程 是关于x的一元二次方程，∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键：一般地，形如
（a、b、c是常数， ）的方程叫做一元二次方程．
【变式2-3】（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若 关于x的一元二次方程，则
__________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如 （a、b、c是常数，且 ）
的方程叫做一元二次方程．
【考点三 一元二次方程的一般形式、各项系数】
【例题3】（2023·全国·九年级假期作业）若方程 的二次项系数是4，则方程的一次
项系数是______，常数项是_______．
【答案】 0
【分析】先将方程化为一般形式，然后得出答案即可．
【详解】解：方程 化为一般形式为： ，
∴方程 的二次项系数是4，方程的一次项系数是 ，常数项是0．
故答案为： ；0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解题意，将方程化为二次项系数是4
的一般形式．
【变式3-1】（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）将方程 化为一般形式为
__________，其中 ________， ________， ________．
【答案】 1 1
【分析】根据等式性质将方程 化为一般形式，得出a、b、c的值即可．
【详解】解：方程 化为一般形式为 ，
∴ ， ， ．
故答案为： ；1； ； ．
【点睛】本题主要考出了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式
．
【变式3-2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）方程 的二次项系数是______，一次项系数
是______，常数项是______．
【答案】 3
【分析】将原方程转化为一般形式，进而可找出二次项系数、一次项系数以及常数项．
【详解】解：将原方程转化为一般形式得 ，
∴二次项系数是3，一次项系数是 ，常数项是 ．
故答案为：3； ； ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，
都能化成如下形式 ．这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．
【变式3-3】（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）将方程 化成一元二次方程的一般
形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ，则 ______．
【答案】
【分析】先化为一般形式，根据一元二次方程的一般形式，得出 的值，进而即可求解．
【详解】解：整理得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方
程的一般形式是： （ ，， 是常数且 ）．
【考点四 已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】
【例题4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于 的一元二次方
程 的一个根是0，则 的值为______．
【答案】1
【分析】根据关于 的一元二次方程 的一个根是0，将 代入方程即可解出答案．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 的一个根是0，
当 时， ，解得 ．
故答案为1．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程解的应用，其中理解一元二次方程解的概念是解题的关键．
【变式4-1】（2023·湖南长沙·校考二模）若 是一元二次方程 的一个根，则m的值是
________．
【答案】
【分析】把 代入方程求解即可．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一
元二次方程的解是解题的关键．【变式4-2】（2023·甘肃平凉·统考二模）若m是方程 的一个根，则 的值为
______．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到 ，再把 整体代入所求式子中求解即
可．
【详解】解：∵m是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边
相等的未知数的值是解题的关键．
【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）若m是一元二次方程 的根，则 的值
为_____
【答案】6
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出 ，从而可求出 ， ，再将
整理变形，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程 的根，
∴ ，
∴ ， ，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是
解题关键．
【考点五 解一元二次方程——直接开平方法】
【例题5】（2023·上海·八年级假期作业）解关于 的方程： ．
【答案】 ，
【分析】利用直接开方法求解即可．
【详解】解：整理方程，即得 ，
直接开平方法解方程，得：
∴方程两根为 ， ．
【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，理解并熟练运用直接开方法是解题关键．
【变式5-1】（2023·上海·八年级假期作业）解关于 的方程： ．
【答案】 ，
【分析】整理方程，得 ，进而根据直接开平方法解一元二次方程JK
【详解】整理方程，得 ，
直接开平方法解方程，得： ，
即方程两根为 ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式5-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程： ；
【答案】【分析】使用完全平方公式对方程进行变形，再求得结果．
【详解】解：
∴ ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，其中准确使用完全平方公式进行变形是解题的关键．
【变式5-3】（2023·上海·八年级假期作业）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
(4)
【分析】（1）由 ，得 或者 ，再解一次方程即可；
（2）由 ，得 ，可得 ，再解一次方程即可；
（3） 由 ，得 ，从而可得答案；
（4）由 ，得 ，即 ，从而可得答案．【详解】（1）解：∵ ，
∴ 或者 ，
∴原方程的解为： ， ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
所以原方程的解为： ， ；
（3）∵ ，
∴ ，
解得： ．
∴原方程的解为： ；
（4）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原方程的解为： ．
【点睛】本题主要考查利用因式分解法与直接开平方法求解一元二次方程，熟记因式分解法与直接开平方
法解一元二次方程的步骤是解本题的关键．
【考点六 解一元二次方程——配方法】【例题6】（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解关于 的方程： ．
【答案】 ，
【分析】先移项后，再配方得 ，再直接开方即可求解．
【详解】解： ，
移项得： ，
配方得： ，即 ，
，
解得： ， ．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）解方程： ．
【答案】
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式6-2】（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】根据配方法先配成： ，然后解一元二次方程即可 方法不唯一 ．【详解】解： ，
，
，
，
， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）用配方法解 ．
【答案】
【分析】利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
移项得 ，
二次项系数化成1得 ，
配方得 ，即
∴ ，
解得， ．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）
把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【变式6-4】（2023春·八年级单元测试）用配方法解一元二次方程： ．
【答案】 ，
【分析】根据完全平方公式的形式进行配方，由此即可求解．
【详解】解：方程两边都乘 ，得 ，
移项，得 ，配方，得 ，即 ，
开平方，得 ，
∴ ， ，
∴原方程的根是 ， ．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式6-5】（2022春·江苏南通·八年级校考期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；
（2）先去括号，再利用配方法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解： ，
，
，
，即 ，
，
，
所以方程的解为 ， ．（2）解： ，
，
，
，
，即 ，
，
，
所以方程的解为 ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式
法、因式分解法、换元法等）是解题关键．
【考点七 用配方法解一元二次方程错解复原】
【例题7】（2023·全国·九年级假期作业）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程 的过程：
解：移项得
配方：
开平方得：
移项：
所以： ，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】有错误，过程见解析
【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：移项得： ，
配方： ，
，
开平方得： ，
移项： ，
所以： ， ．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键．
【变式7-1】（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题：
佳佳解一元二次方程 的过程如下：
解：
-------------------------------- ①
----------------------------- ②
-------------------------------③
--------------------------------④
．
问题：
(1)佳佳解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
(2)上述解答过程中，从______步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是______；
(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．
【答案】(1)B
(2)②，等号右边没有加9
(3) ， ．
【分析】（1）利用配方法解方程的方法进行判断；
（2）第2步方程两边都加上4，则可判断从②步开始出现了错误；（3）利用配方法解方程的基本步骤解方程．
【详解】（1）解：佳佳解方程的方法为配方法；
故选：B；
（2）解：上述解答过程中，从②步开始出现了错误，发生错误的原因是方程右边没有加上9；
故答案为：②；等号右边没有加9；
（3）解：正确解答为：
解： ，
移项得 ，
配方得 ，即 ，
∴ ，
∴ 或 ，
所以 ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
【变式7-2】（2023秋·山西朔州·九年级统考期末）下面是某同学解方程 的部分运算过程：
解：移项，得 ，…………………第一步
配方，得 ，………………第二步
即 ，………………………………第三步
两边开平方，得 ，……………………第四步
…
(1)该同学的解答从第______步开始出错；
(2)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)四
(2)解得过程见解析， ， ．
【分析】（1）仔细检查分析每一步的运算即可得到答案；
（2）利用配方法解方程，变形后为 ，再解方程不要漏解．
【详解】（1）解：该同学的解答从第四步开始出错．（2）移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
两边开平方，得 或 ，
解得： ， ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解方程的步骤”是解本题的关键．
【变式7-3】（2023春·八年级单元测试）用配方法解一元二次方程： ．小明同学的解题过
程如下：
解：
，
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
【答案】错误，见解析
【分析】运用配方法解答该方程即可判定正误．
【详解】解：错误，正确解法如下：解得 ， ．
【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解答本题的关键．
【考点八 配方法的应用】
【例题8】（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如
的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多
项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如
．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式： ．
(2)求多项式 的最小值．
【答案】(1)
(2)-23
【分析】（1）先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案．
【详解】（1）解：原式．
（2）解： ，
，
，
多项式 的最小值为 ．
【点睛】本题考查利用完全平方公式进行配方以及利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握两个公式及其
特点是本题解题关键．
【变式8-1】（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式 的最小值为（ ）．
A． B．0 C．3 D．5
【答案】A
【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．
【详解】代数式
∵ ，
∴ 即代数式 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，
从而完成求解．
【变式8-2】（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行
有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ，解：原式
② ，利用配方法求M的最小值：解：
因为 ，所以当 时，M有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式 ；
(2)用配方法因式分解 ；
(3)若 ，求M的最小值．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可；
（2）利用配方法分解因式即可；
（3）利用配方法得到 ，然后根据非负数的性质确定M的最小值．
【详解】（1）解： ，
故答案为：16；
（2）解：
；
（3）解：∵ ，
∴当 时，M有最小值 ．
【点睛】本题考查了因式分解−配方法等，熟练掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解决问题的关
键．
【变式8-3】（2023秋·河南信阳·八年级统考期末）教材中这样写道：“我们把多项式 及
叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配
方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能
解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式 ．
原式 ；；
例如：求代数式 的最小值．
原式 ．
，
当 时， 有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；(2)求代数式 的最小值；
(3)若 当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．
【答案】(1)
(2)3
(3) ；大；1
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）凑成完全平方加一个数值的形式；
（3）和（2）类似，凑成完全平方加一个数值的形式；
【详解】（1）解：
．
（2）解：
；
∴当 时， 的最小值是3；
（3）解： ，
，
，
当 的时候， 有最大值1．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．
【详解】解： 、 ，未知数最高次数为 ，不是一元二次方程，不符合题意；
、 ，当 时，不是一元二次方程，不符合题意；
、 ，是一元二次方程，符合题意；
、 ，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意．
故选： ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，熟练掌握只有一个未知数且未知数最高次数为 的整式方程
叫做一元二次方程是解答本题的关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）将方程 化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用多项式乘法把括号去掉，再移项合并同类项即可．
【详解】解： ，
，故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： （
是常数且 ）特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次
项， 叫一次项，c是常数项．其中 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．（2023·安徽阜阳·统考三模）若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出 的值即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
∴ 且 ，
解得： ．
故选： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为
为常数且 ，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
4．（2020秋·广东清远·九年级期末）若关于 的一元二次方程 有一个根是0，则 的值
为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 代入 得 ，然后解关于 的一元
二次方程即可．
【详解】解：把 代入 得 ，
解得 ，
即 的值为2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）用配方法解方程 时，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先移项得到 ，再把方程两边加上9，然后把方程左边用完全平方形式表示即可．
【详解】解： ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关
键．
二、填空题
6．（2020秋·广东清远·九年级期末）一元二次方程 有一个根为2，则 __．
【答案】1
【分析】把 代入方程 中得到关于 的方程，然后解关于 的方程即可．
【详解】解：把 代入方程 得： ，
解得 ．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
7．（2022秋·湖北恩施·九年级校联考期中）二元一次方程 的二次项系数是___________，
一次项系数是___________ 常数项是___________．
【答案】 1
【分析】方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．
【详解】解：方程整理得： ，
二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ，
故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： 是常
数且 特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，
叫一次项， 是常数项．其中 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）若方程 是关于x的一元二次方程，则
__________．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系
数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】∵方程 是关于x的一元二次方程
∴ ，解得 ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次
方程，解题的关键是特别要注意 的条件．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）m＝______时，关于x的方程 是一元二次方程．
【答案】1
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程，判断即可确
定出m的值．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得： ，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
10．（2023·江苏·九年级假期作业）若m是方程 的一个根，则代数式 的值为
________．【答案】2022
【分析】根据m是方程 的一个根，得到 ，进而得到 ，代入代数式计算
即可得解．
【详解】解：∵m是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2022．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知方程 是关于x的一元二次方程，求a
的值．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；
含有一个未知数，可得答案．
【详解】解：由关于x的方程 是一元二次方程，得
．
解得： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、
一次项系数及常数项．
(1) ．
(2) ．(3) ．
【答案】(1) ，二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为5
(2) ，二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为
(3) ，二次项系数为2，一次项系数为 ，常数项为
【分析】（1）通过移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可；
（2）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可；
（3）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【详解】（1）解：方程整理得： ，
则二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为5；
（2）方程整理得： ，
则二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为 ；
（3）方程整理得： ，
则二次项系数为2，一次项系数为 ，常数项为 ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是
常数且 ）特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，
叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】由 ，得 ，即 ，再利用直接开平方的方法解题
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴原方程的解为： ， ．
【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，掌握配方法的步骤是解本题的关键．
14．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考开学考试）解方程：
(1) (2) ．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ；
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
15．（2022春·八年级单元测试）解方程：(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程运用配方法求解即可；
（2）方程移项后运用直接开平方法求解即可；
【详解】（1）
，
，
，
，
∴ ；
（2）
，
，
，
∴ ；
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法，配方法和直接开平方法是解答本题
的关键．
16．（2022春·八年级单元测试）按照指定方法解下列方程：
(1) （用直接开平方法） (2) （用配方法）
【答案】(1) ，(3) ，
【分析】（1）把15移到右边，两边同时除以3，然后直接开平方求根；
（2）二次项系数是1，一次项系数是6，把7移到右边，用配方法解方程；
【详解】（1）解： ，
∴ ，
解得： ， ．
（2） ，
∴
∴
∴
∴
解得： ， ．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求，熟练掌握各种解法．
17．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解下列方程
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ， ；(4) ， ．
【分析】（1）根据配方法的步骤求解即可；
（2）根据配方法的步骤求解即可；
（3）根据配方法的步骤求解即可；
（4）根据配方法的步骤求解即可．
【详解】（1）解：原方程可化为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：原方程可化为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ；
（3）解：原方程可化为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ；
（4）解：原方程可化为 ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程：把原方程化为一般形式，方程两边同除以二次项系数，使二
次项系数为1，并把常数项移到方程右边，方程两边再同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个
完全平方式，右边化为一个常数，进一步通过直接开平方法求出方程的解．
18．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)【分析】利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：3x−5x=2
移项得：x- x= ，
配方得：x- x+ = + ，
合并得：（x- ）2= ，
解得：x= + =2，x= - =- ；
1 2
（2）解：x+8x=9
配方得：x+8x +16=9+16，
合并得：（x+4）2=25，
解得x=1，x=-9；
1 2
（3）解：x+12x−15=0
移项得：x2+12x+36=15+36，
配方得：（x+6）2=51
解得x=-6＋ ，x=-6-
1 2
（4）解： x−x−4=0
去分母得： ，
移项得： ，
配方得：x-4 x+4=16+4，
合并得：（x-2）2=20，
解得：x=2＋2 ，x=2－2 ；
1 2
（5）解：2x+12x+10=0
系数化为1得： ，
移项得： ，
配方得：x+6x+9=-5+9，
合并得：（x+3）2=4，解得：x=-1，x=--5；
1 2
（6）解：x+px+q=0，
移项得： ，
配方得：x+px+ =-q+ ，
合并得：(x+ )2= ，
解得x= ．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．
19．（2023春·八年级课时练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
所以， 第六步
任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第
________步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
【答案】任务一：配方法；完全平方公式，二；任务二， ，
【分析】任务一：根据题意∶ 小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式，在第二步配方时，方程右边忘记加上 ；
任务二：根据配方法解一元二次方程的步骤进行判断和计算即可．
【详解】解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公
式是完全平方公式，
在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上 ，
∴第二步开始出现错误，
故答案是：配方法，完全平方公式，二；
任务二：解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则和步骤是解题的关键．
20．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）【阅读理解】我们知道 ，所以代数式 的最小值为0，
可以用公式 来求一些多项式的最小值．
例如：求 的最小值问题
解：∵
∵ ，∴ ，∴ 的最小值为-8．
【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)类比： 的最小值为_______．
(2)探究：代数式 有最______（填“大”或“小”）值为______．
(3)拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的
棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)2
(2)大，1
(3)当 米时，花圃面积有最大值50米2
【分析】（1）将原式配方即可；
（2）将原式配方即可判断；
（3）依题意设， ， ，根据矩形的面积公式列出关系式，再配方，即可求最大面
积．
【详解】（1） ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最大值为1，
故答案为：大，1；
（3）依题意设， ， ，
∴长方形花圃的面积为 ，
，
∴当 米时，面积有最大值50米2．
答：当 米时，花圃面积有最大值50米2
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法并灵活应用是解题的关键．
