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2025 年秋季八年级开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴点 位于第二象限，
故选：B．
2．在 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在 中， ， ，
所以 ，则 ，
故选：B．
3．以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全市中小学学生每天的零花钱
B．旅客登机前的安检
C．调查“卫星发射器”零部件的质量情况
D．了解全班同学每周体育锻炼的时间
【答案】A
【详解】A．全市中小学学生数量庞大，全面调查成本高、耗时长，适合采用抽样调查，因此不适合全面
调查．
B．安检涉及安全，必须逐一检查，需全面调查．
C．卫星零部件质量要求极高，必须全面检测，避免疏漏．
D．全班人数较少，全面调查可行且数据更准确．
故选A．
4．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有D选项中的图形是经过平移得到的．
故选：D．5．下列算式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A. ，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. 错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选：D．
6．下列变形正确的是（ ）
A．由 得 B．由 得
C．由 得 D．由 得
【答案】D
【详解】解：A、由 ，移项得 ，故本选项错误，不符合题意；
B、 两边同除以4得 ，故本选项错误，不符合题意；
C、由 两边同除以3得 ，故本选项错误，不符合题意；
D、由 两边同乘 ，得 ，故本选项正确，符合题意；
故选：D
7．下列说法正确的是（ ）
A． 和 表示同一个点 B．点 在 轴的正半轴上
C．点 到 轴的距离为2 D．点 到 轴的距离为3
【答案】C
【详解】A.点 的横坐标为3，纵坐标为2；点 的横坐标为2，纵坐标为3，横纵坐标不同，故不表
示同一个点，错误；不合题意；
B.点 在 轴的正半轴上，错误；不合题意；
C.点 到 轴的距离为2，正确，符合题意；
D.点 到x轴的距离为2，错误；不合题意；
故选：C．
8．已知 是关于 ， 的二元一次方程 的一个解，则 的值为( )
A．6 B．4 C．3 D．1【答案】C
【详解】将解 代入方程 ，
得：
解得： ，
故选：C．
9．如图所示，数轴上表示3、 的对应点分别为C、B，点C是 的中点，则点A表示的数是（ ）
A．－ B．6－ C． －3 D． ＋3
【答案】B
【详解】解：设A表示的数是a，
∵点C是 的中点，
∴
解得： ，
故选：B．
10．已知关于x、y的方程组 ，给出下列结论：①当 时，该方程组的解是 ；②
无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；
④用含x的式子表示y， ．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：①当 时，方程组变形为 ，
把 代入方程组，得 都成立，故方程组的解是 ；故①正确；
②若x，y的值互为相反数，则 ，故
由 ，
变形为 ，
解得 ，解得 ，
故当 时，x，y的值互为相反数，
判定无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数是错误的；
故② 错误；
③当 时，方程组变形为 ，解得 ，
把 代入方程 得 ，
解得 ，矛盾，
故③错误；
④由 ，
得 ，
用含x的式子表示y，得 ，
故④错误；
综上所述，仅结论①正确，正确个数为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了解方程组，相反数的应用，等式的性质，同解问题，熟练掌握解方程组是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算： ．
【答案】
【详解】解：
故答案为： ．
12．如图，用坐标 表示邮局的位置，用坐标 表示书店的位置，则表示学校位置的点的坐标是
．【答案】
【详解】解：∵用坐标 表示邮局的位置，用坐标 表示书店的位置，
∴画出平面直角坐标系，如图所示：
∴表示学校位置的点的坐标是 ，
故答案为：
13．如图，将一块直角三角板 放置在锐角 上，使得该三角板的两条直角边 ， 恰好分别
经过点 ， ．若 时，点 在 内，则 的值是 ．
【答案】 / 度
【详解】解：如图，连接并延长 ，交 于点 ，则 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
故答案为： ．14．如果关于 的不等式组 有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数 的和为
．
【答案】
【详解】解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
关于 的不等式组有且只有 个整数解，
这 个整数解是 ， ， ， ， ，
，
解得： ，
满足条件的整数 的值为 ， ， ，
符合条件的所有整数 的和为 ，
故答案为： ．
15．如图，线段 与射线 交于点 ， 为射线 上一动点（不与点 重合），连接 ，过点
作直线 ，过点 作直线 ，交 于点 （点 与 不重合）．若 ，则
的度数为 ．
【答案】 或
【详解】解：分以下两种情况：
当点 在点 左边时，如图，延长 交 于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ；
当点 在点 右边时，如图， 交 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．（1）计算： ．
（2）求 的值：
【详解】解：（1）
；
（2）
，，
，
．
17．解方程组或不等式组：
(1) ；
(2) ．
【详解】（1）解：
得： ，
解得： ，代入①中，
解得： ，
方程组的解为： ；
（2）解： ，
解不等式①得
解不等式②得
所以不等式组的解集为 ．
18．某区在实施居民用水管理前，随机调查了部分家庭（单位：户）去年的月均用水量（单位：t），并将
调查数据进行整理，绘制出如下不完整的统计图表：
月均用水
频数 百分比
量
6
12
a
10
42
合计 b
请解答以下问题：
(1) ， ，补全统计图；
(2)若该小区有2000户家庭，根据此次随机抽查的数据估计，该小区月均用水量不低于20t的家庭有多少户？
(3)为了鼓励节约用水，要确定一个月均用水量的标准，超出该标准的部分按1.5倍价格收费，若要使
的家庭水费支出不受影响，那么，你觉得家庭月均用水量应定为多少？
【详解】（1）解：（1）∵被调查的总数量 ，
∴ 的频数 ，
补全图形如下：
；
（2）解： （户），
答：估计该小区月均用水量不低于 的家庭有240户；
（3）解：∵前三个分组的频率之和为 ，
∴家庭月均用水量应定为 ．
答：我觉得家庭月均用水量应定为 ．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q
到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
(1)点 的“长距”是__________；点 的“长距”是__________；
(2)若点 是“完美点”，求a的值；
(3)若点 的长距为4，且点D在第二象限内，点E的坐标为 ，请判断点E是否为“完美点”，并说明理由．
【详解】（1）解：根据题意，得点 到 轴的距离为4，到 轴的距离为2，
∴点A的“长距”为4．
点 到 轴的距离为7，到 轴的距离为9，
∴点B的“长距”为9．
故答案为：4；9；
（2）解：∵点 是“完美点”，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ；
（3）解：∵点 的长距为4，且点D在第二象限内，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ，
∴点E到x轴、y轴的距离都是5，
∴点 E 是“完美点”．
20．某中学组织七年级学生参加校外研学活动，需租用 、 两种不同型号的客车，若租用 型客车5辆
和 型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 型客车1辆和 型客车5辆，则需要租金2800元．两种客
车的座位数如下表：
客车型
号
人数/辆 30 45
(1)求租用 、 两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
(2)现有七年级师生450人，计划同时租用两种型号客车，一次送完．若学校计划租用两种型号客车共14
辆，其中租用 型客车的数量不超过 型客车数量的 ，问有几种租车方案？若要使得总费用最少需租用
多少辆 型客车？最少费用是多少？
【详解】（1）解：设租用一辆 型号客车 元，租用一辆 型号客车 元，依题意得：
，
解得： ，答：租用一辆 型号客车300元，租用一辆 型号客车500元．
（2）解：设租用 型号客车 辆时，则 型号客车 辆，由题意得：
，
解得， ，
为整数，
的取值为9，10，11，12，
有四种租车方案，
租用 型号客车9辆， 型号客车5辆，此时租车费用为： （元），
租用 型号客车10辆， 型号客车4辆，此时租车费用为： （元），
租用 型号客车11辆， 型号客车3辆，此时租车费用为： （元），
租用 型号客车12辆， 型号客车2辆，此时租车费用为： （元），
答：共有四种租车方案，当租用 型号客车12辆，总费用最少，最小费用为4600元．
21．对于任意有理数x、y定义一种新运算f，规定 （其中a、b均为非零常数），等式右边
是通常的四则运算．例如： ．
(1)已知 ，求a、b的值；
(2)已知 ，且 ，求出符合条件的a、b的整数值．
(3)在（2）的条件下，若关于m的不等式组 ，恰有两个整数解，求n的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ；
（2）解： ， ，
，
解得： ，
为整数，
，
，
，符合条件的a、b的整数值为 ， ；
（3）解：由（2）可知， ，
原不等式组整理为： ，
解得： ，
原不等式组恰有两个整数解，
，
解得： ，
的取值范围是 ．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。
22．直线 ， 与 的平分线交于点 ， 的延长线交 于点 ，过点 作
，交 的延长线于点 ．
(1)如图1， 与 平行吗？ 为什么？
(2)如图2，点 在线段 上，点 在线段 上，连接 、 ， 平分 若
求 的度数；
(3)在（2）的条件下，以点 为顶点， 为边，在 下方作 ，交 的延长线于点
，求 与 之间的数量关系．
【详解】（1）解： ，理由如下，
如图，过点E作 ，
．
∵ ，
∴ ， ，
，
平分 平分 ，，
，
，即 ，
，
，
，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
设 ，如图，
∵ 平分 ， ，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ．
（3）解： ，理由如下：
以点G为顶点， 为边，在 下方作 ，交 的延长线于点P，画图如下：
是 的外角，
，
，
在 中， ，，
，
，
，
23．如图，在平面直角坐标系中， ， ，将线段 沿x轴向右平移12个单位长度得到线段
，点P 为射线 上一动点．
(1)点C 的坐标为_________，点D 的坐标为________；
(2)如图①，点M是线段 上一点（不与点C，D重合），当点P 在线段 上运动时（点P不与点D重
合），连接 之间有怎样的数量关系？ 请说明理由；
(3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接 ，若 ，三角形 的面积等于三角
形 的面积，求点 P 的坐标．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ，将线段 沿x轴向右平移12个单位长度得到线段
，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：当点P在点D右边时，如图，过点M作 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
当点P在点D左边时，
同理可得 ，
∴ ，
即 ，
∴ 或 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
①点P在点A右边，N在正半轴时，
可得 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
N在负半轴时，点C在 的下方时，
可得 ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②点P在点D右边，点C在 的上方时如图，连接 ，
可得 ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上，P点的坐标为 或 或 ．
