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2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考01（人
教版）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【详解】根据三角形的三边关系定理，得4-3<m<4+3，解得1<m<7，即符合的只有5.
3．下列计算正确的是（ ）
A．𝑎2+𝑎4 =𝑎6 B．(𝑎2)3 =𝑎5 C．𝑎2⋅𝑎3 =𝑎5 D．𝑎6÷𝑎2 =𝑎3【答案】C
【详解】解：A、𝑎2与𝑎4不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、(𝑎2)3 =𝑎6，选项错误，不符合题意；
C、𝑎2⋅𝑎3 =𝑎5，选项正确，符合题意；
D、𝑎6÷𝑎2 =𝑎4选项错误，不符合题意；
故选C．
4．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有
0.00000 0076克，用科学记数法表示是（ ）
A．7.6×10―9克 B．7.6×10―8克 C．7.6×10―7克 D．76×10―8克
【详解】解：0.000000076克=7.6×10-8克，
故选B．
|𝑥|―2
5．若分式 的值为0，则（ ）
𝑥―2
A．𝑥=±2 B．𝑥=2 C．𝑥=―2 D．𝑥=0或―2
【答案】C
【详解】由题意得： |𝑥|―2=0，且𝑥―2≠0，
解得x=-2，
故选：C.
6．下列因式分解正确的是（ ）
A．𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑎=𝑎(𝑏+𝑐) B．𝑎2―2𝑎―3=(𝑎+3)(𝑎―1)
C．𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2 =(𝑎+𝑏)2 D．𝑎4―16=(𝑎2+4)(𝑎2―4)
【答案】C
【详解】解：A、𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑎=𝑎(𝑏+𝑐+1)，原计算错误，不符合题意；
B、𝑎2―2𝑎―3=(𝑎―3)(𝑎+1)，原计算错误，不符合题意；
C、𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2 =(𝑎+𝑏)2，原计算正确，符合题意；
D、𝑎4―16=(𝑎2+4)(𝑎2―4)=(𝑎2+4)(𝑎+2)(𝑎―2)，原计算错误，不符合题意；
故选：C．7．如图，∠1＝∠2，则下列条件中不能直接判定△ABC≌△DBC的是( )
A．∠A＝∠D B．AC＝DC C．AB＝DB D．∠ACB＝∠DCB
【答案】B
【详解】∵∠1＝∠2，BC=BC
A.当∠A＝∠D时，利用AAS证明△ABC≌△DBC，故正确；
B.当AC=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABC≌△DBC，故错误；
C. 当AB＝DB时，利用SAS证明△ABC≌△DBC，故正确；
D. 当∠ACB＝∠DCB时，利用ASA证明△ABC≌△DBC，故正确
故答案选B.
8．如图，两个正方形的边长分别为𝑎、𝑏(𝑎>𝑏)，若𝑎+𝑏=17，𝑎𝑏=60，则阴影部分的面积是（ ）
A．52.5 B．53.5 C．54.5 D．55.5
【答案】C
【详解】解：∵两个正方形的边长分别为𝑎、𝑏(𝑎>𝑏)，
∴𝑆 =𝑎2，𝑆 =𝑏2，𝑆 = 1 𝑎2，𝑆 = 1 𝑏(𝑎+𝑏)= 1 𝑎𝑏+ 1 𝑏2，
正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 正方形𝐶𝐺𝐹𝐸 △𝐴𝐵𝐷 2 △𝐵𝐺𝐹 2 2 2
∵𝑆 =𝑆 +𝑆 ―𝑆 ―𝑆 ，
阴影 正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 正方形𝐶𝐺𝐹𝐸 △𝐴𝐵𝐷 △𝐵𝐺𝐹
∴𝑆 =𝑎2+𝑏2― 1 𝑎2― 1 𝑎𝑏― 1 𝑏2 = 1 (𝑎2+𝑏2)― 1 𝑎𝑏
阴影 2 2 2 2 2
∵𝑎+𝑏=17，𝑎𝑏=60，
∴(𝑎+𝑏)2 =172，即𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2 =289，
∴𝑎2+𝑏2 =289―2×60=169，
∴𝑆 = 1 (𝑎2+𝑏2)― 1 𝑎𝑏= 1 ×169― 1 ×60=84.5―30=54.5，
阴影 2 2 2 2
故选：C．
9．如图，已知：𝐴𝐶=𝐵𝐶,𝐷𝐶=𝐸𝐶,∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐷=90°，∠𝐸𝐵𝐷=38°，现有下列结论：①△𝐵𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐶；②∠𝐴𝐸𝐵=128°；③𝐵𝐷=𝐴𝐸;④𝐴𝐸⊥𝐵𝐷．其中不正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐷=90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，
在△𝐵𝐷𝐶和△𝐴𝐸𝐶中，
𝐴𝐶=𝐵𝐶
∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸
𝐷𝐶=𝐸𝐶
∴△𝐵𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐶(SAS)，故①正确；
∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐸𝐴𝐶，𝐵𝐷=𝐴𝐸，故③正确；
∵∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐸𝐵𝐶=38°，
∴∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐸𝐵𝐶=38°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐸𝐴𝐵=90°―38°=52°，
∴∠𝐴𝐸𝐵=180°―(∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐸𝐴𝐵)=180°―52°=128°，故②正确；
∵∠3=∠4，
∴∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，故④正确；
故选：A．
10．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶=2,𝐴𝐷,𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条中线，P点是线段𝐴𝐷上一个动点，则𝐵𝑃+𝐸𝑃的最小值是（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
【答案】B
【详解】解：如图，连接𝑃𝐶，
∵𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，
∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，𝐵𝐸=𝐴𝐸=1
∴𝐶𝐸= 22―12 = 3，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝑃𝐵=𝑃𝐶，
∴𝑃𝐵+𝑃𝐸=𝑃𝐶+𝑃𝐸，
∵𝑃𝐸+𝑃𝐶≥𝐶𝐸，
∴𝑃、𝐶、𝐸共线时，𝑃𝐵+𝑃𝐸的值最小，
最小值为𝐶𝐸的长度，即为 3．
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
(𝑥+𝑦)2―(𝑥―𝑦)2
11．计算 的结果为 ．
4𝑥𝑦
【答案】1
(𝑥+𝑦)2―(𝑥―𝑦)2 4𝑥𝑦
【详解】 = =1
4𝑥𝑦 4𝑥𝑦故答案为1
12．已知𝑥+𝑦=5，𝑥2+𝑦2 =11，则𝑥𝑦= ．
【答案】7
【详解】解：∵𝑥+𝑦=5，𝑥2+𝑦2 =11，
∴𝑥𝑦=
(𝑥+𝑦)2―(𝑥2+𝑦2)
=
25―11
=7,
2 2
故答案为：7
𝑚―1 1
13．若方程 ― =2无解，则m的值为 ．
𝑥+2 𝑥+2
【答案】2
【详解】解：去分母得：𝑚―1―1=2(𝑥+2)
𝑚―1 1
∵分式方程式 ― =2无解，
𝑥+2 𝑥+2
∴𝑥+2=0，
解得：𝑥=―2
把𝑥=―2代入𝑚―1―1=2(𝑥+2)
解得：𝑚=2
故答案为：2．
14．当三角形中的一个内角α是另一个内角𝛽的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特
征角”．则一个“特征三角形”的“特征角”α的度数的取值范围为 ．
【答案】0°<𝛼<120°
【详解】解：∵三角形中的一个内角α是另一个内角𝛽的两倍
∴𝛼=2𝛽
∵𝛼+𝛽<180°，𝛼>0，𝛽>0
1
∴0<𝛼+ 𝛼<180°
2
得0°<𝛼<120°
故答案为：0°<𝛼<120°
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，点D为AC上一点，AD的垂直平分线交AB于点E，将△CBD沿
着BD折叠，点C恰好和点E重合，则∠A的度数为 ．【答案】20°
【详解】解：∵点E在AD的垂直平分线上，
∴AE=DE，
∴∠A=∠ADE，
∵∠BED是△ADE的一个外角，
∴∠BED=∠A+∠ADE，
∴∠BED=2∠A，
由折叠得：∠C=∠BED，
∴∠C=2∠A，
∵∠ABC=120°，
∴∠A+∠C=180°-∠ABC=60°，
∴∠A+2∠A=60°，
∴∠A=20°，
故答案为：20°．
16．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交
AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；
④AB+AC=2AE；其中正确的有 ．（填写序号）
【答案】①②④
【详解】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．故①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
1
∴ED＝ AD．
2
1
同理：DF＝ AD．
2
∴DE+DF＝AD．故②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF．故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
𝐷𝐸=𝐷𝐹
，
𝐵𝐷=𝐷𝐶
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE＝FC．∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB+AC＝2AE．故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中17题12分，18-19每题6分，20-21每题8分，22-23每题20
分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算―1―2022+(2023―𝜋)0―(― 2 ) ―2 +(―2)3；
3
1 𝑥
（2）解方程 =2+ ；
𝑥―3 3―𝑥
（3）先化简再求值：1― 𝑎―1 ÷ 𝑎 ― 1 ，然后从0，1，2中选择一个合适的数代入求值．
𝑎 𝑎+2 𝑎2+2𝑎
41 1 1
【答案】（1）― ；（2）𝑥=7；（3）― ，当𝑎=2时，原式=―
4 𝑎+1 3
9
【详解】解：（1）原式=―1+1― ―8
4
41
=― ；
4
1 𝑥
（2）原方程变形得 =2― ，
𝑥―3 𝑥―3
去分母得：1=2(𝑥―3)―𝑥，
去括号得：1=2𝑥―6―𝑥，
𝑥=7，
经检验𝑥=7是分式方程的解；
（3）原式=1―
𝑎―1
÷
𝑎2―1
𝑎 𝑎2+2𝑎
𝑎―1 𝑎(𝑎+2)
=1― ⋅
𝑎 (𝑎+1)(𝑎―1)
𝑎+2 𝑎+1 𝑎+2
=1― = ―
𝑎+1 𝑎+1 𝑎+1
1
=―
𝑎+1
要使原分式有意义，则𝑎≠0，𝑎≠1，𝑎≠―1，𝑎≠―2，
当𝑎=2时，
1 1
原式=― ，𝑎≠―2=― ．
2+1 3
18．（6分）（1）如图，在正方形网格上有一个△𝐴𝐵𝐶．作△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑀𝑁的对称图形（不写作法）；（2）在直线𝑀𝑁找一点P，使△𝑃𝐴𝐶的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若网格上的最小正方形的边长为1，求△𝐴𝐵𝐶的面积．
5
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（4）
2
【详解】解：（1）如图△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求作；
（2）如图：点P即为所求作；
1 1 3 5
（3）此三角形面积为：𝑆 =2×3―2× ×1×2― ×1×3=6―2― = ．
△𝐴𝐵𝐶 2 2 2 2
19．（6分）如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，以点A为圆心，小于𝐴𝐶长为半径作圆弧，分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于E，F两点，再分别
1
以E，F为圆心，大于 𝐸𝐹长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线𝐴𝑃，交𝐶𝐷于点M，若𝐶𝑁⊥𝐴𝑀，垂
2
足为N，求证：𝐴𝑁=𝑀𝑁．
【答案】见解析
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∴∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝑀𝐴，
由做图可知𝐴𝑀是∠𝐶𝐴𝐵的平分线，
∴∠𝐶𝐴𝑀=∠𝐵𝐴𝑀，
∴∠𝐶𝑀𝐴=∠𝐵𝐴𝑀，
∴𝐴𝐶=𝐶𝑀，
又𝐶𝑁⊥𝐴𝑀，
∴𝐴𝑁=𝑀𝑁．
20．（8分）如图，𝐶𝐷=𝐵𝐸，∠𝐶=∠𝐵，∠1=∠2．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷．
(2)若𝑀𝐸=5，求𝐷𝑁的长度．
【答案】(1)见解析
(2)5
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠𝐷𝐴𝐸=∠2+∠𝐷𝐴𝐸，
即∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷，
又𝐶𝐷=𝐵𝐸，∠𝐶=∠𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(AAS)；
（2）解：由（1）知：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐸=∠𝐷，𝐴𝐸=𝐴𝐷，
又∠𝐸𝐴𝑀=∠𝐷𝐴𝑁，
∴△𝐴𝐷𝑁≌△𝐴𝐸𝑀(ASA)，
∴𝐷𝑁=𝐸𝑀，
又𝑀𝐸=5，
∴𝐷𝑁=5．
21．（8分）某经销商用1600元购进一些水果，很快售完，第二次又用了1800元购进同品种的水果，每斤水果的进货价格为第一次进货价格的75%，两次共购进1000斤水果．
(1)求第一次购进的水果每斤多少元？
(2)该经销商若以相同的价格出售这些水果，获得的利润不低于3600元，这些水果每斤的售价至少为多少
元？
【答案】(1)4元
(2)7元
【详解】（1）解：设第一次购进的水果每斤𝑥元，75%=0.75，
1600 1800
根据题意，得 + =1000，
𝑥 0.75𝑥
解得：𝑥=4，
经检验：𝑥=4是原分式方程的解，
答：第一次购进的水果每斤4元．
（2）设这些水果每斤的售价为𝑎元，
根据题意，得1000𝑎―1600―1800≥3600，
解得：𝑎≥7．
答：这些水果每斤的售价至少为7元．
22．（10分）如图1，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，点D、E分别在边𝐴𝐵、𝐵𝐶上，𝐶𝐸=𝐵𝐷,连接𝐴𝐸、𝐶𝐷,𝐴𝐸与𝐶𝐷
相交于P．
(1)求证：∠𝐴𝑃𝐷=60°；
(2)如图2，连接𝑃𝐵,当𝐴𝑃=2𝐶𝑃时，求证：𝐵𝑃⊥𝑃𝐴．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：证明：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵=∠𝐶𝐴𝐵=60°，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐶𝐵𝐷中，𝐴𝐶=𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶，
𝐶𝐸=𝐵𝐷
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐷(SAS)，
∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝑃𝐷=∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐴𝐶𝐷
=∠𝐷𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐷
=∠𝐴𝐶𝐵
=60°；
（2）过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐶𝐷，交𝐶𝐷，𝐵𝐶于点𝑀，𝑁，
由（2）可知∠𝑃𝐴𝑁=30°，
∴𝐴𝑃=2𝑃𝑀，
∵𝐴𝑃=2𝐶𝑃，
∴𝐴𝑃=𝐶𝑀，
由（1）知∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐸𝐴𝐵，
在△𝐴𝐶𝑀和△𝐵𝐴𝑃中，
𝐴𝐶=𝐴𝐵
∠𝐴𝐶𝑀=∠𝐵𝐴𝑃，
𝐶𝑀=𝐴𝑃
∴△𝐴𝐶𝑀≌△𝐵𝐴𝑃(SAS)，
∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐶𝑀𝐴=90°，即𝐵𝑃⊥𝑃𝐴．
23．（10分）我们把多项式𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2及𝑎2―2𝑎𝑏+𝑏2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，
我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不
变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多
项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式𝑥2+2𝑥―3=(𝑥2+2𝑥+1)―4=(𝑥+1)2―4=(𝑥+1+2)(𝑥+1―2)=(𝑥+3)(𝑥―1)
例如：求代数式2𝑥2+4𝑥―6的最小值2𝑥2+4𝑥―6=2(𝑥2+2𝑥―3)=2(𝑥+1)2―8．可知
当𝑥=―1时，2𝑥2+4𝑥―6有最小值，最小值是―8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：𝑚2―6𝑚―16= ；
(2)若𝑎、𝑏满足𝑎2+𝑏2―4𝑎+6𝑏+13=0，求𝑏𝑎的值；
(3)已知𝑃= 7 𝑚―1,𝑄=𝑚2― 8 𝑚（𝑚为任意实数），比较𝑃、𝑄的大小；
15 15
(4)当𝑥、𝑦为何值时，多项式𝑥2―2𝑥𝑦+2𝑦2+4𝑥―10𝑦+29有最小值，并求出这个最小值．
【答案】(1)(𝑚+2)(𝑚―8)
(2)9
(3)𝑃<𝑄
(4)𝑥=1，𝑦=3，16
【详解】（1）解：𝑚2―6𝑚―16
=𝑚2―6𝑚+9―25
=(𝑚―3)2―25
= (𝑚―3+5)(𝑚―3―5)
=(𝑚+2)(𝑚―8)；
（2）解：∵𝑎2+𝑏2―4𝑎+6𝑏+13=0，
∴(𝑎2―4𝑎+4)+(𝑏2+6𝑏+9)=0，
∴(𝑎―2)2+(𝑏+3)2 =0，
∴𝑎―2=0，𝑏+3=0，
∴𝑎=2，𝑏=―3，
∴𝑏𝑎 =(―3)2 =9；
（3）解：∵𝑃= 7 𝑚―1，𝑄=𝑚2― 8 𝑚，
15 15
∴𝑄―𝑃=𝑚2― 8 𝑚― 7 𝑚+1
15 15
=𝑚2―𝑚+1
1 2 3 3
= 𝑚― + ≥ >0
2 4 4
∴𝑄>𝑃，即𝑃<𝑄；（4）解：𝑥2―2𝑥𝑦+2𝑦2+4𝑥―10𝑦+29
=𝑥2―2𝑥𝑦+4𝑥+𝑦2―4𝑦+4+𝑦2―6𝑦+9+16
=𝑥2―2𝑥(𝑦―2)+(𝑦―2)2+𝑦2―6𝑦+9+16
=(𝑥―𝑦+2)2+(𝑦―3)2+16≥16，
∴当𝑥―𝑦+2=0且𝑦―3=0时，𝑥2―2𝑥𝑦+2𝑦2+4𝑥―10𝑦+29有最小值16，
此时得：𝑦=3，𝑥=1，
∴𝑥=1，𝑦=3时，多项式𝑥2―2𝑥𝑦+2𝑦2+4𝑥―10𝑦+29有最小值为16．
24．（12分）（1）如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=120°，∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°，E，F分别是
𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹=60°，请猜想图中线段𝐵𝐸，𝐸𝐹，𝐹𝐷之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化𝐴𝐵𝐶𝐷，四周修有步行小径，且𝐴𝐵=𝐴𝐷，
∠𝐵+∠𝐷=180°，在小径𝐵𝐶，𝐶𝐷上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量
1
得到∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷，𝐵𝐸=10米，𝐷𝐹=15米，试求两凉亭之间的距离𝐸𝐹．
2
【答案】（1）𝐸𝐹=𝐵𝐸+𝐹𝐷，证明见解析；（2）25米
【详解】解：（1）猜想：𝐸𝐹=𝐵𝐸+𝐹𝐷，
证明：如图1，延长𝐹𝐷到点G，使𝐷𝐺=𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，∵∠𝐴𝐷𝐶=90°，∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐴𝐷𝐺=180°，
∴∠𝐴𝐷𝐺=90°，
𝐵𝐸=𝐷𝐺
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐷𝐺中， ∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐺，
𝐴𝐵=𝐴𝐷
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺(SAS)，
∴𝐴𝐸=𝐴𝐺，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐺，
∵∠𝐸𝐴𝐹=60°，∠𝐵𝐴𝐷=120°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐹=120°―60°=60°，
∴∠𝐺𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐺+∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐹=60°=∠𝐸𝐴𝐹，
𝐴𝐸=𝐴𝐺
在△𝐴𝐸𝐹和△𝐴𝐺𝐹中， ∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐺𝐴𝐹，
𝐴𝐹=𝐴𝐹
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹(SAS)，
∴𝐸𝐹=𝐹𝐺，
∵𝐹𝐺=𝐷𝐺+𝐷𝐹=𝐵𝐸+𝐷𝐹，
∴𝐸𝐹=𝐵𝐸+𝐷𝐹；
（2）如图2，延长𝐶𝐷至H，使𝐷𝐻=𝐵𝐸，连接𝐴𝐻，∵∠𝐵+∠𝐴𝐷𝐶=180°,∠𝐴𝐷𝐻+∠𝐴𝐷𝐶=180°，
∴∠𝐴𝐷𝐻=∠𝐵，
𝐴𝐷=𝐴𝐵
在△𝐴𝐷𝐻和△𝐴𝐵𝐸中， ∠𝐴𝐷𝐻=∠𝐵，
𝐷𝐻=𝐵𝐸
∴△𝐴𝐷𝐻≌△𝐴𝐵𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐸=𝐴𝐻，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐻，
1
∵∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷，
2
∴∠𝐻𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐻+∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐷―∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸𝐴𝐹，
𝐴𝐸=𝐴𝐻
在△𝐴𝐸𝐹和△𝐴𝐻𝐹中， ∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐻𝐴𝐹，
𝐴𝐹=𝐴𝐹
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹(SAS)，
∴𝐸𝐹=𝐹𝐻，
∵𝐹𝐻=𝐷𝐻+𝐷𝐹=𝐵𝐸+𝐷𝐹，
∴𝐸𝐹=𝐵𝐸+𝐷𝐹，
∵𝐵𝐸=10米，𝐷𝐹=15米，
∴𝐸𝐹=10+15=25（米）．
