参考答案
7星学霸题中题、
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参考答案
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第—章
—元二次方程
专题l
一元二次方程的相关概念
与基本解法
典例展示厅
例1
(I)化简，得(a-1)x2+3ax-8a+16= 0.
由方程(a-x)2 =a(x2+x+a)-8a+ 16 是关千x 的一元二次方程，得a
l"'FO, 解得a"'FI,当a"'FI时，方程(a-x)2 =a(x2+x+a)-8a+ 16是关于
X的一元二次方程
(2)由一次项系数为零，得a=O,则原方程是-x2+16=0,即x2-J6= Q
解得X1=-4,x2 = 4
例2
B 解析：
m 为方程x2+3x-2 024= 0的根，
m2+3m= 2 024,
·. m3+2m2- 2 027m + 2 024 = m (m1 + 3m) -m1 - 2 027m + 2 024 =
2 024m-m1-2 027m+2 024=-(m1+3m)+2 024=-2 024+2 024= 0. 故
选B.
变式2
由题意得，k1-101k+1= 0, 且丘0,
I
. k1-100k=k-1,k2+ I= IOlk,k+—= 101.
k
101
1
:. k1-100k+
=k-1 +—= 101-1 = 100.
炉+I
k
例3
-+(x-2)1分= 0,-+(x-2)1 = -+, (x-2)1 = + ,x-2=
3
7
I
土飞-,:. XI =飞:• Xl=了
变式3
(2x+ 3) 1 = (3x+ 2)1 , 开平方得2x+3= 3x+2或2x+3= -3x-2,
解得x1= 1,x1=-l.
例4·: x2-2污x= 4,:. x2-2.fsx+5= 4+5, 即(x-污）2 = 9,:. x-尽= 3
或x-fs=-3,:. Xi = 3+污，X2= -3+污．
变式4(I) 整理方程得x2-3x=-—,
3
2
配方得x2-3x+_2._ =义_2-,即（二）勹主
4
4
2
2
4'
3
打
3+./3
3-✓ 了
开方得x-—气— ，解得XI =
,x尸
2
2
2
2 .
(2) 整理方程得x2
b
+—x=-上，
a
a
2
2
配方得x2+!!._x+立竺二，即( x+上）= b -4ac
a
4a2 4a2
a
2a
4a2 '
开方得x+—-=土
，
b
二
2a
2a
解得x
-b+ 二
-b- 二
2a
, X2 =
2a
·
例5
2x2+1=-2flx, 整理得2x2+2flx+1 = 0. ·: L1 = (2f2/-4x 1 x2 =
-2!2-0 -2!2石
8-8= 0,:. X1 =x2=
=
=-—.
2x2
4
2
变式5
(m2+1)x2+2m2x+(m2-I)= 0,
11 = (2m平- 4 (m1 - I) (m1 + I) = 4m4 - 4 (m4 - I) = 4, .·. x1 =
-2m1+2
l-m2
-2m2-2
2(m1+1)
=
l+m2 ,xz
=
2(m红I)
= -1.
例6·: 2(x-3)= 3x(3-x) ,:. 2(x-3)+3x(x-3)= 0, 则(x-3)(2+
2
3x)= 0,:. x-3= 0或2+3x=O,解得x1= 3,x2=-—-.
3
变式6x2-.f3x+丘x-./6=0,则(x-.ff)(x+./2. 一）=O,:. x-打=O或
x+拉=O,:. X尸月，X1 =-.ff
例7
(I)原方程可化为(x-I) (x-3) = 0, :. x1 = I ,x1 = 3.
I
(2)原方程可化为(x-2)(2x-l)= 0,:. x1 =—-,x1 = 2.
2
变式7
原方程可化为[ (6-k)x-9] [ (9-k)x-6] =O.·: 此方程是关于
9
6
x的一元二次方程，所以k#-6,k#-9, 于是有x, =—－
心，X2=—-
®
6-k
9-k
6x1 -9
9x2-6
6x1 -9
9x2-6
由也得k =
'由©得k = -,:.- =
'整理得x心
x1
x2
x1
X2
-2x1 +3x2 =O, 有(x1 +3)(x2-2)= -6.·: x1 ,x2均为整数，
t
'+3=-6, -3, -2,-1, 1,2,3 ,6,
x2-2= 1,2,3,6,-6,-3,-2,-1.
故x, =-9,-6,-5,-4,-2,-1,0,3.
6x -9
9
又k=
= 6-—，将x, =-9,-6,-5,-4,-2,-1,3 分别代入，得k=
x,
15 39 33 21
7
— — — —
'2'5'4'2 , 15, 3.
强基直通车
例8
设公共根为a,则a2-(k+l)a-2 = 0
心，a2-2a-k(k+I)=
0® 立）－心得，(k-l)a = 炉+k-2,当k = I时，所给方程都是x2-
2x-2= 0, 不合题意，舍去，当k#-1时，a=k+2.
代入心得，(k+2)2-(k+l)(k+2)-2=0.:. k= O.:. 公共根a=k+2 = 2
k的值为0,公共根为2
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中考冲刺
1. C 解析：
方程(k-1)x红压x= I是关于x的一元二次方程，k
l于O,k;;.O,解得k;;.O且k#-1.故选C.
2. D 解析：(m-3)x2+m2x= 9x+5, (m-3)x红(m2-9)x-5= 0,由题意
得m-3于O,m2-9= 0,解得m =-3,故选D
3. C 解析：由题意得：当x=-2时，ax2+bx= 6; 当x= 3时，ax2+bx= 6;
．方程ax2+bx= 6的根是x1 =-2,x2 = 3, 故选C
4. D 解析：A方程3x2= 4变形为3x2-4= 0,则方程的常数项是-4,所
以A选项不符合题意；
B 一元二次方程ax2+ bx + c = 0 (a #- 0, b2 - 4ac ;;, 0)的根是x =
-b土lb了Ş五，所以B选项不符合题意；
2a
C关千x的方程mx2-2x-m = O, 当m = O时，方程只有一个实数根，
当m于0时，方程一定有两个实数根，所以C选项不符合题意；
D. 若一元二次方程ax2+bx+c= 0满足a+b+c= O,则必有一根为x= I,
所以D选项符合题意
故选D.
5. -1 解析：把x=O代入(a-l)x2-2x+a2-I=O 得忒-1=0, 解得a=
土J.·: a-1#-0,:. a=-1.
6. 23 解析：· a,b是方程x2-x-3=O的两个根，
忒-a-3= 0,b2-b-3= 0,:. a2-a= 3,b2-b= 3,
:. 2a3+b2+3a2-I la-b+5
= 2a3-2a2+ 5a2-5a-6a+b2-b+ 5
= 2a(a2-a) +5(a2-a)-6a+(b2-b) +5
= 6a+ l5-6a+3+5
= 23.
7. -3 解析：将2-./3
一
代入方程x2+ax+b = O中得，(2-,ff)2+a(2-
,ff) +b= O因为a,b是整数，所以把方程整理成有理数与无理数分开
的形式得，(7+2a+b)-(4+a).ff= O
则可得｛芷飞厂
=O,解得｛言.
4.所以a+b=-4+1=-3.
8. (I)由关于x的方程(m+I)x
lm-ll +(m-3)x = 5是一元二次方程，得
c
m-I I = 2, 解得m= 3.
m+l#-0,
当m= 3时，关千x的方程(m+l)x
lm-11 +(m-3)x=5是一元二次方程
(2)由关于x的方程(m+ I) X
I m-1 1 + (m -3) X = 5是一元一次方程，得
{
m+l=O, 或{
Im-II=I, 或cm-11=0,
m-3#-0
m+l+m-3#-0
m-3#-0,
1
