2025《初中数学•题型方法全归纳》参考答案_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学人教版试卷_初中数学人教版7-9年级上册

视频讲解•精髓提炼
题归一
I ILLJIYI
题型方法孤翔
（适用初一、初二、初三）
参考答案
陈吉刘云龙编著
X
一
sin A
3X2
a0 = 1( 。*。) X
z 团
4H
X 一一,
a
ax2 + bx +c = 0
^1oo sm a
1
匕)
35X2
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攵x zs
E
100
2
IDO
A. bz eAB + e BC = eAB
WO
f T(x)= X+l
b d be ad be ± ad
~—・- -4— ——一.， - —. — ——
—a c ac ac ac
al0g (be)
种题型和方法
一一、
*―3r
《中国广播目视出版社——初中数学——
题型方法妙纲
陈吉刘云龙编著
种题型和方法
设中国广播蜀礼出版社图书在版编目（CIP）数据
初中数学题型方法全归纳/陈吉编著；刘云龙编著.北京：中国广播影视出版社,
2024. 7. —ISBN 978-7-5043-9242-8
I . G634. 603
中国国家版本馆CIP数据核字第2024J2M628号
初中数学题型方法全归纳
陈吉刘云龙编著
责任编辑王萱彭蕙
责任校对马延郡
封面设计陈吉刘云龙
出版 发 行 中国广播影视出版社
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字 数 280（千）字
印 张 21.75
版 次
2024年7月第1版2024年7月第1次印刷
书 号 ISBN 978-7-5043-9242-8
定 价198.00元
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-----------------------4 f-----------------------
代数专题篇
第一章有理数.............................................................................2
第二章整式及其加减计算................................................................. 17
第三章一元一次方程..................................................................... 28
第四章实数..............................................................................44
第五章二元一次方程（组）..................................................................50
第六章 不等式及不等式组.................................................................63
第七章整式的乘除法..................................................................... 74
第八章因式分解......................................................................... 89
第九章 分式及分式方程...................................................................97
第十章二次根式.........................................................................111
第十一章一元二次方程..................................................................120
-----------------------4 f-----------------------
几何专题篇
第一章几何初步........................................................................ 137
第二章相交线和平行线..................................................................147
第三章三角形.......................................................................... 154
第四章全等三角形...................................................................... 162
第五章轴对称.......................................................................... 189
第六章 勾股定理........................................................................ 200
第七章平行四边形......................................................................210
第八章旋转............................................................................ 238
第九章圆.............................................................................. 245
第十章相似三角形......................................................................260
第十一章 锐角三角函数..................................................................277
第十二章 投影和视图....................................................................286♦函数专题篇♦
第一章平面直角坐标系..................................................................291
第二章一次函数的性质和图象............................................................296
第三章二次函数........................................................................ 315
第四章反比例函数...................................................................... 335
---------------4 1------------------
数据统计与概率专题篇
第一章 数据的收集、整理和描述..........................................................343
第二章数据分析........................................................................ 349
第三章 概率初步........................................................................ 356代数专题篇源
初中数学题型方法全归纳
留题型方法1：正数、负数和0
【变式1］解：盈利80元记作+80元，那么亏损40元记为-40元.
故答案为：-40.
【变式2］解：如果把“增加16%”记作“16%”，那么“-8%”表示“减少8%” .
故答案为：—8%.
【变式3］解：如果盈利20元记作“+20元”,那么亏损30元记作“-30元”.
故选：A.
豺题型方法2：对有理数进行分类
【变式1】解：4、-工是分数，不符合题意；
2
B、兰是分数，不符合题意；
7
。、三是无理数，不是分数，符合题意；
2
D、80% = 3是分数，不符合题意.
5
故选：C.
【变式2】解：—工和一工是负分数，
2 5
故选：B.
a
【变式3】解：6是正整数，-3是负整数，2.4是正分数，士是正分数，。是整数但不是正数也不
4
是负数，-3.14是负分数，工是正分数，+2是正整数，-3工是负分数，-1.414是负分数，-17是
9 2
负整数，工是正分数，
3
2 2
故答案为：6, 2.4, — , +2,—；
9 3
6, 0, +2；
6, — 3, 0, +2, — 17；
3 1
一一，-3.14, -3-, -1.414.
4 2
3
【变式 4】解：负数：｛ — 21, -9, -6.4, -16%,
非负整数：｛0, +27, ...）；
2代数专题・第一章 有理数
正有理数：{3.6, +27, ...}.
3
故答案为：—21, -9, -6.4, -16%； 0, +27； 3.6, +27.
寻题型方法3:数轴的概念
【变式1】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是5.
故选：B.
【变式2】解：根据数轴可得：b<a<0<cf
•\a+b<0> c-a>0.
：.A, C、。选择正确.
J -a>0,
：.-a>b.
・,・B选项错误.
故选：B.
【变式3】解：点P表示的数是-2+4=2.
故选：C.
【变式4】解：通过观察易知(1)数轴单位长度不一致故错误；(2)数轴没有原点，故错误；(3)数轴
原点，单位长度，正方向都具有，故正确；(4)数轴没有正方向，故错误；
故不正确的由(1 )(2)(4洪三个，
故选：B.
【变式5］解：・・,点Z表示的数为2,将点/向左移动三个单位，
・・・2-3=-1,
即点8表示的数为-1.
故选：A.
【变式6］解：・・・力表示的数是-2,将点/在数轴上向右平移五个单位长度得到点5,
・••点8表示的数是-2+5=3.
故选：D.
【变式7】解：线段45的长为：2-(-8)=10.
故选：C.
国题型方法4：求一个数的相反数
【变式1】解：-(-6)=6,则-6的相反数是6.
故选：B.
【变式2】解：—工的相反数是J.
2 2
故选：C.
【变式3］解：—( — 2021尸2021.
故选：B.
3卷
【变式4】解：•“与3互为相反数，
.*.x= - 3,
...x+l= - 3+1= -2.
故选：A.
留题型方法5：求一个数绝对值
【变式1】解：-2021的绝对值为2021.
故选：A.
【变式2】解：观察温度计，这个示数为-9,所以该示数的绝对值为9.
故选：B.
7 7
【变式3】解：—£的绝对值为(.
故选：B.
【变式4】解：由题意得：\m\=\m+2\,
m=m+2 或加=-(加+2),
m= - 1.
故选：D.
【变式 5］解：・・・|0|=0, |-0.5|=0.5, |1|=1, |-2|=2,
|0|<|-0.5|<|1|<|-2|,
・・・各选项中绝对值最小的数是0.
故选：A.
留题型方法6：有理数加减计算
【变式 1】解：15+(-22)=-(22-15)=-7.
故选：A.
【变式2】解：(―5)+3= —2.
故选：B.
【变式 4】解：-3-(-2)+5=-3+2+5=4.
故答案为：4.
【变式5】解：-2+5=3.
故选：C.
【变式 6】解：-2+8=+(8 —2)=6.
故选：B.
留题型方法7：有理数乘除计算
【变式1】解：3x(-2)=-6.
故选：D.
4代数专题・第一章有理数
【变式 2】解：( — 5)x3= —(5x3)=—15.
故选：C.
原式Y 7 4 7 2 4 2
【变式3】解: x — =----x x——=—
2 7 4 7 7 7
【变式4】■ 原式=-0.25x25x4= - 0.25x100= - 25.
【变式5］解: 原式= (—20)x18 + xl8
= —360 + 1
--359 .
原式」x㈣J
【变式6】■
15 32 5
8xl00x 6
15x32x5
=2 .・
良题型方法8:乘方计算
【变式 1】(1) (—4)3 =—43 =—4x4x4 = —64； (2) 22=2x2x2 = 8 ；
4
(3) (4) (-1.5)2=(-1.5)x (-1.5)= 2.25 .
25
【变式 2］解：比较(—4)3 =(—4)x(—4)x(—4)= -64, -43 =-4x4x4 = -64 ,底数不相同，表示的
意义不同，但是结果相同.
故选：D.
【变式3】解：逆用分配律可得：
(-2)2003 +(-2)2004 = -2 2003 + -2 2004 = 2 2003 x(2-l)= 22003.
故选：C.
7
3 4 3
【变式4］解: lx 1.
4
留题型方法9:有理数混合计算
【变式1】解:
【变式2】解:
5初中数学题型方法全归纳
【变式3］解：2+
=2 ­ (一3)
=2x(—12)x(—3)
= 72.
【变式 4】解：(-3)2x^J-(-9 + 3)
=9x *(―6)
=-+ 6
3
19
=---•
3
［变式 5］解：-(-3-5)+32x(4-3)
= -(-8)+9xl
=8+9
= 17.
【变式6】解：原式=2*(—5)+4 —3x2,
= -10+4-6,
= -12.
留题型方法10：科学记数法
【变式 1】解：17000=1.7xl04.
故选：C.
【变式 2】解：1411780000=1.41178xl09.
故选：B.
【变式 3】解：700000000=7xl08.
故选：C.
【变式 4】67500=6.75 X104.
故选：B.
留题型方法11：近似数
【变式 1】解：(1) 27.15 万=271500」272000=2.72x1()5,或表示为 27.2 万;
(2) 12 341 000« 12340000= 1.234X107.
【变式2】解：(1) 1.20精确到百分位；
(2) 1.49亿精确到百万位；
(3) -0.30x105精确到千位.
【变式3】解：/、1.8040。1.8(精确到0.1),所以Z选项的计算正确；
6卷______________________________
代数专题•第一章 有理数
B、1.8040穴1.80（精确到0.01）,所以5选项的计算正确;
。、1.8040。1.804（精确到千分位），所以。选项的计算错误；
D、1.8040。2（精确到个位），所以。选项的计算正确.
故选：C.
【变式4】解：1.36x105精确到千位.
故选：D.
【变式5】解：近似数3.5的准确值。的取值范围是3.45 4〃 <3.55.
故选：C.
题题型方法12：根据定义求值
【变式1］解：,・％、b互为相反数，c、d互为倒数，加+1的绝对值为5,
.\a+b=0, cd=lf \m+l\=5f
:・m= 一 6 或 4,
贝!J原式=6- 1+0=5 或 4-1+0=3.
故选：B.
【变式2］解：・・・q、6互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2,
*.a+b=0, cd=l, |x|=2,
：.cdx2-a-b = lx21 -0 = 4-0 = 4 .
故选：A.
【变式3］解：・・％、b互为倒数，x、>互为相反数，且yWO,
ab=l, x+y=0,
（Q+b）（x+y） - ab=（a+byO - 1 =0 - 1 = - 1,
故选：C.
【变式4］解：根据题意得：〃+6=0,孙=1,
贝!）原式=0-2=-2.
故选：B.
【变式5】解：•・& b互为相反数，。、d互为倒数,
.*.a+b=Of cd=l9
：.2020（。+6） - cd=2020x0-l=0-l=-l.
故选：C.
【变式6】解：根据题意得：m=\,片T, q+6=0,盯=1,
则原式=1-1+0-1=-1.
故选：B.
留题型方法13：分组求和
［变式 1 ］解：原式=（1 -2-3+4）+（5-6-7+8）+（9- 10- 11 + 12）+ …+（2013 -2014-2015+2016）.
=0+0+0+•一 +0
=0.
7卷
初中数学题型方法全归纳
【变式 2】解：原式=11+(12—13 —14+15)+(16-17-18+19)+•••+(96- 97 —98+99)+100.
=11+0+04— +100
=111.
【变式3】解：方法1：原式=(1-2)+(3-4)+…+(99-100)
——1 +( - 1)H----+( - 1)
= -50.
十 汁 c 目# 1 + 99 5 2 + 100 “ e
方法 2： 原式=-----x 50------------x 50 = -50 .
2 2
国题型方法14：连锁约分
了什一―救河— 3579 H 2468 的■
解：M^ = -X-X-X-X —X -X -X -X -X
e-999 998 997 1 1
【变式2】 解： 原式=--- x——x——x…x—=-------
1000 999 998 2 1000
留题型方法15：裂项相消
【变式1】解：原式=" 1 1 4
16 21 21
【变式 解： 原式=---- 1----- 1----- 1----- 1----- 1-----
2x3 3x4 4x5 5x6 6x7 7x8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H3
+ + + + +
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 2~8 -8
【变式3］解:
【变式4］解:
= 1 + ——
223344567
=1一;
6
7
【变式5】解：原式=i+(i+；)x彳+ 1 1 1
2 2 2 2
=1 + 二_ + 2+2+...+-_
2x3 3x4 4x5 100x101
=24二+—.」」
(2 2 3 3 4 4 5 100 101
8200
-W4
留题型方法16:整体换元
【变式 1 ； 解： 令。=1 H----1------• -• -十1--------, b- 1----- 1----F 1--------
2 3 2005 2 3 4 2005
贝！J原式=Jb + --- "+短
b = ab+ ——a -ab-------b = ——［a - b)= ——
(2006 2006 2006 2006 , 7 2006
【变式 2］解：令。=1 + 2?+3? + …+ 49? , 6=22+3?+…+ 49?,
则原式=〃6 + 502)一(〃 + 5()2'=而 + 502”仍一5。26 = 5()2 ("6)=2500 .
留题型方法17:等差数列——倒序相加法
【变式 1］解：设S=(-5)+(-2)+1+4+7+…+100,
把数字倒着写一遍得：S=100+97+…+(-2)+(-5),
将两式相加得：2s=95+95+…+95+95=36x95=3420,
所以，5=34204-2=1710.
【变式2】解:设灵+3| +卜泊+ (1 2 49
---\-----1------F …H-----
(50 50 50,
包贴〜㈤至口 、4曰o 1 62 1W3 2 (49 48
2(3 3)(4 4 4) <50 50 50 J
将两式相加得：2s=1+2h—+49=---------=1225,
2
所以，5=1225-2=612.5.
留题型方法18:等比数列——错位相减法
【变式1]解：设S=l-4 + 42—4?+…+ 4曲①,
两边乘以一4 得：-4S = -4 + 42 - 43 + • • • + 4100 - 4101 ②,
用①—②得：55=1 + 4，
1 + 4101
所以，S=上—.
5
【变式2] 解：设+ ! + J + ①，
两边乘以;得：= …+*（!）•
用①一②得：；5 = ；一/?'
所以，s=i-/・
9初中数学题型方法全归纳
【变式3］解:设5=1 + 3 + 32 +33 +3,…+ 32。16①,
两边乘以 3 得：3S=3 + 32 +33 +34 +35---32017 ②,
用①—②得：-2S=1-32。。，
&2017 _i
所以，s —―.
2
留题型方法19：绝对值化简
【变式1】解：V^«3.14,
・・・〃 — 4V3, 3-7v<0 ,
・'・忱 一 41 +13 — %］ = 4 — 乃 + 〃 - 3 = 1 .
故答案为：1.
【变式2】解：由图所示，可得c = -3V-1VqV0V2Vb.
:.3a - c>0 , 2a + b>0 , c - b<0 ,
*** \ia — c|+|2q+臼— \c~ 旬=(3a — c)+(2q+6) — ［ — (c - b)］=3a — c+2a+b+c — b—5a.
工原式=5q.
【变式3］解：・・W=1, |…|=7,
a - b=±l, a - c=±7,
当a-6=1, q-c=7 时，b - c=a - c - (a - b)=l - 1=6,原式=6；
当。-。=-7 时，b - c=a - c-(a- b)= - 7+1= - 6,原式=6；
当〃-6=1, q-c=-7 时，b - c=a - c-(a- b)= - 7 - 1 = - 8,原式二8；
当。-。=7 时，b - c=a - c-(a- 6)=7+1 =8,原式=8.
故选：C.
留题型方法20：已知绝对值反求参数
【变式1］解：根据题意：同=-〃；所以-aNO,所以aVO,即a为负数或0.
故选：D.
【变式2】解：根据题意：5-x>0,所以，x-5<0.
故选：D.
【变式3］解：非负性是绝对值的重要性质.由题意可知Q204V0.
故答案为：负数或零(或非正数).
【变式4］解：因为同20,
所以同的值是非负数.
同=-a,-。是非负数，所以〃是负数或零.
故选：A.
【变式5］解：・・・恸=5, ［y|=2,
，x=±5, y=±2,
Vx<0,>>0,
...x=-5, y=2,
10春
代数专题-第一章 有理数
/.x+y= - 3.
故选：D.
【变式6］解：・・・同=—Q,
a < 0 ,
|tz - 11 - \a\= - (a - l)+q= - a+\+a=\,
故选：B.
留题型方法21：绝对值非负性应用
【变式1】解：由题意得，q-2=0, 6+1=0,
解得，4=2, b=-\,
则 a+b=l,
故答案为：1.
【变式2］解：・・,|a+1.2|+|b—1|=0,
.•.q+1.2=0, b - 1=0, ,
C.a= - 1.2, b-\,
•** q+( — 1)+( - 1.8)+6— — 3.
【变式3］解：因为|2 —刈+w―3|=0,
<|2-^|>0, |n-3|>0,
所以|2 - w|=0, \n - 3|=0,
即 2— 机=0, n - 3=0,
所以加=2, n=3f
故加-2n=2 - 2x3= -4.
【变式4】解：由题可知(x-2『+k +2H = 0 ,
因为(x-2『20, |x+2y|>0,要使等式成立，
那么，(x — 2)2 =0,卜 + 2引二(),
所以，x=2, >=一1,所以，y-x=-3.
【变式5］解：因为6为正整数，所以人最小值为1,要满足题意，必有2a-4=0, b=l,
所以，q=2, b=l.所以，ab = 2 .
【变式6】解：因为1AliN0,
所以，-10+”1|810,
当且仅当|工-1|二0成立，此时x=l.
所以，当x=l时，有最小值，最小值为-10.
留题型方法22：数轴与绝对值结合
【变式1】解：由数轴可知，。为正数，b为负数,且同〈|目，
・・・Q+b应该是负数，即：a+b<0,
又・.・a>0, b<0, ab<0.
11卷
初中数学题型方法全归纳
故答案5、C、。错误.
故选：A.
【变式2］解：・・ZVO,
\a\= -a,
・ •・选项4正确；
V6>0,
：.\b\=b,
・ ,・选项5正确；
*：a<O<b, b>-a,
••・a+b>0,
\a+b\=a+b,
・ ・・选项C正确；
■ : a〈b,
；・a- b<0,
\a~b\=b~ a,
・ ,・选项O错误.
故选：D.
【变式3】解：由数轴上各点的位置可知：a<Q<b,且回>同.
\a+b\ - a=a+b - a=b.
故答案为：b.
【变式4］解：・・・同=2, |6|=3,
*=±2, b=±3,
由数轴有，b>a,
:.b=3,。=±2,
故答案为：±2； 3.
【变式 5］解:V\a+b\ = -(a+b), \a-b\=a-b,
• . a + b <Q , a-b> 0 ,
:・ aNb ,
4、由图知，a>Q, b>0,所以〃+b>0,所以此选项不合题意；
B、由图知，a<0, b<0, a>b,所以a+bVO,所以此选项符合题意；
。、由图知，a<0, b>0, a<b,所以此选项不合题意；
。、由图知，q>0, b<0, \a\>\b\,所以a+b>0,所以此选项不合题意.
故选：B.
【变式6】解：由数轴上a点的位置可知，QV0,
Atz-KO,
・,•原式=a+l -a=\.
故答案为：1.
【变式7】解：由图示知，b-a=4,
12春
代数专题-第一章 有理数
①当a>0, 8>0时，由题意可得同=3以，即a=36,解得〃=一6, b=-2,舍去；
②当〃V0, 6V0时，由题意可得|臼=3以，即q=3b,解得a=-6, b=-2,故数轴的原点在。点；
③当aVO, 6>0时,由题意可得同=3|臼,即-a=3b,解得。=-3, 6=1,故数轴的原点在C点；
综上可得，数轴的原点在。点或。点.
故答案为：C、D.
【变式8】解：由图可得,a<c<O<b,且同>以，
贝！J|q - b\+\c\=b - a-c.
故选：D.
留题型方法23：绝对值的分类讨论问题
【变式1 ］解：•.•加河0,1.加、〃两个数都不为零，
若加、〃两个数都是正数，则加拉也是正数，故原式值为3；
若加、〃两个数一正一负，则加〃是负数，故原式值为-1；
若加、〃两个数都是负数，则加〃是正数，故原式值为-1；
综上所述， F -；―7 + •； 7 = 3 , - I .
m \n\ \mn\
【变式2］解：・・・必"0,・・・〃、b、。三个数都不为零，
若依6、。三个数都是正数，贝以8、ac、A也都是正数，故原式值为3；
若a、b、。中两正、一负，则仍、ac> 6c中一正、两负，故原式值为-I；
若〃、b、。中一正、两负，贝!Jab、acy be中一正、两负，故原式值为-I；
若a、b、。中三负，贝（Jab、acy be中三正，故原式值为3.
综上所述，告+ £ +告=3或-1.
\ab\ \ac\ \bc\
【变式3］解：当〃>0, b>0 时，…+」=1 + 1 = 2,
a b
\a\ \b\ /
当q>0, 6〉0 时， U + U = i + (_i) = o ；
a b '
\a\ \b\
当。<0, 6>0 时， □ + " = -1 + 1 = 0 ；
a b
\a\ bl (、
当。<0, 6<0 时， —+ —= -l + (-l) = -2 ；
a b
综上所述，回+国的值为-2, 0, 2.
a b
故选：C.
【变式 4】解：Vabc>0, a+b+c=O,
・・・心b、。中有两个负数，一个正数，
. 卜+42|b + c| 3卜+ 4_卜| 2㈤3冏
• m ----------1------------1---------- -----1--------1------,
c a b cab
・ ••当aVO, c<0, b>0,加有最大值，即加=一1—2+3=0；
13卷
初中数学题型方法全归纳
当c>0, a<0, Z?<0,加有最小值，即加=1-2-3=-4；
.•.x+y=O+( - 4)= -4.
故选：A.
留题型方法24：绝对值有关最值问题
【变式 1】解：当xVl 时，贝lj|x-l|+|x - 3|+|x —5|=1—x+3—x+5—x=9 —3x>6,
当 1 时，贝！l|+|x-3|+|x-5|=x- 1+3 -x+5-x=7-x,而4<7-x«6 ,
当且仅当x=3 |x- l|+|x-3|+|x-5|=4,
当 3Vx « 5 时，贝!J, 一 l\+\x - 3\+\x - 5\=x - l+x-3+5-x=x+lf ffu 4<x +1 < 6 ,
当 5 Vx时，贝山工一 l|+|x- 3|+|x- 5|=x- 1+x- 3+x- 5=3x- 9>6,
综上可得：当x=3时,|x-l|+|x-3|+|x-5|取得最小值4.
【变式2】解：当1W4时，贝业-l|+|x-4|取得最小值3,
当2 Vx<3时，贝lj|x — 2|+|x —3|取得最小值1,
所以，当且仅当2 W3时，|x-l|+|x-4|和|x-2|+|x-3|同时取得最小值；
所以，当2<x<3时，|x—l|+|x —2|+|x —3|+|x —4|取得最小值，最小值为4.
【变式3】解：当1姿5时,则|工-1|+,-5取得最小值4,
当尸3时，贝业-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值2,
所以，当且仅当x=3时，|x-l|+|x-5|和|x-2|+|x-3|+|x-4|同时取得最小值；
所以，当尸3时，|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+吐5|取得最小值，最小值为6.
【变式4]解：当1V022时，贝！!|x-l|+|x-2022|取得最小值2021,
当 2Kx < 2021 时，贝lj|x - 2|+|x- 2021|取得最小值 2019,
当 3 « x V 2020 时,则 1X - 3|+|x - 2020|取得最小值 2017,
以此类推，当1011W1012时,贝业-1011|+|x-1012|取得最小值1,
所以，31Oll<x<lO12 0t, |x-l|+|x-2022|, |x-2|+|x-20211, |x-3|+|x-2020|-|x- 10U|+|x
-1012|同时取得最小值，
所以，当 1011<x<1012 时，|x—l|+|x — 2|+|x — 3|+|x — 4|+|x — 5|+・・・+|x -2022|取得最小值，最
小值为 1+3+5+…+2021 = 1022121.
【变式 5】解：V(|x+l|+|x-2|)([y--3|+[y+2|)=15,
|x+l|+|x-2|>3 , \y-3\+\y+2\>5 f
・ ・・只有-l<x(2, -2W”3满足条件，
・ ,/-2》的最大值为2-2x(-2)=6,最小值为-1 -2x3= -7.
故x-2》的最大值6,最小值-7.
故答案为：6, -7.
【变式 6】解：V(|x-l|+|x-2|)([y-3|+[y-4|)=l,
W|x-l|+|x-2|>l, ly-3|+[y-4|>l,
・ ・・只有3<”4满足条件，
・ ・.x+y的最大值为2+4=6,最小值为1+3=4.
14卷
代数专题-第一章 有理数
故答案为：6； 4.
【变式 7】解： ^=\x- 1 |+|x - 1 |+|x - 2\+\x- 2\+\x - 2\+\x - 2\+\x- 3|+|x - 3|,
所以，当工取中间的零点时，取得最小值，
即x=2时取得最小值，当x=2时,原式=4,即最小值为4.
1 ? 3 1 1 ? 7 ?
【变式 8】解：原式=2|工_ _|+3,_ - |+4|x - - |=|x - - |+|x - - |+|x - - |+|x - - |+|x - - |+|x -
2 3 4 2 2 3 3 3
所以，当X取中间的零点时，取得最小值，
即时取得最小值，当时，原式=4,即最小值为4.
3 3 3 3
【变式 9]解：当时，则,-1|_|%_2|=1_X_(2_乃=_1,
当 1VxV2 时，贝收一 1|一,一2|=2x —3, ffi]-l<2x-3<l ,
^x>20^, |x-l|-|x-2|=l.
所以，只有当xN2时，|x-1|-|x-2|取得最大值，最大值为1.
留题型方法25：数轴上的图形滚动问题
【变式1】解：转动1次以后8点对应的数为1,说明，起始位置对应的数为1,再转动2019次，
而2019+3=673,没有余数，说明刚好转动了 673圈，转动的距离为673x周长3=2019,向右转动，
所以5点的终点位置对应的数为1+2019=2020.
故选：B.
【变式2】方法1：转动1次以后2点对应的数为2,说明，起始位置对应的数为2,再转动2018
次，而2018+4=504……2,转动了 504圈后，转动的距离为504x周长4=2016,向右转动，所以此
时5点的终点位置对应的数为2+2016=2018,再转动2次，此时，2019对应的点为。点.
方法2：在转动的过程中，1对应4点，2对应瓦点，3对应。点，4对应。点，5对应4点，6对应3
点，所以，数字+4余数为1,则对应4点；余数为2,则对应8点；余数为3,则对应。点；没有余数,
则对应。点.而2019+4=504……3,所以，2019对应的是C点.
故选：C.
【变式3】方法1：把圆分成4等分，滚动,圆算滚动一次，那么，从-2到-2018滚动了 2016
4
次，而2016+4=504,说明刚好滚动了 504圈，所以，滚动的距离为504x周长4=2016,圆上数字0
的起始位置为-2,那么终点位置为-2-2016=-2018.所以，-2018对应的是数字0.
方法2：把圆分成4等分，在转动的过程中，数字0对应-2点，数字3对应-3点，数字2对
应-4点，数字1对应-5点，数字0对应-6点，数字3对应-7点，所以，|数字|+4余数为2,则
对应数字0;余数为3,则对应数字3；没有余数，则对应数字2；余数为1,则对应数字1.而I-
2018| + 4=504……2,余数为2,所以，-2018对应的是数字0.
故答案为：0.
15初中数学题型方法全归纳
豺题型方法26：数轴上点左右跳动问题
【变式1】解：由题可知，4点的起始位置为-1,移动次数为99时，99为奇数，每次向右移动2
个单位，那么，共向右移动的距离为2」x2 = 100,所以，• = -1 + 100 = 99.移动次数为2020时，
2
2020为偶数，每次向左移动2个单位，那么，共向左移动的距离为 Wx2 = 2020 ,所以，
2
A2020 = —1 — 2020 = —2021 .
故答案为：99； -2021.
【变式2】解：由题可知，移动次数为奇数时，即〃为奇数时，那么，向左移动的距离为 5x3,
2
此时，4 = 1 —5x3, 4为负数，所以，由1 —Sx3<—20得：«>13；
2 2
若移动次数为偶数时，即〃为偶数时，那么，向右移动的距离为2x3,此时，A = l + -x3,
2 2
4为正数，所以，由1 +，3220得：«> —；
2 3
综上可知，〃的最小值为13.
【变式3】解：由题可知，最终是向右移动了，那么移动的次数一定是偶数，即〃为偶数，所以，
移动的距离为「x3,此时，4 = l +'x3 = 2023 ,解得：片1348.
2 2
总共移动了 1348次，第一次移动了 1x3,第二次移动了 2x3,第三次移动了 3x3,第四次
移动了 4x3,依此类推，第1348次移动了 1348x3 ,所以设移动的总距离为S,那么，
S=lx3 + 2x3 + 3x3 + 4x3+…1348x3 = 3x(1 + 2 + 3 + 4+…1348 )=2727678 ,所以，移动了 2727678
个单位长度.
故答案为：1348； 2727678.
【变式4】解：(1)滚动半周，滚动的距离为"，所以，点。表示的数为万，是无理数.
(2)滚动两周，滚动的距离为4»,所以，点。表示的数为4%.
(3)①(+2)+(- 1)+(+3)+(-4)=0,所以，第4次滚动后，力点距离原点最近，(+2)+(- 1)+(+3) =+4,
此时绝对值最大，说明离原点最远，所以，第3次滚动后，4点距离原点最远.
(2)|+2|+| — 1|+|+3|+| — 4|+| — 3|=13>说明4点滚动了 13圈,所以,运动路程为13x2乃=26万.
(+2)+(-1)+(+3)+(-4)+(-3)=-3,说明相对于初始位置，圆片向左滚动了 3圈，滚动的距离为
3x2» = 6%，所以，此时4点对应的数为0-6〃 = -67r.
故答案为：
(1 )无理；71 .
(2) 47r.
(3)①4； 3.②26万；-6ti .
16代数专题-第二章 整式及其加减计算
留题型方法1:代数式书写规范
【变式1】解：在含有幕的运算中，先算歹的平方，再计算X和/的差.
故选：D.
【变式2】解：买2个面包和5瓶饮料所需的钱数：（2a+5b）元.
故选：D.
【变式3］解：・・•长方形的花园长为a,长增加X,
・ ••新的花园的长为a+x,
贝惭的花园的面积为b（a+x）,
• ・•原来的花园的面积为打，
・ ••新的花园增加的面积为农+工）-仍=时
故选：D.
【变式4】解：。与3差的2倍.表示为：2（〃-3）,
故选：C.
【变式5】解：设这款空调机每台的进价为x元，根据题意，
得：90%（l+30%）tz.
故选：A.
【变式6】解：成本为4元，按成本加价四成作为定价销售即，定价为：（1+40%）4,而降价后的售
价按定价的六折，故降价后的售价为：（1+40%）60%4,
故选：C.
留题型方法2：整式的概念
【变式1】解：4、炉+1是多项式，故此选项不合题意；
B、孙是二次单项式，符合题意；
C、fy是次数为3的单项式，不合题意；
D、-3x是次数为1的单项式，不合题意.
故选：B.
【变式2】解：单项式-肛2的系数是—i.
故选：A.
【变式3】解：4、单项式;孙2的系数是:，故本选项说法错误；
B、单项式-5/的次数是2,故本选项说法错误；
C、多项式/+2X+18是二次三项式，故本选项正确；
D、多项式/+/—1的常数项是一 1,故本选项说法错误.
17初中数学题型方法全归纳
故选：C.
【变式4】解：4、2-。-M是二次三项式，正确，不合题意；
B、%二是多项式，正确，不合题意；
3
C、2万户系数是：2〃，故此选项错误，符合题意；
。、2020是单项式，正确，不合题意.
故选：C.
【变式5】解：整式有—工加几，m, 8, V+2x+6, 生，土包
2 5 71
故选：C.
留题型方法3：同类项的概念
【变式1]解：・・"*3与-7仍〃是同类项，
m= 1, n=3,
・ ••加+〃=1+3=4・
故答案为：4.
I ITJ — 1—17
【变式2】解：根据题意可得： _ ,
[m-^-n = 3
解—，
[n = l
故选：A.
【变式3]解：・・,单项式，加+56与_2/产-〃是同类项，
.+1 = 2
[3m-n = 6
解得「=[
[n = -3
・ ••加+〃=1 - 3= - 2,
故答案为：-2.
{2加—4
一 ,
-2m + 7 = 〃 + 2
.[m = 2
[« = 1
・ ••加+〃=2+1=3,
故答案为：3.
留题型方法4：合并同类项
【变式 1】解：4。+2。-。=(4+2 - 1)q=5q.
故答案为：5q.
18代数专题-第二章 整式及其加减计算
【变式2】解：原式=(2+3-1)/ = 4/，
故答案为：4/.
【变式3】解：2/—。2=(2—=
故选：C.
【变式4】解：4、2x与“不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意;
B、5x-3x=2x,故本选项符合题意；
。、7/—5/=2产，故本选项不合题意；
D、9/6与-4〃/不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意.
故选：B.
留题型方法5：去括号与添括号
【变式 1 】解：4— — +3孙-2/=4 -(/ 一 3孙+2/).
故答案是：x2 - 3xy+2 y2.
【变式 2】解：-(2x2 -3x)=-2x2 +3x.
故选：B.
【变式3］解：4、a-(b+c)=a-b-c,不符合题意；
B、a-(b-c)=a-b+c,与题干多项式不相等，符合题意；
C、(a - b)+( - c)=a ~b~cf 不符合题意；
D、-b-(c- a)= -b- c+a=a ~b-c,不符合题意.
故选：B.
【变式4］解：4、- (3x - 2y+1)= - 3x+2y - 1,不符合题意；
B、(2x - 3y) - (5z - l)=2x -3y- 5z+l,不符合题意；
C、- (3a+2b) - (c+d)= ~3a-2b- c- d,符合题意；
D、-{a- 2b) - (2c -d)=- a+2b - 2c+d,不符合题意.
故选：C.
【变式 5】解：a-(- b+c)=a+b - c.
故选：B.
【变式 6》解：(tz -/?)-(- a+l)=a - b+a - 1.
故选：B.
留题型方法6：整式的加减
【变式1 ］解：原式=4。- 46+2° - 36=6〃 - 7瓦
故答案为：6a - 1b.
【变式2】解：(1)原式=3a+3b-3a+26=5b.
(2)原式=4 -(1+3卜+盯2—3x)
=xy2 - (3y+ xy2 - 2x)
=xy2 - 3y - xy2 +2x
19卷
初中数学题型方法全归纳
=2x-3y,
【变式 3】解：VA=4x2 -4xy-h y2, B= x2 + xy - 5y2,
.9.A -3B = 4x2 - 4xy+ y2 - 3( x2 +xy - 5y2)
= 4x2 - 4xy+ y2 - 3x2 -3xy+15y2
=x2 -lxy+16y2.
故答案为：x2 -lxy+16y2.
【变式4】解：设原多项式为4,贝!U+2/+3q —5=/+〃_4,
^54 = / _ 4 -( 2q2 +3〃 - 5)
=a2 +a — 4 — 2a2 — 3a+5
=—a2 — 2a+l,
贝！J—/ -2a+l-(2a2+3a-5)
=—a2 — 2a+1 — 2/ — 3a+5
= -3a2 - 5q+6.
故选：D.
【变式 5]解:原式=5a2b - 2a2b + 4ab2 - 6ab2 + 3a2b = 6a2b - 2ab2.
留题型方法7：整式化简求值
【变式 1 】解：原式=3- -6成- x2 +6xy-4y=2x2 ~4yf
V x2 -2y-5=0f
x2 - 2y=5,
则原式=2(，-2y)=2x5=10.
【变式 2]解：—B+2A= — (2ab— 3/+ 4/)+2( 3/+/ - Sab)
=-2ab+ 3b2 - 4/ + 6a2 + 2b2 - Wab
= 2a2 + 5b2 - Uab,
^a=~—， b=2 时，
2
原式=2义q] +5X 22 - 12义(-5] x2
=2x1+5x4+12
2
= -+20+12
2
=65
~~2 .
【变式3】解：2X2+4工一y+6-(2汝2 — 3x+5y—1)
=2x2 +ax~y+6 — 2bx2 +3x — 5y+1
20代数专题・第二章 整式及其加减计算
=(2 — 2b) x2 +(a+3)x — 6y+7,
・・•两个整式的差不含x和，项，
.,.2-2^=0, “+3=0，
解得。=-3, b=\,
则 4( a2 + 2b3 - a2b)+ 3a2 - 2( 4ft3 + 2a2b)
=4/+ 8/ - 4/b + 3/ - 8/ - 4a2b
= la2 - 8a2b ,
当。=-3, b=\ 时，
原式=7/ - 8a2b
=7x(-3『-8x(-3)2xl
=7x9 - 8x9x1
=63 - 72
=-9.
寻题型方法8：代数式求值一一整体代入法
【变式1】【解析】(1)把加=-5代入求出即可；
(2)把2加+2九+1变成2(加+〃)+1,把加+〃的值代入求出即可；
(3)把代数式化简得出10加-6几+2,推出2(5加-3〃)+2,把5冽-3片-5代入求出即可.
1 1 o
【答案】(1)解：当加=一5 时，-m2 +l = -x(-5)+1=5+1=6,
5 5 V 7
故答案为：6.
(2)解：Vzn+n= - 5,
2m+2n+1 =2(加+%)+1 =2x( - 5)+1= - 9.
故答案为：- 9.
(3)解：V5m - 3n= - 5,
2(m - 〃)+4(2加-几)+2=2m-2%+8加-4%+2=10加-6%+2=2(5加-3九)+2,
当 5加一 3n= - 5 时，原式=2x( - 5)+2= - 8.
【变式2】解：由已知条件可得/-3口 = -1,
那么，3a2—9。= —3,
所以，原式=-3+2021=2018.
【变式3】解：原式=-2(2x-y) -3(2x-y),
又,.•2x—y=5,
・••原式=-2x52 -3x5=-65.
【变式4】【解析】将x=2,》=-4代入代数式使其值为2018求出4q-b的值，将x=-4,
代入所求式子，整理后将4q-6的值代入计算即可求出值.
【答案】解：当―2,尸-4时,
21春
初中数学题型方法全归纳
得 q x 23 + x( — 4)+8=2018,
8。-26+8=2018
8。-26=2010
4a- 6=1005.
当%=-4,片」时，
2
原式=3"(—4) —246x1—g) +6
——12q+3b+6
=-3(4q - b)+6
= -3x1005+6
= -3009.
留题型方法9:代数式求值——赋值法
【变式1]解：将x=2代入得：2% +23b+ 22。+ 2" + 3 = 20 ,
化简得：16q +8b+ 4c + 2d + 3 = 20 ①，
将x= - 2 代入得：(-2)a + (-2)b + (-2)c + (-2 )d + 3 = 16 ,
化简得：16a-8b + 4c-2d + 3 = 16 ②，
①+②式得：32〃 + 8c = 30 ,
所以，16q +4c = 15.
当x=2 时，ax4 + ex? + 3 = 16。+ 4c + 3 = 18 .
【变式 2】解：(1 )当X=1 时，% +。2 +。3 +。4 +。5 +。6 +。7 = (2乂 1一 if = 1 ,
(2)当工二-1 时，旬 +/ _。3 +〃4 _。5 +4 _% =-3’①，
% + Q] + 4 + % +。4 + 〃5 +。6 + % = 1 ，
②—①得：2(4 + ― + % +。7) = 1 + 3 7 = 2188 ,
1・ % +。3 + / +。7 = 1094 .
【变式3]解：令X=-2则x+2=0所以右边只剩下旬，
所以旬=(—1)2 x(—3)3=—27,
左边8次方的系数是1,
右边8次方的系数是必，
所以4 = 1，
令k-3贝卜+2= - 1,
所以x+2奇次方是-1,偶次方是1,
所以右边=% + % -4 +。3 -。4 +。5 —。6 + % +。8，左边=(一2)X 2^ = 32，
以-27 _ (% _ 4 + % — 44 + ”5 — “6 + ? ) + ] = 32，
22卷
代数专题-第二章 整式及其加减计算
"1 — % + % — % +。5 —。6 +。7 =-58 .
故答案为：- 58.
【变式4】解：(1)令升0,则4=(2x0-1)5=-1；
(2)令/= - 1,贝!J 4 +4 -。3 +% -% = [2x (-1)- 1]5 = (-3)5 = —243 ；
(3)令X=l,贝1J / +4 +电 +。3 +。4 +。5 = (2x 1— 1丫 = 1
由(2 ),可得 4 — Q] + % — 〃3 + “4 —。5 = —243 ,
・・出+ ”4 = —120 .
留题型方法10：定义新运算
(-3)2-(-3)x1
【变式1］解：（-3）3 1 —4
2x(-3)+ 3xl
(-4『-(-4)x(—2)
4
所以，(-4)©(-2)=
2x(-4)+ 3x(-2) 7
【变式 2】解：5X3=5x3-(5+3)=15-8=7,
3 ※(加※ 2)=3 ※[加 X2 — (m+2)]
=3※(加一2)
=3x(加- 2) - [3+(加一 2)]
=2m -7.
1 m 5
【变式3］解:（一2）#（-3）=-------------+ --------------------——
(-2〉(-3)(-2 +1)(-3+ 1) 3
所以，加=3.
国题型方法11：不含某项求参数
【变式 1 】解：8x2 - nx+ 5 + 6x3 +2mx2 -4x + l =61 +(2加+ 8* -(n + 4)x + 6
相加后，不含二次项和一次项，
那么，2加+8=0,及+4=0,
所以，加=一4, 〃=一4.
【变式2】解：
(1)原式=3Z - [9B - 6B+2A]=3A - 9B+6B - 2A=A - 38.
代入后得：原式=2、2 + 5唠-7y -3 -3 x—孙+ 2)
——x2 + 8xy — 1 y — 9 .
当尸-产2 时，H^ = -(-1)2 + 8x(-1)x(-1)x2-7x2-9 = -40 .
(2) A - 2B= 2x2 +5xy- 7y- 3 - 2x^x2 -xy + 2)=7xy - 7y - 7=(7x - 7)y -7.
因为4 - 2H的值与y的取值无关,
所以，7x — 7=0,所以，x=l.
23________壹
初中数学题型方法全归纳
【变式 3】解：(2mx2 - x2 +8x+l)-(5x2 - 5/+6x)
=2mx2 - x2 +8x+l - 5x2 + 5y2 - 6x
=(2加-6) x2 +5+2x+l.
要使式子中不含，项，那么2加-6 = 0,
所以，m=3.
所以,原式=2机3 - [3m3 - 4m 4- 6 + m ]= 2m3 -3m3 + 4m -6-m = -m3 +3m-6 .
当加=3 时，上式二一27+9 — 6= - 24.
留题型方法12：周期规律
【变式1]解：・・7(l)=2(lx2的末位数字),义2)=6(2x3的末位数字)，人3)=2(3x4的末位数字)，
火4)=0(4x5的末位数字)，/(5)=0(5x6的末位数字)，/(6)=2(6x7的末位数字)，义7)=6(7x8的末位数
字)，｛8)=2(8x9的末位数字)，49)=0(9x10的末位数字),…，
・ ••每5个数一循环，分别为2, 6, 2, 0, ()•••,
・ •・ 2016 + 5 =403…1 ,
..戎 1)"2)43)+/(4)45)+ …+ /(2016)
=2+6+2+0+0+2+6+2h-----1- 2
= 403x(2 + 6 + 2)+ 2
=4032.
故选：C.
【变2 J 解：依题息得：％ = 3 ,%= 7 , % = 1，% = 7 ,。5 = 7 ' “6=9，% = 3 , % = 7
所以周期为6,
又20164-6 = 336 ,所以。2。16 = 4 = 9 .
故选：A.
【变式3]解：・."]=3,
1 1 1 2 1 1 1
• • a2 =----= —， a3 =-----二一, a4 =-------= 3 , a5 =--------=—， …,
1 — I 2 1 — % 3 1 — 〃3 1 一% 2
所以这列数的周期为3,
又 2020+3=673 …1, 2020+3=672…2,
• • “2020 - 3 , ^2018 一 一 万，
. _ _7
,, ^2020 一 〃2018 — 5，
故选：D.
留题型方法13：数式排列规律
【变式1】解：(1)第一组按产，22, 32, 42排列，
第二组按V, 23 , 33 , 43排列，
24卷________
代数专题•第二章 整式及其加减计算
第三组按『X(-2), 22x(-2), 32x(-2), 42x(-2)排列，
・••每组的第 6 个数是：62 =36, 63 =216, 62 x(-2)= -72 ；
(2)第二组的第100个数是第一组的第100个数的IO。?+10()2 =ioo(倍)；
(3)每组数的第20个数分别为：202, 203 , 202 x(-2),
・•・ 202 + 203 + 202 x(-2)= 203 -202 = 7600 .
【变式2】解：(1)第①行数的第6个数为64；第②行数的第6个数为-32；第③行数的第6个
数为- 33；
(2)第①行数的第2019个数字为(-2)刈，gPx=(-2)2019,
第②行数的第2019个数字为(—2)刈&,即产(—2)刈8,
第③行数的第2019个数字为(—2)刈8 一 1, BPz=(-2)2018-1,
所以 x+y+z=(-2片 + (-2)2018 + (-2)2018-1
=—a?。" + 22018 + 22。18_1 = _22019 + 22°19 — 1 = —1
【变式3】解：(1)第①行数的第1个数为(-2)，第2个数为(-2)2,第3个数为(-2)3,第4个
数为(-2)=第5个数为(-2))第6个数为(-2『，…
所以第7个数为(-2)7 =-128；
(2) a+b=5；
第①行数的第〃个数为、，
第②行数的第〃个数为x+2,
第③行数的第〃个数为3-x,
所以这三个数的和=x+x+2+3 -x=x+5；
故答案为— 128； a+b=5； x+5.
(3)第①行数的第9个数为(-2)、即-(-2)9=-512,
所以这三个数的和=-512+5= -507.
国题型方法14:数图排列规律
【变式1】解：•・•上边的数为连续的奇数1, 3, 5, 7, 9,
左边的数为21 22 , 23 ,
•••6=25=32,
・ ・•上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，
・ •・。=9+32=41,
故选：D.
【变式2］解：・・•观察可知：左边三角形的数字规律为：1, 2, 3, 4…，n,
右边三角形的数字规律为：2, 3, 4, 5, 〃+1,
下边三角形的数字规律为：1x2 + 2, 2x3 + 2 , 3x4 + 2, 4x5 + 2,…，+1)+2,
.".^=20x21 + 2=422,
25初中数学题型方法全归纳
故选：D.
【变式3】解：由图中的数字可知，
左上角的数字是一些连续的正整数，从1开始，
左下角的数字是对应的左上角的数据加2,右上角的数字是对应的左下角的数字加1,
右下角的数字是左下角的数字与右上角的数字乘积再加左上角数字的和，故第9个正方形中
的左上角的数字是9,
左下角的数字是11,右上角的数字是10,右下角的数字是：10x11+9=119.
故答案为：119.
【变式4】解：由分析可知，2a+2=20,解得。=9,
：.b=10,
•\x=20b+a=209.
故选：B.
留题型方法15：三角形数阵中的排列规律
【变式1】解：第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，
・ ••第9行9个数，
・ •・第10行第8个数为第1+2+3+…+9+8=53个数，
又・・•第2〃-1个数为2〃-1,第2几个数为-2%,
・ ••第10行第8个数应该是53.
故答案为：53.
【变式 2】解：（1） 92=81, -（81+ 4）= -85 ,
故第10行中从左边数第4个数是-85,
故答案为：- 85；
（2） （1+3+5+7+9+11+12）+2x1-72 =-25 ,
故前7行的数字总和是-25.
故答案为：-25.
【变式3】解：根据题意知第〃行最后一个数为
当片20时，即第20行最后一个数为-400,
又奇数行的序数为奇数的数为正数，
・・・第21行的第21个数是42L
故答案为：421.
留题型方法16:长方形数阵中的排列规律
【变式 1】解：（1） 31+32+33+38+39+40+45+46+47=351,
故答案为：351；
（2）设正中间的数为〃，
贝— 8）+（。- 7）+（。- 6）+（。— 1）+。+（。+1）+（。+6）+3+7）+（4+8）=9。.
由题意得9〃=2016,
26代数专题-第二章 整式及其加减计算
解得a=224.
・・• 224=7x32,
・ ••是表中第32行的最后一个数，
・ ••不能框住这样的9个数，它们的和等于2016；
(3)若任意框住9个数的和记为S,贝US的最小值为9X9=81,
2016 + 7 = 288 ,
A2016在第288行的最后一个数，
・ ・・S的最大值为9x(2016-1 — 7) = 18072 ,
・ ・・ 18072 - 81 = 17991.
即S的最大值与最小值之差为17991.
故答案为：17991.
【变式2】解：(1) 2018 + 9 = 224…2,
故2018在第224+1=225行，第2列.
故答案为：225, 2；
(2)①不可能，因为这五个数的和是中间数的5倍，而2019不是5的整数倍，所以这五个数的
和不可能是2019.
② 60 + 5 = 12, 12 — 9=3, 12-1 = 11, 12+1 = 13, 12+9=21.
故这五个数分别是3, 11, 12, 13, 21；
(3)因为 2025=5x405,
而405 = 9x45 ,
所以405在第45行，第9列，
所以不存在.
【变式3】解：(1) 72018=8x252+2, 2018排在第253行第2列；
根据数字排列规律：第加行最后一列数字为8冽，
，排在第加行第〃列的数为Sm+n - 8.
故答案为：253, 2； Sm+n — 8.
(2)由题意得:A=x, 5=x+24, C=x+27, D=x+3,
,・Z+2B+3O=357,
.*.x+2(x+24)+3(x+3)=357,
解得：x=50,
J C=x+27=50+27=77.
(3)这些数的和不能为4212；
・・,被阴影覆盖的这些数的和
=x+1 +x+2+x+ 8+x+9+x+10+x+11 +x+16+x+17+x+18 +x+19+x+25 +x+26= 12x+162,
若12x+162=4212,贝卜=337.5不是正整数，不符合题意.
27卷
初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:方程的有关概念
【变式1】B.
【变式2】C.
【变式3】A.
留题型方法2: 一元一次方程的有关概念
【变式1】B.
【变式2】①②.
【变式3】解：①2%+6=7、③工工+0.3尸4、⑤x=0、⑦L = 1符合一元一次方程的定义;
2 2
@x-4=~,⑧工=2是分式方程；
x x
@3x2 -4x=9是一元二次方程；
⑥3x-2y=8是二元一次方程.
故选：C.
留题型方法3：根据一元一次方程定义求参
【变式1】解：由题可知：3加+2=1,所以，
【变式2】解：由题可知：机-4H0,所以，加。4.
【变式3】解：由题可知：加+2。0,附-1 = 1,所以，m=2.
故选：C.
【变式4】解：根据题意得：
\m - 1|=1,
整理得：m - 1 = 1或加一 1=一 1,
解得:加=2或0,
把加=2代入加一 2得：2 - 2=0（不合题意，舍去），
把加=0代入加一 2得：0 - 2= - 2（符合题意），
即加的值是0,
故选：B.
留题型方法4：等式的性质
【变式1］解：若。=0,可知4、。选项错误；。选项中，6漏除以2 了，所以也是错误的.
故选：B.
【变式2】解：4选项，一边加一边减，肯定不符合等式的性质，所以/错；
C选项，两边同时除以。，但是。有可能为0,所以。选项也是错误的；
28代数专题・第三章一元一次方程
。选项，两边同时乘以6c,应该得到3x=2y,所以。错.
故选：B.
【变式3】解：。选项，两边同时除以。得到，但〃有可能为0,所以。错.
故选：D.
留题型方法5：解一元一次方程
【变式1］解：去分母,W4(2x-l)=12-3(x-2),
去括号，得8x-4=12-31+6,
移项，得 8x+3x=12+6+4,
合并同类项，得15=22,
系数化为1,得x=2.
【变式2】解：金二=0
2 3
去分母,得3a-1) - 2=6x,
去括号，得31-3 -2=6x,
移项，得 3x-6x=3+2,
合并同类项，得-3、=5,
系数化为1,得、=卫.
3
【变式3】解：
解法1：先去小括号得：-L-lx + lk-x--,
2|_ 2 2」3 3
再去中括号，得： —x — —x + — = —X — —,
2 4 4 3 3
移项，合并得：---X = -- 9
12 12
系数化为1,得：x = ^.
解法2：两边均乘以2,去中括号得：x-1(x-l) = ^(x-l),
去小括号，并移项合并得：-2 = -旦，解得：x = U.
6 6 5
解法 3：原方程可化为：! (x-l) + l-1(x-l) =|(x-l),
去中括号，^l(x-l) + 1-^(x-l)=|(x-l),
移项、合并，得一五(x—1) = 一5，
解得x = U.
5
29春
初中数学题型方法全归纳
【变式4】解：原方程可化为生叫-任生=1,
5 3
去分母，得 3(4y+9)-5(3+2力=15,
去括号，得 12y+27-15-10y=15,
移项，合并同类项，得2y=3,
系数化为L得7=上.
2
豺题型方法6：含绝对值的一元一次方程
解：原方程可化为：闵=2,
当x20时，得x=2；
当xVO时，得-1=2,解得：x= - 2.
所以原方程的解是x=2或二=-2.
【变式2］解：当2x+320时，原方程化为：2x+3=4x-l,解得x=2；
当2x+3V0时，原方程化为：-(2x+3)=4x-1,解得x =-；；
将工=,代入4x-1得：4x-l<0,不符合题目条件，舍去.
3
所以原方程的解是x=2.
【变式3】解：由绝对值的代数意义可知：2x-l=3x+l或-(2x-l)=3x+l.
解之可得：%=-2或者%=0.
【变式4】解：由绝对值的定义可知，x-|3x + l| = ±4.
由 x-|3x + l| = 4 可得，|3x + l| = x-4 ,等价于3% + 1 = ±('-4), x-4>0 ,
解得x = -x = 3代入x-420检验可知，均不满足题意；
2 4
由 x — |3x + l| = -4 可得，|3x + l| = x + 4 ,等价于3x + l = ±(x + 4), x + 4>0 ,
5 a 5 3
解得x =—己，x = 代入x + 420检验可知，x =—2，x = ±均满足题意.
4 2 4 2
留题型方法7:含参数的一元一次方程
【变式1】解：原方程可化为：(m-n)x=l,
当冽-存0,即加时，方程有唯一解为：x =—-一 ；
m — n
当加-〃=0,即加=九时，方程无解.
【变式2］解：当加-1。0,即加时，方程有唯一的解：x=m - 2.
当加-1=0,即加=1时，原方程变为0d = 0.原方程的解为任意有理数，即有无穷多解.
【变式3】解：加。1,加工2时，原方程有唯一解：x =--—；
m-2
当加=1时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解；
30卷
代数专题・第三章一元一次方程
当加=2时，原方程无解.
【变式4】解：原方程可化为：(a-3)x=4a-12f
因为方程有无数解，所以，“-3=0, 4a-12=0,
所以4=3.
【变式5］解：因为方程有唯一解，所以，3加-5H0,
所以m^-.
3
留题型方法8:形如AB=0的方程
【变式1】解：方程两边减去5得：上生+ 士1空+匕竺+三竺+匚生=o,
3 5 7 9 11
所以，f—+ — + — + —+—>l(x— 23)= 0 ,
<3579 11JV )
因为—I----1----1----1—。0,所以，x — 23=0,
3 5 7 9 11
所以，x=23.
■ 一、即 +工口l 4曰 x + b + c + a x + c + a + b x + a + b + c 八
【变式2】解：方程两边加上3得： ----------+-----------+---------- =0,
a b c
所以，(，+ g + L}x+Q + b + c)=O,
因为 L + ' + Lo, 所以，x + a + b + c = Q ,
a b c
所以,x=- a-b-c.
国题型方法9：整数解方程
【变式1】解：•・•原方程有解，・・・(〃-5"=8.
所以，方程的解工=旦为整数，
a-5
・ ・・(q - 5)应为8的约数，即(。一5)可为：—8, —4, —2, —1, 1, 2, 4, 8.
；.a为:-3, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 13.
而 - 3+1+3+4+6+7+9+13=40.
故：所有整数。的和为40.
【变式2】解：•・•原方程有解，，(左-9)x=8.
所以，方程的解工 =工-为负整数，
k-9
・ ・・(左-9)应为8的负约数，即(左一9)可为：-8, -4, -2, -1.
・ •・左为：1, 5, 7, 8.
【变式3］解：整理原方程得：(k — 2)x=2k—8.
・・•原方程有解,
:・"200,
31初中数学题型方法全归纳
,原方程的解为：、=等9="4a=2-白
k-2 k-2 k-2
・・,方程的解为整数，・・.」一为整数，
k-2
，左一2 的值为一4, -2, -1, 1, 2, 4.
・•・左的值为—2, 0, 1, 3, 4, 6.
国题型方法10：同解方程
【变式1】解：（1）解方程2x=4得—2,
把x=2代入加工=加+1得2加二加+1,
解得加=1.
【变式2】解：（1） 2x-4=6a,
2x=6q+4,
x=3q+2；
/〜、x-a x
（2） ------= — + q,
3 6
2x-2a=x+6a,
解得：x=Sa,
•方程2x-4=6a与^~- = — + a的解相同，方程2x-4=6q的解是x=3q+2,
3 6
3〃+2=8q,
解得：q=0.4.
34 IQ
【变式3］解：解关于x的两个方程5x+§ （加+1）=的与2x-加%--^~（加+1）得：
3mn -34m -34 3mn-19m -19
关于x的两个方程5x+—（加+1）=加几与2x - mn= —（加+1）是同解方程,
.3机九一 34〃？一34 3mn -19m -19
• • 二 ，
15 6
mn~3m~ 3=0,
3（加+ 1） 3
n= ------- - = 3 + —，
m m
,・:是正整数，・,・三为正整数，
m
,加是正整数，，加=1或3,
当加=1 时,〃=6, 当加=3 时,〃=4,
•二加=1,"=6 或加=3,几=4.
留题型方法11：数轴动点问题
【变式1】解：（1） 43=-4-（-10）=6, 1秒后，点4运动到-5位置，点8运动到T位置,
32代数专题-第三章一元一次方程
所以，此时 48=-1-(-5)=4.
(2)/秒后，点4的运动距离为5K点5的运动距离为3人
(3)点4与点5恰好重合，即点4追击上点反
所以勺工=3,所以，3秒后，点4与点5恰好重合.
5-3
(4) /秒后，4点运动至-10+5〃立置，8点运动至-4+3/位置，
所以，AB—\ — 4+3^— (~ 10+5^)|.
根据题意，| — 4+3/— (— 10+5切=5,
解之得：片0.5或片5.5,
所以，存在片0.5秒或U5.5秒时，线段45的长为5.
【变式 2】解：(1)。=马2=11, 48=20—1 = 18.
2
(2) AP=2t, BP=18-2t,。点在数轴上的位置对应的数为2+2人
1 Q
(3)七一=6,此时，4P=1x6=6,所以，P点在数轴上的位置对应的数为2+6=8.
3
1 Q
(4) t= —— =9,此时，4P=3x9=27,所以，尸点在数轴上的位置对应的数为2+27=29.
3-1
【变式3】解：(1) -8+20=12,所以，点8表示的数是12；
-4-1-12
(2) c=---------=4, C点表示的数为4；
2
(3)设点。所表示的数为x,叫4D=|x+8|, Z)5=|x-12|,
根据题意可得：|x+8|+|x- 12|=25.
解之得：x= - 10.5 或x=14.5；
(4)运动1秒后，
4、5两点运动的距离分别为八23
此时，4点所在位置表示的数为-8-。5点所在位置表示的数为12-2K
所以，此时，Z到原点的距禺为| - 8-4=8+%, 8到原点的距禺为|12 - 24，
根据题意，8+片|12-2小
4
解之得：片—或£=20.
3
所以，存在方值，使得4到原点的距离与点5到原点的距离相等.
【变式4】解：(1)当。为8。中点时，0所要到达的位置为-10.
。要从6这个位置运动到-10,运动距离为16,所以片16+2=8,
即，为8秒时，点。恰好是50的中点.
(2)方秒后，尸点的运动距离为，，运动到的位置对应的点为-6+/
此时,尸。二| — 6+，—(-2)|, PB=\-6+t-6\f
根据题意，| — 6+t— (— 2)|=2| - 6+t — 6|,
解之得：片20或U型，
3
33初中数学题型方法全归纳
所以，当片20或片三时，PC=2PB.
3
【变式5】解：(1)二三又=8,所以点P对应的数为8.
2
(2)分类讨论：①4、5两点重合时，设运动时间为£, I。-(-4)=6,
2 + 2
此时4s相遇，即43两点重合，此时四点运动的距离为4x6=24,
所以，此时四点对应的数为16,
②"在43中点时，设运动时间为f,那么，/、5两点分别运动了 2f的距离，
/秒后，4、B分别到达-4+2/, 20-2%的位置，M点到达优点的位置，
因为必乞45中点，所以，MA=MB,
而比4=| _4+2/-蝴，A^=|20-It-4$ APB
所以，| —4+2%-4力=|20-2,一44， -4 0 8 20
解之得：片2或，=6.
此时四点对应的数为8或24.
综上可得：2秒或6秒后，M到点4、点5的距离相等，此时，的应的数为8或24.
(3)根据(2)知MZ=|-4+2/ — 41 M3=|20-2/-4r|,
所以，3|-4+2/-4z|=2|20-2z-4$
解之得：Q型或£=3.
3 9
此时M点对应的数为啰或生.
3 9
【变式6】解：(1) 6-4=2,所以，点3表示的数是2,
2-12=-10,所以，点Z表示的数是-10.
(2)①运动后，P点表示的数为：-10+6b。点表示的数为：6+3/,
因为M九4尸的中点，所以，M表示的数为：-10-1°t出=一10 +生,
2
因为帏。。上，且CN=；C0,所以，CN=t, N表示的数为：6 + t,
夜动后9 OM= 10 + 3z| , BN= 6 + f- 2 = 4 + f,
由OM=25N得：10 + 34 = 2(4 + )
解得：片18或/=0.4.
【变式7】解：(1) x=l.
(2)迎二”的值不发生变化，
MN
由题意，。为原点，设运动时间为/分钟，
则尸表示的数为K /表示的数为-1-53 8表示的数为20什3,
则"表示的数为土上，N表示的数为网笠.
2 2
34当________
代数专题・第三章一元一次方程
4 R _ QP
贝 1|43=25什4, OP=t, MN=12t+2,则一=—二2 为定值.
MN
【变式8】解：(1) /表示的数为-10+6K 5表示的数为-8+63
。表示的数为16-2/,。表示的数为20-2%,
由8C=8得到| - 8+6/- 16+2尸8,所以片4或片2.
(2)当运动2秒时，点3在数轴上表示的数是4,
当运动4秒时，点8在数轴上表示的数是16.
(3)存在关系式助一"P=3,
PC
设运动时间为把K设尸原来表示的数为x,4表示的数为10,
5表示的数为0-8,。表示的数为16-力，。表示的数为20-2/,
尸表示的数为x+0,
所以，BD=28 - 8t, /尸=x+10, PC=\St+x-16\,
代入到他一"P=3中解得:尸15-8域者片史-8%,
PC 2
所以，?C=|8f+x-］6|=］或者;.
留题型方法12:和、差、倍、分问题
【变式1】解：设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是(100-x)台,
根据题意可得：x=3(100-x),
解得：x=75.
故选：C.
【变式2】解：设去年的人均收入为x元，则今年收入为(1+20%江元，
依据题意，等量关系式为：今年收入=去年收入xl.5- 1200,
(l+20%)x=1.5x- 1200,
解得：x=4000.
答：去年人均收入为4000元.
【变式3］解：设一根长为xcm,贝！J另一根长为(100 -
依据题意，等量关系式为：一根长=另一根长x2-5,
x=2(100 —、) —5,
解得：x=65.
则另一根木棍长为：100-65=35。江
答：一根木棍长为65cm f另一根木棍长为35cm.
留题型方法13：年龄问题
【变式1】解：设x年后小明的年龄是他妈妈年龄的工，
2
35初中数学题型方法全归纳
依题意得：13 + x = ；（39 + x）,
解得x=13.
答：13年后小明的年龄是他妈妈年龄的
2
故答案为：13.
【变式2】解：设父亲现在的年龄是%岁，则女儿现在的年龄是（96-x）岁，由题意得：
2（96-x）-（1 x+2）=x -（96 一 x）,
解得：x=66.
答：父亲现在的年龄是66岁.
故答案为：66.
【变式3】解：设爷爷今年的年龄是X岁，则今年小李的年龄是＜1岁，
依题意，得：（x + 12 = ；（r + 12）,
解得：x=60.
答：爷爷今年60岁.
国题型方法14:行程问题
【变式1】解：设全程为x千米，山路长为y千米，则他上山需要上小时，下山需要2小时，走平
3 6
路来回需要士殳小时.
4
依据题意，等量关系式为：平路时间+上山时间+下山时间=总时间，
所以，2 +，士亘=8-3,
3 6 4
通过化简计算，发现未知数歹在化简中会被抵消掉，
解得：x=20.
答：全程为20千米.
【变式2】解：设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶Q+2.5）千米，根据题意，得：
2（x + 2.5）+ 2x = 45 .
解得：x=10.
所以，x +2.5 = 10+ 2.5 = 12.5（千米）
答：甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米.
【变式3】解：由题意可得，
120什80片450 - 50 或 120什80片450+50,
解得片2或片2.5,
答：曲值是2或2.5.
【变式4】解：（1）设小李的速度为2x米/秒，则爸爸的速度为力米/秒.根据题意得：
36代数专题-第三章一元一次方程
32(2x4-3x)=400,
解这个方程，得x=2.5,
所以2x=5(米/秒)，3x=7.5(米/秒).
答：小李的速度为5米/秒，爸爸的速度为7.5米/秒；
(2)设过了，秒两人相遇.根据题意得：
7.5/- 5/=400,
解得片160(秒).
答：过了 160秒两人第一次相遇.
【变式5】解：(1)设小轿车出发1小时追上货车，由题意得：
60+60x=90x,
解得x=2 .
故小轿车出发2小时追上货车；
(2)小轿车出发后，小时与货车相距50左加，存在以下三种情况：
①小轿车出发后在追上货车之前，两车相距50左加，则有：
60+60/=90什50,
解得£」；
3
②小轿车超过甲车且未到8地之前，两车相距50左加，则有:
60+60什50=90，，
解得
3
故小轿车出发！小时、旦小时与货车相距50左加.
3 3
【变式6】解：设乙追上甲用了1分钟，则有：
721一 65x=3x90.
72 x-----« 2777 m.
7
答：乙第一次追上甲时走了 2777m,此时乙在4D边上.
【变式7】解：设4、B两地间的距离为x千米.
(1)当C地在/、8两地之间时，依题意得：
x x A
--------1--------二 4，
7.5+ 2.5 7.5-2.5
解这个方程得：x=20.
(2)当C地在4地上游时，依题意得:
x x + 10 /
-----------+------------= 4，
7.5+ 2.5 7.5-2.5
20
解这个方程得：x = —.
3
37初中数学题型方法全归纳
答：4、8两地间的距离为20千米或二千米.
3
【变式8】解：（1） •・•顺水速度=静水速度+水流速度,
逆水速度=静水速度-水流速度，
・•・顺水速度是5+3=8,逆水速度是5-3=2,
答：顺水速度是每小时8里，逆水速度是每小时2里;
（2）设从帽子丢失到发觉经过了x小时，
根据题意，得：5x=2.5,解得x=0.5.
答：从帽子丢失到发觉经过了 0.5小时;
（3）设原地调转船头后到捡回帽子经过了”1、时,
则从发觉帽子丢失到捡回帽子经过，+ ,
小时.
根据题意，得：8y=2.5+3x，+ ：
3
解得 ＞二：.
答：从发觉帽子丢失到捡回帽子经过三小时.
30
【变式9】解：黄莺和麻雀每分钟共行66+59=125（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要
几分钟，即 500+（66+59）=500+125=4（分钟）.
留题型方法15：工程问题
【变式1】解：设乙中途离开x天，由题意得:
—x 7 H----（7 -x+2）h-----x 2 = 1 .
14 18v 7 12
解得：x=3.
答：乙中途离开了 3天.
【变式2】解：设一共需要x个小时，工程量为单位“1”，
依据题意，等量关系式为：甲独做的工程量+甲乙合作的工程量=1,
1 1
—x4 + ---- 1----I x — 1 .
20 20 12
解得：x=6.
答：合作一共需要做6小时.
【变式3】解：先安排x人做2小时，工程量为单位“1” ， 一个人的工作效率为」一,
100
依据题意，等量关系式为：先做2小时的工程量+增加5人的完成的工作量=1,
----x 2x H-------9 (x + 5) = 1 .
100 100 ' 7
38卷
代数专题-第三章一元一次方程
解得：x=5.
答：先安排5人做2小时.
【变式4】解：设甲乙合作x小时，工程量为单位“1”，
因为要求尽量少合作，则合作完成后，后续的工作给完成得快的单位完成，即合作完成后,
剩下的工作交给甲完成.
依据题意，等量关系为：合作的工程量+甲后续完成的工程量=1,
—（20-x）=l ,
24 36； 24V ）
解得：x=6.
答：甲乙合作6小时.
留题型方法16：调配问题
【变式1】解：设抽调x人，贝IJ调后一组有(22+x)人，第二组有(26-x)人，根据关键语句：使第一
组的人数是第二组的2倍列出方程即可.
设抽调x人，由题意得：(22+x)=2(26-x),
故选：B.
【变式2】解：设从甲队调出x人到乙队，由题意得，
3
72-x = -(68 + x),
解得，x=12.
答：需要从甲队调出12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的士.
4
【变式3】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出(133-x),
由题意得：(192-x):[133-(133-x)]=2:l,
BP (192 -x):x=2:l,
解得：x=64,
J 133 - 64=69(人).
答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人.
【变式4】解：挖土与运土之间的比例为2:3,要能够刚好把挖出的土运走，则挖出的土和运走的
土相同，
依据题意，等量关系式为：挖出的土=运走的土，
设工人挖土，则有(35-1)人运土，
那么，2x=3(35 -x),
解得:x=21,
则运土人数为：35-21 = 14,
答：挖土 21人，运土 14人.
题题型方法17：利润问题
【变式1】解：设该商品打x折，依题意，则:
39春
初中数学题型方法全归纳
X
500(1 +40%) —=500(1 + 12%),
10x1.12 o
X — — o •
1.4
答：该商品的广告上可写上打八折.
【变式2】解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：0.8x+20=x-12,
解这个方程得：x=160.
答：李明上次所买书籍的原价是160元.
【变式3】解：(1)设第一次购买了x盒，贝悌二次购买了(70-x)盒，
依题意，得：15x+12(70-x)=960,
解得：1=40(盒)，
・••设第一次购买了 40盒，则第二次购买了 30盒，
则第一批盈利：(20- 15)x40=200,
第一批盈利：(20x0.8-12)x30=120,
・••共盈利：200+120=320(元)，
答：老板总共可以获得320元利润；
(2)销售加盒销售额为：20m,
七五折销售额为：40x0.75x12『f|二i050- 15加，
五折销售额为：40x0.5x[告2]=700- 10加，
/. 20 加+1050 - 15加+700 - 10m — 960=710,
解得：加=16(盒),
答：加的值是16.
【变式4】解：(1)设阳光水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果(2%+15)千克,
依题意，得：5(2x+15)+8x=615,
解得：x=30,
2x+15=75.
答：水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克；
(2)设第二次乙种苹果按原价打歹折销售，
依题意，得:(10-5)x75+115x看—“'30x3=735,
解得：y—8.
答：第二次乙种苹果按原价打8折销售.
留题型方法18：存贷款问题
【变式1】解：设X年后能一次性还清贷款，根据题意，
得(5 - 3.2 - 5x 10%)x 10x=20+20x 15%x.
解之得x=2.
40代数专题・第三章一元一次方程
答：所以2年后能一次性还清贷款.
【变式2］解：设小明存入银行的压岁钱为x元.
依据题意，等量关系式为：本金+利息-利息税=实得本利和，
x+1.98% x •。一 20%) =507.92,
解得：x=500,
答：小明存入银行的压岁钱为500元.
【变式3】解：设老王存入银行的年利率为x%,
依据题意，等量关系式为：本金+利息-利息税=实得本利和，
5000+5000%%-(1-20%) =5080,
解得：x=2,
答：利率为2%.
留题型方法19：数字问题
解：设原数的个位数字是X,则十位数字是9-X,
根据题意得：10x+(9—x)=10(9-x)+x+9,
解得：x=5,则 9-x=4,
所以，原来的两位数为45.
【变式2】解：设个位数字为x,则十位数字为(11-x),
依据题意，等量关系式为：新的两位数=原两位数+63,
10x+(ll-x)=10(ll —x)+x+63,
解得犹=9,
所以原数个位数为：9,十位数为：11-9=2,
所以原来的两位数为29.
【变式3】解：(1)设这个“倍尾数”的个位数为%,则十位数字为2x,百位数字为2x+l,
由题意可得，(2x+l)+2x+x=16,
解得x=3,
；・2x=6, 2x+l=7,
即这个“倍尾数”是763,
答：这个“倍尾数”是763；
(2)设这个“倍尾数”的个位数为〃，百位数字为b,
由题意可得，6+2q+q=17,
化简，得3a+b=17,
・・4 2a、6均为不大于9的非负整数，
即满足条件的“倍尾数”是863、584,
答：所有符合要求的“倍尾数”是863、584.
41当
初中数学题型方法全归纳
国题型方法20：积分问题
【变式1】解：(1)设前8场比赛，该队共胜x场，则平(7-x)场,
依据题意，等量关系式为：平场分数+胜场分数=总得分，
3x+(7-x)=17,
解得：x=5,
答：这支球队共胜5场.
(2)打满14场，还剩下14-8=6场，要想得到最高分，贝阑下的比赛全胜，
得分为：17+6x3=35分.
(3)要求最少的胜场，则未胜的场次为平局.设至少要胜歹场，则平(6-y)场,
依据题意，等量关系式为：胜场分数+平局分数=29-17,
3y+(6-历=29 —17,
解得：y=3,
答：至少需要胜3场.
【变式2】解：设他答对了x道题，贝塔错了(20-工)道题,
依题意,得:5x-(20-x)=76,
解得：x=16,
答：他答对了 16道题.
故答案为：16.
【变式3】解：(1) 设学生答对一题得x分,
86-18% _79-17x
则答错一题得: ------------ ，
2 3
解得，x=5,
即学生答对一题得5分，答错一题得-2分，
由于学生。得分72分，
・ ••设这名学生答对y题，答错(20-丁)题，
・ ・・5y+(20—y)x( - 2)=72,
解得，y=16,
20-产20-16=4(道)，
・ ,•参赛学生C答对了 16题，答错了 4题；
(2)假设学生。答对〃题，答错(20-〃)题，得分94分，且a为自然数.
则 5a+(-2)x(20-a)=94,
解方程得：a = —f不是自然数，
7
・・・学生。的说法不可能出现.
留题型方法21：分段计费问题
［变式 1 ］解:(1) 20x2+(25 - 20)x2.5+0.3x25=60(元),
42海
代数专题-第三章一元一次方程
答：他应缴水费60元.
(2) V20x2+0.3x20=46>41.4,
故水表有故障时，计入用水量不超过20吨，
设该用户12月份实际用水x吨，
由题意，得 2x60%x+0.3x60%x=4L4,
解得x=30,
答：该用户12月份实际用水30吨.
【变式2】解：(1)支付车费：8+(x-3)x2=2x+2(元).
(2)当产30 时，2x+2=62(元)，
答：他应该支付62元.
(3)由题意得2x+2=36,
解得：x= 17,
答：他乘坐的里程是17千米.
【变式 3］解:(1)由题意得：11+3x(6-2)=11+3x4=11 + 12=23(元).
(2)设乘车里程是x公里，由题意得：ll+3(x-2)=41,
解得：x=12,
答：乘车里程是12公里.
(3)当0V加W2时，租车费是11元；
当加>2时，11+(加一 263=3加+5(元).
43初中数学题型方法全归纳
国题型方法1:平方根和立方根
【变式1】(6)(7)(12)正确，其他错.
【变式2］解：・・•一个正数的平方根是2a-3和5-办
・・・(2〃 —3)+(5 —。)=0,
.*.a+2=0,
解得。=-2.
•・》的立方根是-2,
Afe=(-2)3 = -8,
/.2a-6=2x(-2)-(-8)
= -4+8
=4.
2a - 6的平方根是：土" = ±2 .
【变式3】解：(1)由正数x的两个不同的平方根分别是2a-1和Q-5,得：
2a — 1 +q — 5=0,
解得。=2,
由平方根的意义，得：
x=(2。-1『=9,
x-y-3的立方根为3,
^x-y-3=32，
解得y= -21,
故答案为：9, -21, 2.
(2) x—y+3a=9-( - 21)+3x2=36,
%一歹+3。的平方根是土 = ±6.
【变式4】解：(1)・・・4 ="正有是m+3的算术平方根，5 = 2…可口是, -2的立方根,
•\m- 4=2, 2加 - 4〃+3=3,
解得：加=6, n=3,
(2)1,加=6, n=3f
:.A — M = 3 , B = 5 = \ ,
：.A-B=3-1=2,
国题型方法2:判断无理数
【变式1】解：①无限不循环小数都是无理数，故①错误;
44代数专题-第四章实数
②无理数都是无限不循环小数，故②正确；
③-2是4的平方根，故③正确；
④带根号的数不一定都是无理数，故④错误.
故选：B.
【变式2］解：瓦=班,VOJ=—,47 = —3,
10
则无理数有：V12 > 狞、府、0.3232232223...,共5个.
2
故选：D.
【变式3】解：-乃、布、J是无理数,
故选：C.
留题型方法3：无理数的估算
［变式1］解：•・,VH<V83<a^00 ,
J 9<V83<10 ,
又・・•〃为正整数，
・ ••几=9.
故选：D.
【变式 2］解：: V64<V76<a/81 ,
J 8<V76<9 ,而 8.52 = 72.25 ,
J V72.25<V76<^ ,
・ ・・忖在8.5〜9.0之间.
故选：C.
【变式 3】解：V V25<a/28<V30.25 , V625<V7<^ ,
/. 5<V28<5.5 , 2.5<V7<3 ,
・ ・・ 2<V28-V7<3 ,
故选：D.
留题型方法4:求无理数的整数部分和小数部分
【变式1］解：・♦・3<历<4,
・ ・・6-布 的整数部分是2,即〃=2,
6-而的小数部分是6-后-2 = 4-而，即6=4-而，
・ ・・2q-6=4-4+旧=而，
故选：C.
【变式2］解：,・・2<Ji6-1V3,
・ ・a=2,
又•: 7<5 + V5<8,
45春
初中数学题型方法全归纳
・ ,・5 +百的整数部分为7,
・ ・・6=5 +6-7 =V5-2 ,
・ ・・〃（6—b） = 2x（石一石+2）= 4 .
故选：B.
【变式3］解：9 +后的整数部分为12,所以小数部分。=9 +旧-12 =而-3；
9-V13的整数部分为5,所以小数部分为6 = 9-拒-5 = 4-而；
所以,。+ 6 =拒一3 + 4— 后=1.
【变式4】有-1, 0, 1, 2共4个整数，
故答案为：4.
留题型方法5：无理数大小比较
【变式 I ；解：,•* V3 — 1 — — 1V —— —1 = 1 —1 = 0 ，
2 2 2
A V3-1--<0 ，
2
/. a/3-K—,
2
・ ・・比较百-1与西的大小，结果是后者大.
2
故选：B.
【变式2］解：・・・。一。=及—1—（2后—八）
二指-（1 +亚）
« 2.449-2.414>0,
V a-/? = V2-l-（V6-2）= a/2 + 1-a/6« 2.414-2.449 <D ,
• • ci b,
.\c<a<b.
故选：D.
【变式3］解：工,
3 6 6 6 6
V （2a/5）2 =20 , 52 =25,
・ ・・275<5 ,
・ •.任<0,
6
. V5-2 .1
• • •
3 6
故答案为：<.
46春
代数专题-第四章 实数
【变式4]解：・・・5<7,
Z. V5<V7 ,因此选项，不符合题意；
5<V35<6 ,
/. 7<V35+2<8 ,
・ ・・9<V§2<10 ,
・ •・ 8<>/82-1<9,
A V35+2<V82-1,因此选项3不符合题意；
V 4<V23<5 ,
A 11<V23+7<12 ,
・ ・.5.5<^iZ<6 ,
2
・ ・・—6V —叵土7<一5.5 ,因此选项C不符合题意;
2
• ： 3亚=5,2百=旧，而
・ ・・3亚>2百，因此选项。符合题意.
故选：D.
留题型方法6：实数的简单计算
【变式11解：原式=2-2+1 = 1.
9 1
【变式 2】解：(1) M^ = -x2 + -x(-5)+ 125x0.2
9 5 »
二-----F 25
2 2
= 27；
(2)原式=[(a-遥)+次][(g-%)-间
=(百-甸2-(3月2
= 3 + 6-2 炳-18
= -9-6a/2 .
【变式3】解：(1)原式=4+3+7=14；
(2)原式二百-亚+ 5-庠5-逝.
豺题型方法7:应用平方根的非负性解题
【变式1】解：根据题意得，200720,
解得壮2007,
・•・原式可化为： ”2006 + 4-2007 =〃 ,
即 Va-2007 = 2006 ,
两边平方得，4-2007=20062,
47______________________________当
初中数学题型方法全归纳
：.a- 20062=2007.
故答案为：2007.
【变式2】解：由题意，得从=4且b-2H0,
所以6= -2,
所以a= -6,
所以 — 8,
所以1-8 = -2 .
故答案是：-2.
【变式3】解：由题意，M4-x>0,Sx-4>0,
所以x = 4 ,
所以> =0 ,
所以1x-y =6 .
故答案是：V2.
【变式4】解：由题意得：= —l)/77，
因为7^2
所以，y -120，
所以，歹=1，
代入可得：x = -1,
所以，x2011-/011=-1-1 = -2.
故答案是：-2.
【变式 5】解：l_J(l + x)2 = 卜 1 ,
|3 一 乃| +J(乃一 4)2 =乃一3 + 4一万=1 .
【变式6】解：根据数轴可知：a<b<0<c , c-a + b>0 , b + c>0 .
所以，J.2 -1 - a + b) + 1 + c [+-a + a + b + c - a + 6 + 6 + c - b = Z+ 々-a .
【变式7]解：由二次根式的定义知：998-x>0,即x4998,
又由二次根式的两个重要等式知：(1000-x)+(998-x)=2000,
得：x=-l,
由非负性知：加=1,
则歹=3,
所以，y-x=4的平方根：±2.
留题型方法8:有理数和无理数的关系
【变式1】解：设。、b是有理数，a、。是无理数.(可以通过举实际例子)
①若a + a = b,则a = 6-〃，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的，故a + a是无理
数.①正确.
48卷
代数专题-第四章 实数
②当Q = 0时，。。=0是有理数，②不正确；
③当a = 6 ,，= -后时，a +，= 0是有理数，故③不正确；
④当。=尸=血时，阴=2是有理数，故④不正确.
【变式2］解：已知等式可变形为(4x + 3y-4)+ (x-3y-1)6=0 ,
因为。、6是有理数，
4% + 3》一 4 = 0
所以
x-3y-X = 0
解之得「二 1
［y = 0
【变式3］解：已知等式可变形为&+ * — 2.25)+ —X — ~y - L45 ] j = 0 ,
因为小y是有理数，
—x H—y — 2.25 = 0
所以 , 3 4
-%- -y-1.45 = 0
L2 12
,,5/口 14x + 3y = 27
化简得 ‘
[6x —尸 17.4
x = 3.6
解之得
y = 4.2
49初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:判断二元一次方程
【变式1】N选项是分式方程；3选项化简后，成为一元一次不等式；。选项是二元二次方程;
故选：D.
【变式2】解：①肛二2属于二元二次方程，故不符合题意；
②3x=4y符合二元一次方程的定义，故符合题意；
③工+ 1. = 2不是整式方程，故不符合题意；
y
④/ =以属于二元二次方程，故不符合题意；
⑤： = 3y-1符合二元一次方程的定义，故符合题意；
⑥x+歹-z=l属于三元一次方程，故不符合题意.
故其中二元一次方程有2个.
故选：B.
【变式3】【答案】⑴(4)⑸(8)(10)
【解析】只有⑴⑷⑸(8)(10)满足二元一次方程的概念.
(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；
(3)中含未知数的项的次数为2；
(6)只含有一个未知数；
(7)不是整式方程；
(9)中未知数x的次数为2.
留题型方法2:根据定义求参数
【变式1】解：①当未知数为X时，则左2—1 = 0,左-7 = 0,则这样的左值不存在，
当未知数为y时，则左2—「0,左+ 1 = 0,1—760,解得左=—1.
②由题可知：左2_i = o,左+ 1。0, k — 7丰。,解得左=1.
【变式2】解：方程、1+2”一忆加是关于小V的二元一次方程，
则〃 -1 = 1,忱-= 1,
解得：n=2,m=0或2.
伽| = 1
【变式3］解：根据题意知，＜2-〃 = 0,
加一 1 w 0
解得加=-1, n=2,
则 mn = (-1『=1,
故答案为：1.
50壹________
代数专题・第五章二元一次方程（组）
【变式4】解：由题意得：\a\=\, 6 — 5=0, 〃-屏0,
解得：a=-1, b=5,
则原式=（-1丫=-1,
故答案为：- 1.
留题型方法3：二元一次方程组解法
【变式1】解：（1）由题意得，卜+ 4%
2x-y = 5®
由②，得y=2x —5③，
把③代入①，得3x+4（2x-5）=2,
・・・3x+8x —20=2,得 llx=22,解得x=2,
把x=2代入③，得尸-1,
・•・方程组的解为.
[歹=-1
（2）由题意得，[以+ 3尸咒
、x-2> = 4②
①x2+②x3,得 8x+3x=10+12,
/. 1 lx=22,解得x=2.
将x=2代入①，得8+3y=5,解得y= - 1.
・,•方程组的解为尸二2 .
[k-1
【变式2]解：两方程相加，得：40x+4Qy=120,即x+y=3①，
两方程相减，得：6x-6y=6,即x—y=l②，
①+②得：2尸4,解得x=2,
①-②得：2V=2,解得产1,
・••方程组的解为：f = 2.
[y = l
【变式3】解：（1）由题意得，卜7 二 8①
13%-5'=-20 ②
①-②，得4尸28,解得歹=7.将尸7代入①，得3x-7=8,解得x=5.
・・・方程组的解为f =
U = 7
（2）由题意得，卜—" =
[x-2y = 6®
②-①，得刀=-3,解徵=-1,
将k-1代入①，得x+5=9,解得x=4.
51初中数学题型方法全归纳
，方程组的解为 .
卜=-1
将原方程化简：产7 = 5①
3x + 2y = l2@
①x2+②得：15=22,解得：x=2,
将x=2代入①得：片3,
・ ・・方程组的解为
7m + n = 24 ①
(4)将原方程化简：
12加 + 〃=42 ②
②一①得：5加=18,解得：zn=—,
将加=?代入①得：—三,
[18
m =—
・ •・方程组的解为 5 .
17x + 19y = 21@
【变式4】解：
23x + 25y = 27 ②
②-①，得 6x+6y=6,所以，x+y= 1.
两边乘以17得：17x+17y=17③，
①一③得：2y=4,所以，y=2,
将y=2代入x+y= 1中，得x+2= 1,解得--1.
工方程组的解为卜=二.
1997%+ 1999y = 2001@
【变式5】解:
2017x + 2019y = 2021 ②
②-①，得 20x+20y=20,所以，x+y= 1.
两边乘以 1997 得：1997%+19977= 1997③,
①-③得：2y=4,所以，尸2,
将y=2代入x+y= 1中，得x+2= 1,
解得尸-1.
・ ・・方程组的解为尸二I
ax + (a + 2)y = a + 4© z 、
【变式6】解* (a
bx + (6 + 2W = 6 + 4 ②' 7
②-①得：(b - a)x+(b - d)y-b - a,
52春
代数专题・第五章 二元一次方程(组)
所以，x+y=\,
两边乘以〃得：ax+ay=a③，
①-③得：2y=4,所以，尸2,
将y=2代入x+y= 1中,得x+2=1,
解得x= - 1.
・•・方程组的解为「二 一L
〔尸2
留题型方法4：二元一次方程整数解问题
【变式1】解：方程2x+3y=ll,
11 .2r
解得：y =
当x=l 时，y=3； x=4 时，y=lf
则方程的正整数解有2组，
故选：B.
【变式2】解：由题意，得工=空出，
3
• "和y的值取0到9的正整数，
.-.2y+ll>0,且是3的倍数，
根据以上条件可假设当>=0时，2y+ll = ll,
当y=9 时，2y+ll=29,
・ ・・2>11的值就是11到29之间的所有3的倍数，即是12, 15, 18, 21, 24, 27.
再解这个方程取整数值得歹的整数值只能是y=2, 5, 8.
相应的x值为x=5, 7, 9.
把尸=5,厂=7,尸=9分别代入］05 则有52, 75, 98三个值.
U = 2 1y = 5 ［y = 8
故选：C.
【变式3］解：令x+y=f02),则什z=10的正整数解有8组。=2,勺3一二4,……t=9)
其中片、+y=2的正整数解有1组，片x+y=3的正整数解有2组，片、+y=4的正整数解有3
组，……片x+y=9的正整数解有8组，
・ ••总的正整数解组数为：1+2+3+……+8=36.
故选：C.
留题型方法5：三元方程组解法
2x + 3y+ z = 16 ①
【变式1】解：由题意得，< %-歹+ 2z =-1②,
x+2y-z=5®
③+①得，3x+5y=21④,
53初中数学题型方法全归纳
③x2+②得，3x+3产9⑤，
④一⑤得2y=12,尸6,
将y=6代入⑤得：3x= - 9,
解得x= -3,
将1=-3, ＞=6 代入①得，z=16 - 2x( - 3) - 3x6=4,
x = -3
・,•方程组的解为卜=6 .
z = 4
【变式2】解：设尸左，y=2k, z=3k,讥=4鼠 所以有9左+14左+9左+8右200,
x = 5
y = 10
解得：k=5,故厂 .
z = 15
w = 20
【变式3】解：①+②+③得x+y+z=3,
x = -1
用①、②、③分别减去此式得＞ =1 .
z = 3
【变式4】解：①+②+③得：x+y+z=15,
x-6
分别去减①、②、③式可得：＜y = 7.
z = 2
留题型方法6：已知方程组解的关系求参数
5 [％+ 2〉= 5加、①
【变式1】解：
6%一＞ =4加②
①+②x2得13尸13加，解得x=加，
把卡加代入①得根+27=5加，解得y=2机,
m,y=2加代Ax-2y+l=0 得加 一4加+1=0,
解得加=；.
‘4x + 3y = 7①
【变式2】解:
% +化—3）》=1②
把x=y代入①得7y=7,解得y= L
把产y=l代入②得上+左-3=1,解得左=2.
【变式3】解：(1),・h+2y —6=0, ・・.y=3-
又因为小y为正整数，
：.3--x>0,
2
54卷
代数专题・第五章 二元一次方程(组)
即：X只能取2或4；
・・・方程x+2y —6=0的所有正整数解：? = 2,尸=4
[> =2 [y = l
(2)由题意得：尸尸° ，解得、 = 一6,
[x + 2y - 6 = 0 [) = 6
把6代入^-27+加、+5=0,解得加=-"；
[歹二6 6
(3).・•方程x-2y+加x+5=0,总有一个固定的解，
.'.x=0, y=2.5,
.•.尸.
[y = 2.5
圉题型方法7：同解方程
【变式1】解：方程组尸+”4,
5一冲2
解得:二
把[' = 3代入方程组 mx + ny = 12 彳曰 3加 + 〃 = 12
卜=1 mx-ny = 6 3m-n = 6
解得:：；3
则加、〃的值为3、3.
【变式2】解：由于两个方程组的解相同,
用+ 2”非与方程组 心如二亭的解相同,
・・・方程组
p = 2x-1 ② bx + ay = 7②
3x + 2y = 5® [x = \
解方程组
y = 2x-1® [y =]
ax - by = 1 ①
把x=l, y=l代入方程组
bx + ay = 7②
得m
6 + 4 = 7
(a = 4
解这个方程组，得日
2x + 26 = -5y
【变式3】解：由两个方程组的解相同，得
3x = 5y+ 36
解得厂=2
卜二一6
55初中数学题型方法全归纳
2m = -6n - 4
所以有:
2〃 一 6次 + 8 = 0
解得『，
[n = -1
所以（加 + 2〃）侬=0 _ 2>=1 .
留题型方法8：错解方程
【变式1】解：根据题意，]” "一1不满足方程分+3y=5,但应满足方程云+2歹=8,
〔尸2
代入此方程，得-6+4=8,解得6=-4.
f Y — 1
同理，将1 代入方程办+3y=5,得。+12=5,
3=4
解得。= — 7.
-7x + 3y = 5
所以原方程组应为
-4x + 2y = 8
【变式2】解：（1）根据题意得：-36 = 1
[-3a-5 = -17
解得：『
[b = 5
（2）原方程组是：[4x + 5y = -17,
[4x-5y = 1
x — —2
解得：< 9 -
留题型方法9：同形方程
3
a- -
【变式1】解：由同形方程可得：a + b^l, a-b = 2,所以 2
b = --
l 2
1r1A ,葛 j-— m（5a-b}-3nb = S /t r \m（5a-b}~ n'3b = S
【变式2】解：将方程 化为
m^5a -b）+ 3nb = 9 [加（5q 一 b“n・3b = 9
那么和方程!如一即"成为系数、常数相同的方程，
[mx + 〃y = 9
所以，可得：5a—b = 7 j 36 = 9,
“ । i \a = 2
所以，\
[6 = 3
56麻
代数专题-第五章 二元一次方程（组）
m 7 n =G
* 二
【变式3］解:将方程"+?二也
化为
［a2m+b2n = 5c2 m 7 n
a2- - + b2 - = c2
那么和方程『厂+ 11十”-2厂。成为系数、常数相同的方程,
。2（% + 1） + 4（蚱2） =。2
所以,可得：—=x + 1 = 4 , — = y — 2 = 2 .
5 5
留题型方法10：二元一次方程组唯一解、无解与无数解问题
【变式1】解：给方程5/-尸2两边乘以3得：15x-3y=6,
故4选项和方程5x-y=2联立方程组后，方程组有无数解.
【变式2】解：整理方程得：\-nx-y=-m ,
［（2n-l）x-y = -4
因为方程组无解，
匚匚2 ―〃 -1 - m
所以，-----=一工一，
2〃 — 1 —1 —4
所以，及=1,加。4.
故选：C.
【变式3】解：k=~, 42时有无数解；
2
k=- , 时方程无解；
2
左。工时方程有唯一解.
2
国题型方法11：利润方程
【变式1】解：（1）设每只4型口罩的销售利润为x元，每只5型口罩的销售利润为y元,
j800x + 450y = 210
依题意，得:
[400x+ 600j； = 180
x = 0.15
解得:
y = 0.2
答：每只4型口罩的销售利润为0.15元，每只5型口罩的销售利润为0.2元
（2）设5型口罩降价的百分率为加，
依题意,得（1 + 100%）（1-加"1x15% ,
解得:-0.925=92.5%.
答：3型口罩降价的百分率为92.5%.
【变式2】解：（1）设商场购进4型号净化器x台，5型号净水器y台,
x + y = 160
依题意，得:
1500x + 3500y = 360000
57卷
初中数学题型方法全归纳
■mmSLum
x = 100
y = 60
答：商场购进4型号净化器100台，8型号净水器60台.
(2)设销售每台4型号净化器的毛利润为加元，则销售每台8型号净化器的毛利润为2加元,
依题意，得：100^+60x2m=110000,
解得：加=500,
.*.1500+^=2000.
答：每台4型号净化器的售价为2000元.
【变式3】解：(1)设该超市购进甲种商品x件，购进乙种商品M牛，
2y-x = 10
依题意，得:
120%+ 80y = 10000
x = 60
解得:
7 = 35
答：该超市购进甲种商品60件，购进乙种商品35件.
(2) (160-120)x60 + (130-80)x35 = 4150 (元).
答:销售完该批商品的利润为4150元.
【变式4】解：(1)设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯1只,
x = 80
y = 40
答：商场购进甲种节能灯80只，购进乙种节能灯40只.
(2)由题意得80x(30-25) + 40x(60-45) = 1000(元).
答：全部售完120只节能灯后，该商场获利润1000元.
留题型方法12：行程问题
【变式1】解：(1)设汽车在平路行驶了在上坡路行驶了川,
x + y- 4.2
依题意，得:
60x = 2 x 40y
x = 2.4
y = 1.8
答:汽车在平路行驶了 2.4〃，在上坡路行驶了 1.8A.
(2) 40xl.8-(1.8-0,9)= 80 km/h.
答：汽车在下坡路上的行驶的平均速度是806/爪
【变式2】解：设预定时间为卅，甲、乙两地间的距离为妩加,
---1—
18 3
根据题意可得:
115 15
58春
代数专题・第五章 二元一次方程（组）
_ 7
解得：r = 3 .
s = 36
7
答：预定时间为,九 甲、乙两地间的距离为36府.
3
【变式3】解：设平路的路程为x千米，坡路的路程为歹千米,
卜+ '-3
根据题意可得：6 3 ，
答：平路的路程为12千米，坡路的路程为3千米.
【变式4】解：设小明家上坡路有x加，下坡路荀山，
% y …
---1---= 21
依题意，得：60 90 ，
J 540+1080= 1620%
答：小明家到学校有1620加.
【变式5】解：设甲每分跑x圈，乙每分跑y圈,
2（x + y} = l
根据题意得： ,
6（x-y） = l
,1
x =—
解得： ；.
^ = 6
则甲、乙二人每分各跑工圈与L圈.
3 6
国题型方法13：数字问题
【变式1】解：设小明12时看到的两位数，十位数为x,个位数为乃 即为10x+y；
则13时看到的两位数为x+10y, 12~13时行驶的里程数为：（10广次）-（10%+7）；
贝I」14:30时看到的数为100x+y, 13时~ 14:30时行驶的里程数为：（100x+y）-（10y+x）；
x + y = 6
由题意列方程组得：ji00x + y-（10y + x）=10^ + x-（10x + j；）,
解得：I".
[y = 5
59春
初中数学题型方法全归纳
所以12:00时看到的两位数是15.
故答案是：15.
【变式2】解：设十位数字为x,个位数字为乃
2x = y
依题意得:
x + y = 12
x = 4
解得:
y = 8
・•・这个两位数为48.
故答案为：48.
【变式3】解：设这个两位数十位为x,个位为y,
x + y = ll
由题意得，
10y + x - (10x + y) = 63
解得：［ 二 ；
［y = 9
则这个两位数为：29.
【变式4】解：设个位数字为〃，十位数字为儿贝U这个两位数是(10H。),
由题意得:状二5 = 103
解得：忆:
所以这个两位数是：10x1 + 6 = 16.
留题型方法14：配套问题
【变式1】解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套,
根据题意得：热工6%/
解得：［ =
U = 32
答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母.
【变式2】解：设负责普通感染者病区医务人员有x人，负责危重感染者病区的医务人员有＞人.
x + y = 135
依题意得：
' x 1 ‘
—:y = 1:4
15 J
x = 75
解得:
y = 60
答：北京市属医院首批援助队伍中负责普通感染者病区医务人员有75人，负责危重感染者
病区的医务人员有60人.
【变式3】解：设用刈？木料做桌面、歹苏木料做桌腿，
60卷
代数专题・第五章二元一次方程(组)
由题意得‘优；X,
x = 15
解得:
7 = 10,
能配成方桌：15x5 = 75(个).
答：用15加3木料做桌面、io加木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌，能配成
75张方桌.
国题型方法15：几何问题
【变式1】解：设小长方形的长为初宽为ym,
2x + y = 20
依题意得:
x + 2y = 16 '
解得:｛；：4
・••孙=32.
答：每个小长方形花圃的面积为32加2.
【变式2】解：设长方形小木块的长为XCM,宽为ycm,
依题意得：= ,
[x + l = 2y
x = 5
解得:
7 = 3
.\2(x+y)=16.
故答案为：16.
【变式3】解：设小长方形的长为切加，宽为ycm,
r2x = x + 3y
由题意知，＜ c 40，
2x + x + y =—
x = 6
解得:
)=2，
所以小长方形的周长为：2x(6+2)=1651.
故答案是：16.
【变式4】解：设小长方形的长为比加，宽为ycm,
依题意得：+ 4 = "2f,
[2y + 3 = x + y
解得心;
**•图中含有阴影部分的总面积=(x + y + 4)x(x + y)-6^ = 17 .
故答案为：17.
61初中数学题型方法全归纳
留题型方法16：分段计费问题
【变式1】解：设“基本电价”为X元/千瓦时，“提高电价”为歹元/千瓦时,
80x +(100-80)^ = 68
依题意得：
80x + (120-80)、=88
解得：尸，
80x0.6+(130 - 80)x1 =98(元).
答：预计小张家7月份应上缴的电费98元.
【变式2】解：(1),・,小王家今年3月份用水20吨，要交水费为15a+56,
故答案为：(15a+5b).
⑵根据题意得：［1" +618 ,
154 + 106 + 5x2 = 70
解得:仁:
(3)设a上调了x元，%的值上调了y元，
根据题意得，15x+6y=9.6,
5x+2y=3.2,
・・h, y为整数角钱(没超过1元)，
・••当x=0.6元时，＞=0.1元，
当x=0.4元时,y=Q.6元，
的值上调了 0.6元或0.4元，6的值上调了 0.1元或0.6元.
【变式 3】解：(1) 2x9+04x30+1x(9-7)=32(元).
答:车费是32元.
(2)设小王的乘车里程数为x千米，小王的乘车时间为y分钟，
2x + OAy = 21.6
依题意有：
2(15-x) + 0.4(y-10)+(15-x-7)=21.6
解得:
故小王的乘车里程数为6.8千米，小王的乘车时间为20分钟.
62代数专题-第六章 不等式及不等式组
留题型方法1:不等式的基本性质
【变式1】解：©9：a>bf
・•・根据不等式的基本性质1可得：
a+x>b+x；
所以，正确的个数为1个；
②当xVO时，巴>2不成立；
x x
③办2〉汝2 ；
④当6>0时，abv从不成立；
⑤当0>a>6时，一同< 一也不成立.
故选：A.
【变式2】解：•・,若主V」，贝布>0时，x<y, aVO时，x>y,
a a
・ •・选项Z不符合题意；
,若贝肪>0 时，x>y, bVO 时，x<y,
・ ・・选项3不符合题意；
• .•若主=2,贝！）x=y,
a a
，选项。符合题意；
V ^mx=my9 且加=0,贝！!%可或工利，
・ ・・选项。不符合题意.
故选：C.
【变式3］解：・・・/<0,且aVb,
：.a<O<b,
4、由oxVb,得故4选项错误；
a
2
B、由（a-b）x>2,得xV——,故5选项错误；
a-b
C、由-Va,得故C选项错误；
a
7
D、由3 -q"V2,得xV------，故。选项正确.
b-a
故选：D.
国题型方法2：根据一元一次不等式定义求参
【变式1】解：••一（加+ 4）户一3+6>o是关于%的一元一次不等式,
63初中数学题型方法全归纳
划一3=1且;（加+ 4）/0 ,解得：加=4.
故答案为：4.
【变式2］解：・・・（加+ 1）钾+2>0是关于x的一元一次不等式，
・ ••加+1H0,同=1.解得：m-\.
故答案为：1.
【变式3］解：・・・5x2m+i_i>5是关于x的一元一次不等式，
，2加+1=1,解得：加=0.
故答案为：0.
取题型方法3：解一元一次不等式
【变式1】解：去分母，得：2（2x-l）-3（5x + l）>6.
去括号，得：4x-2-15x- 3>6.
移项合并同类项，得：- 11x211. । .」一一,1_।_।_।_L
系数化为1,得：x<-l. -3 -2 / 0 1 2 3
・ ・・原不等式的解集为：x<-l.
在数轴上表示如图所示：
【变式2］解：去分母，得：5x-12>8x-6,
移项合并同类项，得：-3x>6 , ----------1
系数化为 1,得：x<-2, -T ［ ‘0 '—3
・ •・不等式的解集为：x<-2.
【变式3］解：去分母，得：3x + 6>4x + 10-6 ,
移项合并同类项，得：—X > —2 , -----------------
系数化为1,得：x<2, 一一二T------ ?
・ ・・不等式的解集为：x<2.
留题型方法4： 一元一次不等式整数解
【变式1】解：解不等式得：x<4,所以，正整数解为：％=1或2或3.
【变式2】解：解不等式得：x<2,所以，非负整数解为x=0, 1, 2.
17
【变式3】解：解不等式可得：x<二,
4
不等式的正整数解为：％=1、2、3、4.
2Q
【变式4】解：解不等式得：x<—,
12
不等式的非负整数解为：X=0、1、2.
留题型方法5：解一元一次不等式组
【变式1】解：解不等式2（x + 2）23x + 3得：x<l；
解不等式1 —王”>♦得：x<y . -1 6 \—>
64卷
代数专题-第六章 不等式及不等式组
・ ,・该不等式组的解集是X<1.
【变式2】解：解不等式g+ 3。+ 1得：%<1,
2
解不等式l-3（x-l）V8-x得：x>-2 ,
・ ,・该不等式组的解集是-2Vx«l. -2 -1 0 1
【变式3】解：解不等式=-4%4士-3%得：x>3,
2 2
解不等式3x + 3< —得：xV —1,
3 2 6
・ ,・该不等式组无解.
留题型方法6：利用整数解求参数
【变式1】解：不等式组产<6的解集为1 _ 〃 <工<3 ,
[a + x>l
而不等式组的整数解共有5个，即-2, -1, 0, 1, 2.
所以—3VI — a < —2 ,
所以3«aV4.
【变式2]解：解不等式5x+2>3（x-1）,得：x> -2.5,
1 ?
解不等式一x<8——r + 2q ,得：x<a + 4 ,
2 2
・ ・•不等式组有四个整数解，
・ ・・四个整数解为-2、-1、0、L
贝Ijl«a + 4V2 ,
解得：-3<a<-2 .
'1 + XV2 ①
【变式3】解：⑴当片2时，不等式组为：x + 9 x + 1 、
------+ 1>---------[②
I 2 3
・ ・.解不等式①得：%<1，
解不等式②得：%>-37,
・ ・・不等式组的解集是-37 < x<l.
l + x〈a ①
（2） ***5x + 9 + l ig，
------+ l>---------1®
I 2 3
・・,解不等式①得：xVa-l,
解不等式②得：x>-37,
又・・•不等式组的解集不是空集，
37,
解得：a> — 36 .
（3） ,・,解不等式①得：x<a-\,
解不等式②得：x>-37,
65初中数学题型方法全归纳
・ ・・不等式组的解集是-37 < xVa -1 ,
• ・,这个不等式组的解集有且只有2018个整数解,
/. 1980<a-l<1981 ,
解得：1981<a<1982.
时题型方法7:解含参不等式（组）
【变式1】解：移项，合并同类项得：（"3）x>-3.
当k-3>0,即％>3时，不等式解集为工>三；
左一 3
当左-3V0,即左V3时，不等式解集为xV工；
左一 3
当k-3=0时，即左=3时，不等式变为0/>-3,故不等式解集为任意数.
【变式2］解：・・・/+i>o,
2
・ ・・不等式解集为
m +1
【变式3】解：由题可知，不等式两边同时除以（2加+1）,
不等式变号了，说明2m+ 1<0,所以加V-
2
【变式4】解:化简不等式组得;某
, 11
-
4加，且且一11<0,故解集为且
①当机>0时，可化为V
、8 3m 4机 3m 4m
x>——
、 3m
x<n_
4加，且 11 —_£ = __L〉o,故解集为_lLvx〈_L
②当加<0时，可化为V
、8 4加 3m \2m 4加 3m
x>——
、3加
③当加=0时，原不等式组无解.
留题型方法8：已知不等式的解集求参
【变式1】解：由题可知，不等式两边同时除以5处 不等式变号了，说明“V0,所以aVO.
故选：A.
【变式2】解：解不等式组得：加+ 2,又知不等式组得解集为、>-2,
所以，m+2= - 2,所以，加=一4.
【变式3】解：解不等式组得：m + n-2<x<m ,又知不等式组得解集为-,
所以，m+n-2= - 1, m=2,
所以，n=-\,
所以，（加 +〃）刈6 =（2—1）刈6=1.
【变式4】解：由不等式得：x<4, x<mf
又知其解集为x<4,
66代数专题-第六章 不等式及不等式组
所以，m>4,
x>4b-2a [4b-2q = 1
【变式5】解：解不等式组得到 2a + b，则可得2o + b
x<-------- --------= 2
I 2 I 2
'_ 3
解得”5,・・・。+6=3.
b = \ 2
留题型方法9：已知不等式解的范围求参
【变式1】解：①当。>0时，不等式的解集为：x>~,
a
而不可能在x<2这个范围内，不符合题意；
a
②当〃 =0时，不等式无解，不符合题意；
③当aVO时，不等式的解集为：x<~.
a
因为，在x<2这个范围内，
a
所以，-<2,
a
解得：a<3,
所以，a<0.
综上可知，。的取值范围为aVO.
【变式2】解：解不等式组得：a<x<a + l,
因为，不等式组的解集不在3 5范围内，
所以，分为两种情况，
@a + l<3 ,所以，a<2,
②q25.
综上可知：a<2^a>5 .
【变式3】解：由不等式①得：%>-1,由不等式②得：-2<x<3,
所以，不等式组的解集为：
要解不等式">-1,分两种情况：
1 .当 q>0 时，得：x>—,
a
所以，—<-1,解得：aWl.所以，OVaVl.
a
2 .当 aVO 时，得：x<—,
a
_i i 1
所以，—> —1,解得：〃>—.所以，—VqVO .
a 3 3
综上可得：-且aWO.
3
67初中数学题型方法全归纳
就题型方法10：已知不等式恒成立求参
【变式1】解：由x + m>5得，x>5 - m ,
对于任意的x>3 , x + zw>5恒成立，
5 - w < 3 ,
解得m>2.
故答案为：m>2.
【变式2】解：由卜>“得，加VxVm+ 3, .
[xVm + 3
对于任意的-卜>" 恒成立，
[x<m + 3
.•.F<T ,
[加+ 3>1
解得一2<加<一1 .
故答案为：-2<m<-l.
【变式3】解：由尸,加T 得，m-1<x<2m + 7,
[x<2m + 7
对于任意的-2Vx<3,不等式组1恒成立,
[x<2m + 7
.J 7W -1 < -2
• ・[加+ 5>1 '
解得一 2V加工一1 .
故答案为：—2<zn < —1 .
野题型方法11：已知不等式组有解无解求参
【变式1】解：“大小小大中间找"，q +2V3”2；
当a+2=3a-2时，不等式组无解，
a>2 , 2- a<a + 2 ,
・ •・不等式组的解集为2- - + 2 .
【变式2】解：解不等式小王—1得：x>8,
3 2
又・・•不等式组无解，
・ ••加« 8 ,
故选：A.
【变式3]解：解方程3-2、= 3（左-2）得X=三生，
・ ・•方程的解为非负整数，
9一3左
・ ・・即左43,
2
68海
代数专题・第六章 不等式及不等式组
不等式组整理得：尸T,
由不等式组无解，得到左>-1,
/. -\<k<3,即整数4=0, 1, 2, 3；
当左=0时，x=4.5,不是整数；
当左=2时，x=L5,不是整数，两个左的值不符合题意，舍去;
综上，k=1或3,
则符合条件的整数左的值的和为4.
故选：C.
留题型方法12：已知方程(组)解的范围求参
亦 ,口工+4= fx + y = 2zn + 7 i口 [x = 3m + 2
【变式1】解：由题意得〈’ ,解得 .
[x-y = 4m-3 [y = 5-m
.[3m + 2>0 2
・・1 ，解传—V〃z<5 ,
[5-m>0 3
/. 3m + 2>0 , m - 5<0 ,
・\ |3加+2| -\m- 5\=3m+2+m - 5=4加 一 3.
【变式2】解：尸+%3。+巴
x-y = 5a-1®
①+②得：x=4a,
①-②得：y=l—a,
.(x = 4a
9[y = l-a '
又•: 3x + 5y>l ,
解得a> —.
8
【变式3】解：解不等式组可得：!x=2a ,
卜=1-。
代入至鼠->>0中得：2q-(1-q)>0,
所以，a>-.
3
[31-3d
x =-------
【变式4】解：①-3x②得到： 2 ,由于都是正整数，
5 夕一31
所以有户。即尸I」3夕>°,
[5/7-31>0
不等式组的解为卫Vx<2,
5 3
69卷
初中数学题型方法全归纳
由已是整数，知夕=7, 8, 9, 10.
其中0=8, 10不满足使得小y为整数，舍.
经验证2=7或9.
【变式5】解：由题意得，[3"2z = 3 + x,，心视为参数解方程,
[3> + z = 4-3x ②
5-7x
①-②得：z=4x-1,带回②中：y =二 5 - ” 7y ，所以解为< y
3
z = 4x-l
由>20, 2 2 0得到《3 -，
4x-l>0
4 7
FT=3x-3y+ 4z = 3x-5 + 7x + 16x-4 = 26x-9 ,
・・5 久 61
• — < 26x — 9 < —,
2 7
2 7
留题型方法13：利润问题
x < 2000
【变式1】解：依题意得:
2x-700>1000 ?
解得：850〈烂2000.
故选：A.
【变式2】解：(1)加型污水处理设备的单价为x万元，8型污水处理设备的单价为y万元,
2x + 3y = 54
根据题意可得:
4x + 2y = 68 '
解得：
"10
答：4型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元.
(2)设购进〃台4型污水处理器，根据题意可得：
220a+190(8-a) > 1565,
解得：«> 1.5,
,・7型污水处理设备单价比5型污水处理设备单价高，
・・・4型污水处理设备买越少，越省钱，
・・・购进2台4型污水处理设备，购进6台8型污水处理设备最省钱.
【变式3】解：(1)设4、5两种型号电风扇的销售单价分别为%元、y元，
3x + 4y = 1200
依题意得:
5x + 6y = 1900
70卷
代数专题・第六章 不等式及不等式组
“ = 200
解得：1 .
[y = 150
答：4、5两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元.
(2)设采购/种型号电风扇。台，贝U采购5种型号电风扇(50-〃)台.
依题意得：160a+120(50-a)S7500,
解得：a<37-.
2
答：超市最多采购4种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元.
(3)根据题意得：
(200 - 160)a+(150 - 120)(50 - a)>1850,
解得：q>35,
又•・,丝37工，且a应为整数，
2
・••在(2)的条件下超市能实现利润超过1850元的目标.相应方案有两种:
当a=36时，采购4种型号的电风扇36台，5种型号的电风扇14台；
当a=37时，采购4种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台.
寻题型方法14：分段计费问题
【变式 1】解:(1) 200+(% - 200)x95%= 10+0.95X；
200+(x-200)x95%=10+0.95x；
300+(x - 300)x90%=30+0.9x.
填表如下：
M单位：元) 实际在甲超市的花费(单位：元) 实际在乙超市的花费(单位：元)
0<x<200 X X
200Vx0300 10+0.95x X
x>300 10+0.95% 30+0.9%
(2) 200+(x-200)x95%=300+(x-300)x90%,
解得x=400.
当200VxV400时，顾客到甲超市花费更少；
当产400时，顾客到甲、乙超市的花费相同；
当x>400时，顾客到乙超市花费更少；
故答案为：10+0.95%； 10+0.95%； 30+0.9%.
【变式2】解：(1)应收水费为2x6+4x4+2.5x8=48元
(2)设三月用水x吨，则四月用水(15-%)吨,
讨论：/、当 0VxV6, 6V15-烂 10 时，
2x+6x2+4(15—X —6)=44,
解得x=2,与6V15-止10矛盾，舍去.
B、当 0VxV6, 10V15—x时，
71初中数学题型方法全归纳
2x+6x2+4x4+8x(15-x- 10)=44,
解得 x=4, 15-x=ll>10,
・ ・・3月份为4吨，4月份为11吨，
C、当 6VxV10, 6V15—xVIO 时，
2x6+4x(x-6)+2x6+4x(15-x-6)=44,无解.
・ ・・3月份为4吨，4月份为11吨.
【变式3】解：(1)由题意，得：
’17(a + 0.8)+ 3(b + 0.8)= 66 ①
[17(〃 + 0.8)+ 8(6 + 0.8)= 91 ②'
②-①，得 5(b+0.8)=25,
6=4.2,
把6=4.2 代入①，得 17(4+0.8)+3x5=66,
解得。=2.2,
•\a=2.2, b=4.2；
(2)当用水量为30吨时，水费为：17x3+13x5=116(元),
9200x2%=184 元，
V116<184,
・ •・小明家七月份的用水量超过30吨.
设小明家七月份用水量为x吨，
由题意，得 17x3+13x5+6.8(%-30)384,
解得二40.
答：小明家七月份最多能用水40吨.
国题型方法15：方案设计问题
【变式1】解：(1)设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件.
x + y = 180
根据题意得:
6x + 8y = 1240
卜= 100
解得:
[y = 80
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件.
(2)设甲种商品购进q件，则乙种商品购进(180-a)件.
，4q + 35（180 — q）V5040
根据题意得<
6q + 8（180-a）>1312
解不等式组，得60Vq<64.
・・•〃为非负整数，
・・・。取61, 62, 63.
・•・ 180 —a 相应取 119, 118, 117.
方案一：甲种商品购进61件，乙种商品购进119件;
72卷
代数专题,第六章不等式及不等式组
方案二：甲种商品购进62件，乙种商品购进118件;
方案三：甲种商品购进63件，乙种商品购进117件;
答：有三种购货方案，其中获利最大的是方案一.
【变式2】解：（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元,
3x+ 2^ = 1020
由题意得:
4x + 3y = 1440
x = 180
解之得:
y = 240
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元.
（2）解：设甲种书柜购买加个，则乙种书柜购买（20-⑼个，
20-m>m
由题意得:
180 加+ 240（20-加）4 4320
解之得：8<zw<10.
因为加取整数，所以加可以取的值为：8, 9, 10.
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个.
【变式3】解：（1）设改扩建1所中学需要x万元，改扩建1所小学需要y万元,
3x + 2y = 6200
依题意得:
x + 3y = 4400
x = 1400
解得:
7 = 1000
答：改扩建1所中学需要1400万元，改扩建1所小学需要1000万元.
（2）设改扩建加所中学，贝殿扩建（10-⑼所小学，
一
500加 + 300（10 -加）2 4000
依题意得：/ :/ 、/ 、 ，
（1400-500）^ +（1000-300）（10-«）< 8400
解得：5<m<7.
• ・•加为整数，
• \m=5 或加=6 或加=7,
・ ・・共有3种改扩建方案，方案一：改扩建中学5所、小学5所；方案二：改扩建中学6所、
小学4所；方案三：改扩建中学7所、小学3所.
73初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:塞的乘除运算
【变式1】510.
【变式2】(加“叫
【变式3】36.
【变式4】町.
3 1 (23 Y015 ( 15 Y°16 15
【变式 5】(1) (2) -； (3)原式=2 x -- = —； (4) -2.
2 5 <15； I 23； 23
留题型方法2：幕的乘方运算
【变式1】①)2=产.
[变式2][(—加)[=(一加产=加口.
【变式3](a3-m
【变式4】 (1) 0； (2) 0； (3) y12； (4) 1； (5) —； (6)
a
【变式 5】(1) -a12； (2) -8x6； (3) -81a8612.
【变式6】①当a+5=0时，则〃 =-5,此时原式=37；
②当4+1 = 1时，得4=0,此时原式=-3；
③当4+1=-1时，则〃 =-2,不满足要求；
・・・原式=37或-3.
留题型方法3:幕的加减运算
【变式1]解：,・・9〃+1-32〃=72,
・・ 32 x32n-32n =72 ,
・.8x32〃 =72,
・・(_武=—].
【变式2】解：V 4n+1-42n =48 ,
・・ 22 x22n-22n=48 ，
74卷
代数专题・第七章 整式的乘除法
A 3x32w=48,
・•. 22n =16 = 24,
2〃=4,
•\n=2.
【变式 3】解：(-2)刈9+(_2)刈8=_2刈9 + 2刈8 = _2、2刈 8 + 2 2018 =(_2 + 1卜2刈8 = _22°18.
留题型方法4：已知事的值求暴的值
【变式 1］解：23m-2n =（2"）：（22）" =27+9 = 3 .
【变式2】解：（1）・・,屋=2,优=5,
J am+n=amxan =2x5=10,
(2) V 32x9wx27-321,
BP 32 x32wx33 =321 ,
「・2+2 加+3=21,
解得加=8.
【变式3】解：（1） 50、=10隈5' = 〃6；
(2) 2X =
(3) 20x = yX10
圉题型方法5:已知事得到字母的关系式
【变式 1】解：y =（33 ）m+2 = 33w+6 = 33w x 36 =（3W ）3 x 36 = 36 x x3 .
［变式 2］解：由题可知：x-l=2m , j- 3= 4W =（22=（2W ）2 = （x-1 ）2,
所以，y = （x-l）2 + 3 .
留题型方法6：已知两个基相等求字母的值
解：由题可得：9X+1 =97 ,
所以x+l=7,
解得：x=6.
【变式2】解：由题可得：87=8〃，
所以片7.
【变式3】解：由题可得：26加=27-〃，
所以 6m=7 - n,
解得：6m+n=7.
【变式4】解：根据已知条件可得：2" 3+6, 32y =3一，
75卷
…一
初中数学题型方法全归纳
x = 37+ 6
列方程得:
2y = x-9
x = 15
解得:
”3
贝 lj；x + 2y = ll.
留题型方法7:已知两个基的值求代数式的值
【变式1】解：V 25x=2000,
・ •・①259=2000、①,
又 80、=2000,
・ ・・80孙=2000"②，
① x ②得：（25x80）孙=20002,
• • xy = x + y ,
.11.1
% y
【变式2】解：V 2a=3,
・ •・两边同乘以2,凑出1+m 得到2"i=6,
再两边进行六次方得到（2用）右=6刖，即2 = 6而①,
又丁 3:2.
工两边同乘以3,凑出1+6,得到3"i=6,
1 j_ J_ _L
再两边进行出次方得到（3房产=6而，即3 = 6面②,
j__i_
①x②得：6 = 6尚+而，
.11,.
1 + a 1 +
留题型方法8:比较几个塞的大小
【变式 1】解：2717<3217 =285 ,
1727 >1627 =2108 ,
而 * > 285 ,
所以，*27 >27。
【变式2】解：1020 >920 =340 ,
26" <27"= 339 ,
而3钩厅,
所以，1020 >2613.
【变式 3】解：a = 3124, b = 3⑵，c = 3122
76春
代数专题-第七章 整式的乘除法
V124>123>122,
:・a>b>c.
留题型方法9：整式的乘法
【变式1】—x12/ .
4
【变式2】/用_针+2 +炉+3.
【变式 3】原式= （/ + 2a-2〃-4）（2〃 + 1）
二（/ 一 4）（2〃 + 1）
=2a3 + / — 8q - 4 .
【变式 4】原式=（3/ + 2）（5/ + 2，+3）—（5/ +，+3）（3/ + 2）-（5，+，+3）
=（3x2+2）（5x4 + 2x2+3-5x4-x2-3）-（5x4 + x2+3）
= x2（3x2+2）-（5x4+x2+3）
= 3x4 + 2x2-5x4-x2-3
= -2x4+x2-3 .
【变式5】解：原式=9式+14”2,
所以，当。=一1时，原式=-7.
【变式6】解：原式+必2_/=必2,当。=」，Q2时，原式=—L
4
留题型方法10：整式的除法
【变式 1)解：(1)15a3b -^3ab = (15^3)[a2 ^a)(b^b)= 5a2bQ = 5a2 .
(2) -51,%+ 3%2y2 = (—5+3)15 +12 )(y3 72 )z = _ ±3yz .
⑶(_*62cH_洒)=0„/+0胪+吁=皿.
(4) (10x106)4-(2x103)=(10 4-2)(106^103 )=5x103 .
【变式2】原式=[公一4夕2+4仁一？孙+ ,2)] + 6%
=(%2 - 4y2 + 4%2 - 8盯 + 4y2 / 6x
二(5- -8xv)-5-6x
【变式3】原式/-a4bJ --a3bs + L//]
(4 2 9 J <9
=2 q%7 Jla2b6 ] 一 (L2b6
+ -a2b6 +
4 (9 J 2 (9 9
77初中数学题型方法全归纳
= -a2b--ab2+l.
4 2
【变式4】用竖式除法：
3x2-5x-8
x2+0-x+3 ) 3x，-5x? +x2+0・x+2
3乂，+0 ・x3+9x2______
-5x3 -8x2+0-x
-5x3+0x2-15x
-8x2+15x+2
-8x2+0・x-24
15x+26
所以，商式为3%2_5x-8,余式为15x+26.
【变式 5】解：由题意知，x3 -2x2 + ax-l = (6x-l)(x2 -x + 2)+l
二加一伍+ 1)/ +(26 + 1 b-1 .
所以，b=\, a=2b+l=3.
【变式 6】解：2x2 (x2 +1) + 3x - 2 = 4? + 2x2 + 3x - 2 .
留题型方法11：不含某一项求参数
【变式 1］解：(，+日 + 5)卜2+2工 + 3)= / +化+ 2* +(2左+ 8* +(3左+ 10. + 15 .
因为展开式不含炉，所以，2左+ 8 = 0,
所以，k-4.
【变式2】解：将原式展开得：
(12 + 川 + 8)12 _3% + 0)=14 + (p_3* + 3P+ 8* + °q -24)x + 8q .
因为积中不含，和d,
所叱"
P = 3
解得
夕二1
(犬 ― 3x + 〃) = — + (加 — 3* + 1 r 1 ) 2 / 八 11
【变式3】解：(1) x1 +mx- -3m + n- — \x +m + 1 尸一丁 ,
3
由积中不含x和丁项，得到加- 3=0,加及+1=0,
解得：加=3, n=--
3
(2) 原式=4加由九2 H——!——F (加九)2017 ,几
3mn
“ 1 1
—36----1—
3 3
=36.
78春
代数专题・第七章整式的乘除法
豺题型方法12：恒成立与无关问题
【变式 1】解：V(x-10)(x-8)+a=x2 -18x+80+a, (x-9)(x-b)= x2 -(9+b)x+9bf
又(x - 10)(% - 8)+a=(x - 9)(x - b),
/. x2 - 18x+80+a=x2 -(9+b)x+9b,
.b 18 = _(9 + b)
180 + a = 9b
解得工
/.a+6=10,
故选：B.
【变式2】解：原式左边展开可得—+(加+几)孙+加即2 =工2 +勿一 6y2 ,
贝!J有加+〃=2, mn= - 6,故(加+ 九)加几=2x(-6)= -12 .
【变式 3】解：原式展开得：x4 + x3 + x2 + 2 = x4 +(7« + n)x3 + (mn + 3)x2 +(2m + n )x 4- 2 ,
m + n = \
I m = —1
比较两边同类项的系数，有 mn + 3 = 1,解得\ .
\n = 2
2m+n=0 i
留题型方法13:平方差公式
2
【变式1】①原式=(3媒_⑶丫 = 9b2 -4a2；②原式= I
4 16
@x2-y2； @9/-16x2；⑤4_，； @a2b6-x4y2； ©x2w-4/； @x4-81.
【变式2】①原式= 3xW = 1 1 1 224
15 15 15 - 225 - 225
②原式二(80 + 0.1)(80-0.1) = 802-0.12 = 6400-0.01 = 6399.99 ；
③原式= 20*2—(2017 + 1)(2017— 1)=20172— 20172+ 1 = 1 ；
④原式二 232 .
【变式3】灵活运用平方差公式和完全平方公式；
原式= ("6)(〃 +6)(42 +62)(“4 +64)
= (/—/)(/+/)(/+/)
=+ O,)
=/一也
国题型方法14：完全平方公式
【变式 I]①9/+24</+i6y6 ；
② x4y2 - 2x2yab2 + a2b4 ；
79初中数学题型方法全归纳
@9a462 +3a3b3 +0.25a264 ；
④ 121/用 一 286。»〃+169/".
【变式 2】①1992 =(200-1)2=40000-400 + 1 = 39601 .
②原式=20172-2x 2016x 2017 + 20162 =(2017- 2016 )2 = 1 .
【变式3](1) 一6出
(2) (x + 2)2(1-2)2 = [(1 + 2)(%-2)了 =(r—4) =x4-8x2 + 16 ；
(3) (x + 5y-9)(x-5y + 9)=，-(5y-斤=x2 -(25y2 -90j^ + 81) = x2 -25/ + 90j；-81 ；
(4) 4a2 -b2 -9c2 +6bc .
i o
【变式4】解：原式=-上必--/，当a=32, 6=5时，原式=-18.
10 25
【变式5】解：原式=-，+(2村=一]当k1,》=一2时，原式=-；.
留题型方法15：已知完全平方式求参数
【变式1】解：先把二次项系数化为1,所以原式子化为4(，+?工+隼)
要使该式子为完全平方式，常数项空•应该等于一次项系数生的一半的平方，
4 4
解得，m = ±44 .
【变式2】解：苓+ s +誓=（与士与J,故加= ±1.
【变式 3】解：4x2-3（a-2）x + 25 =（2x）2-3（tz-2）x + 52 =（2x±5 ）2 =（2x±5 f = 4x2 ±20x + 25 .
故一3—-2）= 20 或一3（a — 2）= -20 ,
解得：a = --^a =—.
3 3
题题型方法16:三元平方公式
【变式 1】x2+25/+81-10^ + 90^-18% .
【变式 2】-a2 + —b2 + -c2 + -ab + -be + -ca .
9 16 4 6 4 3
【变式 3】4m2 +n2 +16/?2 -4mn-Snm + 16pm .
留题型方法17：立方和、立方差公式
【变式1】原式=(3/+/=35.
【【变变式式22】】原原式式==①一力. (工一,)=2 .
80代数专题-第七章 整式的乘除法
【变式 3】原式= ("b)3-(a-c)3 = 27-8=19.
国题型方法18:完全立方公式
【变式 1 J (x2 - 2y 丫 = / 一 6工4、+ j2x2y2 - Sy3 .
［变式 2］(3a- 2媒=27/ _ 54/6 + 36ab2 - Sb3 .
【变式 3】｛2m + «)3 = 8w3 + 12m2n + 6mn2 + n3 .
留题型方法19：乘法公式知二推二
【变式1】(1) 2ab；
(2) 2ab；
(3 )+ / = ；［(Q + +(Q — 6)2］；
(4) 4ab ；
(5) + ―/_/］ , ；［(q + b)2 _(”6)2］,；［(〃+厅 _力)2］.
解：由 x + y = 7 得：x2 + 2xy + y2 =49 ,
・ ., x2+y2 =25,
xy = 12 .
(x-y)2 = (x + 城-4xy = 1 ,
又x>y ,
x-y = 1.
【变式 3】a2 +b2 =(a-b^ + 2ab = l.
【变式4］解：・・・♦+孙+ )=19,
(x + y)2 一孙=19
又 < x + y = 5 ,
• • xy = 6，
(x - y )2 = (x +)J _ 4" _ i ,
x-y = ±1 .
【变式 5)解：由 x + y = 5 得：x2 + 2xy + y2 ,
・ .・ x2+/=13,
・ ••孙=6 ,
(x-))2 - (x + y)2 _ 4盯 _ 1 ,
• 9• x- y = ±1 .
【变式6】孙=二止一(、一城=6.
4
81海
初中数学题型方法全归纳
【变式 7】〃2+/=；［, + 6)2 + ,_6)2］=13,仍=；［(“ + 6)2一("6)2］ = —6,
2+b2+ab = l.
国题型方法20：高次型的知二推二
【变式 1】解：(x2-/)2 = 2(x4+/)-(x2+/)2=9,
/. x2 — y2 = ±3 .
【变式2】解：/+/=(/_/)2+ 2侬『=17,
(/+/)2=/+/ + 2侬)2 = 25 ,且/+/〉o,
所以，a2+b2=5.
【变式3］解：・,・% +)=4,
+ / = (x + y )2 _ 2xy = 12 ,
xy = 2 ,
x4 + y4 = (%2 + /) - 2x2y2 = 136 .
【变式 4】解：d+8j? =(x + 2>)2_3x.2y (x + 2歹)=43 -6x1x4 = 40 .
【变式 5］解：由 d +y3 =(x + y)3-3中(x + y)=］00O—30盯=］0。，解得盯二30,
.・. x2 +/ =(x + j；)2-2^ = 100-2x30=40 .
【变式6］解：由J? —y3 =卜一》)3 + 3孙(x — y)= 1+3盯=2 ,解得9=；,
X4 +J/=卜2 +力2 一派2,2 =［卜_才+句］—2(肛)2= £ ,
丁 一贯=(/ +/)(x-,y)+(x3 -y3)Ay = yx 1+ 2x 1= y .
【变式7】解：由题意知，孙=；［(1+丁)2-12+丁2)］二 一；，
x6 + y6 =俨 + y2 )3 - 3x2y2 (x2 +/ )= 8一 3x ；x 2= £ .
【变式8】解：由题可知：x + y = 5 , xy = 4f
x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 17 ,
・.,孙二4 ,
I. / + ,=仁 + 力2 一 2T2/ =卜2 + /『一 2 (孙『=257 .
留题型方法21：倒数型的知二推二
【变式1］解：・・・/+二=7,
82代数专题-第七章 整式的乘除法
Cl H---= ±3 .
a
【变式2】解：由。+工=2得：。2+4+2 = 4 所以，a2 + -^- = 2 9
a a
["2 ="力，=0，
故4-工=0.
a
【变式3】解：由题意得，/0,
1 . + 1 + 2 = 9,
①当x>0,则由题意, X H— = 3 j x2
X x
：.x2+-4 = 7,
x
.x2 1 1
，+—+1，+1 + 与-8
x
②当xVO时，则由题意, x——=3， x2 + —2 = 9 ,
x x
%2 H---1- = 11,
X
.一 1 1
X4 + %2 + 1 /+ 1 + 3 12
X
・,・原式=」或-k
8 12
1 = -5
【变式4】解：由题意得, a +
向
：.a<0 .原式=’.
57
留题型方法22：知二推二的应用——换元
【变式 1】解：令x+2=a, 3-x=b,贝！J 4+ 6 = 5, a2 +b2 =13 ,
所以(x+2)(3 -x)=ab=g[(a+ b)2 -^tz2 +&2^ = 6 .
【变式 2】解：令几一2010 =。， 2012-n = b ,贝 iJq2+/=i、 a+b = 2f
W…一…)
_ 3
2 ~ 2
【变式3】解：令10 — 〃 =加，7-a = n ,贝!J加一九=3 mn = 40 ,
・••原式=根？ + 〃2 =(加一理 J + 2mH _ 89 .
【变式4]解：由％-7=2平方得一_2肛+歹2=4②,
又已知，+/=4③,
83初中数学题型方法全归纳
③一②得2盯=0.所以，9 = 0,
所以x, y中至少有一个为0,但，+/=4,
因此M y中只能有一个为0,另一个为2或-2.
无论哪种情况，都有/92+^992 =（）1992 +（±2『92 =，992 .
留题型方法23：配方法
40 7 191 11 81 o _ 25 5
【变式1】①4,升2；②25, H5；③彳,x + -; ®—, x + 万;⑤彳, 口;⑥彳，、-于
⑦粤 计争⑧竽 15
x-----•
4 2
a m
结论: x -\—； x-----
2 2
哈
49 7 3，x + —；⑤[-7）
【变式2】①2, 2, X+1；② 18, 2, x+3；③一， 3, X H---; ,—1,
12 6
9 ⑥罔, -1, X + g ；⑦（一 r 5
V----- x + ⑧ —3, X H— ；
2， 4 2
（
2 b b2 b b b2 b
结论：— 4a 9 df X H-- x - X H--- 4 - q - j CLf X H-- 2 -- a - j ， 4a ） —ci, x2 --- a - X H-- 4 -- a -, -a , x-元.
留题型方法24：配方法求最值
【变式1】①原式= （'-2）2-3,当尸2时，取最小值为-3；
②原式=「+ ?丫-史，当x = -3时，取最小值-史；
< 2； 4 2 4
③原式=-（％ + 4『+ 26 ,当工=-4时，取最大值26；
④原式=-%-*丫 +红，当工=9时，取最大值2；
I 2） 4 2 4
⑤原式=2（，+2x + 1） + 5 = 2（x + 1）2 + 5 ,当 ％ = -1 时，有最小值 5；
⑥原式=—2口2_5工+5]+1=—2卜—0+y,当x = g时，有最大值当・
留题型方法25：配方法解不定方程
【变式1】解：由题可知：x-5 = 0 , y + 4 = 0,所以，r = 5, y = -4.
【变式 2】解：V 2x2-4x4-3/-12^ + 14 = 0 ,
・•・ 2（x2-2x + l） + 3（/ —4y+ 4）= 0 ,
A 2（x-1）2+3（j/-2）2=0 ,
・•.尸，
lr = 2
84卷
代数专题・第七章 整式的乘除法
・・・口
I J 9
【变式 3】解：V x2+/+z2-2x + 4y-6z + 14=0 ,
:.(x-1)2+(j； + 2)2 + (z-3)2=0 ,
；・ x = 1，y = -2, z = 3，
x + y 4- z = 2 .
【变式4】解：原方程可化为(a-/+.-2)2 = 0,
・'・q — b = 0, a —2 = 0 9
a = —2f b = -2 .
【变式5】解：: 2—+6x + V =2肛-9 ,
(x2 - 2xy + >>2) + (x2 + 6x + 9) = 0 ,
:.(x - y)2 + (x + 3)2 = 0 ,
1
27
【变式6］解：,♦・//+/+〃 + i6= io仍，
J (a2b2 _ 皿 +16)+ (Y + / - 2al) = 0 ,
-4J + (〃 -6)2 = 0 ,
.(a-b = 0
［ab = 4
A a2 +b2 =(a-b^ + 2ab = S .
【变式7］解：・・・/—2仍+ 2〃+4a + 8 = 0,
，2(q2—2仍+ 2/+4。+ 8)= 0 ,
・・・ 2a2-4仍 + 4/+8。+ 16 = 0 ,
1・，—4ab + 4Z?2 + / + 8q 4-16 = 0 ,
・・・(”26)2+(q + 4)2=0,
a — —4 , b = —2 ,
/. ab = 8 .
题题型方法26： 1/2公式配方
【变式 1］解：由/+ab + bc + ca = 0 ,可得。=6=。=0,贝(I 3a+46+2c=0.
【变式 2］解：9： a=—x + 20, b = —x + 19 , c = —x + 21 ,
20 20 20
a — b = 1 b — c = -2 , c — a = \ .
85卷
初中数学题型方法全归纳
("bl +9—I + ("c j = §
+b2 +c2 -ab-be-ca =
a 6
【变式3］解：由a-b = 6-c =不可知，a — c — — y
9 9 36 2
---1----1---
25 25 25 25
【变式4】解：证明：小az相加得：
2 2 2 (”一炉 +0一°)2 +(Q—0)2
x + y + z = a2 +b2 + c2 -ab-be-ca = ----------------------------------= 3 ,
•： a、b、。不全相等，
x + y + z>0 ,
x + y + z中至少有一个数的值大于0.
解：々2+/72+02_融_4_十=（"_32+仅_4+（"一°）；3.
2
【变式6】解：,: b-c = c-a = 2 ,
二・ c - a = 4 ,
(q-6)2+伍-c)2+ (q-c)2 _ 22 + 22 + 42
贝!J a2 +b2 +c2 -ab-be-ca =
- - 2—~
又；ab + bc + ca = 5，
：.a2+b2+c2=U .
【变式7】解：由题可知：a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca = 0 ,
/.(Q - bp + 伍 _。)2 + , _0)2 = 0 ,
• *. a-b = 0 , b-c = 0 , a-c = 0 ,
a = b = c,
• ••△ZBC为等边三角形，
故选：A.
【变式 8】解：由 /+/+c4=Q2b2+/c2+c2Q2 得：
2/ + 2b4 + 2c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 ,
・ •・(a4 -2a2b2 +.)+(/-2b2c2 +c4)+(c4-2c2a2 +a4 )=0 ,
・ ・.(/_/)2+仅2一，)2 + 12—*2 = 0,
a2 —b2 = 0 b2 —c2 = 0 c2 — a2 = 0 j
即 a2 =b2 =c2,
又,：a、b、。为正数，
• • ci — b — c •
留题型方法27：主元法配方
【变式1】解：原式= 2/-6盯+ 5f+2x
86卷
代数专题・第七章 整式的乘除法
—2 y2 — 3xy + 1 —x) + —x2 + 2x
=2
・••当=0, (x + 2)2=0时，原式取得最小值-2.此时x = _2, y = _3.
【变式2】解：由题意知q=6-6,代入后式得/+/—68 + 9 = 0 ,
J (ft-3)2+c2=0,
.•" = 3 , c = 0 ,
a = 6 — b = 3 ,
；・ ab + be + ca = 3 x 3 + 0 + 0 = 9 .
【变式3】解：由题意知〃 = 3 + 6-c,代入后式整理得4/-6加+ 3°2+66 + 9 = 0 ,
即 3(c2-2bc + b2)-b2 +66 + 9 = 0 ,
3(c-6)2+(6 + 3)2=0 ,
.Jc-8 = 0
・ ・[b + 3 = 0，
b = —3 , c = —3 9 a = 3 + b — c = 3 ,
・ •・ M = 3x(-3)x(-3) = 27 .
【变式4】解：由题知a = 5-2b + c,代入式后整得5/一4从+2c2+4b + 8c + 20 = 0 ,
BP 2[c2-(2fe-4)c +(Z)-2)2]-2(Z)-2)2 + 562+4fe + 20 = 0 .
・ ・・2(c-6 + 2)2+3 9+ 2-0,
.jc-b + 2 = 0
・ [b+2=0 '
•*. b = —2 i c = -4 , a = 5 — 2b + c = 5.
:.a + b + c = 5 — 2 — 4 = -1 .
解：原式=4加?+(4几_4)加+ 2z? 一4〃 ,
=4 加2+ (九一 ° 加 +一仅一1『+ 2〃2 一4〃 ,
=4(加 + ' l] + (w-1)2 -2 ,
，当[加+ -1 =°' (〃一 1『二°时，原式取得最小值—2.
此时加=0,片1.
【变式6】解：原式=2任_2盯+力+3_/_0+ 13
=2(x-y『 +3(j? _4y+ 4)+]
87卷
初中数学题型方法全归纳
= 2（x-y）2+3（y-2）2+l
当%=尸2时,原式有最小值1.
【变式7］解:原式= /+（6 —2y）、+ 2/—6y + 10
=［炉+（6一2歹） x +（3 - ＞）2］ _（3 - ） ）2 + 2y2 — 6y +10
=（x + 3-y）2 + y2 + 1.
・••当（x + 3-y『=0,必=。时，原式取得最小值1,此时x = -3, y = 0.
88麻
代数专题-第八章因式分解
留题型方法1：因式分解概念题
【变式1】③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误.
【变式2】Z选项，提公因式-4的时候出错；
5选项，4还可以继续分解；
C选项，结果不是乘积的形式；
只有。选项正确，
故选：D.
号题型方法2：提公因式法
【变式1】
【变式 2】-4x2y2z3（a-b）.
【变式3】②③.
【变式4］（1） 一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式
提出来，使留下的式子没有公因式可以提取.
原式=3"2（4"+ 2如一5。）.
（2）视“多”为一：把多项式（如x + 歹，b + c等）分别整个看成是一个字母.
原式二2〃26（%+门伍 + 0）1 + ^-3必3-34620）.
（3）切勿漏“1” ：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千
万不要忽略掉.
原式=（2/ + y）［（2x + y）2 _ Qx + y）+l］=（2x + y）2 + 4xy + y2-2x-y + 1）
（4）提负数：原式=—"（3加一％2 + 1）.
【变式 5］原式= "|（Q_b — c）（a — b-c）= ^（a-b-c^ ,
b +。- a = -2 ,
a-b-c = 2，
・,.原式=§.
3
题题型方法3：公式法
【变式 1】（1）原式=［3（加一〃） + 2（加+ 〃）］［3（加一〃）一2（加 + 〃）］
二（3加一3九 + 2加 + 2〃）（3加一3九一2加一2〃）,
=（5机-几）（加-5"）；
(2)原式= 4(3q + 6)(q + 36)；
89初中数学题型方法全归纳
(3)原式=(5/ — 3b2 + 3/ — 5b2 )(5/ _3b2-3a2 + 5b2)
=(8/一妨2)(2/+2/)，
=16(^a + b^a — b^a2 + b2^ ；
(4)原式=(3%-4".
(5)原式=一4(/一2。+ 1) = _4("1)2；
(6)原式= (c + a-b)(c-a + b)(c + Q + b)(c-Q-b).
【变式 2】(1)原式=3。(25工4-4力=3。(5，+2y2)(5/一2/)；
(2)原式=(而 - 9a2b2 )(4c2 + 9a2b2 )=(2c + 3ab)(2c - 3ab )(4c2 +9a2b2 )；
(3)原式=(3a2-b2+ a2-3b2 )(3a2-b2-a2 + 3b2 )
="—附仅/+2/)
=8(a + -6)(q2 + /)；
(4)原式= a + y-3z/；
(5)原式= (x + y『(x-y)2 ；
(6)原式=(4加2)2 一2・4加之 9 + 92 =(4加之 一9, =(2加一3广(2加+ 3 )2 .
【变式3】(1)原式=(4-田(/+4y + 16)；
(2)原式=9 V 一8y3) = 9,(工一2、)[2 + 2xy + 4y2)；
(3 )原式=(*3 + W 丫 = (a2 + b2 )W - a2b2 + /)；
(4)原式=(43)2 一仅3)2 = (“3 +/乖3 一,3 ) =(4 + 6)(々一6)(42一必 + 62)12 + 必 + 62)
另解:原式=(叫3 _ (/ )3 = (a2 - b2)(/ + a2b2 + b4)
= (a^b)(a-b)(a4 + 2a2b2 + b4-a2b2)
=(4 + 6)(4 — 6)(〃2 一 • + + 时 + 办2 ).
【变式4】(1)原式=(2a +3b-3靖；
(2)原式=(2% — 34.
【变式 5】(1)原式=(2^ + 2?-x)(2y-2z + x)；
(2)原式=3加(2x-y+ 〃)(2x-y— %)；
(3)原式=94 _力卜4+力=(x2-/)(x2+/ )(x4 -/ ),
= (x+y)(x-m华+力仁+力；
(4)原式二%(16/ 一1) = 1(4— 一1)(4, +1)=x(2x — 1)(2x + 1)(4x2 +1)；
(5)原式=(6/ 一6)(4%2 + 4x) = 24(x +1 )(x-1 )• x• (x +1 )= 24x (x-1 )(x + l )2 ；
90春
代数专题-第八章因式分解
(6)原式= (%2 + 4 + 4x) =(x + 2『；
(7)原式=优-2(〃4+8〃2+16)=/2.2+4)2.
【变式 6】(1)原式=(2而c-l)(4a262c2 + 2% + 1)；
(2)原式=4/(8/-b3) = 4/(2a - b2)(4/ + 2ab2 + / )；
(3)原式= y3(64%6 + j12) = y3(4x2 + y4 )(16x4 -4x2y4 +.).
留题型方法4：十字相乘法
【变式1】(1)原式= (x-l)(x-2)；
(2)原式二 (x-3)(x-5)；
(3)原式= (x + 3)(x — 2)；
(4)原式= (x-3)(x + l)；
(5)原式=-俨 -21-8)= -(x-4)(x+2)；
(6)原式二-(一 一31一4)= -(%-4)(1+1).
【变式 21(1) 5x2+12x-9 = (x + 3)(5x-3)；
(2) 32-121-2712 =—(27—+12、-32)=-(3x + 4)(9x-8).
【变式 3】(1)原式= (x + 2y)(x — 12y)；
(2)原式=(2x-3y)(x + y)；
(3)原式=(6x-y)(2x + y)；
(4)原式=(工-9日(％-16日；
(5)原式=(8a-216)(a + 26)；
(6)原式=(3x-5y)(4x + 3y).
【变式 4](1) x2 -(b + \)x + b = (x-l)(x-Z?)；
(2)区2+(2左—3)% +左一3 =(工 + 1)(丘 + 左一3)；
(3)(加+ 1)/ —X一加=(1-1)[(加 + 1)工 + m]=(x-\^{mx + x + m ).
留题型方法5：分组分解法
【变式1】(1)原式=5/(工_3)-卜—3)=(5/一1)6—3).
或原式=1(5%2_1) — 3(5/—1)=(5/；
(2)原式=m(^5a2 -15a + 3ab-9b)=m [5q (。- 3)+ 36 (q — 3 )]= m (a-3 )(5a + 36 )；
(3)原式=(x5 -2/)+(丁 一2一)一 (%_2)
=x4 (x- 2)+ x2 (x- 2)- (x- 2)
=+x2 - l)(x- 2)；
91卷
初中数学题型方法全归纳
(4)原式=/(1+1) +%(1+1)=]卜+ 1)[2 +1) .
【变式 2】(1)原式=(—+2, +1)+(%3 +%)=卜2 +1)2 + %(12 +])=[2 +]),十工十])；
(2)原式= o(q2 _1 + / 一2〃6)=々("6 + 1)("6-1);
(3)原式=；[4一(4, _4盯+力]=：[4一(21_))2]= ：(2x-y + 2)(y-2x+2 )；
(4)原式二口-田卜 + 孙+/)+ 卜 + y)(%—))= )12 +盯+、2 + x + ))；
(5)原式=(/ + /)(X2 _肛 +、2)+ (1 +))2 = (x + y )12 _肛 +)2 +X + y )；
(6)原式= [(Q + b)3 +。3卜[仅+ °)3 +q3] + [(c + q)3 +/] = 3(G + 8 + 口⑷+，十。2 ).
[变式 3] (1)原式=2x2 -6ab + 4ax-3bx = 2x(x + 2a)-36(2a + x) = (x + 2a)(2x-3b)；
(2)原式=%2 _x_y2 + y =卜2 _/)_(%_# =(x + y)(x-y)-(x-y) =^x +y-l)(x-y)；
(3)原式=/ +x +、2 _y _ 2xy = (%-^)2+ (x-y)= (x-^)(x-^ + l)；
(4)原式=0_/工2)+(灰2 _々版3)=(]+ 公+&20_")=(1 + 办+&2)°_6).
留题型方法6：换元法
【变式 1】(1)原式= [5 —3(a + l)][l + 2(Q + l)] =(2 — 3a)(2〃 + 3)；
(2)原式=(，+]y -14(，+工)+24 =(，+x-2)(x2 +x-12)=(x-l)(x + 2)(x-3)(x + 4).
(3) 4x2+4x + 8 = Z ,
则原式=/ + 3xt + 2x2 = « + x)« + 2x)
= +4% + 8 + 工)12 +4% + 8 + 2x)
=1 + 51 + 8)俨 + 61x + 8)
= (x + 2)(x + 4)(，+ 51 + 8).
【变式2】解法一：解：将，+5x看作一个整体，设f+5x = /,则
原式=« + 2)« + 3)-12 = Z2 + 5/ - 6 = (r -1)(/ + 6)=(x + 2)(x + 3)(x2 + 5x-l).
解法二：解：将f+5x + 2看作一个整体，
设♦ + 5% + 2 = £,贝!J
原式= /« +1) — 12 =产+ — 12= (f — 3)« + 4)= (x + 2)(x + 3)(x2 + 5x-1).
【变式 3】解：(1)原式=(1+1)(工+7)(工+3)0+5)+15=(，+8% + 7)12+8/ + 15)+15,
令，+8x + ll = f,则
原式二«-4)« + 4) + 15 = «-1)(£ + 1) =(，+ 8x + 10)(x2 + 8x4-12)=(x + 2)(x + 6)(x2 + 8x +10).
(2)原式=(6%-1)(1-1)(21-1)(31-1)+/=(6- -7x + l)(6x2 -5x + l)+x2 .
设 6x2 -6x + l = t 9 则
92代数专题・第八章 因式分解
原式+ / =t2 =(6%2 一 6%+ 1)2 .
【变式 4】解：(1)原式= (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8)+12 = (x2 + 10x + 16)(x2 +10% + 24)+12 .
令—+10x + 16 = Z ，
原式= <« +8) + 12 = « +2)« +6)=(/ +101 + 18)12 + 101 +22)；
(2)原式= (x + l)(x + 2)(2x + l)(2x + 3)-90=(2/+5% + 3)(2/ + 5工 + 2)-90 ；
方法1：令2？+5% = £,则
原式二(/ + 3)« +2) — 90 =/ + 5”84
二《 + 12)(-7)
=(2x2+5x + 12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x + 12)(2x + 7)(x-1).
方法 2： ^2x2 +5x + 2 = y f 贝lj
原式二 (y + l)y _ 9O = y2 + y_9o =(y + io)(y-9)=(2x2 + 5x + 12)(2x + 7)(x-l).
【变式5】解：(1)设x2+y2=a, xy = b,贝!J
原式二 (q + 6)2-4q6 = (q_6)2 = (x2 + y2 - xy^ ；
(2)设盯=a, x+y=b,贝I］
原式二 q(q + 1) + (q + 3)-26-1- (/?_］『
=a2 +2a + l — b2 = (〃 +1J 一 /
= (a + l + b)(Q + l-b)
=(盯+ l + x + y)(a + l-x-y)
= (x + l)(y + l)(x-l)(j；-l).
留题型方法7:主元法
【变式1］选X为主元，原式=y。+ 1)，+(2y2 +2》+ l)x + y (y+ 1)
二 (yx+v + i)(A+x+y).
［变式 2］ (1)原式=4/ _4x-()2 _4y+ 3)= 4x2 -4x-(y-3)(7-1) =(2x-y-1)(21 +)+ 3).
(2)原式=l2 +5%_(/ _3y -4)= %2 + 5x-(y-4)+1) = (x-j^ + 4)(x + y + 1).
【变式 3】(1)原式+ 3%- ^y2 + >一 2)=x2 +3x-(y+ 2)(y-l) =(x + y + 2)(x-y + l)；
(2)原式=(24 + 6)0 + 2。2一〃6-62 =(2a + b)c +(2Q + b)(a-b) =(2a + b)(a-6 + c)；
(3)原式=3，+(4尸8卜-(4/+8丁 + 3)
=3/+(4尸8卜-(2^ + 3)(2)+ 1)
= (x + 2y+ 3)(3% — 2p一1).
93________卷
初中数学题型方法全归纳
留题型方法8：双十字相乘法
【变式1】将原式写成关于x的二次三项式：3x2+(4^ + 8)x-4/-8y-3, —4/—8尸3可以用十
字相乘法分解为：-4/ —幻- 3 = -(2y +1)(2y + 3),
再次运用十字相乘法可得，原式=(3x - 2y -1)(x + 2y + 3) .
【变式 2】(1)原式= (x-2y + 3)(2x-3y-3)；
(2)原式= (x + y + l)(x-y + 4)；
(3)原式=(y+ l)(x + y-2).
【变式 3】(1)原式= (x-2y-3z)(x-3y+ 2z)；
(2)原式=(2x-3y-4z)(3x+2y + 5z).
留题型方法9：拆添项法
【变式1】原式=—+ 1/ + X2y2 -x2y2 =1+ 1 一⑶)2
=；(2, + 2xy + y2 )(2x2 - 2xy + y2).
【变式 2】原式=/ +2/+i_25,=[2+])2一(5垃=62+1 +5%)[2+>5x).
【变式3】原式=工8 + 2/+1_/ =14+1 + /)14+1_/)
=+ 1+ 2x2 - 工2 )(/ + 1 一 工2 )
=(—+1 + 工)(12 +1_X)[4 +] + 12 ).
【变式 4】原式= (/ + 3/+3a + l)+(/ + 3b2 + 3b + l)
=(4 + 1)3 + (« + 1)3
= (a + b + 2)[(a + l)2 一 (q +i)(b +q)+ (b + ij]
= (a + b + 2)(a2 — ab + 〃 + q + /)+ i).
留题型方法10：试根法
【变式 1】 ⑴①(x-l)(x + 3)； @(x-l)(x + 6)； ® (x-l)(x-9)； @ (x-l)(x-6)；
⑤(x_l)(3x-5)； @(x-l)(2x + 7)； x-1.
(2)①(x + l)(x + 2)； (2)(x + l)(x + 4)； (3)(x + l)(x + 9)； @(x + l)(x + 6)；
⑤(x + l)(3x + 5)； @(x + l)(2x-7)； x + 1.
【变式2】解：当x=l时，?+x2-5x + 3 = 0 .
可得1)是多项式/ + x2 - 5% + 3的一个因式.
因式分解：x3 +x2 -5x + 3 = (x-l)2(x + 3).
【变式3】解：当x=-1时，x3+2x2-5x-6 = 0 ,
94卷
代数专题・第八章 因式分解
可得(x+1)是多项式d + 2x2 -5x-6的一个因式，
因式分解：x3 + 2x2 -5x-6 = (x + l)(x + 3)(x-2).
【变式 4】解：当 x=—1 时，x3+6x2+11x + 6 = 0,
可得(x+1)是多项式/ + 2x2 -5x-6的一个因式，
所以，原式=(%3+%2)+(5%2 + 5%)+(6x+6)
=x2 (x +1)+ 5x(x4-1)+ 6(x+1)
=(x +1)(/ + 51+ 6)
=(x + l)(x + 2)(x + 3).
【变式5】解：当x=l时，?+3x2-4 = 0,
所以，原式= (r-1)(x+2)2 .
【变式6】解：(1)当x=l时，原式等于0,所以原式因式分解以后含有(x-1)这个因式,
所以，原式= (x — l)(3，+x + 2).
(2)当--1时，原式等于0,所以原式因式分解以后含有(X+1)这个因式，
,所以，原式= (r + 1)(x-3)(3x + 1) .
留题型方法11：待定系数法
【变式1】解：由题意可知，9x2 +3x + 3m =(3x-1)(3x-3tw),
2
由一次项系数可得加=-±,
3
・•・原式=(31-1)(3% + 2).
【变式2］解：・・・/+川2+q的三次项与一次项系数均为0,
x4 + px2 + 夕=(工2 + 2］ + 5)(/ _ 筮 + 5),
• • p = 6 , q = 25 •
pq = 150 .
【变式3］解：因为，+3x + 2 = (x + 1)(x + 2),
故可设一 一 2xy + ky2 + 3x-5y + 2 = (x + 叼 +1 )(x + + 2),
即 x2 - 2xy + ky2 +3x-5y + 2 = x2 + (m + n ^xy + mny2 + 3x +(2m + 加》 + 2 ,
比较对应项系数得加+几=一2 , 2加+ 〃 = 一5, mn-k ,
解得k = -3.
【变式4］解：由题意可知，2/—5x + 3加=(21-3)(工一机)，
由一次项系数可得加=1.
所以，原式=(2x-3)(x-l).
【变式5】解：原式的有理根只能为±1, ±2,经检验都不能使得原式为0,
所以原式不含有一次因式，只含有二次因式，
95初中数学题型方法全归纳
所以令 x4 + 3x3 + 5x2 + 4x + 2 =(公 + 7nx +1)(工2 + 内 + 2),
或 / + 3x3 + 5x2 + 4x + 2 =(7 + K - i)k2 + 九% - 2),
当 丁 + 3/ + 5, + 4x + 2 = + g +1 ),2 + 内 + 2)时，
加+九=3
则由题得4加几+ 3 = 5 ,
2m + 〃 = 4
解得I”；
[n = 2
由于分解是唯一的，所以原式= (d+x + l)(，+ 2x+2).
96代数专题・第九章 分式及分式方程
留题型方法1:判断是否为分式
【变式1】解：4、它的分母中不含有字母，不是分式，故此选项不合题意；
8、它的分母中不含有字母，不是分式，故此选项不合题意；
。、它的分母中不含有字母，不是分式，故此选项不合题意；
。、它的分母中含有字母，是分式，故此选项符合题意.
故选：D.
丫
2 1
【变式2】解：分式有：—,
x b
故选：B.
【变式3】解： 牛、不匚的分母中不含有字母，属于整式，一工一=上 是方程，二一的
23 2 +乃 4x-3 x + 2 4x-y
分母中含有字母，属于分式，观察选项，只有选项。符合题意.
故选：C.
留题型方法2：分式有意义求字母范围
【变式1］解：当2工+6。0,即xH -3时，分式有意义.
【变式2】解：由题意得：X+5W0, Hx>0,
解得：x>0,
故选：D.
【变式3】解：。选项中分母，+2恒大于0,所以无论工取何值，一定有意义.
故选：C.
国题型方法3：分式值为0求字母的取值
【变式1］解:由题意得恸-1=0, x+lHO,
解得x=l,
故选：B.
【变式2】解：由题意得，|x|-5=0,
解得x= ±5 ,
当x=5时，x2 -4x-5=0,分式无意义；
当工=-5时，x2 -4x-5=40#：0,分式有意义；
・・.x的值为-5.
故选：A.
【变式3］解：・・•分式3）（： + 1）的值为o,
1 - x
/.（X-3）（x+1 ）=0 1- x2 W0,
97初中数学题型方法全归纳
解得：x=3,
故选：B.
留题型方法4：分式恒等变形
【变式1】解：A,原式=三，故选项4错误;
5y
B、原式二±±,故选项5错误；
c
C、原式故选项C错误.
c
故选：D.
4xy = xy
【变式2】■
4x2 + 4y2 x2 + y2
故选：C.
【变式3】将分式变形时，注意将分子、分母同乘(或除以)同一个不为0的整式这一条件.其中/
项分子、分母乘的不是同一整式，5项中加-〃。0这一条件不知是否成立，故/、5两项均是错的.C
项左边可化为： 上，=—匚。一匚，故。项亦错.
(1 -x) %-1
故选:D.
题题型方法5：把分式最高次符号化正
—a - 1 - (q + 1)_ q + 1
【变式1】
a2-2~ a2-2 ~~a2-2 e
2 — x —(x — 2) x — 2
【变式2】
-x2+3--(x2-3)-x2-3 ・
/八-2a 2a ,一、 -4x 4x 3m 3m . .. 2b 2b
【变式3】 (1)——=-----；(2)——=—；(3) — =-------； (4)--------=­ ・
b b -5y 5y -n n -3c 3c
留题型方法6：分式的约分
2q(q-1) 1
【变式1】
8加(一厂—亦・
a2 — 4ab + 4b2 (a-2b) a — 2b
【变式2】
~~a2-4b2- - (〃 + 2b)("26) " a + 2b '
2 . 3 _ 2 ,(2 _ 3加『_ 2(2 — 3冽)
【变式3】
4一9加 2 丁 9加 2—12加+ 4 -(2+ 3加)(2 —3加) 3 .3(2 + 3 加).
留题型方法7:分式的通分
【变式1】(1)最简公分母为4a〃c,
b _ bxb2 _ b3
4ac Aacxb2 4ab2c
98卷
代数专题-第九章 分式及分式方程
a _ qx2q _ 2a2
2ble 2b2cx2a 4ab2 c
(2) - = % , J1 ,
2x + 2 x(x + l) x2 -1 +
最简公分母为2(x + l)(x-1),
x _ xx(x-l) _ X2 -X
2x4-2 2(x + l)(x-l) 2(x + l)(x-l)，
1 _ 1x2 _ 2
x2 -1 2(x + l)(x-l) 2(x + l)(x-l)
(3)最简公分母为lOabc,
2 2 x2c 4c
= =------,
5ab 5abx2c lOabc
5 _ 5x5。_ 25a
2bc 2bcx5a lOabc
(4)最简公分母为2%2/z2；
3 _ 3xyz _ 3yz
2x2yz 2x2yz x yz 2x2y2z2
1 _ X _ X
2xy2z2 2xy2z2 xx 2x2y2z2
留题型方法8：字母扩大倍数求分式值的变化
【变式1】分子分母都是一次式，所以分式值不变，
故选：B.
【变式2】分子是二次式，分母是一次式，所以分式值扩大3倍，
故选：A.
【变式3】分子是一次式，分母是二次式，所以分式值缩小3倍，
故选：C.
留题型方法9 ：根据已知式子(字母未知)求分式的值
【变式1］解：设，=工=2 =二贝k=2/@；尸3危)；z=4t@；
2 3 4
将①②③代入代数式2x + V-z,得：
x + y + z
2% + y-z = 2x2£+3£-4£ = 1 (将未知数小 z转化为含有相同字母的量，然后代入所求
x + y + z 2f+ + 3
代数式，然后进行约分求值)
【变式2】解：分式的分子分母都除以仍，得：
2 2
2a+ 3ab-2b _(2a + 3ab-2b) + ab _ b+3~a
a-ab-b (a-ab-b) + ab
b a
99初中数学题型方法全归纳
— — — = 3 , 贝—— = —3 ,
a b b a
在 I、[而 t 2x(-3)+ 3 3
所以原式=―-~--=-.
—3 — 1 4
【变式3】解：(1)已知等式变形得：。+工=3,则原式=9,
a
(2)原式-2=9 -2=7；
(3)原式=卜+,—2=49-2=47；
(4)方法 1：由/—3〃+1=0,得到/=3〃一1,则原式=3”1 + 5〃塞二里=8.
3。一1-2。+ 1 a
2 右/+1 8 2 8
2 ] CL + 5 X-------- 卜 1 -4 H---
方法2：由/一3〃+1=0,得到环巴之L则原式=--------——“——^=8.
3 2 C 4 +1 1 12^1
a -2x------- + 1 -ci +-
3 3 3
方法3：由/-3〃 + 1 = 0,得到l = 3a-小，则原式="：+” + 3as =姆=8 .
u — 2cl + 3。— Cl Q
留题型方法10：分式的乘除运算
1变式I】解：原式《郃=匕
故答案为：一-—.
X — 1
【变式2】解：(1)原式=土；
2
(2)原式=正心.」——L=」—
x + 2 x — 2 x — 2 x — 2
x + 2 1 x — 3 x + 2 / \ x — 3 1
【变式3】■ —：-----------+---------------=---------丁 (3- %)--------=-!
x — 6x + 9 3 - x x + 2 (x —3) x + 2
留题型方法IL分式的加减运算
【变式I】解：4选项，当。=-2时，分式无意义，故该选项不符合题意;
B选项，当c=0时，A =—,故该选项不符合题意；
2
「、庄岳 l + c I 2 + 2。 2 + c c
2 +。2 2(2 + c) 2(2 + c) 2(2 + c)
Vc<-2,
.,.2+c<0, c<0,
・・・2(2+c)V0,
100卷
代数专题・第九章 分式及分式方程
・・・———->0 ,
2（2 + c）
A A>-f故该选项符合题意;
2
。选项，当cVO时，
・・・2（2+c）的正负无法确定，
・・・，与工的大小就无法确定，故该选项不符合题意.
2
故选：C.
解： 9 + 4^ =虫+7■- 2：、-第一步,
x + 2 x2 -4 x + 2 （x + 2）（x-2）
故某同学从第一步开始出现错误.
故选：A.
【变式3】解：原式=7——I——- 1
[m + n）[m-n） m + \
2（加 + 1） — （加 + 及）（加一〃）
（掰 + 〃）（加一〃）（加 +1）
2m+ 2-{m2
m + + 1）
2m+ 2-m2 +n2
（加 + 〃）（加一〃）（加 + 1）
2m+ 2-m2 +n2
故答案为：7——77——77——
（冽 + 〃）（加一〃+ 1）
【变式4】解：原式=7——6总x——----七婪一-
（3x + y）（3x-y）（3x + #（3x->）
6x-3x-y
（3x + y）（3x-y）
1
3x + y
故答案为：=---.
3x + y
【变式5】解：原式=」一--——'——-
a-b ya + b）［a-b）
_ a + b a
（4 + 6）（〃 - 6） （4 + b）（Q — 6）
a + b-a
（q + 6）（q -6）
b
故选：A.
101卷
初中数学题型方法全归纳
留题型方法12：分式的混合运算
2
【变式1】解：原式=7一千一个
~~7 +
/、
_(x + y)(x—y) (x + y)(x—y)_| y\^-y)
_ -2y x-y
(x + y)(x-y) y
2
x + y
2
故答案为:
x + y
2 b a -b
【变式2】■
-----1--2----
b2+ab a+b a +ab ab
a 2 b ab
=--------------1-------------
b(a + b) a + b a(a + b) a -b
_a - 2ab + b2 ab
ab(Q+b) a-b
(a-b)2 ab
ab^a+b) a-b
_a-b
a + b
【变式3】解：原式/工_G + 1)(『可々
x+1 x+1 X
1 (x + l)(x-l)
=--- ------------
X +1 x2
故答案为：刀.
X
(a 5a + 9] . a + 3
【变式4】解；
[q-1 4―1J a — 1
a(Q + l) 5a+ 9 a-\
-------------------1---------------------------
(q + 1)(q-1) (q + 1)(q-1) a + 3
a2 + q + 5a + 9 a — 1
(q + 1)(q-1) a + 3
(a + 3)2 q_]
(q + 1)(q-1) a + 3
_ a + 3
a + 1
【变式5】解：，+ 3 + 一一] + ^^
I 3-xJ 2x-6
102代数专题・第九章 分式及分式方程
(x + 3)(3-x) + 7 2(x-3)
3-x 4+x
_9-丁 + 7 2(x-3)
3-x 4+x
(4 + x)(4-x) 2(x-3)
3-x 4+x
= -2(4-x)
=2x - 8.
【变式6】解:
x-3 x + 3 (x + 3)(x-3)
(x + 3)(x-3) (x + 3)(x-3) x
x-3-x-3 (x + 3)(x-3)
(x + 3)(x-3) x
6
x
原式=(工一.)(』+ 4歹):卜一冷卜+2+ 3)
【变式7】解:
(x + 4y『 (x-4y)(x + 4^)
= (x_y)(x + 4y) (x_4y)(x + 4y)
(x + 4y『 (％-y)(x + y + 3)
_ x~^y
x + y+ 3
留题型方法13：分式化简求值
【变式1】解：原式=疗+2加+ 1+”?
m m
_ (加+ 1『 m2
m m+1
=m(m +1)
2
=m + m .
当加2+加_3 =(),即加之+加=3时，
原式=3.
故选：B.
【变式2】解：原式=(0■ +土生].[" + 26)("26)
\a-2b a-2b ) a
2a (a + 2b)(a-26)
a-2b a
= 2(a + 2b),
当 a+2b= - 1 时,
103初中数学题型方法全归纳
原式=2x（ - 1）= -2,
故答案为：-2.
（加一2〃『
m-n
【变式3】■ 原式=1 +
m-2n 一（加一九）（加+ 〃）
m-2n
m + n
m + n m-2n
m + n m + n
3n
，
m + n
• .——•加 = —n ，
3 2
. 3
• • m =——n ,
2
则原式=— - 3〃 r j. a
——n + n —n
2 2
x-1
【变式4】解? 原式= 1)
x + l
(x-1) x — 1 — (x — +
(x-l)(x + l) x + 1
(x-1)2 e x-x2
+ x + 1
x-1 x+1
=------------------
x + 1 x(l-x)
1
=----.
X
由分式有意义的条件可知：x=-2,
原式=—•
2
留题型方法14：解分式方程
【变式1】解：（1）两边同时乘以2（x-2）,得3-2x = x-2.
解这个方程，得工=2,
3
检验：x = g时，2（x —2）00,
・・・x = *是原分式方程的解.
3
（2）两边同时乘以+ ,得，一4工 +，_i = 2%2 一2% .
104*__________
代数专题・第九章 分式及分式方程
解这个方程，得工=-1,
2
检验：工=一；时，(x + l)(x-l)^ 0 ,
・ ・・x = -L是原分式方程的解.
2
(3)两边同时乘以(x + l)(x — 2), Mx(x-2)-(x + l)(x-2)= 3 .
解这个方程，得x=-1,
检验：尸-1 时，(x + l)(x-2)= 0 ,
・ ・.x = T不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【变式2】解：(1)原方程化为7―― =
(2 + x)(2-x) x + 2 x-2
方程两边同时乘以(x + 2)(x-2),约去分母，
得-16 +(1-2)2 = (x + 2)2 ,整理得M 一4% 一 12 = l2 +4% + 4 ,
解这个整式方程，得工=-2,
检验：把工=-2代入(工+ 2)(工-2),
得(_2 + 2)(_2 _ 2)= 0 .
所以x = -2是原方程的增根，原分式方程无解.
(2)原方程可变形为：-一—1+/ 2：丁 7x,l()
(x-2)(x + 3) (x + 3)(x-4) (x-2)(x-4)
方程两边都乘以(x - 2)(x + 3)(x-4),
得5x(r-4)+(2x-5)(x-2)=(7x-10)(x + 3),
整理，得一40% = -40, Ax = l,
检验，当x = l 时，(x — 2)(x + 3)(x — 4)w0 .
・ •・原方程的解是x = l.
【变式3】解：(1)原方程为1 +」——(1 + _L_] = 1+」——,
x + 1 v x + 3j x + 5 I x + 7)
.1111
• • = 9
x+1 x+3 x+5 x+1
・•・ 2 = 2 ,
(x + l)(x + 3) (x + 5)(x + 7)'
/. (x + l)(x + 3)= (x + 5)(x + 7),
8x = -32 ,
/. x = —4 .
经检验x=-4是原方程的解.
(2)原方程变形为1 ——一 +「2-一一
x + x — 2 x + x +1
%2 + x — 2 x2 + x +1
105初中数学题型方法全归纳
%2 + x - 2 = %2 + x +1, x = —3 .
经检验工=-3是原方程的解.
留题型方法15：已知分式方程有增根求参
【变式1】解：方程两边同时乘以(％-7)得：
x- 8+左=8%- 56,
• ・,方程有增根，
：.x=7,
把x=7 代入x - 8+A=8x - 56,
解得左=1.
【变式2】解：方程两边同时乘以总+1)得：
X2 -W-1 =(X +1)2 ,
・ ・,方程有增根，
.*.x=0,或l二一1,
把X=0 代入 X2 -ZW-1 = (x4-1)2 ,
解得加=-2.
把―-1代入，一加一 1 = (% + 1)2 ,
解得加=0.
故答案为：-2或0.
【变式3】解：方程两边同时乘以工(工-1)得：
3(x - l)+6x=x+m,
・ ・,方程有增根，
Ax=0 或x=l,
把x=0 代入 3a - l)+6x=x+加，
解得加=- 3,
JEx=l 代入 3a - l)+6x=x+m，
解得加=5,
故答案为：-3或5.
【变式4】解：方程两边都乘(x+l)(x-1),得：
k-\- (x+l)=A(x- 1),
・ ・,原方程有增根，
・ •・当x=l 时，k=3,
当工=- 1时，k =—.
3
故答案为：3或
3
106代数专题・第九章 分式及分式方程
【变式5】解：(1)当。=3时，原方程为生里—二- 二 i,
X -1 1 — X
方程两边同时乘以(％-1)得：3x+l+2=x-l,
解这个整式方程得：x=-2,
检验：将尸—2 代— 1 — — 2 — 1= — 3。0,
・ ・・x=-2是原方程的解；
(2)方程两边同时乘以(x-1)得ax+l+2=x-1,
若原方程有增根，贝卜-1=0,
解得：x=l,
将X=1代入整式方程得：〃+1+2=0,
解得：。=一3.
题题型方法16：已知分式方程无解求参
【变式1］解：解原方程得：x = 6-m ,
・ ・•原方程无解，
* *• x = 6-m必为增根，
而原方程的增根可能为x = 3,
6 — m = 3 ,
解得：m = 3.
【变式2］解：解原方程得：%二七二%,
3
• ・•原方程无解，
・ ・・1=士士必为增根，
3
而原方程的增根可能为x = 3,
.3-加
• • = 3 ,
3
解得：m = —6.
【变式3】解：原方程化为伍-1)、= 2,
• ・,原方程无解，
第一种情况：整式方程无解，・・・a-1 = 0,解得：。=1.
第二种情况：整式方程有解，但解为增根，
那么由x-2 = 0得：增根为x = 2.
将 x = 2 代入(a-l)x = 2 ,
得 a = 2 ,
综上知q = 1或2.
【变式4】解：原方程化为(a +2卜=3①，
• ・•原方程无解，
第一种情况：整式方程无解，J。+ 2 = 0,解得：〃 =-2.
107卷
初中数学题型方法全归纳
第二种情况：整式方程有解，但解为增根，
原方程增根为x = 0或1.
将x = 0代入①，此时无解，
将x = 1代入①，得：a — \>
综上知q = 1或-2.
【变式5】解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）,去分母得，2。+2）+6=3（1-2），
整理得，（。-1"=-10,
当x=2 时，2。-2=-10,解得。二一4；
当工二一2 时，-2a+2= - 10,解得4=6；
当a=l时，整式方程（。-1）%= - 10无解；
综上所述：当〃=-4, 〃=6,。=1时，关于x的方程二一 + #• =上-无解.
x — 2 x — 4 x + 2
故答案为：-4或6或1.
寻或型方法17：已知分式方程根的范围求参
【变式1】解：去分母，得：2x=3a-2（2x-2）f
化简可得：工=经业，
6
由题意得：“0且xwl,
所以生竹之。且经土（不等于增根不能忘）
6 6
4 2
解得：a > — 且aw — .
3 3
【变式2】解：去分母,得：（1-。卜=2,
・・•分式方程有解，
:・ 1 — Q W 0 ,即 〃 W 1 .
2
此时，方程的解为
1 - Q
由题意得：x>0且"1,
所以工一>0且一2—（不等于增根不能忘）
1 — 67 1 — Q
解得：aVl且aw-1.
【变式3】解：去分母，得：2x + a = 2-x ,
化简可得：x = ",
3
由题意得：工>0且xw2,
所以一>°且一。2,（不等于增根不能忘）
解得：Q<2且Q W —4.
【变式4】解： + 2 =——.
x — 1 1 — X
108卷
代数专题・第九章 分式及分式方程
去分母得：加+ 2（尤- 1） = 3,
. 5-m
• • X — ，
2
・ ・・x = l是原方程的增根，
.••宁（不等于增根不能忘）
.*.772^3.
・ ・・关于x的分式方程与+ 2 = -3 的解为非负数,
X — 1 1 — X
・ ・.三。0,
2
解得：m<5 ,
・ ••正整数加的所有值为：5, 4, 2, 1,共4个.
故答案为：4.
留题型方法18：分式方程应用题
【变式1】解：8000+2=4000（元）.
设第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.5x元,
伍斯上汨 4000 4000 “八八
依题忌得：-----1---------- 6000，
1.5x x
解得：x = -,
9
经检验，x = W是原方程的解，且符合题意.
9
故答案为：
9
【变式2】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%.棵，
/十日石-曰 6000 6000 。
依题意得：------7------------=3,
x （1 + 25%）%
解得：x=400,
经检验，x=400是原方程的解，且符合题意，
・・・（l+25%）x=500.
故答案为：500.
【变式3】解：设第一次购进医用口罩的数量为x个,
・ ••第二次购进医用口罩的数量为（1 - 200）个，
・ ・・由题意可知：四匕=幽x（l+25%）,
x-200 x l 7
解得：x=1000,
经检验，x= 1000是原方程的解，
・ ・/- 200=800（个），
109________壹
初中数学题型方法全归纳
・・・第二次购进的医用口罩的单价=迎2 = 3.75 （元），
800
答：第二次购进的医用口罩的单价为3.75元.
【变式4】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x-50）元,
4日衿*/曰 300 400
由题意得：
x 3x-50
解得：x=30,
经检验，x=30是原方程的解且符合实际意义，
3%-50=40,
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元;
（2）设购买甲种品牌的消毒剂歹瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40-内瓶，
由题意得：30^+40（40-^）=1400,
解得：产20,
A 40-^=40-20=20,
答：购买了 20瓶乙品牌消毒剂.
【变式5】解：（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，
日否上出 600 1275-600 ”
依题意得：——+---------=25,
4x 3x
解得：x=15,
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，
.*.4x=60, 3x=45.
答:一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元.
（2）设购买一等奖奖品加件，二等奖奖品〃件，
依题意得：60加+45〃=1275,
. 85 — 4机
• • H = •
3
・m, 九均为正整数，且4«加410,
加二4 3 m = 7 茂［m=10
»或
n = 23 « = 19 \n = 15
・・・共有3种购买方案，
方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；
方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；
方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品.
110〃"….•MM
代数专题・第十章 二次根式
留题型方法1:判断是否为二次根式
【变式1】解：/、当。<0时，正不是二次根式；
5、・・,-2V0, ・・・C 不是二次根式；
C、当av-2时，Q + 2V0, 而万不是二次根式；
D、・.・/+1>0,二jY+i 一定是二次根式.
故选：D.
【变式2]解：4、-9<0,它不是二次根式，故本选项不合题意；
5、它开3次方，该式子不是二次根式，故本选项不合题意；
C、x取任意实数，x2+l>l, VTT?是二次根式，故本选项符合题意;
D、（4 + 6）2没有开平方，该式子不是二次根式，故本选项不合题意.
故选：C.
【变式3】解：4当尸1时，V?二I不是二次根式，不符合题意；
B、当工=-1时， 不是二次根式，不符合题意；
帕+ 1）
C、当x=-1时，J-+2x不是二次根式,不符合题意；
。、工为任意实数，4r7T是二次根式，符合题意.
故选：D.
留题型方法2：二次根式有意义的条件
【变式1】解：由题意得：x-2。0,且x-120,
解得：121且丘2,
故选：B.
【变式2】解：由题意得，m>0 , mn>0,
则形>0, n>0,
・ ••点（加，坦）在第一象限，
故选：A.
【变式3】解：由题意可知:产-120,
[1-3x2 0
• • X 一 ,
3
• \y=6,
. 1 二。
• ・ xy = — x 6 = 2 ,
111卷
初中数学题型方法全归纳
故选：C.
【变式4］解：・・•正亘式子有意义，
x
X + 1 > 0 ,
解得：x之一1且xHO,
故答案为：工2-1且¥。0.
留题型方法3:二次根式的性质与化简
【变式1】解：4、" = 2,故本选项不符合题意;
B、(-V2)2 = 2 ,故本选项符合题意；
C> |V5-3| = 3-V5,故本选项不符合题意；
D、«石 = -2,故本选项不符合题意.
故选：B.
【变式 2］解：V ^(x-1)2 =|x-l|，
/. |x —1| = 1 — X ,
x -1 < 0 , BP x < 1.
故答案为X<1.
【变式3】解：由于J9-3)2解-3汗,
故选：C.
【变式4】解：因为岳1,
所以 — = y/3 —1 .
故答案为：V3 —1.
国题型方法4：分母有理化
【变式1】①手；
② G + 1；
③6一石；
④型+八；
6
⑤立+戈；
4
⑥—65/2 — 4-^5 ；
11
112祢
代数专题・第十章二次根式
⑧法1：当在b时，原式=/匕"}二
(G+旬(G/)
当4=6时，原式=0.
(4a + 4b}(y/a - y/b\
法2：原式二^——7-产八 ——-=4a-y［b .
l\
(G +旬
留题型方法5:二次根式的乘除法
【变式1］解：Z、当aVO, b<0,此时人与痛无意义，故4错误；
B、当a<0, b<0,此时夜与振无意义，故5错误；
C、当，67<0,此时在 =—CL ,故C错误；
D、由于/之0, /NO,所以值=/,故£>正确.
故选：D.
【变式2】解：4、比x6= J = ；,两数之积是有理数，不合题意;
B、屈*百=3也义应=3网,是无理数，符合题意；
C、gxe = " = 2,两数之积是有理数，不合题意；
D、aUxV3=-,两数之积是有理数，不合题意.
\12 2
故选：B.
【变式 3〕解：原式=2Cx4xY- + 46=86 + 46=2 .
2
【变式4】解：原式=洛义2行广= .
【变式5］解：力、也由 =a,故此选项错误；
B、96x息=9点= 9x；=3,故此选项错误；
C、Rx6 = 2百,故此选项错误；
D、后.杉= A = 6,故此选项正确.
故选：D.
【变式6］解：/、原式=3,故4错误；
B、原式=囱=3,故5错误；
D、原式=册*6=2a,故。错误.
故选：C.
【变式7】解：原式=内共2 口=亚.
V3 8 5 V10 10
113会
初中数学题型方法全归纳
留题型方法6：二次根式的加减法
【变式1】解：4、3后与2G被开方数不相等，不是同类二次根式，故本选项不符合题意;
B、& = 2也与2百被开方数不相等，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
。、布与2省被开方数不相等，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
。、12后与2省被开方数相等，是同类二次根式，故本选项符合题意.
故选：D.
【变式2】解：4 " = ☆,a=26,故4是同类二次根式；
V2 2
B、750=572, = —,故5是同类项二次根式；
V50 10
C、724=276, ./1 = —,故C是同类二次根式；
\3 3
D、754=376 , V45 =375 ,故。不是同类二次根式.
故选：D.
【变式3】解：为、血与百不能合并，所以4选项错误；
B、4与亚不能合并，所以5选项错误；
C、原式=3-百，所以C选项错误；
D、原式=3百-2百=百，所以。选项正确.
故选：D.
【变式4]解：底+向=3亚+ 2下=5加.
故选：C.
【变式5】解：2V45+5J- + -^
N 5 2
=2 x 3a/5 + 5 x —y/s H—x A-y/5
5 2
= 675+275+1075
= 1875 .
留题型方法7:二次根式的四则运算
【变式 1](1) 272 ； (2) 6-273 .
【变式2](1) 亚；(2) 叵；(3) x-1.
2
【变式3】(1)原式=[(2百-而)(26+而『(26+而)=26+ar；
(2)原式=(5 +旬[行+(5-旬卜五(5+斯)(5-⑹=19行；
(3)原式=[行+ (百-赤)][应-(6-%)]
114代数专题・第十章 二次根式
=2-（百-旬2 = 2-3 + 6后-6 .
二6五-7 ；
（4）原式=（而+亚一灼.丽一逝—6j
—（J10 + a/2 — y/S + J10 - y/^）- （y/10 + y/2 — y/S — y/iO + .
=（2而+ 2⑸x 2后.
=875-4710 ；
（三元完全平方法或平方差）
（5）原式=4-血_（拒+ 1）_（1-2拒+2）=0 .
【变式4］解：原式= 6jE + 3^/^-4A/^-6府［-曲T ,
x = T，）=3 时，原式二-
当
2 2
留题型方法8：分母有理化十知二推二
【变式1］解：・・・、=亚—百，y = 6 + 6
:・x_y=_26,xy=2-3= - 1,
.\2y(^x2 +3x2y-xy^-6x2y2
=2x2 y+6x2y2 -2xy2 - 6 x2y2
=2x2 y-2xy2
=2xy(x - y)
=2x(-1)x(-2 V3)
—4 .
【变式2】解：•"+7=-6, xy=S,
・・・x、》同号，并且都是负数,
*1历
=_上£二2x8* 血
8
=-5收.
【变式3】解：x = 7 + 4y = 7 -46,贝!)肛=1, x+y=14,
J原式二 2(x + y)2 —5x = 387 .
115初中数学题型方法全归纳
【变式4】解：。=也把，6 = 叵土 贝！k-b=l, a+b=M ,
2 2
.・.原式= ("♦) J —=立.
八 (〃 + b)(Q-b) a + b 5
留题型方法9：已知字母的值求代数式的值
【变式1]解：・・・加=75^+1,
A ^-1 = 72013 ,
两边平方得：(m-=2013.
・,・原式二加3 (加2 一 2加—2012)=加3 [(加一 1 )2 一 2013] = 0 .
【变式2]解：・・・x」+ Yl吧,A 2x-l = V1994 ,
2
两边平方得：(2x-1)2 =1994 ,所以，4x2 -4x = 1993 .
4x3 -1997x -1994 = 4x3 -4x2 +4x2 -l997x-1994 ,
=x(4x2 - 4x) + 4x2 - 1997x -1994 ,
= 1993x + 4x2-1997%-1994 ,
= 4x2-4x-1994 ,
= 1993-1994,
=-1.
，原式二 —l.
故选：B.
留题型方法10：无理数求和的裂项相消
【变式1】原式=拒—1 +行一收+/-6+…+ a/2016- ^2^5= ^016-1
= 12714-1 .
【变式2】先找到它的通项公式：
1 1 1 _ Jn+1 _ 1 1
(n +1) Vw + n1n + ] \[n • Yn + 1 Jn + \ + G G• Jn + 1 y/n U +1
油店t 1 11111 1 1 1 _ 9
故原式=,正+正一耳+耳一耳+…病一旃爪
留题型方法11：二次根式的大小比较
【变式 1](1) >； (2) >； (3) < ； (4) >； (5) < ； (6) < ； (7) >； (8) < .
(1)估算法： 及。1.414, V3« 1.732, V5 «2.236 ,如(1)、(2).
(2)平方法：若/>/(心>0且b>0),贝！)46.如(1)、 (2)、(3)、(4).
(3)带分母的二次根式比较大小：
①分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小.如(5)、(6).
②分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小.如(7)、(8).
116对于（5）、（6）还可以使用作差法，变成（3）、（4）的形式.
【变式2］解：估算法：-石-层-2-e.
也可使用平方法，但是注意负数平方后大小相反.
【变式 3】解：V a2 =10, /=8 + 21 c2 =5 + 246 f 2瓜=叵<良=5 ,
・・・c2<a2<b2 ,
c<a<.b，
故选：D.
【变式 4：解：X = y[c - y/c-1 = —j=-,
& + &-1
y = Jc +1 - 4c = / 一 一 1-----r=,
Jc + 1 + Jc
1
Z — yjc + 2 — Jc _ 1 = 「 -- / ，
Jc + 2 + Jc + 1
Jc + 2 + Vc + 1 > Jc + 1 + & 》 & + Jc _ 1 ,
z < y < x .
留题型方法12：二次根式的配方
【变式1】解：由已知条件可知：（x-2）2+3-1）2=0,
• •X = 2，y = l，
・・.原式=（J;6）二 y[x + ^Jy V2 +1 2 + V2
y/x（\Jx +，》） 4 6 2
【变式2】解：由已知条件可知：（« +赤y=0,
• • x = y ,
又、>0,其>0,
3x - 4x^ + x _ 3x _ 3
・•・原式:
5x + 3a/G7-4x 4x 4
【变式3】解：由题歹―4 —2"行=0,
A(77^5-I)2 =0,
• • y = 6 .
【变式4】解：由题x + y - 2」x -1 - 2yly -5-4 = 0 ,
• ** (Vx — 1 — I)2 + (Jy - 5 -1)2 — 0 ,
• •X = 2, y = 6.
【变式5]解：整理得：2Q + b + 2-4^/^万-4曲工=2(^/^T-l)2 + (痂2-2)2 = 0 ,
贝!J a = 2 , 6 = 6.
【变式6】解：移项得：x + y + z + 14-24-48-6正=0 ,
x + y+ z + 14 - 24 - 46-6正=0 ,
117初中数学题型方法全归纳
配方得：(6-1)2+(77-2)2+(6-3)2=0 ,
所以,x = 1 y > = 4 , z = 9.
所以，[xyz = 6 .
式 解：原等式变形为：[x-2y[^ +1] + [(J-1)-2Jy-1 +1] + [(z-2)-2>A-2+1] = 0 ,
(Vx — I)2 + (Jy -1 — I)2 + (Jz - 2 -1)? = 0 ,
Vx —1 = 0, yjy — 1 —1 = 0, Jz - 2 -1 = 0,
解得 x = l, y = 2, z = 3 .
x-2y + z = 0 .
留题型方法13：双重二次根式的化简
【变式1】①后+ 1;②行+ VJ;③3-2行（开方后需要化简）.
【变式”①叩可
；(q + /? = 16, ab = 15,可得：<2 = 15/
2
6 = 1)
6
②原式=西¥=运3^=坦■也.（。+ 6 = 4,
ab = 3 ,可得：q = 3, b = 1)
v2 - 2、
1 1 1 1 7 -5 也 +7 +5 也 一
【变式3】原式= ， _1_ - ................ ，， 一 ，一 •-+j- -- -- - - 产 = ---- .一 - ■ - 一 - ― ■ --- , -------^-= - 14 .
4 + J(5凤3)2 3-J(5后—4)2-7 + 5收 7-5亚一(7 + 5伪(7-5⑨
【变式4］（1）解法一（配方法）：
原式=J32+2x3V5 + （V5）2 -府-2*36+（⑹2
=取3 +后—J。—后
-3 + 75-(3-75)
=2亚.
解法二(平方法)：令x = J14 + 6斯-,14-6班,
贝！J / =14 +6石-2,14 + 65 /14-66 + 14-6".
=28-2,142 — (6⑹2 =20 .
因为京＞0,所以x = 2指.
解法三（换元法）：令x =，14 + 6囱,y = a/14-6a/5 ,则/+、2=28, xy = 4.
又因为（工一4=1 +y2 一2盯二20 ,
所以卜―引=2石.因为1＞户0,
所以1一》二2百.所以,14+ 6后-J14-6石=2百.
（2）令x =，4 + 岳 +/4-岳X）；
则/ =4 + 烬 + 4-诟+244+ 而）（4- M） =10 ；
118卷
代数专题・第十章 二次根式
所以，x = Vio ,即“+而+ J4-厉二丽.
【变式5】而病+石必理殍+心-罗L 等+等=36.
【变式6】孙=(X + - —(x-)=3加一后-3'+后 =出一叵.
4 4
【变式7］解:设x =《4一民+ 2下,y= ,
.*. x2 + y2 = 8 f xy = ，6 - 26=^(^5 — I)2 = 6 —1 ,
.・.(x + 4 =/+/+2中=8 +2x(6-1) = 6 +26= (6+以,
x + y = ■\J~5 +1 ,
・・・原式=6+ 1.
119初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:判断一元二次方程
【变式1】②⑥.
【变式2]解：4、是一元二次方程，故此选项符合题意；
5、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项不符合题意；
。、若。=0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意.
故选：A.
【变式3】解：力、属于一元一次方程，不符合题意；
5、属于分式方程，不符合题意；
C、属于一元二次方程，符合题意；
。、未知数的最高次数是4,不符合题意.
故选：C.
【变式4】解：力、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、整理后为8+7=0,是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意;
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
。、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意.
故选：C.
留题型方法2:根据一元二次方程定义求参
【变式解：由题意可知,加之一 4 = 0,加一 2。0,故加=一2.
【变式2】解：由题意可知，Q-1W0,解得：QW1,
故选：D.
【变式3；解：由题意可知，加2—7 = 2,加一 3。0,解得：m = —3.
留题型方法3： 一元二次方程的解法
【变式 1】(1)(%-3)2 =(5-2x)2,
所以 x-3 = ±(5-21)，
Q
所以 xi = 2 , %2 =—.
3
(2) 4(x-2)2=(3x-l)2,
所以 2(x —2) = ±(3x —1),
所以 xi = —3 , X2 = l.
【变式 2](1) x2-4x-l = 0,
所以(x-2y=5,
所以为=2 +百，X2 = 2-V5 .
120卷
代数专题・第十一章一元二次方程
(2) 2x2-8x-3 = 0 ,
所以 2(x-2)2=ll,
诉 l、J . V22
所以 xi = 2 +-----， X2 = 2---------.
2 2
(3) 4x2-6x-4 = 0,
所以a-力3 =去25
4 16
所以Xi = 2 , X2 =—.
2
【变式3】解：(1)由/一5 = 2(1+ 1)得：x2-2x-7 = 0.
・ •・△二(-2)2-4xlx(-7) = 32 ,
・ ••原方程的解为：xi = l + 2V2 , X2 = 1-2a/2 .
(2)由 x(6x + l) + 4x — 3 = 2(2x + ；)得：
6x2 +x-4 = 0 .
:.△=「—4x6x(-4) = 97 ,
.♦•原方程的解为：,=心叵, —1 — J97
X2 =----------
12 12
【变式 4】(1) 2x2-3x-2 = 0 ,
因式分解得：(2x + l)(x-2) = 0,
・ ••原方程的解为：xi = -— ， X2 = 2 .
2
(2) (21)2=3-6],
因式分解得：2(2x -l)(x + 1) = 0,
・ ,•原方程的解为：X1 = — , X2 = -1.
2
(3)因式分解得：(3x-V2)(2x-73) = 0,
・ ••原方程的解为：=呈,x2 = —.
2 3
【变式5】解：(1)方程系数较大，公式法过于麻烦，考虑用因式分解,
故可以简单分解为：(547%-572)(工+ 1) = 0 ,
・・・原方程的解为为=-1, X2 = —.
547
(2)公式法：△=(府-4x3x(- 1) = 18X),
.后土主口胡葩汨
V6-3\/2 V6 +3a/2
6 6
【变式 6】解：(1) x2 -3mx + (2m + n)(m -n) = 0 ,
因式分解得：(x-2m- n)(x - th + w) = 0 ,
・,•原方程的解为为=2次+ 〃 , X2 = m-n .
(2)若加=0,贝!J-2x = 0, x = 0 ,
121查
初中数学题型方法全归纳
若加 w 0 ,贝(J mx2 - (3m2 + 2)x + 6m=0 ,
因式分解得：(mx - 2)(x - 3m) = 0，
2
故 xi = ­ ， X2 = 3m .
m
(3)①当后2一6左+ 8 = 0时，方程二次项系数为0,此时左=2或左=4.
当左=2时，方程化为-8x = 0,解为x = 0；
当左=4时，方程化为4'=一12,解为x = -3.
②当左2—6左+ 8w0时，方程可以因式分解为[(A-2)x +左+ 2][(左-4口 +左-2] = 0.
m k-2
・・.原方程的解为»=*，X2=y.
2-k 4 一左
【变式7】解：(1)原式可以因式分解为：(%-加-九)(x-加+ 〃)= 0，
，原方程的解为xi =加+篦，X2 = m-n .
(2) xi = 3a-l, X2 = q + 1.
(3)二次项系数中含有字母，所以要加以讨论，
①若Q-b + c = 0 ,贝lj原方程成为2ox + (a + b-c) = 0 ,
若〃 =0,贝ijc-6 = 0,原方程为0・x + 0 = 0, x可为一切实数；
若aWO,贝(J x = ~―-- = -^- = -1,
2a 2a
②若a-b + cwO,贝lj原方程成为(x + l)[(a-b + c)x +(Q + b-c)] = 0，
?一；人.
・・・原方程的解为工=—1, X?
a-b + c
【变式8】解：设2月+ % =加，则原方程化为加2 一2加-3 = 0，
J (加一 3)(加+ 1) = 0 ,
将 2月 + l =加代回得：(2x2 + x - 3)(21 + x +1) = 0 ,
即 2x2 +%-3 = 0 或21 +X + 1 = 0 ,
3
由 2x2 +X-3 = 0 可得: (2x + 3)(x -1) = 0 ,解得 x1 = l, X2 =--.
由2必+工+ 1 = 0可知: A=l2-4x2xl = -7<0,故此方程无实数根,
3
综上方程解为：为=1, X2 =——.
2
留题型方法4：高次方程
【变式1]解：令£ =炉一2X一3,则小一2% = / + 3,
代入原方程得：/=2口 + 3)-7,
即得到『―2/+ 1 = 0, ("1)2=0,片1,
将才的表达式代入得/ — 2x - 3 = 1,
BP x2 — 2x — 4 = 0 ,解得 x = 1 ± V5 ,
所以为=1 +逐，%2 = 1 - V5 .
【变式2】解：令"1999-x,贝卜-1998 = 1一,
122卷
代数专题・第十一章一元二次方程
则r+(1-)3 =1,所以3/-3% + 1 = 1,
得力=0 , /2 = 1 .
将/的代数式代入得到xi = 1999 , %2 = 1998 .
【变式3】解：令= 原方程为,2+、_2 = o , yi = -2 , >2 = 1.
由 yi = -2,得 ％2+x + 2 = 0,
因为△<(),所以无解.由^2 = 1,得/+%_1 = 0,
, —1 + V5 —1 — V5
• • Xi — ， X2 — •
2 2
国题型方法5：分式方程
【变式1】解：设匚打二＞，那么。±1 = 1,于是原方程变形为2y+9=7.
x +1 x +1 y y
方程的两边都乘以修约去分母，得2v—7y+ 6 = 0.
a
解这个方程，得y = 2, y2 = 1.
Y2 _1_ 1
当尸2时，土上=2,去分母，整理得犬―2x-l = 0.
x + 1
所以 x = 1 土 V2 ,
当y=3时，匚U = 3,去分母，整理得2/一3x —1 = 0.
2 x + 1 2
所以1=里叵.
4
检验：把x = l土亚，、=生姮分别代入原方程的分母，各分母都不等于0,所以它们都是
4
原方程的根.
综上，原方程的根是R1 = 1 +及，X2 = \ -亚，X3 = 3 + , X4 = -~
4 4
1 7
【变式2】解：原方程化为：x2+4+2x + --6 = 0.
X X
令，=X H---9 贝！J x2 H-- = t2 - 2 9
X X
所以方程可化为：/_2 + 2”6 = 0,
即：/+22 —8 = 0,解得力=—4, %2 = 2 .
解得x + L_4,或％ +工=2,
X X
解两个分式方程可得：xi = l, X2 = -2 + , %3 = -2 - V3 .
【变式3］解：显然xWO,两边同除以
3 2
得：2X2 + 3x —16 H----1—— = 0，
X X
123________卷
初中数学题型方法全归纳
即 2(%2 H——) + 3(x 4—) — 16 = 0，
X X
令，=1+,，贝!)12+ 二 =t2 —2 9
X X
所以方程可化为：2(/- 2) + 3/-16 = 0 ,
即：2t2 + 3Z — 20 = 0 ，解得= -4 , /2 =—.
2
解得x + — = -4 , 或x + L*,
x x 2
xi = -2 + 百， xi =-2- V3 ， X3 = ­ j 羽=2 •
2
【变式4】解：去分母得：3(x + l)-(x-l) = x(x + 5),
化简得：(x + 4)(x — 1) = 0 ,
• • Xi — —4 , X2 — 1 •
经检查，1=1是增根，舍去，
，所以方程的解为X=-4.
【变式5】解：去分母得：l + x — 2(l-l)= 3x —必.
化简得：3 + 1)(工-1) = 0 .
. 1 1
• • Xl =--, X2 = 1 .
3
经检查，％ = 1是增根，舍去，
所以方程的解为＞」.
3
留题型方法6：绝对值方程
【变式1】解：令21-1=0得工=工，以为分界点把数轴划分为两个区间，分别求解,
2 2
①当xV工时，则2x-lV0,原方程可化为Y+2%-5 = 0 .
2
所以工=-1-痛或％ = -1 +指(舍去)；
②当工之工时，贝!]2% — 120,原方程可以化为犬一2/ — 3 = 0,
2
所以x=3或r= - 1(舍去).
综上所述，原方程的解为xi = -1 -北，%2 = 3 .
【变式2】解：分情况讨论：令(x-2)(x + 3) = 0得尸2或尸-3,
以-3和2为分界点把数轴划分为三个区间，分别求解.
①当x 2 2时，方程化为(% - 2)(% + 3) = 3 + x ,即/ = 9 ,
解得：为=3,X2 = -3(舍去)；
②当-3W2时，方程化为-(x-2)(x + 3) = 3 + x,即必+21-3 = 0,
解得：X3 = l , x4 = —3 ；
124卷
代数专题-第十一章一元二次方程
③当xV-3时，方程化为(x-2)(x + 3) = 3 + x ,即为=9,
解得：工5 = 3(舍去)，％6 = -3(舍去).
综上所述，原方程的解为xi = 3, X2 = 1,心=-3.
【变式3](1)当xVO时，原方程化为3x-2 = 0,
解得“片答或.噌(舍去);
(2)当工2 0时，原方程化为3x + 2 = 0,
解得x = 1或x = 2 ,
综上所述，原方程有3个解：为=片叵，心=1,心=2.
2
留题型方法7：根式方程
【变式1】解：移项得：反互=3-471,
两边平方得：3x-2 = 9-6Vx + 3+x + 3 ,
化简得：x-7 = -347?,
两边平方得：x2 -14x + 49 = 9x + 27,
整理得：(x-22)(x-l) = 0 ,
• • Xi — 22 , X2 — 1 •
经验发现X = 22不是根式方程得解，
所以，方程得解为x = l.
【变式2]解：两边平方得：2x + l + x-3 + 2j(2x + l)(x-3)=4x ,
整理得：x + 2 = 2j(2x + l)(x-3),
两边同时平方得犬+ 4x + 4 = 4(2x2-5x-3),
化简得：7月一24%-16 = 0 ,
整理得：(7x + 4)(% - 4) = 0,
. 4 4
..Xi =—,= 4 .
7
经检验，万=-3是增根，舍去.
7
・・・原方程的解为x = 4.
【变式3】解：设叵9 =人则工
\ x \x+9 y
于是原方程可变形为y + --5 = 0,
y
化为整式方程得：/一5歹+ 4 = 0,
解之得"=1,
y2 = 4 .
当y = l时，行9 = 1，无实数解，
125卷
初中数学题型方法全归纳
当好4 时，J? = 4, x = |.
・,・原方程的解为x = ±.
5
【变式4】解：设甲=y, JZIZ = L则，
V 2 Vx-2 y
2
于是原方程可变形为y-4 = 1,
y
化为整式方程得：/-y-2 = 0,
解之得 yi = 2, yi = -l ,
当歹=2时，行? = 2,解得尸10,
当歹二—1时，行1 = —1,无实数解，
经检验x = 10是原方程的解.
【变式 5】解：移项得 J7f+9x + 13=7x-J7，—5x + 13 ,
两边同时平方得71+9x+ 13 = 49x2 +7x2-5x + 13-14xV7x2-5x + 13 ,
整理得 49/ - 14x = 14xV7x2-5x + 13 ,
两边同时除以7耳件0),得7--2 = 2，/—5x + 13 ,
两边同时平方得 49x2 - 28x + 4 = 28x2 - 20x + 52 ,
整理得(3x + 4)(7x-12) = 0,
解得不二-3, X2 = -.
3 7
经检验，、=-3是原方程的增根，
3
1?
则原方程的解为：x = -.
7
留题型方法8：依据判别式判断根的情况
【变式1】①△〉()，有两个不等实根；
②△=(),有两个相等实根；
③△<(),无实根；
④△=加2+1〉0,方程有两个不等实根.
【变式 2】由题△ = (2c)2 -4(q + bp = 4(q +b + c)(c -a-b),
,・"+ 6 +。>0, c-a-b<0,故方程没有实根.
故选：A.
【变式 3](1)证明：Vtz=l, b= - 4m, c= 3m2,
/. △ = / -4ac = (一4加丫 -4xlx3m2 = 4m2 ,
,无论加取何值时，4m2 > 0 ,即△20,
126帝________
代数专题・第十一章一元二次方程
・ ・・原方程总有两个实数根.
(2)解：: Y 一4加x + 3加之=0 ,即(％-加)(工一3m)=0,
/. x\ = m , xi = 3m .
・ ・・加>0,且该方程的两个实数根的差为2,
/•3m - m=2,
・ ••加=1.
留题型方法9：依据根的情况求参数
【变式1】解：由题可知，左-1。0,
・ ・•一元二次方程有实根，
-4ac = 12 +4x^-x(A:-l)>0 ,
解得：“0.
综上可得：左>0且左wl.
【变式2】解：要使关于x的一元二次方程/ + 2(1 + a)x + 3/ + 4仍+ 4" + 2 = 0有实根,
则必有△NO, BP 4(1 - a)2 - 4(3a2 + 4ab + 462 + 2) > 0 ,
整理得：(q + 26)2+(q-l)2<0,
又因为(〃 + 2b)2+(Q-1)2之0,
所以 3 + 26)2+5-1)2=0,
所以，a = l, b =.
2
【变式3】解：由题知一元二次方程(3a-l)、2—g + ' = 0有两个相等的实数根，
4
所以△= / - 3〃 +1 = 0 ,
所以有合 一 2a +1 = q , a2 +1 = 3a ,
代入 q? - 2cl +1H—,
a
ZH 2 c y 1 1 " +1 3q
得：a —2q + 1h— = a-\— =-------= — = 3 ・
a a a a
【变式 4](1)证明:V A= [-(2k + 4)]2 -4(k2 + 4A; + 3) = 4>0 ,
・••不论左取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：/—(2左+4"+42+4左+3=0,
(x-k - 1)(%— 左一 3)=0,
巾=左+1>0,12=左+3>0,
两直角边的长为左+1和左+3,斜边的长为10,
・・・(左 + 1)2+(左 + 3)2=1()2 ,
解得：41 = -9(舍去)，左2 = 5,
工上的值为5.
127初中数学题型方法全归纳
留题型方法10：利用韦达定理求参或求代数式值
【变式1】解：由韦达定理得：xi + X2 = -2,
而 xi = 2 , X2 = —4 .
【变式2］解：・・,方程1+(2左-3口 +公一3 = 0有两个实数根为、X2,
7
・ ・・△= (2k-3)2-4(42 -3) = 21 — 12左20 得：k<~,
4
। 一一 4 Eg f xi + X2 = ~(2k - 3)
由韦达定理得， / .
［xi X2 = k - 3
・ 」 1 1
• X1 + %2 =- 1-- ，
Xl X2
・ X\ + X2
..X1 + X2 =-----，
X1-X2
xi + 工2 = 0 或 X1X2 = 1 ,
3
当为+工2 = 0时，3 — 2左=0, k =—,
2
-：k = -<-,所以左=3符合题意.
2 4 2
当 x1X2 = l 时，左 2_3 = 1, k = +2 ,
7
k<~,工左=2舍去.
4
・・・左的值为三或-2.
2
【变式3］解：显然"0由△=16/_16q(q + 4)N0得qVO,
〃 + 4
由韦达定理知X\ + X2 = l , X\X2 =------，
4a
所以(xi - 2x2)(%2 - 2xi) = 5xiX2 - 2(xi2+ X22) = 9x\xi - 2(xi + xi)2 = + 2 ="十 七
4。 4a
若有(xi - 2%2)(X2 - 2xi)=—，
4
则”史=2,
4a 4
.,.a=9,这与a VO矛盾，
故不存在a,使(xi - 2x2)(x2 - 2xi)=—.
4
【变式4］解：・・•加、〃是方程必+、_1 = 0的两个实数根，
・••加+九=一1 , 加2 +加一 1 = 0 ,
贝!］原式=(疗+加一1) + (m+ 〃) = 0 — 1 = -1.
【变式5］解：Ta是方程£+2、-5 = 0的实数根，
a2 + 2a — 5 = 0 a2 =5 —2a 9
a2 -ab + 3a+ b = 5-2a-ab +3a+ b = a + b-ab+ 5 ，
128卷
代数专题・第十一章一元二次方程
•・3 b是方程/+2%-5 = 0的两个实数根,
.\a+b= - 2, ab= - 5,
+ 3a + 6 = -2 + 5 + 5 = 8 .
故答案为8.
【变式6】解：•・•根、〃是方程£+2016x + 7 = 0的两个根，
m + n = -2016 , mn = [,
・••加2+2016加+ 7 = 0 , n2+2016« + 7 = 0,
(加2 + 2015加 + 6)(/ + 2017〃 + 8)=(加2 + 2016加 + 7 —加一 1)(川 + 2016〃 + 7 + 〃 +1),
=一(m +1)(〃 +1) = -(mn + 加 + 〃 +1) = -(7 - 2016 +1) = 2008 .
故答案是：2008.
【变式7】解：有实数根，则/。,xi2 + xi - xixz = 16 ,
x\ + xi = -2(jn 4- 2)
x\X2 = m2 - 5
所以有：＜
(xi + X2)2 - 3xiX2 = 16
△= 4(加+ 2)2—4(/一5)20
o
解得：m= - 1或加=- 15且加之——,
4
:.m= - 1.
留题型方法11: 一元二次方程的公共解问题
【变式1】解：不妨设。是这两个方程相同的根，由方程根的定义有,
a2 +ka-\ = 0①，
/+ q + （左 - 2） = 0②，
①一②有，ka-\-a-（k-2） = Q ,
整理得：（左_1）（"1） = 0,
C.k=\,或a=l.
当仁1时，两个方程都变为/+、_1 = 0,
・・・两个方程有两个相同的根心2= 士哲，没有相异的根，
2
当a=l时，代入①或②都有左=0,
此时两个方程变为式-1 = 0, x2+x-2 = 0 ,
解这两个方程，f —1 = 0的根为为=1 , X2 = -1 ； f +工_2 = 0的根为X1 = 1 , X2 = -2
・・・x=l为两个方程的相同的根，
综上/ 一1 = 0 的根为％ = 1, X2 = —1 ； £+%_2 = 0 的根为xi = 1, %2 = -2 .
【变式2］解：由已知可知x*5一2 = 0和2-+7K + 3 = 0.
又xi = 2%2 ,贝（J 4%22 + 2kx2-2 = 0 ,即 2xi2 + Ax2 — 1 = 0 ,
消去二次项可解得fcC2 = -2.
3
129初中数学题型方法全归纳
代入2血2+人一1 = 0,整理得归=上，所以，X2 = ±画.
6 6
此时左=±翌史，考虑两个方程的判别式：& =公+820, A2 = 49r-24>0,
15
j左=±拽0满足公221,
15 49
.7 一2回
• • K - JL •
15
留题型方法12: 一元二次方程的整数解问题
Xi + X2 = m-1
【变式II解：设方程的两整数根分别是不、X2,由韦达定理得:
X1X2 =加 + 1
从上面两式中消去加，可得xm-xz-》= 2 ,
(X1-1)(X2-1) = 3 .
Xi —1 = 1 或1— 1 =
所以
xz -1 = 3 IX2 -1 = -3
xi = 2 - xi = 0
解得: 或
%2 = 4 Xi = —2
由此X1X2 = 8或0,所以加=工比2 -1 = -1或7.
【变式2】解：设两个根为为之、2,由韦达定理得［即+ " 二 6一。
xixi = a
从上面两式中消去。得： xixi + xi + X2 = 6 ,
所以 3 + 1)8 + 1) = 7 ,
所以::::或::二;
Xi — 6 戈 f Xi — —2
所以
Xi — 0 j X2 — —8
所以 q = xlX2 = 0 或 16.
留题型方法13：利用根的定义构造一元二次方程
【变式1】解：由根的定义，知。、〃为一元二次方程Y+x-1 = 0的两个根.
由韦达定理知a+b= - 1, ab= - 1,于是 a2b + ab2 = ab(a + b) = l .
【变式2】解：由夕2一P一1 = 0, 1一9一夕2=。得：夕。0, qwO,
又知 ,所以
pq
q
贝Ijl_q_q2=o可化为(与/_1 = 0,
q q
130代数专题・第十一章一元二次方程
q
所以夕与工是方程%—1 = 0的根，因此p + l_ = i.
【变式3】解：由/+9% + 19 = 0可知，”0,故19(++99・1 + 1 = 0,
sE = l=>s,，故s、1是方程19/+99x + l = 0的两根,
X19?+995 + 1 = 0 ，
从而可知5 +1=-双 s 1
­ =—，
t 19 t 19
在 a s% + 4s + l 171s 9999 . 1 .
t t t 19 19
留题型方法14：利用根系关系构造一元二次方程
【变式1】解：由方程组得：a、b是方程81+ °2_8心+ 48 = 0的两根，
A= 64 - 4(c2 - 8 V2c + 48) = -4(c - 4 ^)2 > 0 ,
所以，c=4亚,a=b=4,
所以原方程为/+缶— 1 = 0,
rr- pi —\[2 + ^6 —V2 — yjf)
2 2
【变式2】解：由于盯+(x+y)=23, xy(x+y)=120,
则孙与(x+y)为方程/-23/+ 120 = 0的两个根，得到力=8,上=15.
所以，孙=8, x+y=15①；或者盯=15, x+y=8②；
①的时候工、歹为方程〃2—15〃 + 8 = 0的根，& = 152 - 32 = 193,不是完全平方数，X、歹不可能为题
目中要求的正整数，舍；
②的时候小》为方程〃2—8〃+ 15 = 0的根，所以，%=3, U2 = 5；
故 £ + J? = (1 + y)2 _ 2盯-34 .
【变式3】解：由已知孙+ x + y = 17, x2y + xy2 =66 ,
所以孙和x+y是方程/ _ 17/ + 66 = 0①的两个实数根，
解方程①得力=6, ,2 = 11.即孙=6, x+y=ll；或者盯=11, x+y=6f
i)当孙=6, x+y=ll时，x、y是方程〃之+ 6 = 0②的两个根，
因为& = (-11)2-4x6>0,,所以方程②有实数根，
(l)x2 +/ =(% + »)2_2孙= 112—2x6 = 121-12 = 109 ；
(2) x3y + x2y2 +xy3 =xy(x2 +y2 + 盯)=6(6+ 109)= 690 ；
(3) x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 = x4 + y4 + 690= (x2 + y2f - 2x2y2 = 12499 .
ii)当孙=11, x+y=6时，x、》是方程〃？ 一 6〃+ 11 = 0③的两个根，
因为加二㈠丁-4X11V0,所以方程③没有实数根，
综上可知：
131初中数学题型方法全归纳
(1) x2+y2=109；
(2) x3y + x2y2 +xy3 = 690 ；
(3) x4 + x3y + x2y2 +xy3 + y4 = 12499 .
留题型方法15：两两碰面问题
【变式1】解：设有x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3 +…+工-1 = 15,
即 ^x(x- 1)=15.
故选：D.
【变式2】解：设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，贝快有Q+1)支队伍参加比赛,
依题意，得：；x(x+l)=66,
整理，得:x2+x-132=0,
解得：xi = 11,刈=-12(不合题意，舍去).
所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场.
故选：B.
【变式3】解：设该群一共有工人，则每人收到(x-1)个红包，
依题意，得：x(x- 1)=90,
解得：xi=10,工2 = -9(舍去).
故答案为：10.
【变式4】解：设参加酒会的人数为x人，
依题意，得：1)=105,
整理，得：x2 -x-210=0,
解得：xi =15,R2 = -14(不合题意，舍去).
故答案为：15.
留题型方法16:病毒传播问题
【变式1】解：设每个支干长出工个分支，
根据题意得1+%+/ = 13,
整理得/ +x-12=0,
解得xi=3,= - 4(不符合题意舍去)，
即每个支干长出3个分支.
故选：B.
【变式2】解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，
根据题意，得：300(1 + 4=507.
【变式3】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
依题意列方程：l+x+x(l+x)=81,即(1 + 4=81,
132卷________
代数专题・第十一章一元二次方程
解方程得：XI =8,X2=-10(舍去)，
答：每轮传染中平均一个人传染了 8个人，
经〃轮传播，将有(l + x)”=9"被感染.
【变式4】解：设邀请了〃个好友转发倡议书，第一轮传播了〃个人，那么，第二轮传播了小个人,
由题意，得,n+n2+1=421,
解得：加= — 21(舍去)， m =20.
故几的值是20.
【变式5】解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了工人，
依题意，得：l+x+x(l+x)=144,
解得：
x\=W,
筋=-13(不合题意，舍去).
答：每轮传染中平均一个人传染了 11人.
(2)设小玲应该将售价定为y元，贝悔天可以卖出(80+lOx言)斤，
依题意得：。-4)(80+10*\/尸 100,整理，得：V—i4y+45=0,
解得：功=5,户=9(不合题意，舍去).
答：小玲应该将售价定为5元.
留题型方法17：增长率问题
【变式1】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为工,
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+%)吨，
2018年蔬菜产量为80(l+x)(l+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80(l + x)2=100,
故选：A.
【变式2】解：设快递量平均每年增长率为工,
依题意，得:600(1 + 4 =950.
故选：C.
【变式3］解：因为销售单价原来为200元，而平均每次降价的百分率为x,
所以降一次后的售价为200(1 - %)元，降两次后的售价为200 (1-x)2元，
所以可列方程200(1-x)2 =162,
故选：A.
【变式4］解：设平均每次用钢量降低的百分率为x,
根据题意得：5.4(1-x)2 =4.2,
故选：A.
【变式5】解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x,
则由题意得：128 +128(1 + %) +128(1 + x)2 = 608 ,
化简得：4x2+12x-7 = 0 .
因式分解：(2x-l)(2x + 7) = 0 ,
133初中数学题型方法全归纳
解得：x=0.5=50%或x= - 3.5(不合题意，舍去)；
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)・・•进馆人次的月平均增长率为50%,
27
・ •・第四个月的进馆人次为：128(1 + 50%r=128 x — = 432<500 .
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
【变式6】解：(1) •・,该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，
又・・・该养殖户的可变成本平均每年增长的百分率为x，
・ •・该养殖户第2年的可变成本为：2.6(l+x)(万元)，
・ ,・该养殖户第3年的可变成本为：[2.6(l+x)](l+x)=2.6(l + x)2(万元).
故本小题应填：2.6 (1 + x)2.
(2)根据题意以及第(1)小题的结论，可列关于x的方程：
4+2.6 (1 + x)2 =7.146,
解此方程，得％ =0.1, X2 = -2.L
由于x为可变成本平均每年增长的百分率，工2 = -2.1不合题意，
故%的值应为0.L即10%.
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.
国题型方法18：销售问题
【变式1】解：设衬衫的单价降了X元.根据题意，得(20+2x)(40-x)=1250,
故选:D.
解：根据题意可得:x[120-0.5(x-60)]=8800.
故答案为：x[120-0.5(x-60)]=8800.
3】解：设该产品的质量档次是x档，贝悔天的产量为[95-5(x-1)]件，每件的利润是[6+2(%
- 1)]元，
根据题意得：[6+2(%-1)][95-5(1-1)]=1120,
整理得：x2-18x+72=0,
解得：xi=6, 12=12(舍去).
故选:A.
解：•・,降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-%,
由题意得：(50-x)(30+2x)=2100,
化简得：x2 -35x+300=0,
解得：xi=15, Xi =20,
・・,该商场为了尽快减少库存，
・・・降的越多，越吸引顾客，
^x=20.
故答案为：20.
【变式 5；解：(1) [200+10x(60 —58)-50)58=9860(元).
134卷
代数专题・第十一章一元二次方程
(2)设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住(60-点)个房间,
Y
依题意,得：(60 )(200+x - 50)= 11000,
化简得：x2 -450x+20000=0,
解得：xi=50, X2 =400,
Y
：.60 一一二55 或 20.
10
答：每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元.
135几何专题篇几何专题・第一章 几何初步
号题型方法1:几何体的展开图
解：4、能够组成正方形，故此选项正确；
5、只要出现田字形无法构成正方体，故此选项错误；
C、根据图象可得出两个正方形会重合，无法构成正方体，故此选项错误；
。、根据图象可得出两个正方形会重合，无法构成正方体，故此选项错误.
故选：A.
解：A,是长方体平面展开图，不符合题意；
5、是长方体平面展开图，不符合题意；
C、有两个面重合，不是长方体平面展开图，符合题意；
。、是长方体平面展开图，不符合题意.
故选：C.
解：A,能组成三棱锥，故选项正确；
8、组成的是三棱柱，故选项错误；
C、组成的是三棱柱，故选项错误；
组成的是四棱锥，故选项错误.
故选：A.
留题型方法2：求正方体的相对面
解：由图形可知，与“2019”字相对的字是“胜”.
故选：C.
解：“祝”与“利”是相对面，
“你”与“试”是相对面，
“考”与“顺”是相对面.
故选：D.
解：由字型对面，可知春字对应的面上的字是奋.
故选：D.
留题型方法3：判断展开图标记物的位置
解：根据正方体展开图的特点分析，选项/是它的展开图.
故选：A.
解：通过具体折叠结合图形的特征，判断图中小正方形内部的线段折叠后只能互相垂
直，且无公共点，
所以折叠成正方体后的立体图形是C
故选：C.
解：4、折叠后，与原正方体不符，故此选项错误；
B、折叠后，与原正方体不符，故此选项错误；
137卷
初中数学题型方法全归纳
。、折叠后，与原正方体不符，故此选项错误；
。、折叠后与原正方体相同，与原正方体符合，故此选项正确.
故选：D.
留题型方法4：点个数及线条数的计算问题
【变式1】吟
2
【变式2】迎心；2n.
2
【变式3】0或1或2或3.
【变式4】6.
【变式5](1) 10； (2) 5； 〃个点时，有迎二D条线段.
2
时题型方法5：线段中点计算问题
【变式1】解：如图1,当4。=工/8 =、6=2时,
3 3
CD=BD — AB+AC=8 - 6+2=4；
D A C B
2 9
女口图 2,当4c=—/3 = — x6=4 时,
3 3
CD=BD-AB+AC=S - 6+4=6, D A C B
故C。的长为4或6.
故选：B.
【变式 2］解：如C=y, CD=BD=x,贝!UC+CD+D5+AD+45+CB=13,
即：y+x+x+(x+y)+(2x+y)+2x= 13,
得：7x+3y=13,
因为线段/C的长度与线段C5的长度都是正整数，
所以x最大为1,
可知：x=l, y=2f符合题意，
所以为C=2.
故选：A.
【变式3】解：
・・,C是线段々的三等分点，
.\AC=6cmf BC=AB -AC=l2cm,
又,/ CD+DB=BC, CD=DB+4, ----------------------------------
A C D B
:・DB+4+DB=BC, 205+4=12, DB=4,
：.CD=AB-AC-DB= 18 — 6 — 4=8cm.
【变式4】解：(1)・.75=18皿 BC=-ABf
3
:.BC=6cm,
138卷
几何专题・第一章 几何初步
.\AC=AB+BC=lS+6=24cm,
(2) •・•点。是线段4C的中点，
：.OC=-AC=12cm,
2
,: BC=6cm,
：.OB=OC - BC= 12 - 6=60加.
【变式5］解：・・•点C是线段々的中点，
:・AC=BC,
丁点。是线段”上一点，且
3
・ ••设CD=x,则加=3x,
• \AD=4x+x=5x^AD=3x-x-x=x,
• ・ZD=4, A C D B
・ *.5x=4或x=4,
・ ・・x = 3或4,
5 . , ____________
A DC B
・・・4B = 2-或16.
5
【变式6】解：(1)图中共有l+2+3=6条线段.
故答案为：6；
(2) *：AD=20cm, AC=12cm.
CD-AD -AC=^cm.
・・・5为C。的中点.
：.BD = -CD=4cm；
2
(3) AB=AD -BD=20 - ^=16cm,
AE=AB+BE= 16+3=19。加.
故4E的长是19cm.
【变式7】解：(1) •・,点。是线段”的中点，AB=^cm,
：.BC=-AB=4cm,
2
Z. CD=BC-BD=4-3=lcm.
(2)①当点£在点B的右侧时，如图：
由(1)知，CD=lcmf BC=4cm,
BD=4 - l=3cm,
,:BE，BD, F
a ---------- ------ • •
A CD BE
:・BE=lcm,
・・,点厂是HE的中点，
139初中数学题型方法全归纳
：.BF=-BE = -cm,
2 2
：.CF=BC+BF=^-cm,
2
②当点£在点5的左侧时，如图：
由(1)知，CD=\cm, BC=4cm,
:・BD=4 - 1=3。加，
1 A C D Ebb
■:BE= — BD,
3
：・BE=lcjn,
•・,点厂是成的中点，
.\BF= — BE= — cm,
2 2
：.CF=BC-BF=3-cm.
2
综上，CF的长为Jc加或34加.
2 2
留题型方法6：线段双中点模型
【变式1】解：当点C在线段45上时，
由点M、N分别是4C、5C的中点，得： B N C M A
MC= — AC=— x8c加=4cm，CN = — BC = — x6c加=3c加，
2 2 2 2
由线段的和差，得MN=MC+CN=4cm+3cm=7cm,
当点。在线段45的延长线上时， 、 一 一 一
由点M、N分别是4C、的中点，得： A B M N
MC= — AC=— ><8cm=4c加，CN = — BC = — x6c加=3。加，
2 2 2 2
由线段的和差，得MN=MC - CN=4cm - 3c加=1。加，
即线段MTV的长是7。加或1cm.
【变式2】解：(1)因为N分别是4C, 8C的中点，
所以 CAf/ZC = 3c加，CN = -BC = 2cm ,
3 2
所以私V=CM+CN=3+2=5cm.
(2)因为线段CM与线段CN的长度之比为2:1, CN=2cm,
所以线段CM=4c加,
因为M、N分别是ZC、5C的中点，
所以ZC=2CM=8cm，BC=2CN=4cm,
所以 ZB=/C+5C=8+4= 12c 加.
【变式3］解：当点B在线段4。上时，
由题意得：
140几何专题・第一章 几何初步
MC=-AC=-x6=3cm, NC=-BC=-x4=2cm,
2 2 2 2 一 一 一 一 一
MN=MC - NC=3 -2=1 cm f A B M N C
当点5在线段4C的延长线上时,
由题意得：
MC=-AC= -x6 =3cm, NC= -BC=-x4 =2cm. _ _ _ _ _
2 2 2 2 A M C N B
MN=MC+NC=3 +2=5cm.
综上所述，肱V的长为lc加或50加.
【变式4】解：（1）因为4B=8c加，M是45的中点，
所以 4Vf = — AB=4cm，
2
又因为ZC=3.2。加，N是4c的中点，
所以 AN= -AC=1.6cm, _ _ __ _
2 A_N_CM B
所以肱V=/M-4N=4 — 1.6=2.4c 加；
（2）因为四是48的中点，
所以4〃二l45,
2
因为N是4C的中点，
所以
2
：.MN=AM-AN=-AB--AC=-（AB-AC） = -BC=-a,
2 2 2 2 2
留题型方法7：线段成比例问题
【变式1】解：（1）是线段45的中点，
：.BD = -AB = -x30=15,
2 2
•・ZC:BC=3:2,
2 2
：.BC=——AB = -x30 = U ,
2 + 3 5
・•・ CD=BD - BC= 15 — 12=3；
（2） \9AC:BC=3:2f AC+BC=AB,
3
：.AC=-AB,
5
YE为4C的中点，
1 3
：.AE=CE=-AC=—AB,
2 10
・・,点。为45的中点，
141初中数学题型方法全归纳
：.AD = -AB,
2
■: ED=5,
1 3 1
JED=AD -AE= -AB ——AB = -AB,
2 10 5
：.AB=25.
【变式 2］解：^AC=x,则CD=2x, DB=3x,
45=24,
/.x+2x+3x=24,
解得x=4,
：.AC=4, CD=8, DB=\2, CB=20.
・・•点”是线段zc的中点，
：.MC=-AC=2,
2
■:DB=12, DN=-DB,
4
：.DN=-x12=3,
4
分以下两种情况：
①当点N在线段CD上时，MN=MC+CD-DN=2+S - 3=7；
②当点N在线段D5上时，MN=MC+CD+DN=2+8+3=13.
综上所述，线段皿的长度为7或13.
留题型方法8：车票种类问题
【变式1】解：由图可知图上的线段为：AC. AD、AE、AF、AB、CD、CE、CF、CB、DE、DF、
DB、EF、EB、FB共15条,所以共需要15种.
【变式2】解：(1)如图：
根据线段的定义：可知图中共有线段有4c AD, AE, AF, AB, CD、CE, CF、CB、DE,
DF、DB、EF, EB, /芯共15条，有15种不同的票价；
(2)因车票需要考虑方向性，如，与票价相同，但车票不同，故需要准备30
种车票. 甲 §
故答案为：］5； 30. 3 C D E―F_B
国题型方法9:双角平分线模型
【变式1】解：
(1)如图，
•・・。。是乙4。。的平分线,
：.ZCOD = - ZAOC,
2
・・・。£是/5。。的平分线,
142卷
几何专题・第一章 几何初步
：.ZCOE = - ZBOC.
2
所以 ZDOE= Z COD+ ZCOE = 1 (ZAOC+ ZBOC) = | ZAOB=90°.
(2)由(1)可知：ZBOE=ZCOE=90°- ZCOD=25°.
所以 N4O£=180。— N5OE=155，
【变式2】解：
(1),・•射线。。在NZQ5的内部，OM、ON分别是N495、N49C的平分线,
・•・ ZAOM= - ZAOB = L140。=70。，ZAON= - ZAOC= - x 60° =30°,
2 2 2 2
J ZMON=ZAOM- ZAON=10° - 30°=40°.
(2) ZMON=-ZBOC.理由如下：
2
・・,射线0c在N4OB的内部，OM、ON分别是NZO5、N4OC的平分线,
J ZAOM= - /AOB, ZAON= - ZAOC,
2 2
・•・ ZMON=ZAOM- ZAON= 1 (ZAOB - ZAOC) = ； ZBOC.
【变式3】解：
(1) V ZAOC=50°, 8平分ZOC,
：.Z1 = Z2 = - ZAOC=25°f
2
・・・N5。。的度数为：180。-25。=155。；
(2) V ZAOC=50°,
：.ZCOB=130°f
V ZDOE=90°, ZDOC=25°,
：.ZCOE=65°,
：.NBOE=65。,
・ ・・。£是N5。。的平分线.
【变式4】解：
,・・。”平分/4。。，ON平分NBOC,
：.Z2 = - ZAOC, Z1 = -ZCOB.
2 2
* / ZAOC+ZCOB=180°,
・ ・・N1 + N2=9O。，
,.・N2=2N1,
/.Z1+2Z1=9O°
即 3Z 1=90°,
AZ 1=30°.
143当
初中数学题型方法全归纳
留题型方法10：钟面上的角度问题
225
【变式1】解：11点15分时，时针与分针相距上份，
4
15
11点15分时，时针与分针所夹角的度数是30x^2 =生=112.5。，
4 2
故答案为：112.5.
【变式2】解：12点半时，时针指向1和12中间，分针指向6,
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30。，半个格是15。，
因此12点半时，分针与时针的夹角正好是30°x5+15°=165°.
故答案为：165.
【变式3】解：上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数：3x30°+0.5°x25=102.5°,
故答案为：102.5。.
留题型方法11：转角问题
【变式1】(1)90°；
(2) V ZNOC=6G° - ZNOA, ZAOM=900 - ZNOAf
：.ZAOM=ZNOA+30°；
(3)①当ON在N49C角平分线的反向延长线上时：t = ^- = 4s.
240°
②当CW在N/OC的角平分线上时：t =--------= 165.
15° / s
【变式2】解：
(1) V ZDPC= 180° -ZCPA- ZDPBf ZCPA=60°, /DPB=30。,
：.ZDPC=1SO° - 30° - 60°=90°.
(2)设NCPE=NDPE=x, NCPF=y,
则 ZAPF= NDPF=2x+y,
u：ZCPA=60°,
.'.y+2x+y=60°f
/.x+^=30°,
J ZEPF=x+y=30°；
(3)22的值是定值.设运动时间为/秒，
ABPN
①当尸。在上方时，则N5尸跖=23
：・NBPN=\80 — 2t, /DPM=30 — 2t, ZAPN=3t,
：・/CPD=90 — t,
.ZCPD _ 90-t _ 1
* * ZBPN~ 1S0-2t~2,
②当尸。转到在尸M下方时，则/BPN = 2t.
:・/BPN=\80 — 2t, /DPM=2t -30, /APN=3t,
144卷
几何专题・第一章几何初步
:・/CPD=90T,
, Z.CPD _ 90-/ _ 1
ZBPN~ lS0-2t~2
・,・幺 /C 2 PD 的值是定值上1 .
ZBPN 2
【变式3】解：
(1),.・NC。尸=14。，
:.ZEOF=75° -14° =61°,
・•・ /AOF=/EOF=61。,
：.ZAOC=ZAOF- /COF=47。,
：.ZBOE=ZAOB- ZAOC- ZCOE=2S°,
若/COF;n。,
：.ZEOF=75° -nQ,
：./AOF=/EOF=75。-n0,
：.NAOC=NAOF— NCOb=75。-2w°,
・ •・ ZBOE=ZAOB - ZAOC- ZCOE=2n°,
：.ZBOE=2ZCOF.
(2)若/COF=n。,
・ •・ ZEOF=75° -nQ,
：.ZAOF=ZEOF=75° -n。,
：.ZBOE=ZAOB - ZAOF- ZEOF=2n°,
・ •・ ZBOE=2ZCOF,
・ •・(1)中NBOE和NCOb的关系依然成立.
(3)设N30E=a,则NZ>O£=a _90。，
・ •・ ZDOF=3a-270°f
：.ZAOE=150° -a ,
・ •・ ZEOF=15°--a ,
2
而 ZDOE+ Z.EOF= /DOF,
：.15°--a + a- 90。= 3a - 270°,
2
・ ・・a = 102。，
J存在。。使得N50D为直角，ZDOF=3ZDOE.
此时，ZEOF=75°--a=24°,
2
那么，ZCOF= ZCOE - EOF= 51°.
145春
初中数学题型方法全归纳
留题型方法12：角度换算问题
【变式1】解：V 121-60=0.2°,
25°12,=25.2°,
：.Z1 = Z3,
故选：C.
【变式2】解：Na的余角的度数是：90。-Na=90。-30。50'=59。10'.
故选：A.
【变式 3］解：•・・/4=30。15'=30。+(葛)。=30.25。，NB=30.3。，ZC=30.15°,
ZB>ZA>ZC,即最大，
故选：B.
【变式4】解：4、83.5。=83。50',错误；
B、37°12 =37.48°,错误；
C、24°24,24,,=24.44°,错误；
D、41.25°=41°15,,正确.
故选：D.
【变式 5】解：56°32*+103°28*=159°60 = 160°.
故答案为：160。.
【变式 6】解：Z2=25.12o=25°7,12n, Z3=24°75=25°15,,
V25°15,>25O12,>25O7,12H,
AZ3>Z1>Z2.
故答案为：Z3>Z1>Z2.
【变式 7】解：原式=45。+(2。+36')+4+66。48'=45。+156=4+66。48'=45。+39'+66。48'=112。27'.
【变式 8】解：56。17'+12。45‘一16。21'=68。62'- 1602r=52。41'.
【变式 9］(1) 23°45,36,1+66°14,24,,=90°；
(2) 180。—98。24'30”=81。35'30”；
(3) 15o50,421,x3=47°32,6n；
(4) 88°14,48,,-4=22°3,42".
【变式 10］解：(1) 18o13,x5=90°65,=9105,;
(2) 27o26,+53°48,=80o74,=81°14,；
(3) 90°-79。186'=89。59'60” — 79。186'=10。41'54”.
146卷
几何专题・第二章 相交线和平行线
国题型方法1:交叉图形中的角度计算
【变式 1】解：v ZBOD= 180°- OD= 110°,
又•・,OC是NOQB的平分线，
・ •・ ZDOC=ZCOB=- ZBOD=55°,
2
U：ODLOE,
：.NCOE=90。- ZDOC=90° - 55。=35。，
・ •・ NBOE=/COB - ZCOE=20°.
故答案是：20和35.
【变式2］解：・♦・N58=70。，
J /AOC=/BOD=70。,
• ・・。£平分乙4。。，
：.ZCOE=- ZAOC=35°,
2
故选：D.
【变式3］解：・・・。£平分N/O5,
・ •・ N4O£=90。，
・ •・ ZAOC+ZEOC=90°,
ZAOC:ZCOE=5A,
：.ZAOC=90°x- = 50°,
9
：.ZAOD=1SO° - 50°=130°.
故选：B.
【变式4］解：・・・NCOE是直角，
・ ・・NCOE=90。,
：.ZEOF=ZCOE- ZCOF=56°,
• ・・。户平分//。£,
・ •・ ZAOF=ZCOE=56°,
：.ZAOC=ZAOF- ZCOF=56° -34° =22°,
・ •・ ZBOD=ZAOC=22°,
故答案为：22。.
【变式5］解：・・・NCCM=60。，
J /BOD=60。,
9：EOLAB,
147卷
初中数学题型方法全归纳
・ •・ /EOB=90。,
：.Z£OD=90°+60°=150°.
故选：D.
【变式6】解：YOE平分/AOB, OF平分/BOC,
：.ZAOE=ZEOB=- /AOB, ZCOF=ZBOF=- /BOC,
2 2
・ ・・NZOC为平角，
・ ・・ NZOB+N5OC=180。，
・•・ ZEOB+ ZBOF= ZEOF=9Q°,
,/ ZAOD=25°=ZCOF,
：.ZBOE=90°-25°=65°.
故答案为：65°.
留题型方法2:垂线段最短的应用
【变式1】解：村庄4到公路的最短距离是4。的长，其根据是垂线段最短,
故答案为：垂线段最短.
【变式2】解：根据垂线段最短可得：应建在/处，
故选：A.
留题型方法3：识别同位角、内错角、同旁内角
【变式1】解：①N1与NC是同位角，说法正确；
②N2与NC是内错角，说法错误；
③N3与N5是同旁内角，说法正确；
④N3与NC是同旁内角，说法正确.
故选：C.
【变式2】解：图①②④中，N1和N2是同位角，
故选：D.
【变式3］解：4、N1与N2是同位角，选项错误，不符合题意；
B、N1与N2是同旁内角，选项错误，不符合题意；
C、N1与N2不是内错角，选项错误，不符合题意；
D、N1与N2是内错角，选项正确，符合题意.
故选：D.
【变式4］解：4、N4和N3是同位角，此选项说法正确；
B、N2和N3是邻补角，此选项说法错误；
C、NZ和是同旁内角，此选项说法正确；
D、NC和N1是内错角，此选项说法正确.
故选：B.
留题型方法4：平移
【变式1］解：・・•周长为12的△XHC沿8c方向平移2个单位长度得到
148卷
几何专题・第二章 相交线和平行线
：.AD=CF=2, AC=DF,
，四边形4及加的周长=48+BC+C尸尸
=△45。的周长+24。
= 12+2x2=16.
故答案为16.
【变式2】解：（1） ,••△ZBC沿”方向向右平移得到
：.AD=BE=CF, BC=EF=3cm,
•；AE=8cjn, DB=2cm,
：.AD=BE=CF=3cm,即ZX/B。沿43方向平移的距离是3cm.
（2 ）四边形4BFD 的周长=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF=AABC 的周长 +2AD=
12+2x3=18.
【变式 3】解：（1） V ZACB=90°f AC=3cm, BC=4cm,
・••由勾股定理得：AB=5,
\uAE=9cm,
/. BE=AE - AB=4cm,
根据平移的性质得：CF=BE=4cm,
：.CB=BE=EF=CF=4cm,
・••四边形凝石厂是菱形；
（2） V ZACB=90°f AC=3cmf BC=4cm, AB=5cm,
4s边上的高为-——二--cm，
5 5
・・・菱形CBE厂的面积为4Xy = yCW2.
留题型方法5：平移转化
【变式1】解：绿地的面积为：（18-2）X（12-2） = 160m2,
答:这块草地的绿地面积是160病.
【变式2】解：6x12-2x6x2 = 48平方米，
答：草坪（阴影部分）的面积48平方米.
【变式3］解：利用平移线段，把楼梯的横竖向下向左平移，构成一个直角三角形的两条直角边,
边长分别为12米、5米，
则地毯的长度为12+5=17（米），
地毯的面积为17x2=34（平方米），
故购买这种地毯至少需要80x34=2720（元），
答：购买这种地毯至少需要2720元.
【变式4】解：（1）将小路往左平移，直到E、F与A、5重合，则平移后的四边形或尸山】是一个
矩形，
并且 EF = AB = 30, FFi = EEi = \ ,
149卷
初中数学题型方法全归纳
则草地的面积为：50x30-1x30 = 1470 (平方米)，
故答案为：1470平方米；
(2)小路往45、4。边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为：(50-l)x(30 -1) = 1421 (平方米)；
(3)将小路往46、AD、。。边平移，直到小路与草地的边重合,
则所走的路线(图中虚线)长为：30 - 1+50+30 - 1=108(米).
故答案为：108米.
留题型方法6:平行线中的辅助线作法
【变式 1】Z3=Zl + Z2=100°.
【变式 2】Z3=Z2-(18O°-Z1) =40°.
【变式3】解：做瓦7//B,
瞩 EFIIABIICD,
所以，ZCEF=ZECD=25°, ZBEF=1SO° - ZABE=60°,
所以，ZBEC= ZCEF+ ZBEF=S5°.
【变式4](1)过尸点做平行线即可证明；
(2)不成立，结论是N4P5+NB4C+N尸助=360。；
(3)过P点做平行线即可证明当尸在45左侧时ZPAC= NAPB+ ZPBD；
当 P 在48 右侧时 ZPBD= ZAPB+ ZPAC.
留题型方法7:猪蹄模型
【变式1】解：如图，根据猪蹄模型,
ZA+ZC=ZAEC=65°.
【变式2】解：如图，根据猪蹄模型,
ZA+ZC=ZAEC,
所以，ZA=ZAEC- ZC=50°.
【变式3】解：如图，根据猪蹄模型,
Z1 + Z4=Z2,
而 N4+N3=180。，
两式相减，整理可得：
Z2+Z3=180°+Zl=210°.
【变式4】解：如图，根据猪蹄模型,
ZBCE= ZABC+ /DEC,
/BFE= ZABF+ /DEF,
而/4BC=2NABF,
/DEC=2NDEF,
所以 NBCE=2/BFE.
150登
几何专题・第二章 相交线和平行线
国题型方法8：铅笔模型
【变式1】解：如图，根据铅笔模型，
Nl + N2+N3=360。.
【变式2】解：如图，根据铅笔模型，
Zl + Z2+Z3+Z4=(4- l)xl80°=540°.
【变式3】解：如图，根据铅笔模型，
Zl + ZF+Z3=360°,
所以N3=360。- N1 - Nb=130。，
所以N2=180。-N3=50。.
【变式4】解：如图，N4D尸=180。-130。=50。,
所以，ZADE=25°f
Z£D2=25°+130°=155°,
ZA^C=180°-100°=80°,
所以，/CBE=40。,
ZEBN=40°+100°=140°f
根据铅笔模型，
ZEBN+ ZEDQ+ ZDEB=360°,
所以，ZDEB=65°.
留题型方法9:内外勾模型
【变式1】解：根据内勾模型，NZ=N1-N2=70。-30。=40。.
【变式 2】解：ZCDP=2ZCDB=120°,
根据外勾模型，ZP=ZABP- ZCZ)P=150o-120°=30°.
【变式 3】ZEAB=ZE+ZD=5T.
【变式4】解：如图，过。作平行线CG,
则 AB//CG//EF,
所以，ZGCD=Z1 + ZC=148°,
再由外勾模型得：ZD=ZGCD- Z3=13°.
留题型方法10：等积变换模型
【变式1］解：・・・5
ACF = S LBCF ,
• • SABEF — SL.ACF + SLCEF — SLACE — 14 .
【变式2］解：连结及)， U：AD//BC, S";Sabdf ,
• ・ S LAEF — S ABDE ,
又
•: ABIICD , S&BDE = S4BCE ,
• • S 4AEF — S XBCE •
Q
【变式3］解：连接CF,则S△皿=S△即c =
2
151________ 卷
初中数学题型方法全归纳
【变式4】解：如图，连及)、GE、FK, WDBIIGEIIFK,
D
在梯形。8E"G 中,SAGED = SLGEB ,
同理可得，S^GEK = S^GEF f
* *. S = S4GED + S AGEK = SXGEB + SXGEF = S 正方物EFG ，
• ・•正方形5EFG的边长为3,
AS =3x3=9.
【变式5】解：连结4£, DE,作/尸/〃)£交线段于厂，
■ : BE=CE,
• • S4ABE — S LACE .
又•： AFIIDE,
• • SLADO — S AEFO .
S4BDF = S四边形B0OE + S40EF = S 四边形BDOE + SMOD = SLABE = ―SLABC 9
2
即dHezubc分成面积相等的两部分.
国题型方法11:两三角板摆放问题
【变式 1】解:ZAOB+ ZCOD= ZAOD+ ZBOD+ ZCOD= ZAOC+ ABOD= 180°.
【变式2】解：
(1) V ZBOD=60% ZiZOB绕着。点旋转了 30。，即乙4。。=30。，
・・・ ZAOC= ZAOD-^-ZCOZ)=30°+90°=120°；
(2)若 OYa V90。,
V ZAOD=a , /AOC=/COD+/AOD,
：.Z.BOD+ NAOC=(ZBOD+ ZAOD)+ ZCOD=900+90°= 180°,
在旋转的过程中N5OQ+N4OC的值不变化，NBOD+N/OC=180。；
(3)若90。＜0 V180。，问题(2)中的结论还成立
理由：若 90。＜二＜180。，
/AOB=NCOD=90。,
又,: Z.BOD+ ZAOC+ ZAOB+ ZCOD=360°,
J ZBOD+ZAOC=3600-ZAOD-ZCOD=360o-900-90o=lS00；
(4) a =90。、30。、45。、75。、120。、135。时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直.
【变式3】解：
(1) V ZBAD+ZDAC=90°, ZDAC=4ZBADf
：.5ZBAD=90°f 即 N5/O=18。，
J NZMC=4xl8o=72。，
•・• ZDAE=90°,
：.N CAE=/DAE - ND4C=18。；
(2) V ZBCE=ZDCE- ZBCD=60° - ZBCD,且N/C£=3NBC。，
・••由 NZCB=90。可得：3/BCD+6U。- NBCD=9。。,
152几何专题-第二章 相交线和平行线
解得：NBCD=15。,
・•・ ZACD= ZACB+ ZBCD=90Q+15°=105°.
【变式4】解：
(1) ZACB+ ZDCE= ZACD+ ZBCD+ ZDCE= ZACD+ ZBCE= 180°,
所以，当NQC£=25。时，ZACB=1800-25Q=155°.
(2 ) ZDAB+ ZCAE= ZDAC+ NBAC+ ZCAE= ZDAC+ ZBAE=120°.
153初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:三角形稳定性的应用
【变式1】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形,
所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性.
【变式2】解：这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性.
【变式3】解：结合图形，为防止变形用木头固定门框，构成了三角形，
所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性.
留题型方法2:三角形三边关系
【变式1】解：/、4+5<10,不能组成三角形；
B、6+7>8,能够组成三角形；
C、1.2+1.K3.3,不能组成三角形；
D、2+4=6,不能组成三角形.
故选：B.
【变式2】解：设第三边为m
根据三角形的三边关系，得：12-7<〃<12+7,
即 5<a<19,
・ ・・。为整数，
・ ・・〃的最大值为18.
故选：C.
【变式3】解：/、2+2<5,不能构成三角形；
B、2+2=4,不能构成三角形；
C、2+3=5,不能组成三角形；
。、3+2>4,能够组成三角形.
故选：D.
【变式4】解：设第三根木棒的长为肥加，
・ ・•两根笔直的木棍，它们的长度分别是20c加和30cmf
.\30cm - 20cm<l<30cm+20cmf 即 10cm<l<50cm,
・ ••四个选项中只有5符合题意.
故选：B.
x — 1 + x - 2 > x
【变式5】解：由题意得:
x + x-l + x-2<39
解得：3<x< 14,
故答案为：3<x<14.
154卷
几何专题-第三章三角形
留题型方法3：三角形中的角度计算
【变式1］解：・・,40是5C边上的高，
・ •・ /BDE=90。.
在△及四中，ZBED=65°, /BDE=90。,
：.ZDBE=1800 - ABED - ZBDE=1SO° - 65° - 90°=25°,
• ； BE平分/ABC,
：.ZABC=2 ZDBE=2x25°=50°.
在中，ZABC=50°, ZC=75°,
:.ZBAC=1SO°- ZABC- ZC=180o-50O-75o=55°.
【变式2］解：•・・QE〃BC,
・ ・・ NADE=/B=75。,
又 ZADE=ZEDF=75°,
：.ZBDF=1SO0 - 75° - 75°=30°,
故答案为30°.
【变式3］解：在△48C中，NZ=70。，
・ •・ ZABC+ZACB=1SO°-ZA=U0°f
：./DBC+ NDCB=(/ABC- NABE)+(NACB - ZACF)
= /ABC+/ACB - A ABE- ZACF=U0° - 20° - 30°=60°.
在△5CQ 中，ZDBC+ ZDCB+ ZBDC= 180°,
・ •・ ZBDC=1SO° - (ZDBC+ZDCB)=1SO0 - 60。= 120。.
故选：C.
【变式 4】解：V ZA=10°, ZACD=20°,
：.ZBDF=ZA+ZACD=70o+20°=90°,
在△友)尸中，/BFD=180。— NBDF— ZABE=1SO0 - 90° - 28°=62°,
：.ZCFE=ZBFD=62°.
故选：A.
【变式5】解：
,/ ZBAC=120°f
・ ・・N2+N3=60。①，
VZ1 = Z2,
・ •. N4=N3=N1 + N2=2N2②，
把②代入①得：3/2=60。，
Z2=20°,
・ •・ ZDAC=120° - 20°= 100°.
【变式6】解：(1)・・・NZC。是△45C的一个外角，N4=35。，N/CD=83。,
・•・ ZB=ZACD- ZA=4S°.
155春
初中数学题型方法全归纳
(2) •••//巫1是△8。尸的一个外角，NB=48。，NZ)=42。,
J ZAFE= ZB+ ZD=48°+42°=90°.
留题型方法4:三角形的高、中线与角平分线
【变式1】解：根据三角形高线的定义，4C边上的高是过点8向力。作垂线垂足为。，
纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，
④符合高线的定义.
故选：D.
【变式2】以40为高的三角形有：LABD、A ABE. AABC、A ADE. △ADC、AAEC,共6个.
【变式3】解：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误；
三角形的角平分线是线段，故③错误；
三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故④错误；
所以正确的命题是②、⑤、⑥，共3个.
故选：C.
【变式4】解：VZ1 = Z2=Z3=Z4,
AZ1 + Z2=Z3+Z4,
即 /BAE=NCAE,
・•・/£是的角平分线,
故选：B.
【变式5】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段.
故选：B.
【变式6】解：4、三角形的角平分线是线段，故Z不符合题意；
B、三角形的中线是线段，故3不符合题意；
。、锐角三角形的三条高交于一点说法正确，故。符合题意；
。、锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在
三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部.故。不符合题意；
故选：C.
【变式7】解：如图，^AB=x, AD = CD = -x.
2
①若ZB+/O=12,即 x +」x = 12,所以x=8,
2
即45=40=8,贝（JCD=4.故5。=15 — 4=11.
此时48+ZO5C所以三边长为8、8、11.
②如图，若45+40=15, BPx + -x = 15,所以x=10.
2
即/5=4C=10,贝!）8=5.故BC=12 - 5=7.
显然此时三角形存在，所以三边长为10、10、7.
综上所述此三角形的三边长分别为8、8、11或10、10、7.
【变式8】解：方案1：如图1,在上取E、F,使BD=DE=EF=FC,连接Z。、AE、AF.
方案2：如答图2,取中点。、再取4。的中点£,连接Z。、BE、CE.
156祢
几何专题・第三章 三角形
图1 图2
留题型方法5： "8”字模型
【变式1】解：如图，连接CD,根据8字模型，NB+NE=N1 + N2.
所以，N4+NB+NC+NO+N£=N4+NC+N1 + NO+N2
= ZA+ZACD+ZADC
= 180。.
【变式2】解：如图，连接根据8字模型，ZA+ZB=Z1 + Z2.
所以，AA+ZB+Z.C+ ZD+ ZE+ ZF
= NC+NZ>+N1 + NE+N2+N b
= ZC+Z CDE+ /DEF+ ZF
=360。.
【变式3】解：如图，连接。£,根据8字模型,
ZCAD+ZACE= Z1 + Z2,
所以，ZCAD+ ZB+ ZACE+ ZD+ ZE
=ZB+ ZBDC+ Z1 + ZADB+ Z2
= ZB+ZBDE+ZDEB
= 180。.
【变式4】解：如图，连接/8、DF,根据8字模型，
ZD+ Z G= ZDAB+ /ABG,
Z C+ /H= ZHEF+ NFEH,
所以，ZA+ZB+ ZC+ ZD+ Z£+ ZF+ ZG+ Z.H
= /E+ ZF+ N4+ZB+ ZDAB+ ZABG+ ZHEF+ AFEH
=ZAFE+ ZBEF+ NE4B+ /ABE
=360°.
留题型方法6:飞镖模型
【变式1】解：如图，根据飞镖模型，
ZC+ZD+Z£=ZCG£,
ZB+ZF+ZA=ZBGFf
所以，ZA+ZB+ZC+ ZD+ ZE+ ZF
= ZCGE+ZBGF
=240。.
157卷
初中数学题型方法全归纳
【变式2】解：如图，连接四，根据飞镖模型,
/C+ /CDB+ /DBF= NCFB,
NA+NABD+ ZBDE= ZAED,
所以，ZA+ZB+ZC+ZD
= /CFB+/AED
=245°.
【变式3】解：如图，根据飞镖模型，
N4+N5+ N C= ZBFC= ZDFE.
所以，ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE
= ZD+ZE+ZDFE
= 180。.
【变式4】解：如图，根据飞镖模型，
ZBEC= NA+/ABE+ NACE,
NBDC=乙4+ZABD+ ZACDf
而/4BD=2N4BE, NACD=2NACE,
所以，ZBDC-2ZBEC=ZA,
所以，ZBEC = 1+ZBDC)= 110°.
时题型方法7: A字模型
【变式1】解：根据4字模型，Zl + Z2=180°+Z^,
所以，N4=N1 + N2—180。=34。.
【变式2】解：根据4字模型，/1 + /2=180。+44=250。.
【变式3】解：根据4字模型，/1 + /2=180。+44=220。.
留题型方法8:角平分线模型
【变式1】解：根据双外角平分线模型，/尸=9。。-；“6。。.
【变式2】解：根据角平分线模型,
ZBOC=90°+- ZA=UQ°,
2
ZD=- ZA=30°f
2
ZE=90°- - ZA=60°.
2
【变式3】解：(1)根据内外角平分线模型,
ZC=- ZMON=45°,
2
(2)不会变化，始终等于45。.
158卷
几何专题・第三章 三角形
留题型方法9：老鹰抓小鸡模型
【变式 1】解：ZA=180°- ZB - ZC=40°.
根据老鹰抓小鸡模型，Nl + N2=2N/=80。.
【变式2】解：根据老鹰抓小鸡模型，N1 + N2=2N5,
所以，N5=40。.
【变式 3】解：ZC=180°-Z5-ZC=40°.
根据老鹰抓小鸡模型，Z2-Z1=2ZC,
所以，Z2=2ZC+Zl = 100°.
留题型方法10：边的大小关系证明
【变式1】解：(1)在△45。中，AO+BO>AB,
在△CDO中，CO+DO>CD,
两不等式相加得，AB+CD < AO+BO+CO+DO,
^AB+CD<AC+BD.
(2)应用上题的结论：AB+CDVAC+BD, AD+BC<AC+BD,
：.AC+BD> | (AB+BC+CD+ADy
【变式2】解：(1)由三角形三边关系，AB+AE>DB+DE.
(2)由三角形三边关系，DE+EODC,
因此，AB+AC=AB+AE+EC>DB+DE+EC>DB+DC.
(3)由三角形三边关系，DA+DB>AB, DB+DOBC,以及DC+DA>CA,
将三个不等式相加，得2(ZM+DB+OC)>4S+5C+C4.
(4)由(2)可知Z5+ZODB+OC,
类似可得5C+A4AOC+ZU,以及C4+CB>D4+DB,
将这三个不等式相加，可得2(45+5C+C4)>2(D4+Q5+OC),
^AB+BC+CA>DA+DB+DC,
留题型方法11：面积比问题
【变式1】解：如图，AGE尸和△ZEG等底等高,
所以，面积相等，
Slgef = Slaeg = 12 ,
所以，S^afg = 24 ,
而AF=2FB, AG=2CG,
所以△ZFGsA45C 且相似比为2:3,
所以，S^ABC = 54 ,
所以，四边形45C。面积为108.
【变式2】解：如图，连接4E、BF,
159初中数学题型方法全归纳
设△£>1印的面积为Q,
因为40=2的
所以，△可0£面积为2a,
贝！J, △4。尸面积为3m
所以，尸面积为3a,
又因为
所以，SXABE = 3S^AED = 6a ，
S^bef = 3S&def — 3a，
而 CF=EF,
所以，S ABCF = S^BEF = 3a，
所以，Smbc = 18a = 468 ,
所以，a = 26.
所以，△DE尸的面积为26.
【变式3】解：如图，连接4C、AG. BH、DF、CE.
设△ZBC的面积为a,
贝IJ四边形48CD面积为2a,
因为
所以，△5CE面积为a,
因为 Cb=23C,
所以，△（?£方面积为2a,
而/XCDF和ZUBC等高,
所以，△”）厂面积为2a,
又DG=3DC,所以，/XG。尸面积为6a, △4DG面积为3a,
MH=4AD,所以，△ZG"面积为 12g,
而△,5〃和ZUCD等高，所以，△43〃面积为4a,
XAB=BE,所以，△班目面积为4a,
所以，四边形EFGH面积为36q.
所以，平行四边形488与四边形EFGH的面积比为1:18.
留题型方法12:等面积法
i i ?4
【变式1】解：S.abc = -AB CD = -BC AE ,所以，BC二——
2 2 7
【变式2】解：根据勾股定理得：BC = 5,
Slacd — —CD - 4Q = 6 ,
2
S&bce = — BE - CE = 6 ,
2
Slabf = —AF - BF =—
2 2
160卷
几何专题・第三章 三角形
S^ABC = S 四边 — S^ACD - S 2BCE — S&ABF = —,
2
1 7
所以，SAABC = — BC • k =—.
2 2
解得：
【变式3】解：根据勾股定理得：45 = 13,
Slabp — — AB - PE ,
2
S^bcp = —BC , PD ，
2
Slacp — — AC PF ,
2
SlABC = SLABP + SXBCP + SAACP ,
所以， S&ABC = —BC , AC = S^ABP + S^BCP + SlACP .
2
设
PD = PE = PF = x ,
解得：
x = 2.
【变式4】解：S,abp = -AB PD ,
2
S^bcp = —BC - PE ,
2
S^acp = —AC , PF ,
2
Sl^ABC = SLABP + SlBCP + SAACP ,
所以,
SLABC = —BC ' h — SLABP + SABCP + SLACP .
2
设边长为第,解得：
h = 6.
【变式5】解： Saabc = Saabd + Slacd = — A.B , DE H— A.C , DF ，
2 2
而题目已知/5=/C=10, △48C面积为20,
所以,S.abc = ^ABx(DE + DF) = 20 .
所以，DE + DF = 4 .
161初中数学题型方法全归纳
国题型方法1:全等三角形性质
【变式1】解：
(1) YBDIDE,
・・・zz>=90°,
・•・ ZDBA+ZBAD=90°,
•・• LABD 咨 4CAE,
：./DBA=NCAE,
：.ZBAD+ZCAE=90°,
：.ZBAC=90°；
(2) •： "BD注LCAE,
：.AC=AB=49
：.的面积」x4x4 = 8.
2
【变式2】
(1)证明：•： ABAD沿LACE,
：.AD=CE, BD=AE,
•・Z、D、E三点在同一直线上,
：.AE=AD+DE,
：.BD=CE+DE；
(2)解：假如5Q〃CE,
则/BDE=/E,
• ・• ABAD 沼 4ACE,
：./ADB=/E,
：.NADB=/BDE,
又,/ /ADB+ ZBDE= 180°,
・ •・ /ADB=/BDE=90。,
・ ••当 N4D5=N£=90。时，BD//CE.
【变式3】
(1)解：•: AABFq/XCDE,
：.ND=/B=30。,
J ZEFC= ZD+ ZDCF=10° ；
(2)证明：,: △ABFQACDE,
:・/AFB=/CED, AF=CE,
在△4房和4。石尸中，
162卷
几何专题-第四章 全等三角形
AF = CE
< ZAFE = ZCEF，
EF = FE
：.4AFE名△ CEF(SAS),
：,AE=CF.
【变式4】解：
(1) 9：BE1.AD,
：./EBD=90。,
•： AACF 会 LDBE,
：.ZFCA=ZEBD=90°,
：.N4=90。—N尸=27。，
(2) V/\ACF^/\DBE,
：.CA=BD,
:・CA — CB=BD — BC, ^AB=CD,
AD= 11cm f BC=5cm,
J.AB+CD^W - 5=6cm,
•\AB=3cm.
留题型方法2：全等三角形判定
【变式1】解：如图①：
在和中，
OM=ON
< OP = OP ,
MP = NP
：.A OMP 义 A ONP(SSS),
I. ZAOP=ZBOP；
如图②，在及△MO尸和及△NO尸中,
[OP = OP
[MP = NO '
：.Rt AMOP"Rt △NOP(HE)，
J /MOP=/NOP,
即射线。尸为N/O5的角平分线.
故选：A.
【变式2】
(1)证明：・：OA=OB, OC=OD,
：.ZOAB=ZOBAf ZOCD=ZODC,
■:/COD=/AOB, ZOAB+ZOBA+ZAOB=\SO°, ZOCD+ ZODC+ ZCOD= 180°,
・•・ Z OAB= Z OBA=Z OCD= Z ODC,
163海
,
初中数学题型方法全归纳
即 N04B=NOCD,
：.AB//CD；
(2) *：OA=OB, OC=OD,
：・AC=BD,
在和△A4。中，
[AC = BD
A B
《NCAB = /DBA ,
AB = BA
：.LABC必BAD(SAS).
【变式3】
证明：•:AE=BF,
:,AE+EF=BF+EF,
^AF=BE,
•；AC//BD,
：.ZCAF=ZDBE,
又・・・4C=BD,
在A4CF与ABDE中,
AC = BD
< ACAF = ZDBE ,
AF = BE
：.AACF义 ABDE(SAS).
【变式4】
证明：・：BF=EC,
；・BF+CF=EC+CF,
:・BC=EF,
• ： 4B=/E, /A=/D,
：.1SO°- ZB - ZA=\80° -ZE- /D,
即 NACB=/DFE,
ZB = ZE
在△45。和中，\bC = EF
ZACB = Z.DFE
：.LABCm△DEF(ASA).
【变式5】
证明：■:EF//BC, PG//AB,
:・ /AEF= /ABC= NPGC=90。, NCPG=/A,
■ : AP=CF,
:・AF=PC,
：.LAEF必PGC(AAS).
164几何专题・第四章 全等三角形
【变式6】
(1)解：・.・/B=55。, ZACB=\OO°f
：.乙4=180。-ZB- N4 cH=25。,
9：AB//DE,
:・/CHE=NA=25。；
(2)证明：・：AB〃DE,
：./B=/DEF,
■: BE=CF,
：.BE+EC=CF+EC,
即
在△48C和△£)£户中，
AB = DE
< ZB = /DEF ,
BC = EF
：.AABCm /\DEF(SAS).
【变式7】
(1)证明：・.・DE_L45于£, DFLAC^F,
：.ZE=ZDFC=90%
・・・4BDE与△ CD日均为直角三角形,
u[BD = CD
・[BE = CF '
：.ABDE” A CDF(HL),
：.DE=DF,即，。平分NA4C；
(2) AB+AC=2AE.
证明：・；BE=CF, 4。平分NA4C,
・•・ ZEAD=ZCAD,
ZE=ZAFD=90°,
：./ADE=NADF,
在与2X4™ 中,
ZEAD = /CAD
I AD = AD ,
ZADE = ZADF
：.LAED必AFD(ASA).
:・AE=AF.
:・AB+AC=AE - BE+AF+CF=AE+AE=2AE.
留题型方法3:辅助线意义
【变式1】解：(1)作4。垂直5c于点，则及△48Q0MA4CZ)(HL), A ZB=ZC.
165初中数学题型方法全归纳
(2)作4。垂直5。于点。，则△/m也及△4CDQ44S% ：.AB=AC.
【变式2］解：连接CZ),
在及△4DC和及△5CZ)中，
［AC = BD
\dc = cd'
：.RtAADC m RtABCD,
：.AD=BC.
【变式3】解：延长43、AE,交直线CD于R G.
,/ ZABC=ZAEDf
：./FBC=/GED,
・・・ ZBCM=ZEDM,
：.ZBCF=ZEDG,
・•・在△BCF与中，
'/FBC = /GED
< BC = ED ,
ZBCF = ZEDG
：.△BCFQRtXEDG(AAS).
:./F=/G, FC=GD,
：.AG=AF,
•：CM=MD,
:・FM=MG,
：.在 ZUMF与△4MG 中，
AM = AM
<FM=MG ,
AF = AG
：.△AMFQRt/\AMG(SSS).
：.ZAMF=ZAMG=90°,
C.AMLCD.
留题型方法4：倍长(类)中线
【变式1］解：如图，延长4D至G, itAD=DG,连接EG,
,: DE=CD,
在△ZC。和△GZD中，
DE=CD, /ADC=/EDG, AD=DG,
：.△4DC 四△ GDE(SAS).
:・NCAD=/EGD, AC=EG,
又・・・/D平分N氏4G
・•・ ZBAD= Z CAD= ZEGD,
166卷
几何专题・第四章全等三角形
又・：EF=AC,
：.EF=EG,
：.ZEFG= ZEGD= ZBAD,
C.EF//AB.
【变式2】证明：延长ED到H,使DE=DH,连接C"、FH,
・ ・Z。是△力5c的中线，
：.BD=DC,
• : DE、。尸分别为N4D5和N4D。的平分线,
：.Z1 = Z5=-ZADB, Z3=Z4=-Z^DC,
2 2
XVZ1 = Z2,
.\Z5=Z2,
・・・N4+N5=N2+N3=90。，
・ •・ /\EFD^AHFD{SAS).
:・EF=FH,
在△及)£和△CD"中，
H
DE=DH, Z1 = Z2, BD=DC,
：./\BDE " A CDH(SAS).
：.BE=CH,
在ACE汗中，由三角形三边关系定理得：CF+CH>FH.
■ : CH=BE, FH=EH,
：.BE+CF>EF.
【变式3】证明：延长C£至耳，使得EF=CE,连接AF,
・ ・・£是45边上的中点，
：.AE=BE,
又・：EF=CE, /AEC=ZBEF,
：.4AEC咨 LBEF,
：.BF=AC, NA=/EBF,
又・；AB=AC, BD=AB,
:・BF=BD, ZACB=ZABC,
又•：/CBD=/A+/ACB, Z CBF= ZEBF+ A ABC,
：.ZCBD=ZCBF,
又,： BC=BC,
：・ACBFQACBD,
：.CD=CF=2CE.
【变式4】证明：如图，延长40到M, itDM=AD,连接EW,
・ ・3是5C边的中点，
167初中数学题型方法全归纳
:,BD=CD,
在△4DC和中，
又•・, /ADC=/MDB,
：.△4DC2 AMDB(SAS),
：.Z\ = ZM, AC=MB,
•：BE=AC,
：.BE=MB,
：./M=/3,
，N1 = N3,
VZ3=Z2,
AZ1 = Z2,
即 ZAEF=ZEAF.
【变式5】证明：延长到N,使MN=MA,连接NG 延长交EG于点尸.
MA=MN
在△45"和△NCM中］ZAMB = ZNMC ,
BM = CM
：.△ABMQANCM(SAS),
：.CN=AB=AE, ZABM=ZNCM,
J.AB//NC,
：.ZACN+ZBAC=1SO°,
又・・• ZEAG+ /BAC= 180°,
J ZEAG=ZACN,
AE = CN
在△胡G和△NC4 中］ZEAG = Z.ACN ,
AG = CA
：.LEAG必NCA,
：.EG=NA=2AM, ZNAC=ZEGAf
又；/NAC+/GAP=90。,
：.ZAGP+ZGAP=90°,
：.NAPG=90。，
：.MALEG.
留题型方法5:截长补短法
【变式1】解法一：（截长）在C。上截取。£=及），连接/£,
U：ADY.BC,
：./ADB=NADE=90。,
：.AABD 咨 LAED,
；・AE=AB, /AEB=NB=2/C,
168几何专题・第四章 全等三角形
：.Z.CAE=ZC,
:・CE=AE=AB,
：.CD=CE+DE=AB+BD.
解法二：（补短）延长CB到R使BF=4B,连接/R
：.ZF=ZBAF=- ZABC=ZCf
2
\ADLBC,
：.NADC=NADF=90°,
尸N
・・・AADF沼LADC,
：.DF=DC,
'：DF=BF+BD=AB+BD,
：.CD=AB+BD.
【变式2】证明：延长凄到点£,使BE=DN,连接
・・•四边形Z8CQ是正方形,
：.AB=AD, ZABE=ZADC=90°,
：.4ABE 乌 AADN,
：.AE=AN, ZBAE=ZDAN,
'：/MAN=45。,
：.ZBAM+ZDAN=45°,
：.ZBAM+ ZBAE= ZEAM=45°,
：.△EAMQ^NAM,
:・EM=MN,
：.MN=BE+BM=BM+DN.
【变式3】证明：延长ZC到E点，使C£=H",连接
由题意可知NZBC=N4CB=60。，ZDBC=ZDCB=30°,
AB=AC, BD=CD,
：.ZABD=ZACD=90°,
：./ECD=/ABD=90。,
・•・△BMDQ&CED(SAS),
:./BDM=/CDE, MD=ED,
又•・・ ZMDN=60°,
：./BDM+ /CDN=60°,
：.NEDN=60。,
：.MMDN% ^\EDN{SAS),
・•・ MN=EN=CN+CE=BM+CN.
【变式4】证明：延长即到G,使DG=BE,连接4G,
•・•四边形45s是正方形,
169卷
初中数学题型方法全归纳
：.AB=AD, ZABE=ZADC=90°f
：.AABE学△ADG(SAS),
：.AE=AG, ZEAB=ZGAD,
：.ZEAG=90°f
■: NEAF=135。,
：.NE4G=135。,
/. AAEF 学△AGF(SAS),
：.EF=FG=DF+DG=DF+BE.
【变式5】证明：延长DE至R 使得EF=BC,连接4C, AF.
・・・ ZABC+ ZAED= 180°, /AEF+ ZAED= 180°,
・•・ NABC=/AEF,
又•： AB=AE, BC=EF,
：.AABC义 dAEF,
：.AC=AF,
■; BC+DE=CD,
:・CD=DE+EF=DF,
・・・ dADC 会△ADF(SSS),
・•・ ZADC= ZADF,即4。平分 Z CDE.
留题型方法6:角平分线+垂一边
【变式1】【解析】已知条件中出现5尸为NZ5C的角平分线♦, PDLBC于点D,所以，可尝试过
点P作PEUB,即有尸£=尸。，ABPEmABPD等,利用相应结论可解题.
【解答】证明：过点P作尸于点£,
YPELAB, PDLBC, ZABN=ZCBNf
：.PE=PD,
在 RtABPE 和 RtABPD 中,
PE=PD, BP=BP,
：./\BPE^ABPD.
：.BE=BD,
•；AB+BC=2BD, BC=CD+BD, AB=BE — AE,
：.AE=CD.
9： PE LAB, PDLBC,
：.ZPEB=ZPDC=90°f
：.△PAEQ4PCD,
：./BCP=NEAP,
ZBAP+ZEAP=1SO°,
：.ZBAP+ZBCP=\^°.
【变式2】【解析】题目已知角平分线，并且有角平分线上的点尸到角一边的垂线.所以，考虑过
170卷
几何专题・第四章 全等三角形
该点P作到另一边的垂线.
【解答】证明：如图，作P0L4C于点0,
・・,尸A、尸C分别是△45。外角NM4C与NNG4的平分线,
：.PD=PQ, PF=PQ,
:・PD=PF,
所以，P点在的平分线上，
所以，5尸为的平分线.
【变式 3) 4cm； 4cm.
解：过£作£5垂直交5C于H点,
易证AAEC义AEHC,
由角度分析易知ZAEF= /AFE,
即4E=ZR 则有尸，
又可证ZUG/gABHE,
贝必 G=£B=12-4=8,
贝|JBG=8 —4=4, GE=4.
留题型方法7:角平分线+截线
【变式1】【解析】角平分线CD上一点，有截线04在。上截了一段。，所以，可在另一边C5截
取一段等于C4同样，可以把。5当作截线，那么在另一边。上截取一段等于C8也可以.所以，就产
生了两种辅助线做法.这两种做法，分别对应的是“截长法”和“补短法”.
【解答】方法1：
证明：延长C5至E,使C£=C4,
此时由于有C£=C5+B£,
C
：.AC=CB+BE,
又・・・C。平分NZC5, \
・•・ ZACD=ZBCD, / [ Xr
：.ACDA^ACDE(SAS), A D、二、、\
A ZA=ZE, \
E
又・・・N1 = N2+N£, N1=2NZ,
・・・N2=NE,
：.BE=BD,
：.AC=CE=BC+BE=BC+BD.
方法2：
证明：在C4上截取一段CE,使得CE=CB,
•・・8平分/4。5, 9k
，乙4CD=/BCD, 沙/ / \
又知co为公共边， L
，丛CDB 沿 ACDE(SAS), A D "
171初中数学题型方法全归纳
：.BD=DE, NC£Q=N1=2N4.
又丁 /CED=NA+NADE,
：.ZA=ZADE,
：.AE=DE=BD.
:・AC=CE+AE=BC+BD.
【变式2】【解析】已知条件中出现s为NB4C的角平分线，。。在也4c上截取了一段ZC,那么,
辅助线的作法是在45上截取/£=/C,连结QE即有△4。。之2\/£。利用相关结论解决问题.
【解答】证明：在初上截耽4£=4C,连接
'：AB=2AC, AE=AC,
：.EA=EB,
又・：DA=DB,
：.DELAB,
又•： /BAD=/CAD, AE=AC, AD=AD,
：.AACD咨/\AED(SAS).
：.ZAED=ZCAD,即。C_L4C.
【变式3】【解析】已知条件中出现4）为NZBC的角平分线，D4在边A4上截取了一段"，那么，
辅助线的.作法是在上截取5£=胡，连结。及 即有△及必之八必£,利用相关结论解决问题.同样
的方法，可以把OC当作截线，在另一边切上截取一段等于5C,这样作辅助线也可以.
【解答】方法1：
证明：在5C上截取一点£,使得BE=B4,连接DE,
易证 ABDA 四△BDE(SAS),
：./BAD=/BED, AD=DE,
U：AD=CD,
:・DE=CD,
：.NDEC=NDCE,
又 ZBAD+ NDEC= 180°,
・•・ ZBAD+ZBCD=ISO°.
方法2：
证明：延长氏4至£使得连接
易证 ABDC 义 ABDE(SAS),
：.ZC=ZEf CD=DE,
9：AD=CDf
:・DE=AD,
：.NE=NDAE=/C,
又 ZBAD+ ZDAE= 180°,
・•・ ZBAD+ZBCD=\^0°.
【变式4】【解析】有角平分线，有截线，所以，在胡的延长线上截取ZD=4C,然后证四△灯。,
172卷
几何专题・第四章 全等三角形
从而将四条线段转化到同一个△尸助中，利用三角形两边之和大于第三边解题.
【解答】证明：①当点尸与点/不重合时，
在以延长线上取一点。，使ZD=4G连接尸
・ ・,尸为△Z3C的外角平分线上一点，
・ ・・ ZPAD=ZPAC,
• ••在和中，
PA=PA, ZPAD=ZPAC, AD=AC,
：./\PAD^APAC(SAS),
：.PD=PC,
• ・•在△尸8。中，PB+PD>BD,而助=45+/。,
J.PB+POAB+AC.
②当点尸与点4重合时，PB+PC=AB+AC,
综上，PB+PTAB+AC.
留题型方法8:角平分线十分垂线
【变式1】【解析】有平分NA4G且ZEJ_£C, 已知角平分线十分垂线，延长分垂线造等腰
即可解决该题.
【解答】解：如图，延长C£, 4B交于点F,
• ・Z£平分NA4C, AELEC,
：.ZFAE= Z CAE, ZAEF= ZAEC=90°,
在△ZEE和ZUCE中，
ZFAE=ZCAE, AE=AE, ZAEF=ZAEC,
：.LAFE 咨 LACE.
：.AF=AC=16, EF=EC,
：・BF=6,
又•・,。是BC的中点，
：.BD=CD,
・ ・・Z)£是△ CH尸的中位线，
：.DE=-BF=3.
2
【变式2】【解析】有平分N/5C,且
即可解题.
【解答】证明：分别延长胡、CE交于F,
•：BELCF,
：.ZBEF=ZBEC=90°,
在△班尸和中，
Z1 = Z2, BE=BE, ZBEF=ZBEC,
：.△BEFQABEC(ASA).
173卷
初中数学题型方法全归纳
：.CE=FE=-CF,
2
V ZBAC=90°, BELCF,
：.NBAC=NCAF=90。,
Zl + ZBDA=90°f
Zl + ZBFC=90°,
ZBDA=ZBFC,
在△45。和△力0尸中，
/BAC=NCAF, ZBDA=ZBFC, AB=AC,
：./\ABD名 AACF(AAS).
：.BD=CF,
：.BD=2CE.
【变式3】【解析】有4Q平分N4BC, ^BDLAD,已知了角平分线+分垂线，延长分垂线造等腰,
即可解决该题.
【解答】证明：分别延长5。、4C交于尸，
^BDJlAD,
：.ZADB=ZADF=90°f
在△4/才和/中，
/BAD=/FAD, AD=AD, /ADB=/ADF,
：.LADB注LADF(ASA),
：.BD=DF,即。为5尸中点，
•：BE=AE,即E为45中点，
C.DE//AC.
【变式4】证明：延长期交4C于
■:AE1BE, N1 = N2,
・・・N3=N4, AB=AM, BE=EM,
；・AC — AB=AC- AM=MC, BM=2BE,
又・.,N3=N4=N5+NC,
NZ8C=N3+N5=3NC,
・・・N5+NC+N5=3NC,
AZ5=ZC,
:・MB=MC,
：.AC - AB=AC - AM=MC=MB=2BE.
【变式5](1)证明：延长，校5C4于M 延长交凄的延长线与N,
U：AF±CF,
：.ZAFC=ZMFC=90°,
•・・。尸平分乙4。5,
・•・ ZACF=ZMCF,
174几何专题・第四章 全等三角形
在ZX/CF和尸中，
ZFC = /MFC
< CF = CF ，
ZACF = ZMCF
：.△/CFg △MCF(ASA).
：.AF=MF,
同理4£=的
：.EF//MN,
：.EF//BC；
(2)解：■:AF=MF, AE=NE,
:・MN=2EF=2x4=8,
VAC=4f
：.CM=AC=4,
：.CN=MN+CM=12,
,: BC=5,
：.AB=BN=CN-BC=1.
豺题型方法9:角平分线+平行线
【变式1】【解析】已知条件中勉为NZ5C的角平分线尸〃5C, CF为NACB的角平分线,EF〃BC,
这样就有了两个等腰三角形了，仄而BD=DF, CE=EF,所以线段。£的长就可以计算出来了.
【解答】证明：・・・5尸为N/5C的角平分线，DF//BC,
J ZDBF= ZFBC, ZDFB= NFBC, 7\
：.ZDBF= ZDFB, / \
:・BD=DF,
同理可证：CE=EF, _____—^c
J DE=DF+EF=BD+CE=9.
【变式2】【解析】已知条件中助为N43C的角平分线,CD为N/C5的角平分线尸〃NG
这样就有了两个等腰三角形了，从而BE=DE, CF=DF,所以的周长就等于线段5C的长.
【解答】证明：;及）为N4BC的角平分线，DE//AB,
：.ZDBE=ZDBA, ZBDE=ZDBAf
：./DBE=/BDE,
：.BE=DE,
同理可证：CF=DF.
的周长等于5C的长，即为6cm.
【变式3】
解：•・,及）平分N45C, CD平分N4CG,
/. ZABD=ZCBD, ZACD=ZDCG,
又•： DE"BG,
175卷
初中数学题型方法全归纳
:./BDE=/CBD, /CDE=/DCG,
；・/ABD=/BDE, NCDE=/ACD,
：・BE=DE=8, CF=DF=5,
EF=DE - DF=3cm.
留题型方法10：二倍角的处理
【变式1】方法1：
【解析】看至以5+及）=/。，可以按照截长补短法去作辅助线，在这里我们不说这个方法.以另外
一个点为突破口，看到NB=2NC,那就可以去找大角的一半或者小角的2倍，通过我们逐一去寻找,
发现可以延长48至瓦使得BE=BD,那么，N45C的一半就是NE了，然后利用全等进行解题即可.
【解答】证明：延长43至E,使得BE=BD,
NBDE=/E,
而/ABC=/BDE+/E,
：.NABC=2NE,
XV NABC=2NC,
：.ZE=ZC,
又・・ZD是NH4C的角平分线，
J ZDAE=ZDAC,
又♦: AD=AD,
：./\ADE^/\ADC,
：.AC=AE,
；・ AB+BD=AB+BE=AE=AC .
方法2：
【解析】看到N5=2NC,先要处理这个特殊条件，还可以尝试寻找小角NC的2倍，也可以通过
外角来实现，在C4上取一点£,连接。£,使得CE二DE,那么就是NC的2倍了，那么N/血就
和N5就是相等的，然后利用全等三角形进行解题.
【解答】证明：在C4上取一点£,连接使得CE=DE,
：.ZCDE=ZC,
而 ZAED= Z CDE+ ZC,
/AED=2NC,
又「 ZABC=2ZC,
：.NAED=NC,
又・・Z。是NA4 c的角平分线,
，NDAE=NDAB,
又・・7O=4D,
・・・AADEm4ADB,
：.AE=AB, BD=DE=CE,
176几何专题-第四章全等三角形
：.AB+BD=AE+ CE=AC.
【变式2】方法1：
【解析】看到NB=2NC,先要处理这个特殊条件，先试着找小角NC的2倍，可以通过外角找到
其2倍，可在CD上取一点£,使得CE=4E,那么N4匹就是NC的2倍了，那么就可以得到NZEB等
于N5,从而得到另外一个等腰三角形.
【解答】证明：在CD上取一点E,使得CE=4E,
：.ZCAE=ZC,
而 NAEB=/CAE+/C,
：.ZAEB=2ZCf
又・・・/B=2/C,
：.NAEB=/B,
：.AB=AE=CE,
：.BD=DE,
：.AB+BD=AE+DE=CE+DE=CD.
方法2：
【解析】看到NB=2NC,先要处理这个特殊条件，还可以尝试寻找大角N5的一半，可以通过外
角来实现，延长C8至£点，使得BE=B4那么就是N5的一半了，那么NE就和NC相等了，就出
现了一个等腰三角形.
【解答】证明：延长C3至瓦点，使得BE=B4,
J NBAE=/E,
而 N4BC=/R4E+NE,
・•・ /ABC=2/E,
又：/ABC=2NC,
：.ZE=ZC,
：.AE=AC,
又・・・4O_L5C,
：.CD=DE,
：.AB+BD=BE+BD=DE=CD,
【变式3】【解析】构造小角2倍，大角一半，得到角相等，但是却难以利用两角相等这个条件,
所以试试设小角，利用角度计算试试.
【解答】证明：设NR=a,
那么，ZDAE= ZBAF= ZABC - /b=60。- a ，
而 Z CEA=Z CAE= ZACB+ /F= 60° + a ,
A ZD=ZCEA - ZDAE= 60° + a —(60°—a)=2a ,
・・・/D=2/F.
177春
初中数学题型方法全归纳
留题型方法n： k型全等(一线三垂直)
【变式1］解：根据K型全等可知,
△ACD m ABEC,
所以，AC=BE=3,
BC=AD=5,
所以,AB=8.
【变式2］解：根据K型全等可知,
△ACD 咨 dCBE,
所以，CE=AD=9,
所以，BE=CD=CE - DE=3.
【变式3】解：如图，作助Lt轴于。点,
根据K型全等可知，
△AOC 咨 LCDB.
所以，CD=OA=3,
BD=OC=\,
所以，OD=OC+CD=4,
所以，B点坐标为(4,1).
【变式4］解：过^做CE的垂线EG,并使得£G=5,连接。G、AG,
所以，EG=CD, DE=AC, ZGED=ZDCA,
:.△GEDQXDCA,
:・/EDG=NCAD, DG=DA,
又・・• ZCAD+ZADC=90°,
：.ZEDG+ZADC=90°,
：.ZADG=9Q°,
：.AD4G是等腰直角三角形，
・・・ZDAG=45°,
U：GELCE, AC1.CE,
所以，GE//AB,且G£=Z5,
所以，四边形45EG为平行四边形，
所以，ZAFE=U5°.
【变式5】解：过点。作8,48于点，过点B作交4。于点
过点E作环，48于点R
又•: NACB=45。,
•••△BCE为等腰直角三角形,
:・NBEC=45。, BE=CE,
又•・• ZA=22.5°,
J ZABE=22.5°,
178卷
几何专题-第四章 全等三角形
：.EA=EB, AF=BF=6,
V ZEBF+ZCBD=90°, NBCD+/CBD=90。,
：./EBF=NBCD,
又•： NEFB=ND, BE=CE,
：.AEFB^ABDC,
:・CD=BF=6,
：.△ZBC的面积等于工4ACQ=36.
2
留题型方法12：手拉手模型
【变式1】证明：
(1) •： /ACB=NDCE,
：.ZACB+ ZBCD= ZDCE+ ZBCD,
J NACD=/BCE,
5L'：AC=BC, CD=EC,
:・/\CAD 咨 ZXCBE；
(2);△CW之△C5£,
:・AD=BE；
(3) MCAD沿LCBE,
:・/CAD=/CBE,
又/AGC=/BGF,
根据三角形内角和相等得：/AFB=NACB；
(4)作CM_L4D于点跖作CNJLBE于点、N,
,: XCAD经4CBE,
・・・全等三角形对应边上的高也相等，即CM=CN,
:・FC平分NAFE.
【变式2】证明：
(1) V ZACB=ZDCE,
：.ZACB+ ZBCD= Z.DCE+ ZBCD,
・•・ /ACD=/BCE,
又・・ZC=BC, CD=EC,
•••△CAD 丝△CB£；
(2) MCADQdCBE,
:・AD=BE：
(3) •:丛CAD学ACBE,
:・/CAD=/CBE,
又•・・ ZBCE=120°,
：.ZAEB+ZCBE=60°f
179初中数学题型方法全归纳
：.ZCAD+ZAEB=60°,
：.A BOA=Z CAD+ ZAEB=60° ；
(4)在ZX/C尸和△BCQ中，
ZCAD=ZCBE, AC=BC, /ACB=/BCD=60。,
：.AACP^ABCQ,
在△DC尸和△£C0中，
ZBEC=ZADC, CE=CD, NDCE=/BCD=60。,
：.&DCP经MCQ；
(5) •: AACPm ABCQ,
：.CP=CQ,
又,: /BCD=60。,
• ••△CP0是等边三角形；
(6);△C尸0是等边三角形，
：.ZCPQ=60°f
又•: N4 cB=60。，
：.PQ//AE；
(7)如图所示，作CAU/。于点作CNLBE于点、N,
■ : ACAD必CBE,
・ •・全等三角形对应边上的高也相等，即。〃 =CN,
・ ・・0。平分/4。£；
(8)在力O上截取OK=O5,连接BK,
・ ・・ZAOB=60°f
• ••△OBK是等边三角形，
・・・NO5K=60。，OB=OK,
：.ZOBK- ZPBK=ZABC- /PBK,
：.ZABK=ZCBO,
在△及《和/XBCO中，
AB=BC, /ABK=/CBO, OB=OK.
・ •・ 4BAK m ABCO,
：.AK=CO,
：.AO=BO+CO.
同法可证：EO=OC+OD.
【变式3】证明：
(1) V ZAOB=ZEOF,
：.NAOB+ /BOE= NEOF+ /BOE,
：.ZAOE=ZBOF,
又・・Q=Og，OE=OF,
:•丛OAE学丛OBF；
180几何专题•第四章全等三角形
(2) •: △OAE"&OBF,
：.AE=BF； ，
(3) •：/OAE=NOBF, NAMO=NBMG,
而 NCU£+NZMO=90。，
：.ZOBF+ZBMG=W°,
：.ZAGB=90°； SPAE±BF；
(4)作。尸L4E于点P,作。0，瓦吁点。，
■:丛OAE也:丛OBF,
・・・全等三角形对应边上的高也相等，即。尸=00,
・・・6。平分乙46厂；
(5),.・6。平分乙46尸，ZAGF=90°f
：.ZOGA=ZOGF=45°；
(6)如图，在4G上截耽4Q=BG,连接。0,
在△400和 ASOG中，
AO=BO, NOAE=/OBF, AQ=BG,
:•△AO。妾丛 BOG,
：.OG=OQ, /AOQ=NBOG,
：.ZAOQ+ ZBOQ= ZBOG+ ZBOQf
即：ZAOB=ZGOQ=90°,
・・♦ △ GO。是等腰直角三角形，
：.QG=42OG ,
：.AG=BG+QG=BG+ 41OG .
如图所示，同理可证：FG=EG+y[2OG .
导题型方法13:婆罗摩笈多
【变式1】证明：
(1) 与△CODt匀为等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,
：.OC=OD, OA=OB,
在△4。。与△5OC中，
OA=OB, /AOD=/BOC, OD=OC,
• •・△AOD 学 4B0C(SAS),
：.ZOAD=ZOBC, BC=AD.
• ・•点H为线段5C的中点，
:.OH=HB= - BC= - AD,
2 2
・ ・・ Z OBH= ZHOB =ZOAD.
又Z OAD + ZADO=90°,
・•・ ZADO+ZBOH=90°,
181：.OH±AD.
(2) OH=-AD, OH LAD.
2
①如图1,延长到点E,使得HE=OH,连接BE.
・・•点H是的中点，
：.BH=CH,
在4BEH和LCOH中，EH=OH, ZBHE=ZCHOf BH=CH,
：.△ COH(SAS),
：.BE=CO, /EBC=/BCO,
：.ZOBE= ZEBC+ ZOBC= ZBCO+ ZOBC= 180° - ZBOC.
'：ZAOB=ZCOD=90°, %
・・・ ZAOD=1SO° - ZBOC=ZOBE. / /
又OB=OA, BE=OC=OD, / /
:・ ABEOQ AODA(SAS), E / C /
1 1 、、
：・OE=AD, OH=-OE=-AD.
2 2 B W/O
由△BE。之△OD4 知 ZEOB= /DAO, 1//
・ •・ ZDAO+ ZAOH=ZEOB+ ZAOH=90°, D
：.OHLAD.
②如图2,延长07/到点£,使得HE=OH,连接5£,延长EO交4)于点G.
・ ・•点〃是5C的中点，
:・BH=CH,
在△5£〃和4。。7/中，HE=0H, /BHE=NCHO, BH=CH,
・ •・ MBEg △ COH{SAS),
：.BE=CO, /EBC=NBCO,
： .Z OBE= ZEBC+ Z OBC= ZBCO + Z OBC= 180°- ZBOC.
•・• ZAOB=ZCOD=90°, A
：.ZAOD=1SO°- ZBOC=ZOBEf / \
又OB=OA, BE=OC=OD, / \
:・ABEO%AODA(SA6, / \
：.OE=AD, OH=-OE=-AD. r/ 。
由 △5£0 名 △OD4 知 N£O3=NZM。,
：.ZDAO+ ZAOG=ZEOB+ NZOG=90。,
・•・ ZAGO=90°f
：,OHLAD.
182几何专题・第四章 全等三角形
留题型方法14：脚拉脚模型
【变式1】证明：延长4M至点〃，使得连接4D、DH、EH.
・・•河为班的中点，
：.BM=EM,
在和中，AM=HM, /AMB=/HME, BM=EM.
：.AAMB 咨 AHME(SAS),
：.AB=AC=HE, ZBAM=ZMHEf
：.ZABM=ZMEH=135°,
又•・• ZDEC= ZDCE= ZACB=45°,
・ •・ /DEH=135。,
：.NDCE+N4cB=90。,
・ •・ NDCA=NDEH.
在△DC4和△DEV中，
DC=DE, ZDCA=ZDEH, CA=EH.
：.ADCA 之 ADEH (SAS),
：.DA=DH, /ADC=/HDE,
又ZADH= Z CDE=90°,
・ ・・△4。”为等腰直角三角形，
又为4”中点，
J.AM1DM,
又•: ND4H=45。,
/. ZADM=ZDAM=45°,
：.AM=DM.
【变式2】证明：延长ZM至点H,使得4M=HM, 连接4D、DH、EH.
・ ・・M为5K的中点，
:・BM=EM,
在ZUA四和中，
AM=HM, ZAMB=ZHME, BM=EM,
：.△AMBQAHME(SAS).
：・AB=AC=HE, /ABM=/MEH=45。,
又•・• ZDEC= ZDCE= ZACB=45°,
：.ZDEH=90°,
：.ZDCA=90°,
：.ZDCA=ZDEH.
在和△。石H中，
DC=DE, /DCA=NDEH, CA=EH,
：.ADCA 之 ADEH (SAS).
183初中数学题型方法全归纳
：.DA=DH, NADC=/HDE,
又・・・ ZADH= Z CDE=90°,
・ ・・△•0日为等腰直角三角形，
又・・,”为4〃中点，
J.AMLDM,
又,: NDAH=45。,
：.ZADM=ZDAM=45°f
：.AM=DM.
留题型方法15：等邻边对角互补模型
【变式1】证明：连接4G因为
延长至尸，使得EF=BC,连接4R
易得：△45C丝△4ER
：.AC=AF, DF=DE+EF=2.
五边形的面积等于四边形ZCZ牙的面积，
■ :AC=AF, CD=DF, AD=AD,
：.LADC会 4ADF,
：.四边形4。。尸等于尸面积的2倍，
在△川0厂中，
• : NAED=90。,即4E是底边"的高，
• ••△40厂的面积=2,
・ ・・五边形ZBCQE的面积等于4.
【变式2】解：过点尸作尸于瓦点，PFL0B于F点,
• ・• ZPEO=ZPFO=90°,
：.NEPF+N4OB=180。,
又: NMPN+/AOB=180。,
：.NEPF=/MPN,
：.ZEPM=ZMPN,
在凡△尸0£和及△尸。尸中，
OP=OP, PE=PF,
：.△PQEdPOF.
：.OE=OF,
在△?EM和/VW中，
ZMPE=ZNPFf PE=PF, /PEM=/PEN,
：./\PEM^APFN,
：.EM=NF, PM=PN,故(1)正确.
St^PEM = SXPNF，
• • S四边形PMON = S四边形PEO尸=定值，故(3)正确.
184几何专题•第四章 全等三角形
• ： OM+ON=OE+ME+OF- NF=2OE=定恒,故(2)正确.
的长度是变化的，故(4)错误.
故选：B.
【变式3](1)证明：作NOCG=60。，交。4于G,如图1所示:
V ZAOB=120°f。。平分
：.ZCON=ZCOG=60°f
：.ZOCG=ZCOG,
：.OC=CG,
• ••△OCG是等边三角形，
：.OC=OG, ZCGM=60°=ZCON,
■ : ZMCN=ZOCG=60°,
：.ZOCN=ZGCM,
在△OCN和村。/中，
ZCON=ZCGM, OC=CG, ZOCN=ZGCMf
：.A OCN^ A GCM(ASA),
：.ON=GM,
V OG=OM+GM,
：.OC=OM+ON.
(2)解：OC=OM- ON,理由如下：
作NOCG=60。，交。4于G,如图2所示：
V ZAOB=120°, 0c平分N/O5,
：.ZCON=ZCOG=GO0,
：.ZCON=nO°, ZOCG=ZCOG,
：.OC=CG,
・・・△OCG是等边三角形，
A OC=OG, ZCGO=60°,
：.ZCGM=nO°=ZCON,
V ZMCN=ZOCG=60°,
：.ZOCN=ZGCMf
在△OCN和△GCM中，
/CON=/CGM, OC=CG, ZOCN=ZGCM,
：.A OCN^ A GCM(ASA),
：.ON=GM,
U：OG=OM-GM,
：.OC=OM- ON,
故答案为：OC=OM-ON.
185当
初中数学题型方法全归纳
留题型方法16：半角模型
【变式1】证明:
(1)延长C5到G点，使得3G=DR
在尸和△45G中，
AD=AB, ZABG=ZD=90°f BG=DF,
J AADF 名 dABG.
：.AF=AG, ZBAG=ZDAF, /G=NAFD,
V ZEAF=45°, ZBAD=90°,
・・・ ZDAF+ZBAE=45°f
：.ZBAG+ ZBAE=45°= Z GAE= ZEAFf
5LAE=AE, AF=AG,
：.AAEF学 4AEG,
：.EF=EG=BE+BG=BE+DF；
(2) •: △AEFQAAEG,
AB LEG, AHA.EF,
：.AH=AB；
(3) •: AAEF义 AAEG,
：./AEB=NAEF,
又〈NABE=/AHE=90。, AE=AE,
：.AABE 义 4AHE；
(4) •:4AEF以AEG,
：.ZG=ZAFE,
•? AADF 空 LABG,
：.ZG=ZAFD,
：.ZAFD=ZAFEf
又 NAHF=ND=90。, AF=AFf
：.△ADFQAHF；
(5)・・•△/£!尸会ZUEG,
・・・ /AEG=NAEF,
；・EA平分NBEF；
(6)・：AAEF义 AAEG, dADF义 AABG,
SLABE + SLADF = Sl^AEF ；
(7) ,: LABE义LAHE, AADF/dAHK
：・BE=EH, DF=FH,
：・ dCEF周长=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+CD=2AB.
【变式2】证明：
(1)在CD上取一点E,使得。£=3,
186卷
几何专题・第四章全等三角形
ZABC+ZADC=1SO°,
：.ZBCD+ZBAD=\SO0,
又,? ZBAM+ ZBAD= 180°,
/. ZBAM=ZBCDf
在△BCE和△氏4M中，
BC=BA, ZBAM=ZBCD, CE=MA,
：.ABCE咨 dBAM,
：.BC=BM, NCBE=/ABM,
ZMBN=- ZABC,
2
/MBE= ZABE+ ZABM= ZABE+ Z CBE= ZABC,
：.ZMBN=- ZABC=- ZMBE,
2 2
・•・ ZMBN=ZEBNf
又•： BE=BM, BN=BN,
：.ABNM^ABNE,
：.MN=NE,
：.MN=NE=CN- CE=CN-AM.
【变式3】解：(1)连接CO,过点。作OGLOF交班于点G,如图所示：
由题意可得ZX4。尸丝△COG,
：.OF=OG, E^r
•••△EO金△EOG, //Yi\G
；,ef=eg ， 2sl派
：・EF=EG=EC+CG=EC+AF. A O B
(2) AF-EF=CE,
如图所示，延长C3至G,使得BG=CF,
在△OCE和△O^G中，
OC=OC, ZOCF=ZOBG=135°, BG=CF,
:•△OCFQXOBG,
：.OF=OG, /COF=/BOG, ZG=ZOFC,
F
TN"尸=45。， c 5A
・・・ ZBOE+ Z CO尸=45。, \
・•・ NBOE+/BOG=45。, / \
即 ZEOG=45°, A '-------乐、〉?
u
：.NEOG=NEOF,
又OE=OE, OF=OG,
：./\AEF 咨 AAEG,
：.EF=EG,
187卷
初中数学题型方法全归纳
：.AF=AC+CF=BC+BG=CE+BE+BG=CE+EF.
188称
几何专题-第五章 轴对称
留题型方法1:判断轴对称图形
【变式1］解：4、是轴对称图形，故此选项符合题意;
5、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
。、不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故选:A.
【变式2】解：第一个图和第四个图是轴对称图形，第二个图与第三个图不符合轴对称图形的定
义，不是轴对称图形，所以，共有两个轴对称图形.
故选：C.
【变式3】解：4、不是轴对称图形，故本选项不合题意;
5、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
。、是轴对称图形，故本选项符合题意.
故选：D.
【变式4】解：4、不是轴对称图形，故此选项不合题意;
5、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
。、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
。、是轴对称图形，故此选项符合题意.
故选：D.
【变式5】解：4、不是轴对称图形，本选项不符合题意;
8、是轴对称图形，本选项符合题意；
。、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
。、不是轴对称图形，本选项不符合题意.
故选：B.
留题型方法2：轴对称的应用
【变式1］解：是正五边形，
:.ZEAB=10S°,
•；AE=AB,
：.NAEB=NABE=36。,
•・•直线加垂直平分线段43,
：・OA=OB,
：.ZOAB=ZOBA=36°f
：.ZAOE= Z OAB+ Z OB A=72°,
故答案为：72.
189卷
【变式2］解：正十边形有十条对称轴.
故答案为：十.
【变式 3】解：V ZBAD+ZB'AD+ZB,AC=90°,且/BAD=NB，AD, N5NC=14。,
・•・ ZBAD=38°.
：.NB=90。—38。=52。.
故选：D.
【变式4】解：,•,△4BC与△/EC关于直线MN对称，BB，交MN于点、0,
之△ZbC, AA'±MN, OB=OB\
：./ABC=NA'B，C',
B,。正确，
故选：C.
留题型方法3：等腰三角形的分类讨论问题
【变式1］解：当腰长为10时，三边为10、10、4,此时周长为24；
当腰长为4时，三边为10、4、4,而4+4<10,不构成三角形，不满足题意;
所以，这个等腰三角形的周长为24.
【变式2］解：当6为腰长时，此时三边为6、6、4,满足题意；
当6为底边时，此时三边为6、5、5,满足题意；
综上，底边长为4c加或6°加.
【变式3］解：当底角较大时，根据题目条件，设三个角为a, 4a, 4a,
则a + 4a +4a = 180。，所以，a =20。，所以底角为80。.
当顶角较大时，根据题目条件，设三个角为a, a, 4a,
则a + a +4a = 180。，所以，听30。，即底角为30。.
综上，底角为30。或80。.
【变式4］解：如图1,底角NZBC=30。时，此时N5CZ)=60。. I
如图2,顶角N4=30。时，此时NZCD=60。， ? /
而 N4CB=75。,
J ZBCD= 15°, B <----------
综上可知，这个三角形腰上的高与底边所夹角为60。或15。.
【变式5］解：如图1, N4及"45。，此时顶角乙4=45。,
如图 2, ZABD=45°,此时顶角NA4C=135。. 1
综上可知，这个等腰三角形的顶角45。或135。. /
【变式6】解：20。或40。或70。； B
若ZUBC为钝角三角形时，NZ为顶角时，三内角大小为140。，20°, 20°；
若△ZSC为钝角三角形时，N4为底角时，三内角大小为100。，40°, 40°；
若△45。为锐角三角形时，NZ为顶角时，三内角大小为40。，70°, 70°.
国题型方法4：垂直平分线
【变式1】
190卷
几何专题・第五章 轴对称
解：・・・MN是线段45的垂直平分线，
：.NA=NB,
•••△5CN的周长是7cm,
：.BC+CN+BN=lcm,
：.BC+CN+NA=lcm,即8C+4C=7c加，
\9AC=4cm,
:.BC=3cm.
故选：A.
【变式2】解：
(1) V ZABC=25°, ZACB=55°,
：.ZBAC=1SO°- ZABC- ZACB=100°；
(2) ,:DE, FG分别为43, 4c的垂直平分线，
：.DA=DB, FA=FC,
：.ZDAB=ZABC=25°, ZFAC=ZACB=55°,
：.ZDAF=ZBAC- ZDAB- ZFAC=20°；
(3) /的周K=DA+DF+E4=DB+DF+FC=BC=30.
【变式 3］解：•;BD+DC=BC, BD+AD=BC,
：.DC=DA,
・・・点。在4C的垂直平分线上，
故选：A.
【变式4］解：・・・。£是线段4C的垂直平分线，
：.DA=DC,
：.△45Z)的周长
故选：B.
【变式5】解：
(1) ・・・DM是线段45的垂直平分线，
：.DA=DB,同理，EA=EC,
的周长为7,
：・DA+DE+EA=7,
：.BC=DA+DE+EC=1.
(2) ND4K度数是 60。，
理由如下：•;DA=DB, EA=EC,
：./DAB=NB, ZEAC=ZCf
• .* N5+NC=60。，
・ ・・ Z.ADE+ ZAED=2 ZB+2 ZC= 120°,
・ •・ Z^£=180°-120°=60°.
191初中数学题型方法全归纳
留题型方法5：将军饮马模型
【变式1】解：作4关于好的对称点
连接比4, PA', AB,
由对称性可知，PA=PA\
所以，PA+PB=PA'+PB>A,B,
所以，即为我+PB的最小值，
过8点作8cM于。点，
易知 CM=BN=4, MA=MA=5,
所以，A'C=9, BC=MN=12.
所以，AB=\5.
【变式2］解：连接ZG, AP,
AG交EF于H点,
因为G为8。中点，AB=AC,
所以，AGLBC,
又£、尸为中点，
所以，AG1EF, S.AH=HG,
所以，PA=PG,
所以，PB+PG=PB+PA>AB.
所以，人5尸G周长的最小值为Z5+BG=3.
【变式3］解：连接BQ, BN, BM,
由正方形的性质知，
O点关于对角线ZC的对称点为反
所以，NB=ND,
所以，NM+ND=NB+NM> BM.
根据勾股定理易求9公10,
所以，初+皿的最小值为10.
【变式4］解：连接BQ, BP,
由正方形的性质知，
。点关于对角线ZC的对称点为3,
所以，PB=PD,
所以，PD+PE=PB+PENBE.
而BE=4B= 273 ,
所以，尸E+PD的最小值为2G.
【变式5】解：作Z)GJ_BE的延长线于厂点，
交5C的延长线于G点.
连接尸G、AG,
又因为5E为NC8D的角平分线，
192几何专题・第五章 轴对称
所以，DF=FG,
所以，。点成的对称点为G点，
所以，PG=PD,
所以，PD+PA=PA+PG>AG.
而45=4, BG=BD=46,
所以，尸。+我的最小值为4百.
【变式6】解：延长至9，使得BN=B，N,
连接尸5', AB：
并延长交AW于C点，
易知，PB'=PB,
所以，PA-PB=PA-PB'<AB\
作歹。，4”于点。，
易得：DM=B'N=BN=1, AD=AM — DM=3,
又B'D=MN=4,所以，AB,=5,
所以，7M-总的最大值为5.
【变式7］解：延长咬5。的延长线至G,连接P5,
因为为45的垂直平分线，
所以，PA=PB,
所以，PA-PC=PB-PC<BC,
又丛 BCN 的局长=BC+BN+NC=BC+AN+NC
=4C+5c=14,
所以，BC=6,所以，PC的最大值为6.
【变式8】解：的面积为2, BC=4,
作于£点，
所以尸£=1,
所以，尸点在距离为1的直线7/G上运动.
取。点关于"G的对称点C,
连接尸C,贝1J, PC=PC.
所以，PA-PC=PA-PC<AC',
作于G点，
贝仁G=BC=4, BG=CC=2, AG=AB — BG=3.
所以，AC=5,即我-尸。的最大值为5.
【变式9】解：如图，连接
由等边三角形的性质可知，
BDL4C, ^AD=CD,
所以，AE=CE,
要求，蠹+斯的最小值，
193______ 卷
初中数学题型方法全归纳
即求/E+E尸的最小值.
作于点G,所以，AE+EF>AG.
而/弓二4百,
所以，CK+E厂的最小值为4百.
【变式10］解：如图将等腰直角△43G
补成一个正方形4 cBC,
由正方形的性质可知，
。关于45的对称点为C,
连接。C, CC,
贝!J, DC'=DC,
所以，CD+DE=DC+DE>AC',
AC=AC=4f
所以，S+Q£的最小值为4.
【变式11］解：作班」于方点，交AO
因为为NA4C的角平分线.
所以，BF=B，F,连接9。，
作夕G_L45于G点，
贝！J, BD+DE=B'D+DE>B'G,
XABl=AB=\6, ZBAC=2ZBAM=30°f
所以,B'G=S.
所以，&)+「£的最小值为8.
【变式12］解：延长胡至使得，AE=AE,
因为 NB4D=90。，
所以，连接ME';ME,
同理，可得到，NF=NF,
所以，ME+MN+MF=ME，+MN+NF N E'F,
根据勾股定理得：E尸=6五，EF=2亚,
所以，四边形肱国£的周长最小值为8啦.
【变式13］解：作瓦点关于的对称点E,
连接ME',贝
同样的方法，可得到：ND'=ND,
所以，ME+MN+ND=ME,+MN+ND, > ED1,
作E7_LZC于/,作Z)'〃_L£7于"，
连接BE易求所以，HD=2BE=2,
XIH=GD'=GD= — f IE = ­ , 7ffi*= 273 .
2 2
根据勾股定理得：E'D'=4,
194几何专题・第五章 轴对称
所以，四边形的周长最小值为5.
【变式14］解：作M关于5c的对称点
连接尸AT, MN^BC^E,
易知尸
所以，PM+PN=PNf+PN> ATN,
此时尸点位置在£点处，
作斯，40于尸点，贝IJP02ER
所以，PM+PN+PQ的最小值为MW+EF,
作抽f于G点，交AB于H点,
易知HA/=2, ZBMG=30°f HG=1, MG=yf3.
又 9=6,
所以，BK=3, MK=3也=MK, GK=26,
所以，GM=5出,HN=BC=S, GN=HN-HG=7,
所以，MN=2底,
易求跖=4百.
所以，PM+PN+P0的最小值为2回+46.
【变式15］解：因为8=2,
所以，将5点向左平移得到£(-2,4),
连接CE,那么，四边形及)C£为平行四边形，
所以，CE=BD,
作，的对称点/'(0,-2),连接C4; A'E,
所以，CA'=CA,
那么，AC+BD= CE+CA'>A'E,
而根据勾股定理求得：AE=2回.
所以，ZC+及)的最小值为2丽.
【变式16］解：将£点沿着G尸方向平移1,得到连接ER
则四边形座'FG是平行四边形，所以£G=ER
作£关于直线C。的对称点，得到£二连接£“厂,
易知 EF=E”F,
又知：AE=yfn , FG=1,
所以，四边形4£G厂的周长：
AE+EG+GF+AF= #7 +1+ER+4R
而E"F+AF^AE”=® ,
所以，四边形ZEG厂的周长最小为而+ JI7+1.
【变式17］解：以40为边,
向上作正方形
195春
初中数学题型方法全归纳
mhimJEmmb
则£点在对角线41上，
连接EH,
则四边形CDEG为平行四边形，
所以，CG=DE=EH,
所以，CG+CE=CE+EH> CHf
易求CH=4下.
所以，EC+GC的最小值为4后.
国题型方法6：逆等线段问题
【变式1】解：如图，延长/。至G,使得DG=4),连接FG,
因为DF=CE, DG=CD,
ZFDG=ZFCE=90°,
所以△£>尸G丝△CEO,
所以FG=DE,
所以，身+DE的最小值，即为及斗尸G的最小值,
而BF+FG之 BG, BG=4
所以，即的最小值为46.
【变式2】解：如图，过/做5c的平行线4R且使得Z尸二BC, 连接斯,
则 NE4 尸=N48C=45。，
又BD=AE, BC=AF,
所以△4£尸乌△BDC,
所以环=CD,
所以，BE+CD=BE+EF>BF,
做及/_L4R 交E4的延长线于〃点，
在及△5HF中，易求BF=2出,
所以，即+DK的最小值为26.
【变式3】解：如图，作CGLSC,
S.CG=AC=AB=6,
易知 N/CG=30。，
又 CF=AE,
所以△CFG 之
所以，FG=BE,
所以，BE+BF=BF+FG>BG,
连接5G,在及△BCG中，易求BG=6jI.
所以，厂的最小值为6后.
【变式4］解：如图，作5G,使得NC5G=NCZQ,且8G=4D=3,
196几何专题・第五章 轴对称
又因为心BF,
所以 ABFGgAAED,
所以，FG=DE,
所以，DE+DF=DF+FG> DG,
连接QG,因为 N4DB=150。，
所以，ZDAB+ZDBA=30°,
又 NCAB+NCBA=120。,
所以，ZCAD+ZCBD=90°,
所以，/CBG+NCBD=90。,即乙MG=90。,
根据勾股定理可求得。G=5 .
所以，。因+。尸的最小值为5.
【变式5】解：过。做45的平行线CG,使得CG=45,
取C£的中点为R则Cb=5D,
又知 N CBD= ZBCG=90°,
所以，△gcfqmbd,
所以，CD=FG,
延长CG至“，使得G8=CG,连接
则/G为△CE”的中位线，
所以 EH=2FG=2CD,
所以，AE+2CD=AE+EH>AH,
限做“C的垂线，交的延长线于K点,
贝!UK=CK=4B=4,
所以，KH=12,
在中，由勾股定理可得：AH= 4屈.
所以，4E+2CD的最小值为4所.
【变式6］解：过5做射线8G,使得NC5G=120。，BG=AC=2,
在上取一点尸，使得BF=4。,
因为3G=4C, ZCBG=ZCAD=nO°, BF=AD,
取C£的中点为尸，则b=BZ),
所以，△BFGg/UQC,
所以，FG=CD,
延长5G至“，使得58=百5G=2百，连接EH,
又因为BE=也AD=6BF, NGBF为公共角,
所以，△BFGs^BEH,且相似比为1:JL
所以EH二百FG= V3 CD,
所以，AE+ V3 CD=AE+EH> AH,
197壹
初中数学题型方法全归纳
过/做的垂线，交网的延长线于K点，
在RtAZBK中,ZABK=30°,
所以，AK=-AB=\, BK=C,
2
所以，KH=3也,
在R/A4KH中,由勾股定理可得：AH= 277 .
所以，ZX+GC。的最小值为2s.
留题型方法7：三动点问题
【变式1】解：如图，做尸点关于4B、4C的对称点4P'、AP\连接PP'、AP.
根据对称的性质可知：MP=MP, NP'=NP,
所以，PM+PN+MN=MP' +MN+NP" 2 P'P'
所以，PM+PN+JW的最小值为P尸”的长度，
P'、M. N、尸”四点共线取得最小值时，
根据对称的性质可知：/BAP=/BAP\ NCAP=/CAP\
而 NA4C=45。,
所以，/PAP'=/BAP+ NBAP+ NCAP+ NCAP'=2(NBAP+ NCAP)=90。,
所以，为等腰直角三角形，
所以，P、P” = 4iAP = 4iAP .
做江江5。于点。，△ZDC为等腰直角三角形,
所以，AD=CD=\2,
而48=17,所以，及）=5,
在及△BCD中，利用勾股定理可得：BC=13,
所以，S.abc = -ABCD = -BC - AE .
2 2
204
根据题意可求得：AE=­ .
13
l^P,P1, = y/2AP>42AE=
204。.
所以，尸h+pn+jw的最小值为独旦.
13
【变式2】解：如图，做尸点关于45、ZC的对称点4P、AP”,
连接PP\ AP.
根据对称的性质可知：MP,=MP, NP'=NP,
所以，PM+PN+MN=MP' +MN+NP'、N PF,
所以，尸M+PN+tW的最小值为PP'的长度，
P'、M、N、尸”四点共线取得最小值时，
根据对称的性质可知：/BAP=/BAP', /CAP=NCAP\
198几何专题-第五章 轴对称
而 NA4C=30。，
所以，/PAP''=/BAP+ NBAP+ NCAP+ NCAP'
二2(NB4P+NC4P)=60。,
所以，△尸NP'为等边三角形，
所以，pp"="之陋=5.
所以，?的最小值为5.
【变式3】解：如图，做尸点关于45、4c的对称点ZP、APU,连接P尸”、AP.
根据对称的性质可知：MP'=MP, NP、、=NP,
所以，PM+PN+MN=MP、+MN+NP、' N PF,
所以，PM+?N+MV的最小值为P'P”的长度,
P\ M、N、尸”四点共线取得最小值时，
根据对称的性质可知：
ZBAP=ZBAP', /CAP:/CAP”,
而 NA4C=60。，
所以，NP4P''=NB4P+NA4P+NC4P+NC4P”=2(NB4P+NC4P)=120。,
所以，为定角为120。等腰三角形，
所以，P,Pu = y[3AP, = ^AP>y/3AD = 5y/3 .
所以，PM+尸N+M7V的最小值为5百.
199海
初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:两个特殊的直角三角形
【变式1】解：因为助，所以NA4O+N5=30。,
而NA4C=60。，所以，Z042)=30°,
所以，CD— — 4/)=6,
2
所以，BC=BD+CD=18.
【变式2］解：在等腰口△8C。中，斜边80=10及，所以直角边8C=10,
而 N/=N3QC— /ABD=30。,
所以 45=280=20.
【变式3】解：做于点Q,在及△ZCD中,
因为N/=60。，所以，ZACD=30°,
，所以，AD=-AC^\, CD=6AD=B
2
在及△BCD 中，N5=45。，
所以，BD=CD=6 , BC=y［2CD=46 ,
所以，AB=AD+BD= 1 + V3,
所以，答案为：1 +百；瓜.
【变式4］解：做交A4的延长线于点O,
因为NA4C=135。，所以，NC4Q=45。，
在等腰及△/C。中，AC=3,
所以，AD=CD=^.
2
a r)
所以，BD=AB+AD=2+-----.
2
在及ASC。中，5c2 =8。+。。= 13+6后.
【变式5】解：如图1, ZC=40, BC=25,
做AD, 4c于点。，
在及△/CD中，因为N4=30。，
所以，CD=-AC=209 AD=出 CD=20 出,
2
在口△白?1)中，BD=20dBC? -CD? =15,
所以，AB=AD+BD= 2073+15 ,
如图 2, AC=40, BC=25,
200壅
几何专题-第六章 勾股定理
做。于点。，
在及△ZCD中，因为NZ=30。，
所以，CD=-AC = 20, AD=CCD=20C，
2
在RfABCD中,BD=yjBC2-CD2 =15,
所以，AB=AD-BD= 206-15 ,
综上，45的长度为20百-15或20G + 15.
【变式6】解：过点。作
VZC£D=45°, DHLEC, DE=^2 ,
:・EH=DH=3
又•・・ NDCE=30。,
：.DC=2, HC=C,
■: NAEB=45。, /R4c=90。, BE = 2^2 ,
：.AB=AE=2,
・・・/。=2+1 +百=3 + 6
S四边形/Be。= ；x 2x (3 + a/3) + ；x 1 x (3 + 拈;“.
留题型方法2：遇见30。、45。、60。角时，作垂直构造直角三角形
【变式1】【解析】题中有N/=45。，N5=30。，所以，过4点作5C的垂线，这样把这两个角都放
到了直角三角形里了，方便进行计算.
【解答】解：过。作于
在及△58 中，N5=30。，BC= 273 ,
：.CD=43,
在及△ZCQ中，NZ=45。， A
：.NZCD=45。，
•••△ZCD是等腰直角三角形，
:.Ac=4e.
【变式2】【解析】题中有NC4O=60。，N5=30。，所以，过C点作她的垂线，这样把这两个角都
放到了直角三角形里了，方便进行计算.
【解答】解：过C作于£,
由 NB=30。，外角 NC4D=60。，
得：/BCA=3V=/B,
：.AC=AB=6,
在及△5C£中，NB=30。,
工 NBCE=60。, ZACE=30°,
在此△ZCK中，ZACE=30%
201初中数学题型方法全归纳
：.CE= 3 6
留题型方法3：遇见15。、22.5。角时，利用外角构造二倍角
【变式1】【解析】题目中有15。、30。角，所以可过5点作ZC的垂线，这样把15。、30。角先放到直
角三角形里.然后再处理含有15。角的直角三角形，作斜边的垂线平分线，构造30。角，这样就可以
解题了.
【解答】解：如图，作及。于。点，取43中点为£,作交ZC于点R 连接
那么，AF=BF, ZABF=ZBAC=15°,
J ZBFD=30° /
^BD=a, B
则瓦-4F=2a, DF=&, CD=^a, \
：.A C=AF+DF+ CD=2a+ 6 a+也 a=2 亚，
.V6 - V2 /
2 /
:・BC=2BD=a-亚.
【变式2】【解析】题目中的45。不在直角三角形里，被拆成了两个22.5。，而22.5。在直角三角形
里，所以我们只需要看这个图的一半就可以了.可以在直角中构造22.5。角的2倍，从而进行
解题.
【解答】解：,:AC=AB, AD_L5c于。，BC=6, NHZO45。,
：.ZCAD=22,509 BD=CD=3,
如图，取4c中点为£,作ETUM交ZO于点尸，连接CR
那么，AF=CF, ZACF=ZCAD=22.5°,
' NCFD=45。,
・•・△1»是等腰直角三角形，
：.DF=CD=3, CF=AF=36 ,
:・AD=AF+DF=3+3C .
留题型方法4：遇见75。，105。角时，过顶点作垂直
【变式1】【解析】题目中有105。角，那么过其顶点。作43边的垂线C。，将105。角分成两部分.
【解答】解：如图，作CDL48交班于点O,
根据题目条件，N5=30。，
A ZBCD=60°, /
又 NZC5=105。， \
ZACD=45°. \
在等腰直角△ZCQ中，
,・ZC=30,
：.AD=CD=1542 ,
在直角△BCD中，
202几何专题・第六章 勾股定理
：.BC=2CD=3042 f
：.BC=BD+CD=4+ 473 .
【变式21【解析】通过边长求角度，要用到三角形函数，如果作垂线把N/放到直接三角形中，
发现它的三角函数值不是一个特殊值，没办法计算其角度，那么，可以尝试过/点作5C的垂线，把
NZ分成两部分进行计算.
【解答】解：过4点作47UBC交5c于点。，
设CQ=x,那么5D=百+ l—x, A
在 RtdABD 中，BD2 = AB2 - BD2 ,
在及△ZCQ中，BD2 =AC2 -CD2, / \ \
・ •・ AB2 -BD2 = AC2-CD2, B /-------□——
代入计算可得：尸1,即CD=1, D
:・sin/CAD=,
AC 2
・ •・ N 040=30。，
: ・BD=C, AD=y/3,
：.ZBAD=45°,
： ./BAC= NCAD+ /BAD=75。.
留题型方法5、遇见120。，135。，150。角时，找邻补角
【变式1】【解析】要求5C长，已知NA4C=135。，所以需通过135。角构jt它的邻补角，这样才能
解题.
【解答】解：如图，作题azc交。的延长线于点Z),
^SlAD=x,
• ・• ZBAC=135°f
ZBAD=45°,
・ ・・△25。为等腰直角三角形，斜边/5=而，
:.bd=ad=45 ,
：.CD= 2旧,
在直角△BCD中，
BC = y]BD2-CD2 =5 .
【变式2】【解析】要求5C长，已知NA4C=120。，所以需通过120。角构造它的邻补角，这样才能
解题.
【解答】解：如图，作交C4的延长线于点。， %、
设/ 、、、4
• ・• ZBAC=120°f
J Z BAD=60°, B --------------------、C
9：AB=5,
203海
初中数学题型方法全归纳
・力。_5 5百
2 2
J CD=AD+AC=3 +- = —
2 2
在直角△BCD中，
BC = yjBD2-CD2 = 7 .
留题型方法6：解直角三角形
【变式1]解：在及和及△48中，
根据勾股定理得：AD2 =AB2 -BD2, AD2 = AC2-CD2 f
设 BD=x,则由 Z4 一及=402—c0 得:
202 -x2 =132 -(21 -x)2 ,
解得：x=16,即及)=16,
：.AD = y/AB2-BD2 = a/202 - 162 =12,
・・・4D的长为12.
【变式2】解：过点。作CF,45于点尸，
根据题意得：AB=AC=5, CF=DE=3,
由勾股定理可得4尸2 +c尸=402 ,
：.AF= = y]AC2-CF2 =&-32 = 4 ,
：.BF=AB-AF=5-4=1,
・••此时木马上升的高度为1米，
故选：A.
【变式3】解：梯子长度不变，DE=AB=2.5,
在及人岱。中，AC = y/AB2-BC2 = 2 ,
在及ACDE中,CE = y]DE2-CD2 =1.5,
所以，AE=AC-CE=0.5,
所以，梯子下滑了 0.5加.
【变式4】解：如图，梯子长度不变，CD=AB,
在MA4B。中，AB= y)AO2+BO2 = a/53 ,
所以，CD=AB=底,
在及△CDO中，DO= ^CD1 -co1 = 2VTT,
所以，BD=BO-DO=7-2历,
而7-2 而-1 = 6-2而，
因为6? =36, (2而丫=44, 36<44 ,
所以，6-2Vn<0 ,
所以，7-2而<1,
故选：C.
204海
几何专题-第六章 勾股定理
【变式5］解：设?tC=BC=a米，
由勾股定理得：+♦ = _.)2 +(〃 +炉,
化简得2〃(x-y) = /+y2>g ,所以，x>y .
故选：B.
【变式6】解：在和MA4QC中，
根据勾股定理得：AC2=AB2-BC2, AC2 = AD2-CD2,
设 CD=x,则由 ZB?-5。2=/02一82 得：
(4后-(x + 5)2 =523,
解得：尸3,即CD=3.
・・・。。的长为3.
留题型方法7:格点问题
【变式 1］解：(1) AD=^2+22 =275 ；
(2) Vt1C2 = 42 +32 =25, 452=(2右y=20, 5C2=22+12=5,
・ ・・ AC2 = AB2 + BC2,
：.ZABC=90°.
【变式2】解：(1) AC=屈,BC = A , AB = 242 ,所以△ZBC的周长为2而+ 2收；
(2)设5。边上的高是人
S^abc = 3x3- -xlx3x2- —x2x2 = 4 .
2 2
：.-BC-h = 4,
2
r_4而
• • /z 一 •
5
."C边上的高是观.
5
【变式3】解：(1)根据勾股定理得：BC = "2” = 2出,
AD = yj32+42 =5 ,
BD = G +4? =5 ,
AB =5 +42 =5 收,
• ・• AD2 + BD2 = 52 + 52 = 50 = AB2 ,
・ ・・△45。是直角三角形，
■ : AD=BD,
• ••△Z及)是等腰直角三角形，
故答案为：2石；5；等腰直角；
(2)根据勾股定理得：CD3+f =亚,
・ ., BC2+ CD2 = (2后 +(5 = 25 = DB2 ,
• ••△5C。是直角三角形，
205初中数学题型方法全归纳
35
/.四边形Z3CD的面积：—xV5x2a/5 +-X5x5 = 5 + —
2 2 2
【变式4】解：(1)根据勾股定理得ABf+f =底,
^d = V42 + i2 =Vn,
CD = yj22+l2 =V5 ,
5C = V42 +22 =2a/5 ,
故四边形45C。的周长为后+ 3石+后，
1 1 1 1 __~LSd_L
面积为5x5 ——xlx5 ——xlx4-l——xlx2 x2x4 = 14.5 ；
2 2 2 2
(2)连接及)，
,:BC=2M , CD=45 , BD=5,
：.BC2 + CD2 = BD2 ,
J ZBCD=90°.
・・・△BCD是直角三角形.
留题型方法8:最短路径问题
【变式1】解：如图，沿着5点将长方体切成两部分，
小一
所以，BC=5.
那么，相当于蚂蚁从，爬行到对角线8点， ；| ；
所以，根据长方体的最短路径得： ^\^7A
最短路径=/202 +(5 + 10)2 = 25 . Z
【变式2】解：如图，根据圆柱体得蚂蚁爬行路径得：
最短路径=川2+(3幻2 = J100 + 9M .
【变式3】解：由勾股定理得45 =出4。2一5。2 = Ju? —52 =12加,
则地毯总长为12+5=17^,
则地毯的总面积为17x2=34(平方米)， —
所以铺完这个楼道至少需要34x20=680(元). I一 一
4 B
故答案为：680.
最短路径：DC = y/AD2 + (AB + BC)2 = 7293 m.
留题型方法9：直角三角形翻折问题
【变式1】解：设及根据勾股定理，
AC=10, 4E=AB=6, DE=BD=x,
CE=AC — AE=4, CD=S-xf
在直角中，
(8-x)2=42+x2 ,
解方程可得：x=3.
所以，的长度为3.
206几何专题・第六章 勾股定理
【变式2】解：设CD=x,根据勾股定理，
Z5=20, BE=BC=\2, DE=CD=x,
AE=AB-BE=^, AD=16-x.
在直角△4CK中，
则(16-x)2=82+x2,
解方程可得：x=6,
在直角△5CQ中，
贝！J BD = >JBC2+CD2 =V122 + 62 = 6出,
所以，的长度为6石.
【变式3】解：设CD=x,根据勾股定理，
45=10, AE=AC=6f DE=CD=x,
BE=AB—AE=4, BD=8—x.
在直角△及加中，
则(8-x)2=42+x2 ,
解方程可得：x=3,即8=3,
所以,BD=8—x=5, ^BD=5.
在直角C。中，
则= &2+32 =3氐 即4。=3后.
国题型方法10：矩形翻折问题
【变式1】解：设OE=x,根据翻折性质，
AF=10, BE=8, CF=2,
^DE=x,则跳=D£=x,
CE=6 - x,
在直角ZXCE尸中，
则(6 -x)2 + 22 = x2,
解方程可得：x=—.
3
所以，CE的长度为6-
3
【变式2】解：设BE=x,根据翻折性质，
AF=6, EF-BE-x, CE= 8 -x.
根据勾股定理，
4C=10, CF=4,
在直角△CE/中，
则(8-x)2=42+x2 ,
解方程可得：x=3.
所以，的长度为3.
207初中数学题型方法全归纳
【变式3】解：根据翻折性质，
AE=AB=6, ZACE= ZACB= ZDAC,
所以，AF=CF,
因为，DF:AF=\:2,
设DF=x,贝必后=CF=2x,
在直角△CO9中，
则（2» =6?+必，
解方程可得：x=2y/3 .
所以，。尸的长度为2百.
【变式4】解：根据翻折性质，
AE=CE, ZCEF=ZAEF=ZCFE,
所以，CE=CF.
设C£=x,贝!LDE=10 —x,
在直角△（?£>£中，
则（10-4+62=/,
解方程可得：x=—.
5
所以，CF的长度为:.
留题型方法11：赵爽弦图
【变式1】解：如图做辅助线，构造弦图，
那么，LGAK必ACH,
所以，GK=AH=BC=16,
所以，Saaeg = L. AE GK = 96 .
2
【变式2】解：如图做辅助线，构造弦图，
那么，4EFG咨4CED,
所以，FG=DE=3, EG=CD=4,
所以，DG=EG-DE=l,
所以，CN=DG=\, GN=CD=4,
所以，BN=BC+CN=5, FN=FG+GN=7,
在RtABNF中,BF=y/BN2 +FN2 =V73 .
【变式3】解：如图做辅助线，构造弦图，
那么，AABGQ£\BCN"4CDHQ丛DAM,
所以，DM=AG=5, BG=AM=4,
所以，HM=DM—DH=\, MG=AG-AM=\,
在及△MG4中，GH= y）HM2+MG2 = V2 .
208卷
几何专题-第六章 勾股定理
【变式4】解：如图做辅助线，构造弦图,
那么，△/OG为等腰直角三角形，
而。4= 6a/2 ,
所以，4G=12,
而△Z5C 之△GF5,
所以，BG=AC=AB+AG=16.
209留题型方法1:平行四边形的性质
【变式1］解：・・•四边形是平行四边形,
：.AD=BC, AB=CD, ADUBC,
又•・,平行四边形ZBCD的周长为20c加,
.\AB-^-BC=10cm,
•・,4E平分NB4D,
・・・ ZBAE= NDAE= ZAEB,
：.AB=BE,
再由4B+BC=4B+BE+CE= 10cm, CE=2cm,
得：AB=4cm,
【变式2］解：・・•四边形48s是平行四边形，
：.OA=OC, OB=OD,
又 *：A C+BD=24cm, A ________ d
.•・ 04+08=12, /
又知△048的周长为18cm, b
.\AB=6cm.
又・・,点£、厂分别是线段40、3。的中点，
/. EF= — AB=3cm.
【变式3］解：・・•四边形4gs是平行四边形，
・・・ ZA=ZDCB=65°f
又•： DB=DC,
：.NDBC=/DCB=65。,
又,：CELBD,
：.Z5C£=90°-65°=25°.
【变式4］解：与ADCFE的周长相等，且C0=CD,
：.AD=DE,
：.NDAE=/DEA,
V ZBAD=60°, Nb=110。，
A ZADC= 120°f ZCDE=ZF=UO°f
：.ZADE=360° - 120° - 110°=130°,
【变式5】解：设4、CD间距离为人，AD、BC间的距离为为2,
210几何专题・第七章 平行四边形
Si + S3 = — , A.B , hi , S? + S4 = — , AD , hi ,
2 2
又 S四边形abcd = AB 'h\ = AD - hi.
故选：D.
【变式6】解：设C。、跖间的距离为历，EF、45间的距离为生，由生=包=如
5i Sz hi
Si x S3 = S2 x S4 ,
故选：D.
a：AB=AC, ：. ZB=ZACBf
又•・・四边形是平行四边形,
:.AE//BD, AE=BD,
：./ACB=NCAE=/B,
：./\BAD^/\ACE；
(2)过N作4GJ_8C,垂足为G.^AG=x,
在及△ZGD中，
•・・ ZADC=45°,
'.AG-DG=x,
在及△/GB中，
Z5=30°,
:.BG=百x ,
又・・・80=10.
:・BG — DG=BD,
即，V3x-x =10,
解得ZG=x= - J = 5a/3 + 5 ,
V3-1
S平行四边形zme =BD-AG=10x (5 + 5) = 5Gm + 50 .
［变式 9］解：(1) CD=AF+BE.
(2) (1)中的结论仍然成立.
证明：延长E4到G,使得4G=BE,连接。G.
,/四边形”CO是平行四边形，
：.AB=CD, ABH CD, AD=BC.
・・Z£_LBC于点E,
・・・ ZAEB=ZAEC=90°.
211卷
初中数学题型方法全归纳
・•・ /AEB=NDAG=90。.
•；AE=AD,
：.AABE^ADAG.
・・・N1 = N2, DG=AB.
・・・NGFD=90。- N3.
"尸平分NZDC,
AZ3=Z4.
VZ1 + Z5=9O°, ZB=Z^DC=Z3+Z4,又N1 = N2,
・・・N2+2N3=90。，
：.ZGDF=Z2+Z3=90°- Z3.
：.ZGDF=ZGFD.
：.DG=GF.
：.CD=GF=AF+AG=AF+BE.
即 CD=4F+BE.
留题型方法2：平行四边形的判定
【变式1]解：••16,助于点昌 WBQ于点凡
・•・ ZDFC=ZBEA=90°,
,: DE=BF,
：.DE-EF=BF-EF,
即
4 . T A » [CD = AB
在及△QCF和及中，\ ,
[DF = BE
：.RtADCF^ Rt/\BAE{HL),
：・CF=AE,故选项4不符合题意；
•・Z£_LAD于点£, CFLBD于点F,
：.AEHFC,
•：CF=AE,
：.四边形以弘£是平行四边形，
：.OE=OF,故选项5不符合题意；
•：RtADCFQRtABAE,
：・/CDF=/ABE,
C.CDUAB,
,: CD=AB,
・•・四边形48s是平行四边形，故选项。不符合题意；
无法证明△CQE为直角三角形，故选项。符合题意.
故选：C.
【变式2]解：・・・。、£分别是45、6c的中点，
212几何专题-第七章 平行四边形
・•・。£是人48。的中位线,
：.DE//AC, DE=-AC,
2
4、•: /B=/BCF,
：.CFHAB,即CF//4D,
・・・四边形4。回。为平行四边形，故本选项符合题意；
B、根据N5=N尸不能判定4C//2W,即不能判定四边形4D尸。为平行四边形，故本选项不符
合题意；
C、根据ZC=Cb不能判定力C//DR即不能判定四边形4。尸。为平行四边形，故本选项不符合
题意；
D、根据ZO=CF,尸。//ZC不能判定四边形4。尸C为平行四边形，故本选项不符合题意.
故选：A.
【变式3】B.
【变式4］解：连接G尸、EH,
・・・四边形45CZ）为平行四边形，
：.ADHBC, AD=BC,
:・/OGD=NOHB, ZODG=ZOBH,
•：AG=CH, ：.GD=HB,
:•△OGDQMOHB,
：.OG=OH, OD=OB,
■:DF=BE, ：.OF=OE,
・・・四边形丽G为平行四边形,
C.EGHHF, EG=HF.
【变式5］解：延长尸A、PC,使CF=CN.
连接MF、EN、ME、NF.
9：AP+AE=CP+CF,
：.PM=PN.
：.四边形M7WE是平行四边形.
:・ ME;MF, ZAME=ZCNF,
•：AE=AM, CN=CF,
：.AAME^ACNF,
：.AM=CN,
：.AP=CP, ZPAD=ZPCB,
：.AAPD^ACPB,:・PD=PB,
・•・四边形Z5CZ）是平行四边形.
留题型方法3:矩形的性质
【变式1】解：由矩形性质得：CD=AB=5, BC=AD=T2, ZABC=90%
213在及ZUBC中，AC=ylAB2+BC2 =13,
•・・。为/。中点，M为40中点，
：.OB= — , 0M=-9 AM=6, ^SL
2 2
故四边形4&OM的周长为：AB+OB+OM+AM=20, 勘七二-------
C
D
故选：D.
【变式 2】解：•： NDAB=NDAE+/BAE=90。,
：.ZDAE=67.5°, ZBAE=22.5°；
■: A0=B0,
：.ZEAC=61.5° - 22.5。=45。.
【变式 3】解：由平分NB4D可知，NBAE= /DAE= /AEB=45。,又NC4E=15。,
故 NB4C=60。，从而AB=BE=0B,
故 NB0E= 1 (180°- 30°)=75°.
【变式4】解：过P作为5的平行线分别交〃)、BC于E、F,过尸作5C的平行线分别交相、C。于G、
^AG=DH=a, BG=CH=b, AE=BF=c,
A E
DE=CF=d,于是 AP2 + CP2 = BP2 + DP2
故DP?: AF? MP? -BP2 = 18 ,
：.PD= 3y/2 .
【变式5】在矩形Z6C。中，•:ADIIBC, B F
：./DEF= /DEF= /EFB=60。,
・・,把矩形Z5CD沿瓦翻折点B恰好落在ZQ边的8'处,
J NAEF=NA'EF=120。,
：.ZA,EB=ZA,EF- /DEF=120。- 60°=60°,
在及△Z'£5'中，
•・• /4'"£=90。-60。=30。，
：.B'E=2A'E,而4*£=2,
・・・B'E=4,
：・AB，=26,即48=2道，
• ：AE=2, DE=6,
：.AD=AE+DE=2+6=8,
・ •・矩形4BCD的面积=48/。= 2G x8=16V3 .
【变式6】连接PO.
• ・75=6, BC=8, ：.AC=10, ：.AO=DO=5.
・ Slaod — Sabcd — x6x8=12 ,
4 4
214春
几何专题・第七章 平行四边形
S^aod = S^AOP + S^DOP = ^AO - PM + ^DO - PN = ^AO • (PM+PN),
:・PM+PN=^^ 24
5 5
国题型方法4：矩形的判定
【变式1】证明：(1) •・•点。是45的中点,
：.AD=BD,
在△ZQE和△及)方中，
AD = BD
< ZADE = ZBDF ,
DE = DF
・•・ AADEQ 丛 BDF(SAS)；
(2) U：AD=BD, DF=DE,
・ ・・四边形/必£是平行四边形，
・ ・,点。，£分别是45, 4C的中点，
・ ・・。£是△NBC的中位线，
J.DE//BC,
：./DEB=/CBE,
NABE=NCBE,
：./DEB=NABE,
：・DB=DE,
:・AB=EF,
・ ・・平行四边形是矩形.
【变式2】解：连接口.・・,在△4SC中，AB=6, AC=S, 5C=10,
・ •・ BC2 = AB2 + AC2, ：. ZA=90°.
又・：PEUB于点E,尸7LL4c于点？
・ •・ ZAEP=ZAFP=90°,
・ ・・四边形尸£4尸是矩形.
：.AP=EF.
・ •・当以最小时，斯也最小，即当4PJ_CB时，力最小,
9：-ABAC = -BCAP,
2 2
日口 AB AC 6x8 . .
即 AP =---------- =------= 4.8 ,
BC 10
・ ・・线段跖的最小值为4.8.
【变式3】证明：・・•四边形45CQ是平行四边形,
：.AD=BC, AD//BC,
：.NZ+N5=180。,
215______________________________卷
初中数学题型方法全归纳
•・・。是/5的中点，
：.AO=BO,
AD = BC
在△040和△CB。中，\AO = BO ,
DO = CO
：.ADAO^ACBO（SSS）,
：.NA=/B,
; Z^+ZB=180°,
・ •・ N/=90。，
・ ・•四边形43CZ＞是平行四边形，
・ •・四边形/5CZ）是矩形.
【变式4】证明：（1）・・•四边形488是平行四边形，
：.AB=CD, AB//CD,
：./ABE=/CDF,
■ :AELBD于点、E, CF上BD于点F,
C.AEHCF, Z GEF= ZAEB= Z CFD=90°,
,/ABE = ZCDF
在 ZUBE和甲中，\ZAEB = ZCFD ,
AB = CD
J AABE 咨 A CDF（AAS）；
（2）由（1）得：LABE义LCDF, AEUCF,
：.AE=CF,
,: EG=AE,
：.EG=CF,
・ ・・四边形£GCb是平行四边形，
又・.,NG£尸=90。，
・ •・四边形EGCF是矩形.
【变式5］（1）证明：・・•四边形45C。是平行四边形，
：.ADHBC, ABHCD,
・ ・・ /ADB=/CBD,
• :DE平分NADB, BF平分/CBD,
：.ZEDB = - ZADB, ZDBF=-ZCBDf
2 2
・ •・ ZEDB=ZDBF,
：.DE//BF,
又,： ABIICD,
・ ・・四边形。欧尸是平行四边形.
：.DE=BF.
216海
几何专题-第七章 平行四边形
(2) •:AD=BD, DE平分/ADB,
：.DELAB,
又•・•四边形DEAF是平行四边形，
・ ・・四边形尸是矩形.
留题型方法5:菱形的性质
【变式1］解：・・•菱形的对角线互相垂直且平分，
：.0A=3, OB=4, ZAOB=90°J
：.AB= >JOA2+OB2 = 5 .
【变式2］解：・・,菱形的边长相等，而周长为52,
，边长为52+4= 13。加，
如图，48=13,
若4。=10,则。/=5,
又知菱形的对角线互相垂直，
J N4 08=90。，
：.OB=ylAB2 +OA2 =12.
：.BD=2OB=24f
・ ,・菱形458面积为：-AC-BD=120.
2
故答案为：120c/.
【变式3】解：①如图，若N45C=60。，AC= 273 ,
V 四边形Z3CQ为菱形，
：.AB=BC, OA=OC, OB=OD,
• ••△45C为等边三角形，
：.OA=-AC=y/3 f
2
：.OB=y/3OA=3,
：.BD=6,即另一条对角线长度为6；
②如图，若N/5C=60。，BD= 2a/3 ,
・ ・•四边形"CD为菱形，
：.AB=BC, OA=OC, OB=OD,
• ••△42C为等边三角形，
：・ ob=Lbd=6
2
OA — —— OA=1,
3
：.AC=2,即另一条对角线长度为2；
综上，另一条对角线长度为2或6.
217初中数学题型方法全归纳
【变式4】证明：：。、£分别是48、4C的中点,
：.DEHBC, H 2DE=BC,
又•： BE=2DE, EF=BE,
：.EF=BC, EFUBC,
・ •・四边形5CF£是平行四边形，
又•： BE=FE,
，四边形8C7国是菱形.
【变式5】解：（1）・・•四边形4BCD是菱形，
・ •・瓦）是NN3C的平分线，
又•：DELAB, DFLBC,
：.DE=DF,
（2） ^AB=AD=xcm,贝〃£=（8 -x）cm,
• ・・N£=90。，DE=DF=4,
：.RtAADE^?, AE2 + DE2 = AD2 ,
即（8-»+42=工2,
解得x=5,
. .AB=5cm,
・ •・菱形4BCQ的面积=/5xZ）£=20。/.
【变式6】解：作尸点关于及）的对称点尸，则尸尸二PF,连接£尸交助于点尸.
：・EP+FP=EP+FP.
由两点之间线段最短可知：当E、尸、尸在一条直线上时，取+尸尸的值最小,
此时£尸+尸尸二£尸+尸尸:£尸.
・ ・,四边形45CQ为菱形，周长为12,
：.AB=BC=CD=DA=3, ABIICD,
・：AF=2, AE=\,
：.DF=AE=\,
・ ・・四边形ZE尸。是平行四边形，
：・EF=AD=3.
・ ・・E?+FP的最小值为3.
故选：C.
留题型方法6：菱形的判定
【变式1］解：如图，AB=CD, AB=AD, NABC=/ADC.
连接四，9：AB=AD.
：./ABD=/ADB,
又丁 ZABC=ZADC,
：.ZCBD=ZCDB,
218卷
几何专题・第七章 平行四边形
：.BC=CD,
：.AB=BC=CD=AD,
・ ・・四边形45CQ是菱形.
故答案为：D.
【变式2］（1）证明：9：AF=DC,
：.AC=DF,
在△/3C和△。£尸中，
AB = DE
AC = DF
：.AABCm △DEF（SAS）,
：.BC=EF, ZACB=ZDFE,
：.BC//EF,
J四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：如图，连接交CF于点G,
・ ・•四边形3CE厂是平行四边形，
・ ••当5£_LC尸时，四边形BCE厂是菱形,
• ： /DEF=90。, DE=8, EF=6,
：.DF= yjDE2 +EF2 = V82 + 62 = 10 ,
a i q
： .FG=CG=BCxcosZBCA=6x- = —,
5 5
：.AF=CD=DF-2FG=W -- =
5 5
故答案为：
【变式3］（1）证明：当顶点4与。重合时, 折痕跖垂直平分ZC,
：.OA=OC, ZAOE=COF=90°f
・ ・•在矩形45CZ）中，ADIIBC,
：.ZEAO=ZFCO,
：.AAOE^/\COF,
：.OE=OF,
・ ・・四边形NFCE是菱形.
（2）过£点EMJL5C,贝！|： AE=BM,
设CM=x,
• : EF=2^ ,
：.OE=45 ,
： ・AE=AF= a/5 + x2 ,
,・Z5=4,
219初中数学题型方法全归纳
:・BF=G-11 , FM=2,
：.BM=BF+FM= Vx2-H + 2 ,
•：AE=BM,
.・・，5 + /=&-]1+2 ,
・・・x=2。即。4=26,
：.AC=2OA=4y[5 ，
• • S菱形/ecf = —AC - EF = 20 .
2
【变式4]（1）证明：・・,瓦）是△Z8C的角平分线，
J NEBD=NCBD,
■: DEIIBC,
:・/CBD=/EDB,
：./EBD=/EDB,
:・BE=DE；
（2）解：•:EDIIBC, EFIIAC,
・・・四边形EFCQ为平行四边形，
U：AB=AC,
：.NABC=NC,
9 ： EFI I AC,
：./EFB=/C,
：./EBC=NEFB,
:・BE=FE,
而 BE=DE,
:・DE=FE,
而四边形EFCD为平行四边形，
・ ・・四边形EFCD为菱形.
【变式5】证明：（1）・・,四边形是平行四边形,
：.AB//CD,
:・/FEB=/FGD, /FBE=/FDG,
・ ・,万是5。的中点，
：・BF=DF,
Z.FEB = ZFGD
在△5£尸和八06/中，]Z.FBE = ZFDG ,
BF = DF
：./\BEF^Rt^XDGF（AAS）；
（2）由（1）得：4BEFmRtADGF；
：.BE=DG,
220春
几何专题・第七章 平行四边形
■ : BEHDG,
・ ・・四边形。虚G是平行四边形，
V ZADB=90°, E是45的中点，
:・DE=>AB=BE,
2
・ ・・四边形OE5G是菱形.
【变式6】解：(1) •:AFHBC,
：./E4E=/CDE,
ZFAE = ZCDE
在△4EF和△DEC 中，<AE = DE
ZAEF = ZCED
・ •・ AAEF^Rt/\DEC(ASA)；
:・AF=CD,
•：AF=BD,
：・BD=CD,
(2)需要添加NH4c=90。，
证明：V ZBAC=90°, BD=CD,
：.AD=-BC=BD,
2
又•：AFHBD, AF=BD,
・ •・四边形4股。是平行四边形，
・ ・・四边形47明。是菱形.
国题型方法7：正方形的性质
【变式1】答案：150。.
解：・・,四边形Z5C。为正方形，ABCP为等边三角形,
ZABC=ZDCB=90°, /PBC=NPCB=60。, AB=BP, CP=CD,
：.NABP=/DCP=3。。,
：.ZBAP= ZCDP= I8。=75。,
2
又知 ZBAD=ZCDA=90°,
J ZPAD=ZPDA=15°,
：.ZAPD=l^°- ZPAD- ZPDA=150°.
【变式2】答案：120。，4vL
解：•・,四边形Z5C。为正方形，ABCE为等边三角形,
ZABC=90°f /CBE=60。, AB=BE,
：.ZABE=150°, ZCBD=45°,
：./BAE=/AEB=15。,
：.ZAHB= ZAEB+ ZDBE= 15°+60°+45°= 120°,
221岩
初中数学题型方法全归纳
• ： /BEC=60。, /AEB=15。,
：.ZGEF=45°,
・・・/是。£的中点，
."b是CE的垂直平分线，
J GC=GE,
：・/GCF=/GEF=45。,
・ ・・△C£G为等腰直角三角形，
・ ・,正方形的面积是64,
:・CE=BC=8,
：.CG=4亚.
【变式3】答案：45°.
解：・・,四边形45C。为正方形，连接CP
:・BC=CD,
在△BC尸和△DC尸中，
BC=CD, BP=DP, CP=CP,
：.△8C2Z\Z)CP,
・ •・NBC尸=45。，
又,： AB=QB,
:・BC=BQ,
在ZXBC尸和/xoc尸中，
BC=BQ, /CBP=/QBP, BP=BP,
：.XBCP义 ABQP,
：.ZBQP=ZCP=45°.
【变式4】答案：①②④⑤.
解：延长尸尸交45于点N,延长4P交所于点如右图.
・ ・,四边形45C。为正方形，
・ ••四边形尸A6£为正方形，
:.PN=BN=BE=CF, AB=BC,
：.AN=CE,
在ZX/NP和尸中，
AN=CE, NANP=/ECF=90。, PN=CF,
：./\ANP^/\CEF,
：.AP=EF.①正确；
又,： PFI/CE,
：.ZPFE=ZECF=ZBAP,④正确；
・ ・,四边形45C。为正方形，
J NPDF=45。,
・ ・•尸凡LCD于点R
• ••△尸。尸为等腰直角三角形，
:・PD=®PF=®EC.⑤正确；
222几何专题•第七章 平行四边形
/APN=NFPM,
而 N4PN+NM4P=90。，ZPFE=ZNAP
：.ZFPM+ZPFE=90°f
：.ZPME=90°,
：.APLEF.②正确.
综上，可知①②④⑤正确.
【变式5】(1) PB=PQ；
证明：过尸作P£_L5C, PF VCD,
•:P、。为正方形对角线ZC上的点，
:・PC平令/DCB, /DCB=90。,
：.PF=PE,
，四边形尸EC尸为正方形，
ZBPE+ Z QPE=90°, Z QPE+ Z QPF=90°,
・・・ /BPE=/QPF,
:.RtdPQF 乌 Rt&PBE,
：.PB=PQ.
(2) PB=PQ；
证明：过尸作PE_L5C, PF LCD,
■ :P,。为正方形对角线4C上的点，
:・PC平分/DCB, /DCB=90。,
：.PF=PE,
・ ••四边形尸£C/为正方形，
ZBPF+ Z QPF=90°, /BPF+ NBPE=90。,
・ •・ ZBPE=ZQPFf
：.RtAPQF^Rt/\PBE,
：.PB=PQ.
【变式6】解：(1),・,四边形45CD是正方形，
:・/BAE=NADF=90。, AB=AD=CD.
■ : DE=CF,
:・AE=DF,
'AB = AD
在和尸中,< /BAE = ZADF ,
AE = DF
：.ABAE咨 /\ADF(SAS),
：.BE=AF；
(2)解：・・Z5=4,四边形48CZ)是正方形，
：.AD=4f
・；DE=],
；・AE=3,
223春
初中数学题型方法全归纳
:・BE= JW + AE? = & + 32 = 5 ,
•・•△BAE^AADF,
：.BE=AF=5.
留题型方法8:正方形的判定
【变式1](1)证明：・・•四边形ZBCD是平行四边形,
又〈ACLBD,
・ •・四边形48s是菱形.
：.BC=CD,
又•： CE=BC,
:・BE=2BC,
:・BE=2CD；
(2)证明：・・•四边形45C0是平行四边形,
：.AD=BC, AD//BE,
又•： CE=BC,
:・AD=CE, ADHCE,
・ ・・四边形/C£Q是平行四边形.
• ・• N4c3=90。，
・ •・平行四边形是矩形，
又•： CA=CB,
：.CA=CE,
・ ,・矩形4C£Q是正方形.
【变式2](1)证明：在中，AB=AC, AD±BC,
：.ZBAD=ZDAC,
・ ・ZN是△ZBC外角NCM/的平分线,
・ •・ /MAE=/CAE,
：.ZDAE= ZDAC+Z CAE=90°,
又・・ZD_L8C, CEJLAN,
：.ZADC=ZZCEA=90°,
・ ・・四边形4QCE为矩形.
(2)当。时，四边形4DCE是一个正方形.
2
理由：・；AB=AC, ADLBC,
：.CD=-BC,
2
：.AD=-BC,
2
:・AD=CD,
・ ,・矩形40CE是正方形.
【变式3】解：(1)四边形/DCN为矩形,
224卷
几何专题•第七章 平行四边形
理由如下：・；AF=DC, AF//BC,
・・・四边形4FCD为平行四边形，
：.AF=CD,
又・・・£为4D的中点，AFHBD,
：.AE=DE, NAFE=/DBE,
ZAEF = ABED
在△4EF和△DEB 中 \ ZAFE = ZDBE ,
AF = CD
：.AAEFq ADEB(AAS),
:・BD=AF,
:・BD=CD,
又,： AB=AC,
C.ADLBC,
：.ZADC=90°f
J平行四边形4FCD为矩形；
（2）当△/BC为等腰直角三角形时，四边形ZOCF为正方形;
理由：•••△Z5C为等腰直角三角形，。为中点，
：.ADLBC, AD=-BC=BD=CD,
2
・ ・・平行四边形4OCF为矩形，
・ •・矩形Z/XT为正方形.
【变式4】证明：（1）,.ZD=CD,点£是也4c的中点,
：.DE±AC.
即得是线段4C的垂直平分线.
：.AF=CF.
：./E4c=NACB.
在及△48C中，由 NA4C=90。，
得 N5+N4c5=90。，ZE4C+ZBAF=90°.
・ •・ ZB=ZBAF.
：.AF=BF.
(2) •:AG//CF,
：./AGE=/CFE.
又•・•点E是边4C的中点，
：.AE=CE.
ZAGE = ZCFE
在和中，］AAEG = Z.CEF ,
AE = CE
：./\AEG^/\CEF(AAS).
：.AG=CF.
又・・ZG〃C产，
225春
初中数学题型方法全归纳
・•・四边形ZFCG是平行四边形.
•；AF=CF,
・ ・・四边形力尸CG是菱形.
在及△/BC中，由力b=CR AF=BF,得BF=CF,
即得点尸是边的中点.
又•： AB=AC,
：.AF±BC,即得N/FC=90。.
・ •・四边形4"G是正方形.
【变式5](1)证明：•・•四边形所GH为菱形，
:・HG=EH,
• ・・4H=2, DG=2,
:・DG=AH,
4 A -r a » {HG = EH
在及△D"G和AAEH中\ ,
[DG = AH
:.RtADHG 丝 AAEH,
：./DHG=/AEH,
* .• ZAEH+ZAHG=90°f
：.ZDHG+ZAHG=90°,
：.NGHE=90。,
・ ・•四边形为菱形，
・ ・・四边形为正方形；
(2)解：作FQ_LCD于。，连结GE,如图，
・ ・•四边形Z8C。为矩形，
：.AB//CD,
：.ZAEG=ZQGE,即 NAEH+ /HEG= NQGF+ /FGE,
・ ・・四边形斯G〃为菱形，
：.HE=GF, HE//GF,
：./HEG=/FGE,
：.ZAEH=ZQGF,
在和 尸中］ZAEH = ZQGE ,
HE = FG
：./\AEH必 QGF,
：.AH=QF=2,
Vr>G=6, CD=8,
:・CG=2,
• •.△FCG的面积=工 C&FQ=- x2x2=2.
2 2
226几何专题-第七章 平行四边形
留题型方法9：中点四边形
【变式1】D.
【变式2】解：如图，连接4C、BD.分别取边40、AB、BC、CD的中点£、F、G、H,
根据中点四边形模型的结论可知，四边形EFG”为平行四边形.
・・・四边形为菱形，
：.EH=EF, D
又•：EF=、BD, EH=-AC,
2 2
：・AC=BD,
故选：D.
【变式3】B.
解：连接/C, BD交于点。
①当M、N、P、。是各边中点时，根据中点四边形模型的结论可知四边形初VPQ 一定为平行四边
形，Z正确，不符合题意；
②NZBC=90。时，四边形跖VP0不一定为正方形，B错误,符合题意;
③•・・加、N、P、0是各边中点，
・•・由/选项的结论可知四边形一定为平行四边形，
又・：MN=；AC, MQ=gBD,AC=BD,
：.MN=MQ,四边形施VPQ为菱形，C正确，不符合题意;
④"、N、P、0是各边中点，
・•・由4选项的结论可知四边形肱\?0一定为平行四边形，
XACLBD,
：./MNP=90。,
・・・四边形MAP。为矩形，。正确，不符合题意.
故选：B.
【变式4】B.
解：①对于4, ,:E、F、G、4分别是&X BC、AC, 4。的中点,
：.EH//AB,且EH=LaB、
FG//AB, ^FG=-AB,
2 2
J.EHIIFG,且EH=FG,
・ •・四边形MG”为平行四边形，故4正确；
②对于5, 9：ACLBD, N3OC=90。, ZBOOZEHG,
：./EHG<90。,
・ ・・四边形EFGH不可能是矩形，故8错误;
③对于C, AB=CD, EF=GH=-CD, FG=HE=-AB,
2 2
：.EF=FG=GH=HE,
・ ・・四边形是菱形，故C正确；
④对于。，当E、F、G、〃是相应线段的三等分点（£、H靠近点D、F, G靠近点C）时,
227壹
初中数学题型方法全归纳
HE 1 FG 1
△EHDs丛BAD, ACFGsXCBA,——=一，——二一，
AB 3 AB 3
:・EH=FG,
■:EHHAB, FG//AB,
：.EH//FG,
・•・四边形£FGH是平行四边形，故。正确.
故选：B.
【变式5】D.
解：①对于4,,・•£、尸、G、〃是四边形/BCD各边中点，
・・・根据中点四边形模型的结论可知四边形斯G”为平行四边形，又AC=BD,
:・EF=FG,故四边形KFGH为菱形，故4正确；
②对于5,当£、F、G、〃是四边形4BGD各边中点，且48。时，
ZEFG=ZFGH= ZGHE=90°,故四边形£尸6〃为矩形，故3正确；
③对于C,如图所示，当E、尸、G、〃不是四边形/BCD各边中点时，
若EF//HG, EF=HG,则四边形为平行四边形，故C正确；
④对于。，如图所示，当£、F、G、〃不是四边形MCQ各边中点时，若EF=PG=GH=HE,则四边
形EFGH为菱形,故。错误.
故选：D.
留题型方法10：垂美四边形
【变式1】解：根据垂美四边形性质，
AB2 + CD2 = AD2 + BC2,
所以，AD=1.
【变式2】解：（1）因为
所以，4点在的垂直平分线上，
因为C0=C5,
所以，。点在灰）的垂直平分线上，
所以，连接ZC, ZC即垂直出），
所以，四边形458是垂美四边形.
（2）在直角中，
AD2 =OA2 +OD2@,
在直角△DOC中，
C0+m+g ②，
在直角△/。3中，
AB2 =OA2+OB2@9
228几何专题・第七章 平行四边形
在直角△5。。中,
BC2 =OB2 +OC2®,
①+④得：AD2 + BC2 = 0A2 + OD2 + OB2 + OC2 ,
②+③得：AB2+CD2 =0D2+OC2+OA2+OB2 ,
所以，AB2 + CD2 =AD2 +BC2 .
(3)如图，连接CG、BE,
NCAG=NBAE=90。,
同时加上NG4B得：
ZBAG=ZCAE,
XAC=AG, AB=AE,
所以，AGAB 义LCAE ,
所以，/ABG=/AEC,
而 N4£C+N4ME=90。，
ZAME=ZBMC.
所以，ZABG+ZBMC=90°,
所以，/BNM=90。,四边形8CGE是垂美四边形.
易知 CG=2拒，BE=2^ , BC=41\.
根据垂美四边形得性质：BC2 + EG2= CG2+ BE2,
所以，可求得，EG=y［ri .
留题型方法11：十字架模型
【变式1］解：作FHL45于H点,
则 尸 =2,
连接G£,设HG=x,
根据十字架模型，
△ABE 咨 MHG,
BE=HG=x, EG=A G=x+2,
在直角△5£G中，根据勾股定理得:
BE2+BG2 =EG2 .
解得：x=3,即8£=3.再根据勾股定理求得：AE=3屈.
【变式2】解：根据十字架模型，
△BCE 义 ACDF,
：.CE=DF=4-1=3.
【变式3］解：作尸于H点，
则
连接GE,设BE=x,贝lj5G=2x,
根据十字架模型，
△ABE”AFHG,
：.BE=HG=x,
229初中数学题型方法全归纳
根据勾股定理：EG=&,
：.AG=EG=45x ,
:・DF=AH=(』》x,
而 CF=BH=HG+BG=3x,
【变式4】【解析】题目中有等腰直角△4BC,它是正方形的一半，又已知4尸，所以，构造
十字架模型进行解题.可以过C点作4C的垂线交4。的延长线于点"，这样就构造出十字架模型了，
那么易证△54E1之△/CM.
【解答】证明：（1）过。点作4C的垂线交的延长线于点跖
・・・ ZBAC=ZACM=90°,
9：AFLBE,
：.NABE+/AEB=90。,
ZCAD+ZAEB=90°,
：.ZABE=ZCAD,
又•： AB=AC,
：./\BAE^/\ACM,
:・CM=AE=CD,
：.AM= Z CDM= ZAEB= ABAD,
：.AB=BD,
：・BF平分/ABD,
(2)由(1)得：AB+AE=BD+DC=BC.
留题型方法12:已知多中点，构造中位线
【变式1】10cm.
【变式2】1.
【变式3】10.
【变式4】证明：取ZD的中点连结和R0.
・・・£、厂是48、CD中点，
：.EM=-BD, FM=-AC.
2 2
又・；EF<EM+FM,
：.EF<^(AC+BD).
【变式5】【解析】£、尸为中点，构造三角形，使您喊为中位线，利用中位线性质解题，连接
并延长交5。于点G,那么，EF就是的中位线了，同时，还出现了 8字全等，这样4。就等于BG,
那么 4。）.
【解答】解：连接回并延长交于点G,
■: AD//BC,
230春
几何专题・第七章 平行四边形
・•・ /ADB=/DBG,
ZDAG=ZAGB.
又•： BE=DE,
：.AADE 会/\GBE.
：.AD=BG, AE=AG,
又・：AF=CF,
：.EF=-CG,
2
.・・ EF= I CG= 1 (BC - BG)= | (BC - AD).
留题型方法13:已知直角三角形，构造斜边中线
【变式1】解：连结。尸、EG,
可得：EG=-AC, DF=-AC,
2 2
所以，DF=EG,
又因为NMDQNMGE, MD=MG,
所以，△MDFQAMGE.
【变式2】解：取45的中点。，连结。。、DC,
则 8=1, DC=® ,
可得。。＜1 +后，
即。。的最大值为1 +四(。、D、。三点共线时).
【变式 3】(1) BM=DM, ZBMD=2ZBCD；
(2)结论不变,
证明：由题意知
A ZBME=2ZBCM, ZDME=2ZDCMf 两式相减，得NBMD=2/BCD.
【变式4】方法1：如图1,取ZC中点取4□中点N,连员% MF, NF, EN.
V ZABC=ZAED=90°, BM=-AC=FN, EN=-AD=MF.
2 2
J ABMF % AFNE,
:・BF=EF.
方法2：如图2,延长CB到此使得3=MC,
延长。£到"，使得NE=DE,
连接ZM、AN、MD、CN.
由 /ABC=/AED=90。,
△AMC, △4DN是等腰三角形，尸是CD中点，
则引力MD, BF=-MD, EF//CN, EF=-CN,
2 2
所以，△MAD^ACAN, MD=CN,
：.BF=EF,
231初中数学题型方法全归纳
留题型方法14：二倍线段的处理
【变式1】方法1：
【解析】要证线段的2倍关系，所以，找短线段4D的2倍，最直接的方式倍长就可以•倍长4。
到£,连接然后想办法证明45等于ZE就可以了.
【解答】证明：如图，延长4。至点E,使得ED=D4 连接
•：BD=CD, AD=DE, /ADC=/BDE,
A
：.△ CAD 丝 ABED, --------C
：.ZAEB=ZDAC=45°f
ZBAD=90°, B
：.NABE=450=/AEB,
：.AB=AE=2AD.
方法2：
【解析】倍长皿到及 连接CE也可以，同学们自行尝试证明一下.
方法3：
【解析】因为。是中点，所以，想到通过中位线找到ZD的2倍，可以倍长A4到昂 再连接CE,这
样的话，CE就是4。的2倍了，只需要证明C£=ZB即可.
【解答】证明：如图，延长以至点E,使得力£=43,连接
•：BD=CD,
・ ・・40是的中位线，
CE=2AD, CE//AD.
又・・・NA4O=90。，ZDAC=45°f
1・NE=NBAD=90。, NCAE=45。,
：.ZACE=45°=ZCAE,
:・CE=AE=AB,
；・AB=2AD.
方法4：
【解析】接着我们尝试找45的一半，使它的一半等于4。即可.最直接的方法就是取中点了.所
以，想到可以取功中点为凡然后连接。£,那么就是中位线，接下来只需要证明ZZA4E即可.
【解答】证明：如图，取的中点为£,连接。£.
又•： BD=CD,
・ ・・。£是△ZBC的中位线，
：.DE//AC,
：.ZAED+ZBAC=lSO°f
又・・・NA42>90。，ZDAC=45°, B
：.ZADE=ZDAC=45°, ZAED=45°,
：.ZADE=ZAED,
：.AD=AE,
：.AB=2AD.
方法5：
232几何专题・第七章 平行四边形
【解析】接着我们继续尝试找Z5的一半，题目已知。是5。中点，所以，想到通过中位线找至必5的
一半.可以取4C中点为£,然后连接QE,所以。£就是中位线，就是的一半了，接下来只需要证
明40=Z）£即可.
【解答】证明：如图，取4c的中点为。连接
又•： BD=CD,
・ ・・。因是△ZBC的中位线，
：.DEHAB, AB=2DE,
：.NAED+NBAC=180。,
又TN胡。=90。，ND4c=45。,
・ •・ ZAED=45O=ZDAC,
：.AD=DE,
:,AB=2DE=2AD.
【变式2】方法1：
【解析】要证5尸=2CE,想办法找到CE的2倍. 题目已知的是角平分线，CELBF,角平分线+
分垂线，所以，延长CE交友的延长线于点R这样C磁是CE的2倍了.接下来只需要证明。尸=血即
可.
【解答】证明：延长以交CE的延长线于点£,
・ ・,及）是NCA4的角平分线，
・ ・・ ZCBD=ZABDf
■: BD1CE,
：./BEC=NBEF,
又・：BE=BE,
：.△BEF^XBEC,
:・CE=CF,
ZBAC=90°f
：.ACLAB,即是直角三角形,
V ZBAC=90°f AB=AC, ZBEC=90°f
・・・ NABC=NACB=45。,
•・,及）平分N45C,
・ •・ ZABD=ZCBD=22.5°, ZACF=90° - 22.5° - 45°=22.5°,
J /ABD=/ACF,
又・；AB=AC, ZBAC=ZCAE=90°,
・ ・.LCAF 咨 ABAD,
:・BD=CF,
■ : CE+EF=CF, CE=EF, BD=CF,
：.BD=2CE.
方法2：
【解析】要证5尸=2CE,接着我们试着想办法找到及）的一半.最直接的方法是取5。的中点为G,
接着只要证明QG=C£即可，而C£在直角三角形中，是一个直角边，所以，要作辅助线把OG放到直角
233初中数学题型方法全归纳
三角形中，且QG也是直角边，所以，想到过G点作及）的垂线交于尸，连接。R这样，△。尸G就是
一个直角三角形，且。G为直角边，接下来去证明△DPG和全等即可.
【解答】证明：作DF//BC交AB于点、F,作bGJ_助于点G,
则尸也是等腰直角三角形，AD=AF,
又•： AB=AC,
：.BF=CD,
•・・及）平分N/8C, .
・•・ NABD=/CBD=225。,
,: DFIIBC,
：.ZBDF=ZCBD=22.5°=ZABD,
：.BF=DF=CD,
又•： FGLBD,
：.BG=DG,
又/ACE=/BDF=225。,
ZE=ZDGF=90°,
:•丛CDE 丝 XDFG,
：.DG=CE,
:・BD=2CE.
方法3：
【解析】方法2是过G点作及）的垂线交45于尸.那么可不可以过G点作8。的垂线交5C于G点，再
连接。G.因为及）是交平分线，那么，这样得到的三角形和之前的三角形也是全等的，所以应该也是
可以证明的.
【解答】证明：作她的垂直平分线产G,交BC于G,连接。G,
则△BQG是等腰三角形， A
,:AB=AC, ZBAC=90°, p E
：.ZABC-ZACB=45°, /
.；BD 平分/ABC,
；,/ABD=/CBD=225。, G c
J NBDG=/DBG=22.5。,
：.NDGC=45o=/ACB, BF=DF,
：.CD=GD,
YCELBD,
：.ZACE=90° - 22.5° - 45°=22.5°,
又/E=NDFG=90。,
:•△CDEQdDGF,
：.BD=2DF=2CE.
方法4：
【解析】根据方法2和方法3,三角形是具有对称性的，所以，想到作。自〃5。交43于点尸，连
接CR ^DGLCF^^G.这样等到的C5和及）是相等的，那么取C尸的一半，去证明它的一半和CE相
等也是可以的.
234卷
几何专题・第七章 平行四边形
【解答】证明：作DF//BC交AB于点F,连接CR作。G，C尸于点G,
则尸是等腰直角三角形，AD=AF,
又,：AB=AC, ZBAC=90°,
:・BF=CD, ZABC=ZACB=45°f
：.ABFD^/\CDF,
：.CF=BD,
易证△CD9为等腰三角形，
CG=FG,
V ZDCF=ZDCE=22.5°f 又 NE=NDGC=90。,
:•丛CDE”XCDG,
：.CG=CE,
：.BD=CF=2CE.
方法5：
【解析】要证3月 =2C£,继续试着找到四的一半.题目中三角形45C是等腰直角三角形，可取其
斜边5c的中点为那么可想到通过中位线找到四的一半，继续取CD的中点为R 连接〃凡 则W
是中位线，就是及）的一半了，接下来去证明“斤等于CE即可了.
【解答】证明：取5C中点跖 连接ZM、EM,
作MF//BD交AC于点、F,
：.AM=BM=CM,
又,： CE1BD,
：.AM=BM=CM=EM,
9：AB=AC, ZBAC=90°f
：.ZMAC=45°f
易证NMCA67.5。，而C沙及幺
J ZMEC=ZMCE=61.5°,
：.ZCME=45O=ZMAC,
•: BD 平%/ABC,
：.ZABD=ZCBD=22.5°,
：.ZFMC=ZCBD=22.5°,
：.ZAMF=67.5°=ZBCE,
：.△AMFQ4MCE,
所以，BD=2MF=2CE.
【变式3】【解析】要证/5=25C,倍长BC不行，取48一半也不行，根据题目已知条件，出现了
垂直和30。角，所以想到可以利用30。角所对的直角边是斜边的一半来证明，那么，就需要以48为斜
边，作一半直角三角形，那么，可以过4点作8。的垂线，这样就构造出了含有30。角的直角三角形.（当
然，倍长中线加至瓦 再连接也一样可以证明.） /
【解答】证明：作助角的延长线于点£,
在用△BCD和及△E4。中,
ZCBD=ZAED=90°f ZADE=ZBDC, AD=CD
：.4BCD 咨/\EAD,
235卷
初中数学题型方法全归纳
：.AE=BC,
在及ZXZBE中，
•/ N4BD=30。,
：.AB=2AE=2BC.
国题型方法15、不规则图形辅助线
【变式1】【解析】证明线段相等，可以用全等，也可以通过等角对等边.假如连接/G那么，
△ZCD和△ZCB的条件是边边角，不能得到它们两个全等.那么，想到连接四，这样BC、CQ在一个
三角形里，可以通过等角对等边进行证明.
【解答】证明：连接
,：AB=AD,
：./ADB=NABD,
又•: /ABC=/ADC,
：.ZCDB=ZCBD,
：.BC=CD.
【变式2】方法1：向外补形.
【解析】观察到NC=90。，ZADC=45°,这样可以把OA、CB延长交于一点£,就相当于把四边形
/HCQ补成了一个直角三角形，而且还是一个等腰直角三角形，方便我们进行各项计算.
【解答】解：延长。4、C5交于一点£,
V ZC=90°, ZADC=45°,
：.Z£=45°,
又•: NABE=9U。,
・・・和定都是等腰直角三角形,
:・BE=AB=2,
CE=BC+BE=5,
：.DC=CE=5.
方法2：向外补形.
【解析】观察到NC=90。，NB=90。，这样可以过D点作A4的垂线交切的延长线于£点，就相当于
把四边形48CQ补成了矩形.
【解答】解：过。点作切的垂线交切的延长线于瓦点,
那么，四边形5CDE就是矩形，
:・DE=BC=3, CD=BE,
VZC=90°, ZB=90°, ZADC=45°,
：.ZDAE=ZADE=45°f
是等腰直角三角形，
:・AE=DE=3,
；・BE=AB+AE=5,
：.CE=BE=5.
方法3：向内分割.
【解析】观察到N4BC=90。，/BCD=90。,所以，可以过4点作CQ的垂线交CD于片点，这样就将
236卷
几何专题・第七章 平行四边形
四边形/5CQ分成了两部分，一部分是一个矩形，另外一部分是等腰直角三角形.这样去计算就很方
便了.
【解答】解：过4点作交CD于£点,
又,： ABHDC, ZABC=90°,
・•・四边形是一个矩形，
:・CE=AB=2, AE=BC=3,
又知 N4£D=90。，NO=45。，
・・・是一个等腰直角三角形，
:・DE=AE=3,
：.DC=DE+CE=5.
方法4：向内分割.
【解析】直角梯形还可以分割成一个平行线边形，一个三角形，在CD上取一点£,使得DE=4B,
那么四边形力3助就是平行四边形，ABCE就是等腰直角三角形了.
【解答】解：在CD上取一点£,使得DE=W
又•： ABHDC, ZABC=90°,
・・・四边形45助是平行四边形，
；・DE=AB=2, /BDC=/D=45。,
又知 NC=90。，
・・・是一个等腰直角三角形,
：・CE=BC=3,
：.DC=DE+CE=5,
【变式3】【解析】观察到N45G90。，所以，可以过4点作5C的平行线，过。点作48的
平行线，这样就可以补出一个正方形/BCD出来了.
【解答】解：过Z点作4O//5C,过。点作CD///5,两线交于。点，
连接QP,
则四边形/BCD是正方形，
A ZBAD=ZADC=90°, AD=AB=AP,
由题目知NA4P=30。，
・•・ ZPAD=60°,
•••△4DP是等边三角形，
ZADP=60°, DP=CD,
：.NCDP=30。,
：.ZDCP=ZDPC=15°,
又知 NBCQ=90。，
/. NBC尸=15。.
237初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:图形旋转的性质
【变式1］解：・・•将ZUBC绕点，逆时针旋转55。得
；・/BAD=55。, NE=NACB=70。,
9：ADVBC,
：.ZDAC=20°f
：.ZBAC=ZBAD+ ZDAC=75°.
故选：C.
【变式2】解：就点。按逆时针方向旋转65。后得到△NbC,
:.ZACA=65°f
：.ZBCA^ZACA1- ZACB=65° - 20°M5°,
故答案为45.
【变式3］解：・・•将△ZBC绕点4按逆时针方向旋转得到△48C.
：.AB=AB\ nc=nc,
：./C=/CAB',
：.NAB，B=2/C=NB,
■ : ZBAC=W2°,
・ ・・NC+N5=78。，
.•.ZC=26°,
・ •・"=26。，
故选：B.
【变式4］解：・・・N4C5=90。，CQ是ZUBC的角平分线,
・ •・ Z^CC=45°,
・ ；将RtA4BC绕点4旋转,
：.AC=AC, ZACB=ZACB=90°,
：.ZAC'C=ZACC=45°f
：.N」CC=135。,
故选：C.
留题型方法2：奔驰模型
【变式1］解：如图，作等边ABPr,连接CP,
所以，NP'BP=600=NABC, BP=BP，=4,
所以，/PBP- /PBC=/ABC- /PBC,
所以，NABP=/P'BC.
238几何专题-第八章 旋转
又因为
所以，ABPA咨4BPC,
所以，R4=P'C=3,
在△PPC中，PC=5,
所以，NPP'C=90。,
又因为N5PP=60。，
所以，/BPC=150。,
所以，ZAPB=150°.
【变式2】解：如图将48尸。绕着点5逆时针旋转90。,
旋转后，5c和加重合，得到△BPZ,
所以，ABPC沿
所以，BP=BP=也,P'A=PC=L
连接PP 易知NPBP=90。，
所以，P'P=2, NBP'P=45。,
在△尸尸/中，pa=4s ,
所以，NAP'P=90。,
作BE垂直/P的延长线于点£,
则 NBPE=45。，
又因为BP=也，
所以，P、E=BE=1,
所以，AE=PA+P'E=2.
作班中，根据勾股定理，可求得45=石.
【变式3］解：以4P为边构造等边△，尸。如图所示:
连接办
因为 N A4 C= ZPAD=60°,
所以，ZBAD=ZR4C,
又因为4D=4P, AB=AC,
所以，△4D8g△4PC,
所以，BD=PC=5,
又因为尸。=灯=3, PB=4,
根据勾股定理逆定理可知，NBPD=90。,
又 N/尸0=60。，
所以，ZAPB=ZBPD- ZAPD=30°.
留题型方法3:费马点
【变式1］解：将△ZDC逆时针旋转60。至△4D,C,
连接。CB, CC,其中CZ交4。于点E,
所以4D=4), AC=AC, CD=CD\
239初中数学题型方法全归纳
又因为 NQ4D'=60。，
所以为等边三角形，DD』DA,
所以，DA+DB+DC=DB+DD'+D,C,
所以，。4+。3+。。最小值为8(7的距离,
易知四边形4BCC为菱形，所以，BC=2BE=6^ ,
所以，D4+05+。。最小值为6g.
【变式2］解：将2X3。尸顺时针旋转60。至△8CP,
A
连接PP, CA,
则4△5PC,
所以5尸=BP, BC=BC', PC=P'C,
又因为NP5P=60。，
B
所以尸P为等边三角形，PP=PB,
所以，PA+PB+PC=PA+PP'+P,C,
所以，H+PB+PC最小值为ZC的距离， D
作CD垂直，3的延长线于。点,
易知CD = 2, BD = —,所以，AD=AB+BD=C +旦,
2 2 2
根据勾股定理可得：4C=百+1,
所以，7M+PB+尸。最小值为6+1.
【变式3］解：将△BC尸逆时针旋转60。至△CPC,
连接PP, B'A,
则△CBP之△CB'P,
所以BC=B'C=5, PC=P'C,
又因为NPCP=60。，
所以△(??P为等边三角形，PP=PC,
所以，PA+PB+PC=PA+PP'+P,B1,
所以，7M+P8+PC最小值为48'的距离.
又因为N8C5'=60。，N4CB=30。,
所以，N4CB'=90。,
根据勾股定理可得：4B=国,
所以，刃+P8+PC最小值为"1.
【变式4］解：将△5C尸顺时针旋转60。至△8PC,
连接PH CA,
则尸。丝△8PC,
所以BP=BP, BC=BC\ PC=PC.
又因为NPBP=60。，
所以为等边三角形，PP,=PB,
所以，R4+PB+PC=R4+PP'+PC,
240几何专题-第八章旋转
所以，H+尸8+尸。最小值为4c的距离,
作CE垂直45的延长线于E点，
易知C£=l, BE=6
所以，AE=AB+BE=6 包
根据勾股定理可得：AC=e + 6 .
所以，处+尸5+尸。最小值为行+指.
【变式5］解：将人/)。尸顺时针旋转60。至△QPC,
连接PP, CA,
则△。?
所以。尸=QP, DC=DC', PC=PC.
又因为NPDP=60。，
所以△OPP为等边三角形，PP=PD,
所以，PA+PB+PC=PA+PP'+P1C,
所以，Rt+PC+尸。最小值为4c的距离，
作CX垂直4。的延长线于瓦点，
易知C£=4, DE=4也，所以，AE=AD+DE=46 +4.
根据勾股定理可得：/C=415 + 2后.
所以，功+PC+尸。最小值为4)5 + 2行.
【变式6］解：将ZX/B尸顺时针旋转60。至△4Pb,
连接尸'尸,
则△/B尸
所以4尸=/尸'，AB=AB', PB=PB',
又因为NB4 P=60。，
所以Zk/PP为等边三角形，PP=PA,
所以，PA+PB+PE=PE+PP'+P'B',
作5'尸，CD于点尸，交AB于G点、,
所以，PE+PP'+P'B' > B'E> B'F,
易知B'G=3JJ, FG=BC=6,所以，B'F=B'G+FG=3y/3 +6.
所以，口+尸5+P£最小值为36+6.
【变式7］解：将△B£C顺时针旋转60。至△5£'C',
连接EF,
则
所以8C=5C, BE=BE', EC=E'C,
又因为N即£'=60。，
所以为正三角形，EE』BE.
所以，EB+EC+EF=EF+EE+E'C',
作CG_L4。于点G,交BC于H点、,
241初中数学题型方法全归纳
所以，EF+EE'+E'CNC'FNC'G,
易知。归=5百，GH=AB=6,
所以，CG=C、H+HG=56+6,
所以，E5+KC+跖最小值为5百+6.
【变式8】解：将△8PC逆时针旋转90。至△CP8',
连接P/、BN,
则△8PC 之△CPB',
所以BC=EC, CP=CP', PB=P'B'.
又因为NPCP=90。，
所以/xpcp为等腰直角三角形，pp=6pc,
所以，PA+PB +42PC =PA+PP'+P'B1 >AB1,
作4。垂直夕。交夕。的延长线于点。，
在及△ZCD中，可求得：AD=—f
2
DB'=—,所以，AB'= V91 ,
2
所以，PA+PB +亚PC最小悔为回.
【变式9】解：将△取。逆时针旋转120。至△BPC,
连接PP, B，A.
则 ZkB尸Cg/\5PC,
所以5C=B'C, CP=CP', PB=P'B'.
又因为 NPCP=120。，
所以△PCP为顶角为120。的等腰三角形，
所以，pp=6pc,
所以，PA+PB + V3PC =PA+PP,+P,B, > AB1,
作4。垂直夕。交的延长线于点。，
在及△/C。中，可求得：AD=~.
2
」 沪
DB 2t ,所以,45'= ,61+ 30省，
所以，以+总+07。最小值为，61 + 30百.
【变式10】解：将A4PC顺时针旋转60。至△CP/',
取C4'、CP的中点4'、P”,
连接4'尸"、PP',
则△(?以名△CP4,
所以CP=CP, 04=04',我=?卬，
A'lPl=-A'P = -AP.
2 2
242卷
几何专题・第八章旋转
易知△(?尸P'是直角三角形，且NPCP=60。,
所以，PP'= — PC,连接A4”，
2
所以，-PA+PB+—PC =PB+PPl'+PA > BA",
2 2
因为NZC5=30。，ZACA'=60°f
1 2
所以，在比△§小”中，可求得：BA'=—.
2
所以，!24+尸8+如尸。最小值为旦.
2 2 2
【变式11］解：将ZXC尸8逆时针旋转90。至ZiCP9,
将夕、P以。为位似中，扩大2倍，
得到四、尸【连接5“尸“、PP”,
则△四 之△CP4,
所以 C尸=CP, CB=CB',
PB=P'B',
B”P”=2B'P=2BP.
易知△。?P'是直角三角形，
且 NPCP=90。，
所以，PP' = 4sPC ,连接4夕，
所以，PA+2PB + 由PC =PA+PP"+P'B，？AB”,
作5"。垂直ZC交4C的延长线于点。，
因为N4C5=60。，/BCB'=90。,
所以，NDC5'=30。.
所以，在及/XOC以中，可求得：DB”=4,
CD=4出，4。=4+4百，
根据勾股定理可得：AB”=415 + 2省.
所以，以+2尸5+国。最小值为415 + 2行.
【变式12】解：将八42。顺时针旋转60。至△CP4,
取C4'、CP的中点4”、P”,
连接4“尸"、PP\
则△CB4dCP4,
所以CP=CP, CA=CA\ B4=P4,
A}P''=-AlP=-AP,
2 2
易知三角形C尸P'是直角三角形，且NPCP=60。,
所以，PP = — PC,连接氏T,
2
243卷
初中数学题型方法全归纳
1 h
所以,2PA+4PB +2也PC =4( - PA+PB +、PC )=4(PB+PP”+P") > 4BZ”,
因为N/CB=30。，ZACA=60°,
13
所以，在及△5C4'中，可求得：BAU=—,
2
所以，27M+4P8+2Gpe最小值为26.
244几何专题・第九章圆
留题型方法1:弧、弦、圆心角、圆周角的关系
【变式1】证明：・・・/夕=。。，
：.AB = CD ,
：.ABC = BCD ,
:・AC=BD.
【变式2】解：连接如图，
,・0为30。，
J ZCOE=30°,
•：OC=OE,
：・/OCE=/OEC,
：.ZOC£=(180° - 30°>2=75°,
■:弦 CE//AB,
：.NAOC=/OCE=75。.
【变式3】证明：・：AB=CD,
：.AB = CD ,
：.AB-CB = CD-CB , ^AC = BD ,
:・/C=/B,
：.CE=BE,
【变式4］解：连接OC,如图，
ZABC=25°,
：.ZAOC=2ZABC=2x25°=50°,
・•・ N5OCM80。— NZOCM80。—50。=30。,
:.NBDC = -Z.BOC」x 130。= 65。.
2 2
故选：D.
【变式5］解：・.Z8_LC。，
J ZBPC=90°,
•.* /ABC=70。,
：.NBED=NBCP=180。— /ABC — ZBPC=180° - 70° - 90°=20°,
故选：B.
【变式6】解：根据图可知：ZABC = -ZAOB = 30°,
2
'：NB=55。,
由三角形外角性质可得：/A+NAOB=/ACB+NB,
：.ZA=25°.
245初中数学题型方法全归纳
故选：A.
【变式7］解：・・・乙4=54。，
・ •・ ZBOC=2ZA=10S°.
故选：B.
【变式8］解：・・・ 00=04,
J ZA=ZOCA,
・ ・・ZOCA=26°,
：.N4=26。，
J ZBOC=2ZA=26°x2=52°.
故选：C.
【变式9】解：连接。。、OD,
■ :AB=CD, ZAOB=42°f
：.NAOB=NCOD=42。,
：.ZCED = - ZCOD=21°.
2
故选：D.
题题型方法 圆内接四边形
2：
【变式1］解：,.・NZ)C£=64。，
・ •・ ZBCD=1800 - ZDCE=U6°,
• ・•四边形45CD内接于。。，
・ •・ ZA=180° - ZBCD=64°,
由圆周角定理，得NBOQ=2N/=128。.
故选：B.
【变式2】解：:四边形45S内接于。O,
・ ・・ N/+NCM80。，
• ・• N4=80。，
.\ZC=100o,
故选：B.
【变式3】解：由圆周角定理得，ZA = -ZBOD=70°,
2
• ・•四边形为。。的内接四边形，
J ZBCD=1SO°- ZA=U0°.
故选：B.
【变式4】解：V ZBCE=105°f
：.Z5CD=180°- Z^C^=180°- 105°=75°,
・ •・ ZBOD=2ZBCD=150°.
故选：A.
246几何专题・第九章圆
留题型方法3：点圆的位置关系
【变式1］解：・・・。。的半径为5c加，点尸到圆心。的距离为6°加,
的半径，
・・・点?在外.
故答案为圆外.
【变式2］解：・・・。0的半径为5M/,
点尸在。。内，
：.OP<5cm.
故答案为：V.
【变式3】解：由题意可作图可知：
・"4<5,
・ ••点P在。。内，
故4E确，B、C、。错误.
故选：A.
【变式4】解：•・•点。在线段45上，&0<AC<-ABf
2
：.BC>AC,
・ ••点5在。。外，
故答案为：点5在。C外.
留题型方法4：直线和圆的位置关系
【变式1］解：・・・。。的圆心。到直线1的距离为5,。。的半径为3,
V5>3,
・ ••直线和圆相离.
故选：A.
【变式2】解：•・,点4(2,1)到x轴的距离为1,圆的半径=1,
・ ••点4(2,1)至及轴的距离=圆的半径，
・ ••圆与x轴相切，
故选：B.
【变式3】解：如图，
V 。。的半径为5,点。到直线［的距离为3,
：.CE=2,
过点。作451.。。，垂足为交。。于4、B两点,且。£=2,
・ ・・。。上到直线，的距离为2的点为4、B、C,
・ ・・。。上到直线，的距离为2的点有3个，
故选：C.
【变式4］解：・・,点(-2,3)到x轴的距离是3,等于半径，
・ ,•点(-2,3)到y轴的距离是2,小于半径，
・ ••圆与歹轴相交，与x轴相切.
247初中数学题型方法全归纳
故选：B.
【变式5】解：过。作于。
在及△HC4中，
V ZACB=90°, AC=2f N8=30。，
：.AB=4,
：.BC= 4AB1 - AC2 = V42 - 22 = 26,
根据三角形的面积公式得：AB-CD=AC,BC,
.__ ^C-5C_2x2V3_ w
• • CD ----------- — — 7 B ,
AB 4
当圆与时43相切时，r = 6
当点4在圆内，点5在圆外或圆上时，〃的范围是2<〃<2石，
综上所述：尸的取值范围是尸=G或2。<2百，
故答案为：一百或2VT2行.
留题型方法5：弧长和扇形面积
【变式1】解：连接如图所示：
• ・・。是BC边上的中点，
C.ADLBC,
• ・• △Z8C是等边三角形，
・ ・・NB=60。，BC=AB=2,
: .AD=6 ,
・・・阴影部分的面积=60" *(1
360 2
故选：C.
【变式2】解：设圆锥的底面圆半径为小加，依题意，得:
_ 120% x 30
2兀丫 — ,
180
解得r=10.
故选：B.
【变式3]解：・・•扇形的圆心角为108。,半径为12cm,
・ 士 TT/rnrri/ 108万 X 12
• •扇形弧长=------ =727c cm,
180
圆锥的底面周长为7.2乃cm,
7 27r
・ ・・圆锥的底面半径=上 =3.6 cm,
2〃
故选：B.
【变式4】解：扇形面积="0万 x6：=[5。,
360
故选：D.
【变式5】解：圆锥的底面周长27rxi=2乃cm,即侧面展开图扇形的弧长为2»c加,
248卷
几何专题・第九章圆
设扇形的半径为凡则Lt? = 4%，而1 = 2万。加,
2
所以尺=4,
由弧长公式可得，”上=2»,
180
所以九=90,即扇形的圆心角的度数为90。，
故选：A.
留题型方法6：与圆周角、圆心角有关辅助线
【变式1】【解析】三个角大小不定，求其和，只能把三个角放在一起，
当作一个整体去求和，可考虑，通过同弧所对的圆周角相等，将角度进行转
化，将三个角放到一起，整体进行求和.
【解答】解：连结45、BC,
则 Z CAD+ ZEBD+ ZA CE
=Z CBD+ Z.EBD+ /ABE= ZABC=90°.
【变式2】【解析】要求N1 + N2,利用圆心角或者圆周角将问题进行转化，这样才能间接计算出
它们角度和.
方法1：利用同弧所对的圆周角相等，将两个角转化到一起.
【解答】解：如图，连接O£,
那么，NAOE=2NL
/BOE=2/2,
而 N/O£+N5OE=180。，
所以，Zl + Z2=90°.
方法2：利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系，将两个角转化到一起.
【解答】解：如图，连接
那么，Z3=Z1, A
而 N3+N2=90。，
所以，Zl + Z2=90°.
【变式3】【解析】题目已知NC45=36。，考虑作弧BC所对的圆心角，所以，连接OC即可.
【解答】解：连结。。，如图，
ZBOC=2 Z C45=2 x3 6。=72。,
•：OB=OC,
：・/OBC=/OCB,
：.NO5C=； (180。- NBOC)=g (180° - 72°)=54°,
・•・ ZABC= Z OB A+Z O5C=30°+54°=84°,
•・• ZD+ZABC=lS0°f
：.NO=180。-84。=96。.
【变式4】【解析】已知圆周角N4C5=60。，求线段长度，需要构造直角三角形，利用勾股定理进
行计算，并且需要把这个特殊的60。角放到直角三角形里，所以，在圆中，直径所对的圆周角为90。
249o
初中数学题型方法全归纳
角，所以需要作出直径.
【解答】解：如图所示，作。。的直径ZC,连结C8
则 N4C5=NC=60。，
又・・ZC,是。。的直径，
・•・ ZABC =90°,
：.AC=2BC,
“2百
..AC =----- m .
3
【变式5】【解析】已知圆周角NZ）O5=72。，根据圆的半径相等，可连接。。构造等腰三角形，根
据三角形的外角的性质，可得关于/£的方程，解方程，可得答案.
【解答】解：如图：连接。。，
CE=OB=CO,得：
ZE=ZAOC,
由NOC。是八灰）。的外角，得NOCD=NE+/1=2NE,
由0。=。。，得/D=N2=2/E,
由ND05是三角形△O0E的外角，
得 ZDOB= ZE+ ZD= ZE+2 ZE=3 ZE,
由 NQO3=72。，得 3N£=72。.
解得 NE=24。.
号题型方法7:与垂径定理有关辅助线
【变式1】【解析】如图，根据垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理进行计算.注意力8、
CD和圆心的位置关系.
【解答】解：如图，在比△CUE中，
OE=y/OA2-AE2 = V132 -122 = 5 cm.
在出中，
OF= VOC2-CF2 = V132 - 52 = Ucm.
：.EF=OF- OE=12 - 5=7cm.
同理可求出。G=12caw.
EG=5+12= 17。加.
贝（UH, CD的距离为17c加或7c加.
【变式2】【解析】如图，根据垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理进行计算.连接。。即
可构造出直角三角形.
【解答】解：连接OC,如图所示：
是。。的直径，CD LAB,
：.CE=-CD=2, ZOEC=90°,
2
设。。=OZ=x,则OE=x—1,
2501mm
几何专题-第九章圆
根据勾股定理得：CE2^OE2=OC2,
即 22+(x-1)2=x2,
解得：工=3,
2
故答案为：
【变式3】【解析】要求弦长，根据垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理进行计算.过。点
作CD的垂线，再连接。。即可.
【解答】解：过。作。尸，C。，交CD于点、F,连接8,
・・・方为CD的中点，即。尸=£>£
9：AE=2, EB=6,
：・AB=AE+EB=2+6=8,
・・。=4,
：.OE=OA-AE=A-2=2,
在及环中，NDEB=30。,
：.OF=-OE=1,
2
在及△0。尸中，0F=l,。。=4,
根据勾股定理得：DF=^OD2-OF2 =715 .
则GD=2D尸=2后.
留题型方法8:与切线有关辅助线
【变式1】【解析】要证OE为。。的切线，只要证垂直于8即可，所以，辅助线为连接8,
【解答】证明：如图，连接8,
・ ・•。为ZC中点，。为45中点,
・ ・・0。为△必。的中位线，
C.0D//BC,
・；DE_LBC,
：.ZDEC=90°,
：.NODE=/DEC=90。,
・ ・・OQ_LD£于点。，
・ ・・。£为。。的切线.
【变式2】【解析】要证CD为。。的切线，只要证CD垂直于8即可，所以，辅助线为连接
【解答】(1)证明：如图，连接8,
■ : AD//0C,
・・・N1=N3, N2=N4
OA=OD,
・・・N3=NZ,
AZ1=Z2,
U：OD=OB, OC=OC.
251卷
初中数学题型方法全归纳
:.△CODQXCOB,
：.ZCDO=ZCBO=90°,
・ ・・CD是。。的切线.
(2)解：连接5。，是。。的直径,
:.ZADB=90°,
在△ZX4B 和△BOC 中，
• : /ADB=/OBC, ZA=Z2,
・ ・・ ADABsABOC,
.AD BD
l*~OB~~BC
OBBD
：.BC =
AD
在及△加§中，由勾股定理得a/力长-= &2-22 =49.
,•・= 2见1=6五.
2
【变式3】【解析】要证GD为。/的切线, 只要证GO垂直于4G即可，所以，辅助线为连接4G.
【解答】（1）结论：GZ）与。4相切，
证明：连接4G,
•・,点G、月在圆上，
：・AG=AE,
・・・四边形是平行四边形，
：.ADHBC,
：.ZJ?=Z1, Z2=Z3,
'：AB=AGf
・•・ /B=/3,
AZ1=Z2,
・ ・・AAED咨dAGD,
：.ZAED=ZAGDf
・ .・£。与。4相切，/AED=90。.
：.NAED=90。,
：.ZAGD=90°,
：.AG±DG,
・ ・・G。与。力相切.
(2) VGC=CZ)=5,四边形45CD是平行四边形,
：.AB=DC, Z4=Z5, AB=AG=5,
■:ADHBC, ・・・N4=N6,
：.Z5=Z6=- ZB,
2
・・・N2=2N6,
/.Z6=30°,
252春
几何专题-第九章圆
・・・40=10.
【变式4】【解析】要证切线，必须连接8,然后证明N8歹 =90。，所以，辅助线做法就是连接
OD.
【解答】解：如图，连接8, BD,
为。。的直径，
J NADB=/BDC=90。,
在及△及）。中，
•：BE=EC,
：.DE=EC=BE,
：./EDB=/EBD,
•・・5C是。。的切线，
・•・ ZEBD+ZOBD=90°,
：./EDB+/OBD=90。,
又,： /ODB=/OBD,
；,/ODB+/EBD=90。,
・・・。/为。。的切线.
留题型方法9、隐形圆
【变式1］解：如图，因为力5=/。=4),
所以，B、C、。三点在以4为圆心，以为半径的圆上,
如图所示，
因为NA4C=24。，ZCAD=75°,
所以，ZBDC=\20, /DBC=3750.
【变式2］解：如图，因为
所以，B、。、。三点在以4为圆心，以45为半径的圆上,
如图所示，因为NA4C=44。，
所以，ZBDC=22°, NDBC=44。,
ZCAD=2ZCBD=88°.
【变式3］解：由翻折的性质可知，FP=CF=2,
即尸点到定点尸的距离不变，恒等于2,
所以，动点尸的轨迹是以方为圆心，以2为半径的圆，
那么，P到边45距离即为线圆距离，
作/G_L/8于G点，
那么，。到边45距离的最小值即为/G-2,
Ap kG
易知，△AGFsMCB,所以，——,
AB BC
而/月=4, 45=10,所以，FG」9 ,
5
所以，点尸到边距离的最小值是屿-2=9.
5 5
253初中数学题型方法全归纳
【变式4]解：如图所示，连接ZM、DM,
点”是点。关于直线，的对称点，
所以，AD=AM=5,
所以，动点M到定点，的，
距离不变，恒等于5,
说明点M的轨迹是以4点为圆心，
以5为半径的圆，
那么，线段CM长度的最大值即是ZC的距离加上半径5,
lf]]AC= 5V2 ，
所以，CW长度的最大值为5亚+5.
【变式5】解：如图，连接5G, BD,
△8£厂为直角三角形，
又环的中点为G,
1 3
所以，BG= — EF=—,
2 2
所以，点G的轨迹是以5点为圆心，
以士为半径的圆，
2
所以，OG的最小值即为四的距离减去半径士,
2
因为，AB=3, BC=4,所以，BD=5.
1 7
所以，0G的最小值为5--
2 2
【变式6】解：如图，连接ZH, A0,
因为/BHC=90。,
为定值，
所以，〃的轨迹是以8C为直径的圆，
其圆心为的中点。，
所以，的最小值即为4。的距离减去半径2,
在及△/口?中，根据勾股定理得：4。=2后，
所以，⑷/的最小值为2后-2.
【变式7]解：如图，因为N4PC=150。，
4C长度为定值，
所以，尸点的轨迹为圆，
且圆心在4c的垂直平分线上，
假设如图的。点即为圆心，
连接CM、OC,
作ODL4c于。点，
因为乙4尸C=150。，
所以，N/OC=60。，
254春
几何专题・第九章圆
又因为CM=OC,
所以，三角形4。。是等边三角形,
所以，OA=OC=AC=2,
所以，点尸的轨迹是以。为圆心，以2为半径的圆，
所以，5P的最小值即为50的距离减去半径2,
连接助，易知及D、。三点共线，
因为，△/C0之△4C5,所以，BO=2DO=2^ .
所以，5尸的最小值为2百-2.
【变式8］解：如图，因为乙4尸。=45。，4。长度为定值，
所以，尸点的轨迹为圆，
且圆心在/。的垂直平分线上，
假设如图的O点即为圆心，
连接04、OD,
作。bJL4□于E点，
因为 N/PZA45。，
所以，ZAOD=90°,
又因为04=。。，所以，三角形40。是等腰直角三角形,
因为力。=2百，所以，0F=AF=6 OA=OD=4g ,
所以，点尸的轨迹是以。为圆心，以指为半径的圆，
所以，/名的最大值即为K9的距离加上半径指，
连接£0,易知四边形/£0方为正方形，边长为百，
所以，EO=y/3 .
所以，尸£的最大值为G + 标.
【变式 9］解:(1)将4(-1,0), 3(4,0),
代入表达式，可解得：
a=— , b=~—.
2 2
1 3
所以，y = —x12 ——%-2 ,
2 2
所以c点坐标(}—.
(2)要使得N4必为钝角，
贝IJ尸点所处位置应该在以Z8为直径的圆内，
如图，以为直径做圆，圆心为£,交抛物线于。、尸两点,
连接/)£,因为48=5,
所以圆的半径吟
所以，DE=-,
2
255卷
初中数学题型方法全归纳
3
因为。£=一，所以，0D=2,
2
所以，。点坐标为(0,-2),
7
因为，是抛物线和圆的对称轴'
所以，抛物线和圆的另外一个交点厂和。点也对称,
所以，/点坐标为(3,-2),
所以，加的取值范围为-IVxVO或3<xV4.
【变式10］解：如图，为及△C。尸斜边中点，
所以，以PC为直径做圆与
那么圆石的半径等于
又因为以噂于
所以，尸在圆片上，
所以，/CFB=90。,
又BC为定值，
所以，尸的轨迹是以5C为直径的圆，
圆心为中点。，半径为3.
所以，/尸的最小值即为4。的距离减去半径3.
连接Z。，在•△/B。中，AO-5.
所以，力厂的最小值为5-3=2.
【变式11］解：连接£尸交尸。于点必
因为PE=2FQ,旦ABIICD,
所以，XPEMsXQFM,
相似比为2:1.
所以，FM=L EM=2, M点为定点，
连接氏0, BM=26,因为N5HM =90。，
所以以创办直径作圆N,圆N经过8点.
所以"的轨迹是以5M为直径的圆上，半径为0,
所以，。〃的最小值即为DN的距离减去半径后，
作MCL4D于K点，易知ZK=1, DK=2, KN=3.
连接。N,在RtADKN中,可求得：DN=4V3 .
所以，的最小值为而-行.
【变式12］解：(1)由题目可知，/ADT=/AET=90。,
所以，4、D、T、石四点共圆,
且圆心在/或中点。上，
作出圆。，如图所示，
因为/T是角平分线，
所以，DT=TE,
所以，AD = AE ,
256卷
几何专题・第九章圆
又因为4H_L5C,
所以，ZAHT=90°,
所以，X点在圆。上，
所以，ZAHD=ZAHE,
(2)因为/BDT=NAHT=90。, NCET=NAHC=90。,
所以〜△4HT, XCETs匕AHC,
由 n BH AH CH AH
所以，——=——，
BD DT ~CE~~ET '
又因为DT=TE,
BH CH
所以，——=——・
BD CE
【变式13］解：因为3D、 是高线,
所以，/BEC=/BDC=90。,
力5为定线段，
所以，B、C、D、£四点共圆，
所以，NDBC=NDEC,
又因为。GJ_C£于G,及口_及）于尸，
所以，/BED=/DGE=90。,
又为定线段.
所以，D、E、尸、G四点共圆，
所以，/DFG=/DEC,
所以，ZDFG=ZDBC,
所以，FG//BC.
【变式14］解：如图，连接Z。，AE, AC,
因为4040, AB=AP,
/BAP=/CAQ,
即两个等腰三角形顶角相等，
所以底角也相等，即N/5尸=N/CQ,
又乙45尸所对的弦为，£,
N4C0所对的弦为
所以，4、B、C、E四点共圆，
如图所示，因为N45O90。，
所以ZC为直径，圆心为ZC中点。，
所以ZC所对的圆周角N4EC=90。，即/£1_CQ,
又因为ZC=4。，所以£为。。中点.
留题型方法10：阿基米德折弦定理
【变式1】解：由阿基米德折弦定理可知：AF=CF+BC,
设贝l］CF=3r,
257初中数学题型方法全归纳
所以，x =6+3 -x,解得：% = 3 + "
2
【变式2](1)解：取中点为R连接ZR
则及
2
在及/中，
//_BF 屈
cos=------------,
AB 10
解得：AB二屈.
(2) 9：AB=AC,
J NABC=/ACB=NADB,
又・・・ZBAD=ZEABf
：.AABDsAAEB,
, AB AD
• •------- ,
AE AB
：.AD'AE=AB2 = 10.
(3)如图所示，连接CD,在上取一点G,使得BG=C。，连接4G,
又•： /ABG=/ACD, DA=DC,
：.AABG会△ACD(SAS),
：.AG=AD,
又 YAHIBD,
:・GH=DH,
：.BH=BG+GH=CD+DH.
留题型方法11：西姆松定理
【变式1】证明：・・・OPL45于尸点，4D上BC于Q点,
・•・ /BFH=/BDH=90。,
:・B、D、H、尸四点共圆,
而根据题目条件，。点向△取H三边的垂线，垂足分别为尸、。、R,
・・・尸、。、R三点共线，
同理，・・・B£_L4C于瓦点，于。点，
：・/CEH=/CDH=9U。,
：.C, D、H、E四点共圆，
而根据题目条件，。点向三边的垂线，垂足分别为0、R、S,
・・・。、R、S三点共线，
:・P、°、R、S四点共线，即。、R在直线尸S上.
【变式2】证明：设4BCE, △C。尸的外接圆交于。点和四点，
设M点在HE、CE、上的投影为P、。、R点、,则P、。、H三点共线，
同理，点〃在直线。C、CR。尸上的投影为点0、R、S,那么，0、R、S三点共线,
所以，P、0、R、S四点共线，
258卷
几何专题・第九章圆
在
△ZDE中，尸在4£上，。在上，S在4。直线上，
且尸、0、S三点共线，
所以，由西姆松定理逆定理可知，”点在△/。区的外接圆上，
在 △4AF中，P在45上，R在BFk, S在4F直线上，
且尸、R、S三点共线，
所以，由西姆松定理逆定理可知，M点在 △ZB厂的外接圆上，
综上，可知，
△BCE、ACDF、LADE、ZUB尸的四个外接圆共点.
259初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:平行线分线段成比例
【变式 1］解：■:DEIIBC, GF//AC,
• •.△ADEs^aBC, △BGFsABAC, △DGMsdDAE,且四边形厂是平行四边形.
.AG CF AD AE ME AG
BG BF AB AC DM DG
.FC _ AG
・ • ~DM — ~DG'
所以/、B、。正确，C错误.
故选：C.
【变式2】解：t：ABHCDHEF,
.BC AD _2 + l
* * CE -DF --y--5 ,
故选：A.
【变式3］解：・・•里=2,
AE
.CE 2
• •- —―,
CA 3
■ : DEIIAB,
.CD CE 2
• •---=---=一，
BC CA 3
故选：B.
【变式4］解：^ADIIBEIICF,
.DE AB 日 n6 —£尸 1
• •-----------, Bp =—,
EF BC EF 3
解得，EQ4.5,
故选：B.
【变式5】解：vhiihiih,
.AB DE Bn 3 2
• •- =--- ,即一=--- ,
BC EF 6 EF
解得，EF=4,
故选：D.
留题型方法2:位似
【变式1】解：•1△48C与△OEF位似，
:•丛ABCs/\DEF, BCHEF,
，丛OBCs^OEF,
260春
几何专题・第十章相似三角形
即Zx/BC与的相似比为1:2,
EF OE 2
与的周长之比为1:2,
故选：A.
【变式2］解：・・•位似中心为坐标原点，作与△Z5C的位似比为士的位似图形△/EC,
3
而8的坐标为(- 1,1),
7 9 9 7
二・夕的坐标为(-§})或(1-§ )•
故选：C.
【变式3］解：,・,图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2:3, AB=6,
.45 2日门6 2
3 AyBy 3
解得，AB・9,
故选：B.
【变式4］解：・・・△45。和八以)。是以点。为位似中心的位似图形，
J /\ABC^/\EDC,
• ••△45C和的位似比为1:2,
和△瓦)。的相似比为1:2,
则△4SC与△£DC的周长比为1:2,
• ； △ZBC周长为2,
• ••△即。的周长是：4.
故选：B.
留题型方法3、“8”字相似
【变式1］解：因为AB1CD,
所以，AABEsACDE,
又4E:CE=1:2,
所以，St^ABE Sl^CDE =1：4,
所以，S LCDE = 16,
而△ZB石和△5CE等高，所以，Sabce = 8,
所以，S^bcd = 24.
【变式2］解：因为DE//AC,
所以，ADOEsAAOC,
S XDOE S LAOC — 1：25,
所以，8:OC=1:5,
而△。。石和△ COE等高，
所以，SADOE : S^COE = 1:5.
【变式3］解：因为BC//AD,
所以，△BEFs^AFD,
而 3£:4。=1:2,
261初中数学题型方法全归纳
所以，BF:DF=l:2,
设BF=x,贝lj, DF=2x,
又知。尸 =1,所以，OB=x+\, OD=2x~\.
而。5=0。，所以，x=2.
所以,BF=2.
【变式4］解：作/G//5C交C5的延长线于G点,
因为BC//ZG, AE=DE,
所以，AAEGHDEC,
而/ G=CD,
又△AFGsABFC,
所以，AF:BF=AG:BC=1:2.
留题型方法4: 4字相似
【变式1】解：如图，连接4R贝〃方=。£
所以，NDAF=/ADF,
又/CAF=/DAF— ACAD,
NB=/ADF— /BAD,
力。为八州。的角平分线，
所以，/BAD=/CAD,
所以，NCAF=NB,
又NZ必为公共角，
所以，△E4Cs^FBA.
所以，AF2 =DF2=FB FC.
【变式2】解：(1)因为NOE5=N48C, NBDE为公共角,
所以，ADBEsADAB,
所以，—,即 DB? = DE , DA ；
BD AD
(2)由题知及"C。，
DE CD
所以，一=—，
CD AD
又N4DC为公共角，
所以，LDECsADCA,
所以，ZDCE=ZDAC.
【变式3］解：因为NZ为公共角,
所以，/XAECsdADB,
AD AB
所以,
~AE ~AC
又NZ为公共角，
所以，/\AED^/\ACB.
所以，ZAED=ZACB.
262卷
几何专题・第十章相似三角形
留题型方法5：射影定理
【变式1】解：（1）由射影定理可知,
AC2 =AD AB ,
所以，40=4.
（2）由射影定理可知，
AC2 =AD AB ,
设则 36=x-（x+5）,
所以，x=4.（-9舍掉）,
再根据勾股定理得：CD=2出.
（3）根据勾股定理得：AD=2店.
由射影定理可知，
AC2 =AD AB ,
e 1875 875
AB=-------, BD=------,
5 5
再由射影定理BC? = DB • AB ,
可得，BC=坦5.
5
【变式2】解：由射影定理可知，
AC2 =AD AB ,
而45=40+及）=8,
所以，AC=4.
【变式3】解：由射影定理可知，
AC2 =AD AB ,
所以，AB=8.
留题型方法6: 一线三等角
【变式1】解：设CZ）=x,
则三角形边长为x+3,
由一线三等角模型可知,
△ABDs^DCE,
所以，理上,
BD CE
所以，x=6,所以边长为9.
【变式2】解：设Z）尸=x,
由一线三等角模型可知，
△ABEs^DEF,
由 a AB CD
所以，——二——
AE DF
263初中数学题型方法全归纳
所以，%=-,所以。尸长为3.
2 2
【变式3】解：设4点坐标为(孙士)，
X1
8点坐标为(%2,&)，
X2
由一线三等角模型可知，
△ADOs^ocB,
AD OC OA
所以，——二—=—,
OD BC OB
2 k
而/£)=— , 0D= xi, OC= —Xi, BC=—,
X1 X2
所以，- 4.
留题型方法7：角平分线定理
【变式1】由角平分线定理得到 A 生 n =4 A 三 r =3J，
DB BC 4
由于48 =勿。2+次=5,
AD = -AB = —.
AT JR AC
【变式2】由角平分线定理得到方;而=三
Al AB + AC AB + AC
由等比性质得到:
16~ BD + CD~ ~BC
【变式3】•・,，D=3, DE=4,
；・AE=5,
V Z^C=90°, /Z)_L5c于。,
J /B=/DAC,
*.* /EAC=NB,
：.NDAC=/EAC,
.DC AD 3
=------=
CE AE~~5"
3 3
・•・ CD = -DE = -
8 2
2
由射影定理，AD2=CDxBD,
:・BD=6, BE=10.
【变式4】V ZACB=90°f CE上AB于E,
・•・ LACEs LABC,
.CF AC AB 5
=---- =
EF AE AC 3
264卷
几何专题・第十章 相似三角形
V ZACB=90°, AC=9f 48=15,
：・BC=12,
•・ZD平分N切C,
.AC CD 3
• •---=--- =一,
AB BD 5
.CD 3
• •----——,
BC 8
Q L
在•△ZCD中，由勾股定理得：ad=-4s .
2
【变式5】过P点做N4尸5的角平分线?E,交"）于E点,
V ZEPD=ZAPE=ZC,且NPDE=NCDB,
：.APDEsdCDB,
：.ED DC = PD DB = 3,
又由于尸£是角平分线，
.PA AE
• • =----，
PD ED
9：PA=PB=4,
4
/. AE = -ED ,
3
7
・・・AD = -ED,
3
7
J AD DC = —ED DC = 7 .
3
野题型方法8：米勒定理（最大视角）
【变式1】解：根据密勒定理：
N4PB存在最大值，
此时，CP=yJCAxCB=10,
所以，。尸=10时，点P为最佳射门点.
【变式2】解：根据题意，5C=10,
45=16,
根据密勒定理，
当PC= y/CAxCB = 4V10 时，
此时，看广告牌的效果最好.
【变式3】解：（1）因为乙电B+NC产£=90。，
ZAFB+ZBAF=90°,
所以，ZBAF=ZCFE,
又因为 NB=NC=90。，
所以，△ABFsMCE；
265春
初中数学题型方法全归纳
(2)因为NZFE=ND=90。，
所以，/、F、E、。四点共圆，圆的直径为
如图所示，则
要使得N4瓦)最大，即N/FE最大，
根据密勒定理，因为BCIIAD,
所以，尸在40的的垂直平分线上时，/AFE最大,
此时，BF=CF,
又因为 LABFs &FCE,
所以，理=竺，解得：CE=-,则。£="，
BF CE 3 3
所以，当。£=W时，/AED最大.
3
时题型方法9：手拉手相似模型
【变式1】解：由题可知：NBAC=/DAE=45。,
：.ABAC- ZCAD=ZDAE- ACAD,
：.NBAD=/CAE,
XV—= —= V2 ,
AD AE
：.△ABDs^ACE,
.AB AC BD _ r-
AD AE CE
【变式2】解：在及△Z5C中，可得：BC=8,
由题可知：NCEF=/B, ZACB=ZECF=90°,
工△CBAs^CEF,
.CB CE 4
• • ---- - ---- - ,
CA CF 3
又•： NACB - /ACE=/ECF- NACE,即 NBC£=N/C£,
・•・ ABAC- ZCAD=ZDAE- ZCADf
:.ACBEs^CAF,
NCAF=/B,
CA AF 3
又•: ZB+ZBAC=90°,
：./CAF+NBAC=90。,即/EAF=9。。,
设5£=4q,贝=3q, AE=10-4af
1 1 75
・•・ S.aef = -AE AF = -(10-〃)・ 3a = 一
2 2 8
所以。=3.
4
所以，BE的长度为4a=5.
【变式 3](1)证明：由题可知：BC=4, C4=3, NACB=90。, /BAC=/BPC,
266几何专题-第十章 相似三角形
又•: /ACB=NPCD=90。,
:•△CABs^CPD,
：.AC:PC=BC:CD.
（2）如图，连接4尸，当点尸运动到弧”的中点时，AP=BP,
*：AB=5,
:.ap=bp=^4i ,
c
作/EL C尸于E点，在及中， >
A L \
ZACE=ZABP=45°, AC=3,
AE=CE= — V2 , p
:・EP=2C,
：.CP=CE+EP=-41 ,
由（1）可知，AC:PC=BC:CD,
A3:-V2=4:CD,
2
CD= — .
3
(3)由(1)可知，AC:BC=CP:CD=3:4,
4
：.CD=-CP,
3
1 2
而 S.PCD = —CP CD = -CP2,
2 3
・••当C尸最大时，△PCD最大，而C尸为直径时，取得最大值为5,
此时，△尸co面积的最大值为2c尸2 =竺.
3 3
留题型方法10：圆塞定理
【变式1】解：设PC=x,则PZ)=3x,
根据相交弦定理，PA PB = PC PD ,
所以，6 9 = x 3x,
解得：x=3五,
所以，CD=4x=12亚.
【变式2］解：延长CO交。。于点。， 厂
由题可知，设CM=x,则必)=3x, (
根据相交弦定理，MA・MB=MCMD, ?
所以，1.5x4 = xx3x ,
解得：尸行， B初中数学题型方法全归纳
所以，OC=2x=2五.
【变式3］解：延长C尸交。。于点。，连接。C,
由题可设
根据相交弦定理，R4・PB=PC・PD.
所以，4 l = x x ,
解得：x = 2,解C尸=2,
又知。。=3,
在MZ\OC尸中，根据勾股定理可得：
OP=4s .
【变式4］解：•・,40平分N氏4G
.DC AC _ 2
又•： DC+DB=BC=5,
：.CD=2, BD=3,
由相交弦定理，得，D・DE=CD・BD=6.
【变式5】解：延长DC交。。于延长C。交。。于N.
V CD2 =AD DB , AD=9, BD=4,
：.CD=6,
在。。、。。中，由相交弦定理可知，
PE EO = DE EM = CE EN ,
设C£=x,贝(JO£=6f EN=6+x,
则(6+x)(6 - x)=x(6 - x+6),
解得x=3.
所以，CE=3, DE=3, EM=9,
所以P£.EQ = 3x9 = 27 .
【变式6］解：・・,弦Z5, CD交于点P,
：.由相交弦定理得以・尸5=尸。・尸。，
：E4=4, PB=3, PC=6,
：.PD=2,
・・,区4为。。切线，由切割线定理得：
AE2 = ED • EC = ED(ED + DP + PC) = ED(ED + 8),
■:AE=2小，
：.ED=2, £Z)=—10(舍去)，
:・PE=PD+DE=2+2=4.
留题型方法11：阿氏圆问题
【变式1］解：连接OC,取其中点为瓦
连接。尸，PE,
根据题目条件，可知，
268几何专题・第十章 相似三角形
。。=及，OE=—, O尸=1,
2
g、1 OE OP V2
所以，——=——二—，
OP OC 2
又NCO尸为公共角，
所以△OEPs/^qpg且相似比为注，
2
所以，PE= — PC,
2
这样就将问题转化为尸E+PQ的最小值问题,
易知，PE+PD>DE,
所以，、一PC+尸Z）的最小值即为QE的长度，
2
作及U45于尸点，作£G_LQB于G点，
1 3
而BG=EF=OF= —,所以，DG=DB - BG = —,
2 2
3
EG=BF=OF+OB 二一，
2
所以，DE=^~.
2
6 ah
所以，注尸c+p□的最小值为止.
2 2
【变式2】解：（1）在08上取一点C,
使得OC=1,连接。P, CP,
根据题目条件，可知，
0C=\, 03=4,。尸=2,
由 a OC OP 1
所以，——=—=-
OP OB 2
NBOP为公共角,所以AOCPs^opb,且相似比为L
2
所以，PC= = PB,
2
这样就将问题转化为我+尸。的最小值问题,
易知，PA+PC>AC,
而04=6,所以，OC=V37 ,
所以，4尸十工社的最小值为月.
2
（2）在CM上取一点Q,
7
使得。。=—,连接。尸，DP,
3
根据题目条件，可知,
269卷
初中数学题型方法全归纳
OD上,04=6,
3
0P=2,
OD OP 1
所以，一=—=-
OP OA 3
NZO尸为公共角，所以△OQPs^oa,且相似比为L
3
所以，PD=-PA,
3
这样就将问题转化为P5+PD的最小值问题,
易知，PB+PDNBD,
而08=4,所以，及人独Z.
3
所以，,4尸+BP的最小值为名昼.
3 3
【变式3］解：在上取一点G,
使得4G=1,连接G尸、AP,
根据题目条件，可知，
ZG=1, 48=4, AP=2,
而 n AG AP 1
所以，——=—二一，
AP AB 2
NA4P为公共角，所以尸8,且相似比为L
2
所以，PG=LpB,
2
这样就将问题转化为2(PC+PG)的最小值问题,
易知，2(PC+PG)2 2CG,
而力。=4,所以，CG=V17 ,
所以，尸8+2PC的最小值为2&V.
【变式4】解：在8C上取一点£,
使得BE=1,连接8尸，EP,
根据题目条件，可知，
BE=1, PB=2, BC=4,
二匚… BE BP 1
所以，一=—二一
BP BC 2
NCBP为公共角,所以ABEPsABPC,且相似比为
2
所以，PE=-PC,
2
这样就将四“C的最小值问题转化为求四房的最小值问题,
270卷
几何专题・第十章 相似三角形
易知，PD+PENDE,
而C£=3,所以，DE=5,
所以，尸。+,尸。的最小值为5,
2
当尸点处在G点时，此时，尸工尸。取得最大值,
2
最大值为。石的长度，
所以，尸。」尸。的最大值为5.
2
【变式5】解：在上取一点及
使得8E=4,连接AP, EP,
根据题目条件，可知，
BE=4,尸5=6, BC=9,
BE BP 2
所以，一=—二一，
BP BC 3
7
/CBP为公共角,所以ABEPsABPC,且相似比为
3
2
所以，PE=-PC,
3
这样就将尸刀+4尸。的最小值问题转化为求尸。+尸£的最小值问题,
3
易知，PD+PE之DE,
而C£=5,所以，DE=y/106,
所以，尸。+!月。的最小值为VI而,
2
7
当尸点处在G点时，此时，PD--PC取得最大值,
3
最大值为国的长度，
所以，尸。二尸。的最大值为阿.
3
【变式6】解：延长CD至£,使得DE=CD,
连接CH EP, AE.
根据题目条件，可知，
C尸=8, BC=4, CE=16,
由 z CB CP 1
所以，一二—=一,
CP CE 2
NBCP为公共角,所以且相似比为L
2
所以，PE=2PB,
所以，PA+2PB=PA+PE>AE,
因为/C=4, CE=16,
271春
初中数学题型方法全归纳
所以,
即，P4+2必的最小值为4a7 .
国题型方法12：瓜豆原理
【变式1】解：如图所示，
在直角ZUBC中，
BC=6, tanZ.BAC=~,
2
所以，AC=n, AB=6亚,
取48的中点为方，连接EF,
则£尸」力。=2,
2
所以，£的轨迹是以尸为圆心，以2为半径的圆，
所以，CE的最大值即为C尸的距离加上半径2,
因为C尸 =，48=3后，
2
所以，CE的最大值3指+ 2.
【变式2】解：如图，连接CF, AE,
因为 NED尸 =N/OC=90。，
同时减去N40F得：
/EDA=/FDC,
又因为DE=DF, AD=DC,
所以，4DAE会ADCF,
所以，CF=AE=\,
所以，尸的轨迹是以。为圆心，以1为半径的圆，
所以，4户的最小值即为4C的距离减去半径1,
而/。=2后，
所以，4月的最小值为2拒-1.
【变式3］解：因为C/_LH£,所以/BFC=90。,
根据定角对定边，
厂的轨迹是以3c为直径的圆，
设圆心为
根据瓜豆原理，主动点为R从动点为G,
从动点是C尸绕着尸点顺时针旋转90。得到，
而主动点尸的轨迹对应的圆心为“，
那么将绕着月点顺时针旋转90。就会得到：
从动点G的轨迹对应的圆心，设为N.
连接MV,贝！J, MN1BC且MN=BM=1,则以/=收,
所以G点的轨迹是以N为圆心，以及为半径的圆.
272登
几何专题-第十章 相似三角形
作的延长线于凡 易知4〃=3, NH=1,
根据勾股定理4N=而，
所以4G的最小值为4N- V2=V10-V2 .
【变式4】解：主动点为尸，制动点为D,从动点为R
从路径二制从距离
根据公式:
主路径二制主距离
而尸点所经过的路径长为8,
代入得：理二”
8 DP
因为△DP尸是等边三角形，DF=DP,
所以，从路径=8,即点尸运动的路径长是8.
【变式5】解：主动点为P,制动点为4从动点为8
从路径=制从距离
根据公式:
主路径二制主距离
而尸点所经过的路径长为ON,易得:ON=2指,
代人得:「
因为445尸是直角三角形,
且乙4尸3=30。,
AB V3
所以,
~AP 3
所以，从路径=2后，即点5运动的路径长是2行.
【变式6］解：如图所示，当445。=60。时，
作等边三角形得到C点，
易求得：OC=百，
当 N/5O=30。时，
作等边三角形得到。点，
易求得：OD=3,
根据瓜豆原理，C、。两点所在直线就是P的轨迹，
所以，作。£_LCZ),当尸点和瓦点重合时，。尸取得最小值,
在及△OC。，根据勾股定理，可求得：CD=26
而 Sacod = Loc . OD = Lcd . OE ,
2 2
3
解得：OE=-.
2
所以，。尸的最小值为士3.
2
【变式7】解：如图所示，当£点和4点重合时,
作正方形G点落在C点处，
当£点和。点重合时，
273初中数学题型方法全归纳
作正方形G点落在H点处,
且雌/O延长线上，DH=AD,
那么，根据瓜豆原理，
连接CH C”即为G点的轨迹，
作于当G点和M点重合时,
G/Z取得最小值，即"70=1,
在等腰直角△CHM中，
根据勾股定理，可求得：CH=C,
所以，CD=2叵.
所以，正方形45CZ）的边长是2拒.
【变式8】解：主动点为P,制动点为O,从动点为0,
从路径二制从距离
根据公式:
主路径二制主距离
而0点所经过的路径也是三角形,
并且个边长是ZUBC边长的左,
2
说明那个三角形的相似必为注，
2
那么‘两个三角形的面积比为;，
[f[J = 6 ,
S LABC
所以，点。的轨迹形成的封闭图形面积为3.
【变式9】解：连接。。，由3NC4B=2得：OC=2OA,
所以，这是一个瓜豆模型，
主动点为4制动点为。从动点为G
做轴于。点，。£，工轴于£点，
设4点坐标为（％二），C点坐标为（xo,X）,
X Xo
根据一线三垂直模型，△/DOsaoec,
—2
AD DO OA 1 g、| V
所以，一=——二—=一，所以，—=
OE CE OC 2 xo
Xo
所以，k=8.
留题型方法13：托勒密定理
【变式1］解：根据托勒密定理：AC BD + AD BC=AB CD .
又因为乙45。=45。，45为圆。直径，
所以，△45。为等腰直角三角形，
所以，ab=4iad, ad=bd,
所以，CA + CB = 42CD .
274卷
几何专题・第十章 相似三角形
【变式2］（1）是。。的直径，
・•・ ZADB=90°,即 ZADC+ Z CDB=90。,
V ZADC=ZABC, /CBF=/CDB,
：./ABC+ Z CBF=90°,即 ZABF=90°,
；・ABtEF,
・・・M是。。的切线；
(2)法1：作BG_LCD,垂足是G,
由题 ZADC= Z CDB=45°,
：.BG=DG= 3y/2 ,
•・• ZDAB=ZDCB,
：.tanZDCB = — ^~,
CG 4
:・CG=46,
：.CD = CG + DG = 4y/2+ 342 = 7y/2 .
法2：由托勒密定理，BD = AD = V2CD = 14 ,
/. CD = 7a/2 .
【变式3］解：根据托勒密定理：AB PC + AC PB = AP BC .
又因为
所以，出三=£生是为定值.
PA AC AC
故选：A.
【变式4】解：连接尸。、PR、QR.
在圆内接四边形ZPE。中，
由托勒密定理得/尸+ •依= 4R・P。.
又・.・N1=N2, Z3=Z4,
；./\PQRs/\CAB,于是丝="二".
AB BC CA
设上面的比值为匕
并考虑至但有。& = h48 , PR = k,AD , PQ = kCA,
于是可推得/尸+ = .
留题型方法14：托勒密不等式
【变式1】解：方法1：
如图，构造直角△/§£,使得BE=24B=2,则4£=石，
连接QX,
/CBD=NABE=90。,
所以，NCBD+ NABD=/ABE+ NABD,
即：NABC=NEBD,
在△氏4C和△跳D中，
275初中数学题型方法全归纳
RD
*
/ABC=NEBD,——=2,
BC
：.ABACS ABED,
:.DE=2下,
在中，ADNDE-AE=2亚-下=出.
・ ・・4。的最小值为后.
方法2：
设5C=q, BD=2a,
在及中，可得：CDfa,
在四边形488中，依据托勒密不等式得：
ABxCD+ADxBCNACxBD.
整理可得：AD>45 .
【变式2］解：^AE=CE=a, 则E=2也-a,
在Rt^ABE中,AB2+BE2=AE2 ,
解得：a=生m.
3
连接ZC,在及△48C中，
易得：ZC=4, /B4c=60。,
• 「NE4G=90。，所以，N。4G=30。，
在用ZMQG 中，AD= 2^3 ,
:,DG=2, /G=4,
；・PE=EF=AG=4,
在四边形/ECP中，依据托勒密不等式得：
AE xCP + AP xCE > PE x AC .
整理可得：AP+CP>^ .
【变式3】解：延长43至区 使得BE=4B=2,连接DE, PE,
在及△/£)£中，可求得：DE= 245 ,
■ :AB=BE, BPL4E,
・ ・・尸5是初的垂直平分线，
：.PA=PE,
在四边形/中，依据托勒密不等式得：
AD x PE + AE x DP > DE x AP .
整理可得：竺之立」.
276几何专题・第十一章 锐角三角函数
国题型方法1:正弦、余弦、正切
【变式 1］解：在及ZX/BC中，ZC=90°, AC:BC=1:2,
・ , BC 「
• • tciH A — = 2 ,
AC
故答案为：2.
【变式2】解：由勾股定理得，AB= ^BC2 + AC2 = V82 + 62 =10,
所以A = , cos A = = —， tan A = =—，
AB 5 AB 5 AC~4f
文.43 >43
合：sin A = — , cos A-- , tan A--.
5 5 4
【变式3】解：在△45。中，ZC=90°,若4g=3, BC=\,
所以s血A =生^ =-，
AB 3
故答案为：1
3
【变式 4】解：Vt1C=100, sinA = -
5
：.BC=60,
：.AB = ^AC2-BC2 =80 ,
故选：D.
【变式5］解：在比△/BC中，N4=90。，AB=3, BC=4,
• • cos B — — ，
BC 4
故答案为：
4
留题型方法2:特殊角的三角函数值
【变式I】…T，且a是锐角,
・•・a = 30°.
故选：A.
【变式2】解：
2
・・.锐角a = 30。.
故选：A.
【变式3】解：-sin600 =-x — = —
2 2 2 4
277壹
初中数学题型方法全归纳
故选：D.
【变式 4】解：2cos450 =2x —= V2 ,
2
故选：C.
【变式 5】解：V3 tan 60° = >/3 x y/3 = 3 ,
故选：C.
【变式6】解：根据锐角三角函数的意义可得，S〃45。=1,
故选：D.
留题型方法3：解直角三角形
【变式1】解：法一、如图，
在瓦△48。中，ZADB=90°f AD=BD=3,
：.AB = yjAD2+BD2 = V32 + 32 = 372 ,
・ …「BD _ 3 V2
• • cos NABC = = —x —,
AB 372 2
法二、在及△48D中，ZADB=90°, AD=BD=3,
：./ABD=/BAD=45。,
桓
/. cos ^ABC=cos45° =—— ・
2
故选：B.
BC 4
【变式 2】解：（1） 9：cosZABC= — = BC=8,
AB 5
・・・Z5=10,
9：ACLBD,
在及△4CB中，由勾股定理得，
AC = >]AB2-BC2 = V102 -82 =6,
即ZC的长为6；
(2)如图，连接CR过厂点作及)的垂线，垂足£,
;即为40边上的中线，
即尸为ZD的中点，
：.CF=-AD=FD,
2
在及△4CP中，由勾股定理得，
AD = ^AC2 +CD2 = V62 + 42 = 2后,
・・• △CEO为等腰三角形，FELCD,
：.CE=-CD=2,
2
在及中，EF = >JCF2-CE2 = V13-4 = 3 ,
FF 3_ 3
：.tanZFBD =——=
BE BC + CE To
278几何专题・第十一章 锐角三角函数
【变式3］解：・・・CQ_L/H,
：.ZCAD+ZDCA=90°,
• I ZACB=ZACD+ZBCD=90°f
：.ZBCD=ZCAD=a ,
在及△BCD中，
CD
■ : cos/BCD = --， CD=h,
BC
cos a
故选：B.
【变式4】解：取格点。，E,连接及），如图，
• I /CDE=/BDE=45。,
：.NCDB=90。.
V AD = V22 + 22 = 2 VI , AB = 6+12 =M ,
・ •・在班必中，°05/。5 = 生=咨=a5.
AB 屈 5
故选：B.
【变式5］解：如图，・.・。£〃/8,
・ •・ /BOD=/DCE,
sin / BOD=sin / DCE,
•： CE=4, DE=3,
：.DC=y/CE2 +DE2 = 5 ,
OF 3
/. sinZBOD=sin ZDCE =——=-.
CD 5
故选：D.
留题型方法4：解直角三角形实际应用
【变式1］解：如图所示，
3
在比△45C中，AC=sina^AB = - x 10 = 6 （?«:）；
3
在RtLDEC 中,DC=cos^DE=- x 10 = 6 （＞K）;
EC= 4DE1 -DC1 = V100-36 = 8 （米），
:・AE=EC — AC=8 - 6=2（米）.
故选：C.
【变式2】解：如图，过C点作/G_L45于E交DE于G,
・・・CD与地面的夹角NCDE为15。，NACD为75。,
・•・ ZACF=ZFCD- ZACD=ZCGD+ZCDE- ZACD=90°+15° - 75°=30°,
：.ZCAF=60°,
279初中数学题型方法全归纳
在用AUC/中，CF=ACsinZCAF = — m,
2
在比△CDG中，CG=CD• sin/CDE=L5• sinl5。,
h
：.FG=FC+CG = — + X.5 .s%15%1.3冽.
2
故跑步机手柄43所在直线与地面之间的距离约为1.3%
【变式 3】解：由题意得，4)=4000 米，ZADO=30°f CD=460 米，ZBCO=45°,
在M△40。中，
,・Z0=4OOO 米，N4DO=30。，
・・. 04 = ； 4）=2000（米），0。=等 AD= 2000百（米）,
在及△BOC中，ZBCO=45°,
：.OB=OC=OD - 5=（ 2000百-460 ）米，
：.AB=OB - OA= 2000百-460 - 2000=1004（米），
・•・火箭的速度为1004+3^335（米/秒），
答：火箭的速度约为335米/秒.
【变式4】解：在及△BCD中，
.. / D.二— BC
• tern BDC — ，
CD
BC=CDtan NBDC=20x，an450=20m,
在用△/CD中，
AC
•：tanZADC= —,
CD
：.AC=CD-tanZADC=20^tan52°^20^.2S=25,6mf
•\AB=AC - BC=5.6m.
答：旗杆”的度约为5.6加.
留题型方法5：胡不归问题
【变式1】解：如图所示，过。点作射线CG,使得NBCG=30。,
过。点作O£_LCG于£点，
在及△CDE 中，DE=-DC,
2
所以，AD+-DC=AD+DE,
2
作 4F_LCG 于 R
根据垂线段最短，所以4D+QEN4E
在及中，易求4F长度为3,
所以，ZQ+工。。的最小值为3.
2
【变式2】解：过尸作4。的垂线，交4。的延长线于£,
280卷
几何专题-第十一章 锐角三角函数
在中，ZEDP=ZDAB=60°,
所以，PE=^PD,即问题转化为：求出+尸£的最小值,
2
因为垂线段最短，
所以，当5、尸、E三点共线且垂直于4。时，
此时，PB+PE最小,作于R
所以，尸5+正尸。的最小值即为5尸长，
2
计算可得：依+西尸。其最小值为3百.
2
【变式3】解：过4作射线4G,使得NC4G=45。，
做尸4G于。点，PEUG于E点,
在中，NC4G=45。，
所以，PD= ­ PA,即问题转化为：求5P+尸。的最小值.
2
因为垂线段最短，
所以，BP+PD>BE,
在△45E 中，ZBAE= ZBA C+ Z CAE=60°, AB=2,
所以，be=6
所以，工~4尸+所的最小值为由.
2
【变式4】解：过。作45的垂线，交45于G,
因为如M=2,
所以，DG= — BD,
5
求CD+gm的最小值转化为：求CD+OG的最小值,
因为垂线段最短，
所以，当C、D、G三点共线且垂直于45时，
此时，CD+OG最小，作CF_LZB于R
所以，8+日及)的最小值即为CF长，
在及尸中，计算可得：CF=4后.
所以，CD+冷及)其最小值为4后.
【变式5】解：PFL4B于F,
因为菱形对角线互相垂直且平分，
所以，PD=PB,
所以,AP+BP+PD=AP+2PD=2(PD+1AP),
281卷
…一 ■ 一…
初中数学题型方法全归纳
在及尸尸中，PF=-AP,
2
求，尸+5尸+尸。的最小值转化为：求2%尸斤的最小值,
因为垂线段最短，
所以，当。、P、尸三点共线且垂直于48时，
此时，2（&P+尸尸）最小，作于£,
所以，2（。。+仍的最小值即为2ZM长，
在及中，计算可得：。£= 3百，
所以，4尸+5尸+尸。的最小值为6百.
【变式6】解：作。尸，45于尸，
在及△4”中，DF=-AD,
3
求CQ+'/D的最小值转化为：求C0+O厂的最小值,
3
因为垂线段最短，
所以，当C、D、尸三点共线且垂直于48时，
作 CE_L/B 于 £,
所以，CD+Z）厂的最小值即为CE长，
此时，。点位置在G点处，
1 J2
又sin/BCE=sinZBAO= 一，所以，tan Z.BCE=----，
3 4
在及△OCG中，因为OC=1,所以，OG=J,
6
所以，要使整个过程运动时间最少，则点。的坐标应为。+）.
留题型方法6： 12345模型
【变式1】解：做尸于C,
1 pc i
则山〃NE45=---- = —， tanZPBA=--- 二一，
AC 2 BC 3
根据 12345 模型，ZPAB+ZPBA=45°.
【变式2】解：在RtABCE中,由勾股定理得：BE=3,
所以，tanZBCE=—,
2
又因为 /BCE+ ZDCF=45°,
所以，tanZDCF=-,
3
所以，在及△CZ）尸中，DF=2,
所以，CF=2M.
282几何专题-第十一章 锐角三角函数
RF 1
【变式3】解：在吊中，tanZBAE=—— =-,
AB 2
又因为 ZBAE+ ND4 尸=45。，
所以，3NOCF=L
3
Q
所以，在及△CZ）尸中，DF=~.
3
【变式 4】解：在RtdABD中，tan/BAD=9 = B-,
AD AD
CD 7
在及中，tanZCAD=— =——，
AD AD
又因为 ZBAD+ Z CAD=45°,
3 2 _ 1
所以,
~AD 2 ~AD~3
所以，4D=6.
留题型方法7：探照灯模型（定角定高）
【变式1】解：如图，作△为5C的外接圆，
圆心为O,作0儿L5C于H,
则 N5OC=2N 胡。=120。，
所以，ZBOH=60°,
设圆。的半径为心
n 1
则OH=-r,
2 2
要使得△45。面积最小，即5。最小，即及/最小，即升最小,
3
而。4+0由一后4D,
2
所以，后2,
所以，BH= r > V3 .
2
所以，△Z5C面积的最小值为工x2百x3 = 3百.
2
【变式2】解：根据探照灯模型，4C=5C时，
AB、△48C的面积取得最小值，
又/ACB=60。,
所以，△Z5C是等边三角形，
若8=4,贝！］45=迪，
3
所以，△々C面积的最小值为、随x4 = ®8.
2 3 3
【变式3］解：将△4£射绕着4点顺时针旋转90。，
283卷
初中数学题型方法全归纳
得到445斤，
因为NE4产=45。，
所以，NE4D+NBAE=45。,
所以，ZF,AB+ZBAE=45°,
即 /尸/£=45。，
XAF=AF, 为公共边，
所以，AAEF^/\AEF\
XABLEF,且45=4,
所以，根据探照灯模型，4£=4尸时，"AB=NEAB=22.5。,
△4E尸的面积取得最小值，即△力斯的面积取得最小值，
取^尸中点为G,作交AB于H,
则N4尺以=/尸48=22.5。，所以，/FHB=45。,
设4B=x,贝lj印i HB=FB="x,
2
所以，根据力〃+如可求得：x=8-4V2 ,
所以，£尸=2尸5=8收-8,
所以，ZUE斤的面积为:x（8收-8）x4 = 16拒-16 .
所以，跖面积的最小值为16也-16 .
【变式4】解：将△0_/加绕着C点逆时针旋转135。，得到/XCB尸,
因为C£J_CR /ECF=9。。,
所以，/DCF+/BCE=45。,
所以，/FCB+/BCE=45。,即/尸CE=45。,
要使得四边形NEW的面积最大，贝必£。尸面积最小,
又CF=CF, CB1.EF,且C5=4,
所以，根据探照灯模型，C£=C尸时，/F'CB=/ECB=22.5。,
△C£斤的面积取得最小值，四边形ZEC尸的面积取得最大值,
取C尸中点为G,作GHLCF1交CB于H,
则 Z CF'H= ZF,CB=22.5°,
所以，/FHB=45。,
设C〃=x,则HB=F'B=—xf
2
所以，根据。升/ffi=C5可求得：x = 12收-12.
所以，EF=2FB=24 - 1272 ,
所以，尸的面积最小值为:《24-12万）.6收二72&-72 .
连接4G 则四边形45C。的面积=2S“bc,
耽4c中点为“，作MNUC如B于N,
则NCW=45。，所以，NB=CB=6® , NC=AN=12,
284卷
几何专题•第十一章 锐角三角函数
所以，四边形Z5CD的面积= 2S“8c = 2x；x（12 + 6后）x6逝=72逐+72 .
所以，四边形4ECF的面积最大值为（72后+ 72）-（726"-72） = 144 .
285春
初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:平行投影
【变式1】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行.得到的应是平行四边形或特殊的平行四
边形.
故长方形的正投影不可能是点，
故选：D.
【变式2］解：把一个正六棱柱如图摆放，束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是
矩形.
故选：B.
【变式3】如图所示，过^作于凡
/ABBi =45。,
・•・△力及7是等腰直角三角形，
・・・/由 ―25=5近 厘米，
2
J 4B尸AH=5O 厘米.
4八=4>10 厘米，
J 矩形 AxBxCxDx 的面积=AiBt AQi = 5后 xl（）= 5072 （平方厘米）.
答：投影面4BGD的面积是50拒平方厘米.
留题型方法2：中心投影
【变式1】解：由图易得/CV及），那么离路灯越近，它的影子越短,
故选：B.
【变式2］解：因为小阳和小明两人从远处沿直线走到路灯下这
一过程中离光源是由远到近的过程，所以他在地上的影子会变短，所
以他们两人之间的距离越来越近.
故选：D.
【变式3】解：由题意，得：
仄4到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后他与路灯的距离逐渐增加.
4、》随x的增加而增加，与题意不符，故4错误；
B、歹随x的增加而增加，与题意不符，故5错误；
。、y随x的增加而减少，与题意不符，故。错误；
D、当xV3时，）随x的增加而减少；当Q3时，）黜的增加而增加，故。正确.
故选：D.
留题型方法3：由几何体判定三视图
【变式1】解：由图可得，几何体的主视图是:
故选：B.
286眷
函数专题-第一章 平面直角坐标系
【变式2］解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B.
【变式3］解：圆柱的三视图分别是长方形，长方形，圆，不符合题意；
圆锥的三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意；
三棱柱的三视图分别是长方形，三角形，中间一条横线的长方形，不符合题意;
正方体的三视图是全等的正方形，符合题意.
故选：D. 口
【变式4］解：从几何体的左面看所得到的图形是：n
故选：C. □
【变式5】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D
不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以，不正确，
故选：B.
【变式6】解：该物体的主视图为：\
故选：B.
【变式7】解：如图所示：几何体的俯视图是:
故选：D.
留题型方法4：由三视图判定几何体
【变式I】解：由俯视图中的数字可得：左视图有3列，从左到右分别是2, 3, 2个正方形.
故选：D.
【变式2］解：由最下层放了 9个小立方块，可得俯视图（如图所示）.
若人为2时，d、e、于、g均可有一个为2,其余为1,共6种情况；
若a为2,则d、g可有一个为2,其余均为1,有两种情况；
若c为2,则d、g可有一个为2,其余均为1,有两种情况.
综上共有10种情况.
故选：C.
【变式3】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个.
故选：B.
【变式4】解：由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为-=± = 2,
2
・•・这个几何体的表面积=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积
二兀r1 + 27r泌 + 7trl .
=2?» +2x2x2〃+ 3x2a" = 18%.
故选：B.
【变式5】解：由三视图可知：底面等边三角形的边长为2,该几何体的高为2,该几何体的左视
图为长方形，
该长方形的长为该几何体的高2,宽为底面等边三角形的高，
287春
初中数学题型方法全归纳
・・•底面等边三角形的高=2血60° = 2 x.=行，
2
・・・它的左视图的面积是2百.
故选：D.
[wn~T]
【变式6】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示:
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5.
故选：b. nn――
【变式7】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最少有2个， T视图
第二层最少有1个小正方体，第三层最少有1个小正方体，
则这个几何体的小立方块的个数最少是2+1 + 1=4个.
故选：C.
【变式8】解：由俯视图可知，碟子共有3摞由主视图和左视图可知，
这个桌子上碟子的摆放如图所示，其中，数字表示每摞上碟子的个数， | 4 | 3 |
则这个桌子上的碟共有4+3+5=12（个）. |5 |
故选：C.
留题型方法5：中心投影与相似
【变式1]（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置,
线段灯/为小亮在灯光下形成的影子.
4 R CA
（2）解：由己知可得，—,
OD CD
.1.6 _ 1.4
・ ・访1.4 + 2.1 '
OD=4m.
・ ・・灯泡的高为4加.
【变式 2】解：V ZMAC=ZMOP=90°f
ZAMC=ZOMP.
：.AMACsAMOP,
.MA AC
解得，M4=4米，
同理，由△NBDs^NOP,可求得冲=1.2米, O B N A M
则马晓明的身影变短了 4-1.2=2.8米.
・ ,•变短了，短了 2.8米.
【变式3]解：延长OZ）,
■ : DOLBF,
：.ZDOE=90°f
OD=O.Sm,。£=0.8冽，
288函数专题・第一章 平面直角坐标系
・・・/DEB=45。,
tJABLBF,
：./BAE=45。,
:,AB=BE,
^AB=EB=xm,
'：AB±BF, COLBF,
:.AB//CO,
：.△ABFsAcOF,
.AB CO
,■------=-------
BF OF
x 1.2 + 0.8
代入得:
x + (3-0.8) -3~~
解得：尸4.4.
经检验：尤=4.4是原方程的解.
答：围墙45的高度是4.4加.
289I，
3函数专题篇函数专题-第一章 平面直角坐标系
留题型方法1:象限点的特征
【变式1］解：・・・尸(。+6,仍)在第二象限，
*.a+b<Q, ab>。,
：.a<0, bVO,
— Q > 0,
J点。(-Q,b)在第四象限.
故选：D.
【变式2］解：・・•点/g+l力-2)在第二象限，
・ ・・q+1V0, b-2>0,
：.a<-\, b>2,
：.-a>\, Z?+l>3,
・ ••点5(-助+1)在第一象限.
故选：D.
【变式3］解：・・・(a+2) —(a —2)=q+2-q+2=4,
・ ・・点尸的横坐标比纵坐标大，
・ ・•第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数,
・ ,•点P不可能在第二象限，
故选：B.
留题型方法2：坐标轴上点的特征
【变式1】解：•・•点4(-2,〃)在x轴上，
:.72=0,
・ ••点8的坐标为(—1,1),
贝!!点5(〃 - 1,〃+1)在第二象限，
故选：B.
【变式2］解：・・•点4(加+2,2加-5)在y轴上，
・ ••加+2=0,
解得：m=-2,
故 2加- 5= - 9,
故点Z的坐标为：(0, - 9).
故选：A.
【变式3】解：•・•点4(2］-4>2)在坐标轴上，
・••当 2x —4=0 时,x=2,
291初中数学题型方法全归纳
当x+2=0 时，x=-2,
的值为±2 ,
故选：A.
留题型方法3：点到坐标轴的距离
【变式1】解：•・•点P(“+3,b+l)在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2,
・・・b+l=O, |。+3|=2,
，- 1 或 - 5, b=-\,
a+b= — 2 或—6,
故选：D.
【变式2】解：由题意，得：
2x+3x+5=0,
解得x= - 1.
当%= - 1 时，一 月 = 一 1 .
2x2 +2=4,
0(-7,2 /+2)的坐标是(-1,4),
故选：C.
【变式3】解：由直线垂直于x轴，若点M的坐标为(-5,2),点N的横坐标为-5,
由点N距x轴的距离为3个单位，贝IJ点N的纵坐标为3或-3.
故选：B.
留题型方法4：象限角平分线点的特征
【变式1】解：•・•点/(。+1，Q-2)在第二、四象限的角平分线上，
q+1= — (a — 2),
解得
2
・• —CL - ， 1 - CL- 1 =一,
2 2 2
・••点5(-Q,l-Q)在第二象限.
故选：B.
【变式2】根据题意，a=-b,所以，4、8两点的横纵坐标相等，
故选：B.
【变式3】根据题意，q+2=-4,所以，折-3,
故选：D.
留题型方法5:点到特殊直线的距离
【变式 1】3-(-1)=4, 1-(-1)=2.
故答案为：4； 2.
【变式2】由题可知：\a-2\=3,
292卷
函数专题・第一章 平面直角坐标系
解得：。=5或者-1,
故选：C.
【变式3】解：由题可知：|（1-«）-1|=1,
•*. a = ±1,
・••点M的坐标为（3,0）或（-1,2）.
【变式 4】（2,2）或（-2,-2）； （-4,4）或（4,-4）.
留题型方法6:两点间的距离公式
［变式］］P0=7 — 3=4；尸M=5 —1=4； PN= 7（5-1）2+（6-3）2 = 5 .
【变式 2】尸0=6-2=4； PM=7（5 + l）2+（-6-2）2 =10 ； PN=5 - 1）=6.
【变式 3】AB= J（2 + 3y + （-1 + 4y =南.
留题型方法7：中点坐标公式
【变式1】（1,2）.
【变式2】（5,5）.
【变式3】（10,7）.
【变式4】厢.
留题型方法8:点的平移规律
【变式1】（3,5）.
【变式2】（-3,-1）.
【变式3】（加+ 2, 〃-1）；。，向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到。O.
【变式4】解：因为4、5两点的坐标分别为（0,2）、（3,0）,
将线段45平移至48,
点4、B的坐标分别为Q3）、（5切，
A3-2=l, 5-3=2,
说明线段45向右移动2个单位，向上平移1个单位，
/. a=2, b=1,
B!j a2+62=22 + l2=5.
故答案为：5.
国题型方法9:点的对称规律
【变式1】D.
【变式2】（-2,3）.
【变式3】2, 3.
【变式4】（1, —2）.
【变式5】-Ka<-.
2
【变式 6】(4,3), (2,7).
293初中数学题型方法全归纳
【变式7】C.
【变式8】A.
【变式9】(一1,2).
【变式 10] a=l, b= — 2.
.\a + 3b = -5 5 ZR a = l
由 “ “，解得IL C
a + 26 = -3 \b = -2
国题型方法10：点在坐标系内的移动规律
【变式1】解：点P横坐标运动规律为：1, 2, 3,所以，第2018次后，尸点横坐标为2018,
再次，点尸纵坐标运动规律为：1，0, 2, 0, 1, 0, 2, 0,…，
所以，点尸纵坐标运动周期为4,
2018+4=504,•—2,
所以，第2018次后，P点纵坐标为0,
故点P坐标为(2018,0).
故选：B.
【变式2】解:由图可知,片1时，4'1 + 1=5,点4(2,1),
片2 时，4乂2+1=9,点4(4,1),
片3 时，4x3+1=13,点 43 (6,1),
所以，点4n + l(2〃,l).
故答案为：(2〃,1).
【变式3]解：如图所示，
• :正方形OBBC ,；.OBi = C , B所在的象限为第一象限；
・ ・・。氏=(0)2,当在X轴正半轴；
・ ・.。星=(后)3,历所在的象限为第四象限；
・ ・・。& =(亚)) 反 御轴负半轴；
・ ・・。乐=(3)5, 5所在的象限为第三象限；
A OBe = (V2)6 = 8 ,以在x轴负半轴.
J 56(-8,0).
答案为:(-8,0).
【变式4】解：第”2个点是(1,1),第2x3个点是(2,2),第3x4个点是(3,3),第4x5个点是(4,4),
第5x6个点是(5,5),以此类推，第44义45(即1980)个点是(44,44),
又知奇数点(1,1), (3,3), (5,5)往下跳，而偶数点(2,2), (4,4)往左跳，
而 2018- 1980=38,
所以，将(44,44)再往左运行38个单位，得到(6,44).
故第2018次时跳蚤所在位置的坐标是(6,44).
故选：A.
【变式5】解：观察图形可知，第0x1 + 1个点是(1,0),第1x2+1个点是(2,1),第2x3+1个点是(3,2),
第3x4+1个点是(4,3),第4x5+1个点是(5,4),第5x6+1个点是(6,5),以此类推，第44x45+1(即1981)
294函数专题・第一章 平面直角坐标系
个点是(45,44),
又知(2,1), (4,3), (6,5)往下运行，而(3,2), (5,4)往下运行,
故(45,44)后开始往下运行，
W 2019- 1981=38,
故，(45,44)往下运行38个单位，得到(45,6).
・ ••第2019个点的坐标是(45,6).
故选：A.
295初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:判断关系式是否为函数
【变式1】解：力、尸X，y是X的函数，故此选项不符合题意；
B、[y|=x,对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
・・・y不是x的函数，故此选项符合题意；
C、y=2x+l, y是x的函数，故此选项不符合题意；
D、y=x2f 丁是'的函数，故此选项不符合题意.
故选：B.
【变式2】》是X的函数的式子有：®y=\x\；③2犬_、= 0,共2个，
故答案为：2.
【变式3】x2-/=0, x = |y|,取x=l时，求出的、值有两个，所以不是函数，其他三个都是函数.
故选：C.
留题型方法2:判断图像是否为函数图像
【变式1】解：A.根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故4选项是函数;
8、根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故5选项是函数；
C、根据图象知给自变量一个值，可能有2个函数值与其对应，故。选项不是函数；
D.根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故。选项是函数.
故选：C.
【变式2】对于x的每个值，y都有唯一确定的值与之对应，由x与y之间的一对一的关系即可判断.
故选：C.
【变式3】5选项中，画这一条竖线，和图像有两个交点，所以，8选项不是函数图像.
故选：B.
【变式4】刚开始防长度越来越大，达到最大值后，立马又开始越来越小.
故选：B.
留题型方法3：求自变量的取值范围
【变式1】解：由题意得，2x-l>0 W0,
解得工，.
2
故选：D.
【变式2】解：由题可得，「二"°，
["0
解得一 2,
・・.函数》 =无三的定义域忌之2,
296海
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
故选：B.
【变式3】解：由题意得，5-x> 0, x-3。0,
解得，x < 5
故选：C.
【变式 4】y = 15x-x2 , 0<x<15 .
留题型方法4:已知正比例函数求参
【变式1】解：由题意得：加-3=0,
解得：m=3,
故选：D.
【变式2］解：,・•函数y =（左-1）K是正比例函数，
I.左2=1且左一1工0,
解得：k=- 1,
故答案为：- 1 .
【变式3】解：,・,函数y =（加+ 2）--3是正比例函数，
・••加之_ 3 = 1且加+2。0,
解得：m=2,
故答案为：2.
留题型方法5：正比例函数图像和性质
【变式1］解：设正比例函数解析式为7=履（左，0）,
—3a = 2k
把 4（2,-3a）、5（与,-9）代入得 < _3 ，
「” 二 5"
解得：k =-3 ,
所以正比例函数解析式为y = -3%.
【变式2］解：设正比例函数解析式为〉=丘（左。0）,
把（1,-2）代入得-2 = kx1,解得上=—2,
所以正比例函数解析式为y = -2x.
故选：C.
【变式3】解：设该正比例函数是尸爪（左。0）,贝！） ■二
4左=b②
联立①②得到〃6=12.
故选：C.
【变式4］解：设尸而，
当%=2 时，y =-6 ,
:.2k = -6 ,
解得：k = -3 ,
297________卷
初中数学题型方法全归纳
y = -3x，
当x=l 时,y = -3 x 1 = -3 .
故选：B.
留题型方法6：求正比例函数解析式
【变式1】解：把点（1,-2）代入尸丘得左=-2，
所以正比例函数解析式为y = -2%.
故选：B.
【变式2】解：因为y与x成正比例，所以设正比例函数的解析式为丁 =b（左。0），
把时，尸-2代入得：k=-2,
故此正比例函数的解析式为：y=-2x,
当l1 时，y = _2x（-l） = 2.
故答案为：2.
【变式3】解：设正比例函数的解析式为y = b（左。0），
・ ・•图象经过点尸（。,3办
3a=ak,
：.k=3,
此函数的解析式是：尸3x,
故答案为：尸3%.
【变式4】解：（1）根据题意，设、=依（左。0）,
把x=2, y=4代入得：4=2左，
解得：k==2,
即歹与%的函数关系式为尸2x；
（2）把％ = -:代入y=2x得:尸-L
【变式5】解：（1）・・?与x成正比例，
/. ^y=kx,
・ ・,当尸3时，产4,
・ ・・4=3匕
4
解得：k =—,
3
.•.y与x之间的函数关系式为y = gx ；
4 4
（2）把x= — 1 代入y =—X得y =—.
3 3
留题型方法7:已知一次函数求参数
【变式1】解：分类讨论：①加2—8 = 1时，
贝!I尸（加-2+5）x - 6,
,所以，加一2 + 5，
298卷
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
故加=3.
②疗-8。1时，
那么系数加一2 = 0 ,即加=2,
此时，y = 0 x~4+5x-6,不符合一次函数的定义.
综上，m=3.
【变式2】解：由题意得：m2 = \ ,且加-1。0,
解得：m=- 1,
故答案为：-1.
【变式3】解：根据题意可知：k2 -3 = 1,上+ 2w0.
解得：k=2.
留题型方法8： 一次函数图像和性质
【变式1】当尸）时，3x+l=0,解得：,故与x轴交点坐标为（-；,0）,
当x=0,得y=l,故与y轴交点坐标为（0,1）.
【变式2】直线厂"-6经过一、三、四象限，
所以q<0, -b<0,所以，b>0,
所以，产如c+a经过一、二、三象限;
y=-纥经过二、四象限.
a
【变式3】由题意得产T<0,・・・04左〈工.
一左 0 0 2
【变式4】根据题意，k>0,所以，产隆过一、三、四象限,
故选：B.
【变式5】当机V0时，-（加-3）必然大于0,所以不可能经过二、三、四象限,
故选：D.
【变式61 Z选项中，可知的>0, k> 0, 6<0,矛盾了，故4错;
5选项中，可知奶VO, k< 0, b>0,故5对；
。选项中，可知妨<0, k< 0, bVO,矛盾了，故。错；
。选项中，可知粕<0, k> 0, b>0,矛盾了，故。错.
故选：B.
【变式7】由图可知，h<0, k2>0,幺>0.
又知左觉得直线的陡峭程度，左越大，直线越陡，越接近歹轴，从图上看，A直线更加陡峭,
故左2>左3.
所以，左2>左3>怎.
【变式8】由题可知严履+3的图像如图所示，从图像上可知.
留题型方法9:求一次函数解析式
【变式1】解：设一次函数为•尸京+6,
299卷
初中数学题型方法全归纳
-2k + b = 3
将点代入得:
2k + b = 4
解得： 一
I 2
1 7
所以，解析式为：y = -x^-.
4 2
【变式2】解：设一次函数为产Ax+b,
-3 左+ b = 0
将点代入得:
k + b = 3
4
解得:
b)
4
3 9
所以，解析式为：片白+ ；
4 4
【变式3】解：设一次函数为尸fcc+b,
.,.八、、1-3左 + b = 1
将点代入得：＜ 7 、，
[k + b = 3
k =-
解得： 2 ,
b = —
I 2
所以，解析式为：y = -x^-.
2 2
【变式4】解：①若加＞0,所以当%=-2时，产0；当%=5时，尸7；
则(2加+ 〃 °,解得加口，片2,故解析式为产v+2；
\5m + n = 7
②若加V0,所以当工=-2时，尸7；当%=5时，产=0；
则12加+ 〃 ] ,解得加=_],片5,故解析式为y=_%+5.
\5m + n = 0
留题型方法10： 一次函数的图像变换
【变式 1 】y=3(x-2)+4=3x-2.
【变式 2】y=-3(x+3)-l-2=-3x-12.
【变式3】产-2(x+3)+l-2=-2x-7.
【变式4】关于7轴对称，y不变，1变为-x,得到：1+2.
【变式5】关于歹轴对称，y不变，x变为-x,得到：y=-2x-3,
再关于x轴对称，x不变，y变为-歹，得到：-尸-2x-3,整理得：尸2x+3.
300卷
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
【变式6】关于原点对称，p变为-丹 工变为-',得到：-尸-2x-3,
整理得：y=2x+3.
国题型方法11：两个一次函数图像的位置关系
【变式1】因为两直线平行，所以左值相等，
故答案为：=.
【变式2】因为两直线垂直，
所以 k\ki = —1,
故答案为：- 1.
【变式3】解：由题可设直线，的解析式为＞ =-+
将(1,4)点代入得：-1 + 6 = 4,
解得：b = -.
3
故/的解析式为片-1京 +1
1
3
.
【变式4】解：由题可知，直线44,与y=-x+5垂直，
所以，设直线441的解析式尸x+b,
因为4点在直线应4'上，
所以将4点代入得：1+6=2,解得：b=l,
故直线441的解析式产x+1,
设/'的坐标为(也加+1),
贝〃、4的中点。点坐标为(誓，号丑)，
根据对称的性质，。点在直线歹=-x+5上，
所以，将C点代入得：—竺"+5 = 8.
2 2
解得：m=3,
故4的坐标为(3,4).
留题型方法12: 一次函数和方程(组)综合
【变式1】解：方程的解即为两个函数交点的横纵坐标，
故方程解为：fX = "5.
U = -8
【变式2】解：将(1,-4)分别代入至18=5"-2b和尸3ax+26,
得：[5"26Z,
[3q + 26 = -4
解之得：。=-1, b =――.
2
301初中数学题型方法全归纳
x 2加一 11
y = — +----------
4 4
【变式3】解：由题意得，
x m-9
y — —I--------
3 3
解得3,
[y = m-2
・•・交点坐标为(2加+3,加-2).
・・•交点(2加+3,加-2)在第四象限内,
、3
f导 m>----
2，
m<2
3
2
・•・整数加的值为-1, 0, 1.
y = x-3
【变式4】解：由题意得, ，z 收1），
y = kx + k
k + 3
x =--------
k-\
解得
k + 3 ；
k丁一
工交点（一打|,一另1一3）・
k — 1 k — 1
・,•只需保证x=-9为整数,
k-\
・・・将x的值分离常数得x = -1 - d―,
k-\
・•.左一1=±1, ±2, ±4,故左=5, 3, 2, 0, -1, -3.
留题型方法13： 一次函数恒过定点求参
【变式1】解：由题可得：尸次+3,恒过定点，说明与疣关，
所以左的系数尸0,
当 x=0 时,y=3.
所以，此函数恒过定点(0,3).
【变式2】解：由题可得：产5)匕恒过定点，说明与左无关，
所以左的系数X-5=0,即%=5；
当 %=5 时,y=0.
所以，此函数恒过定点(5,0).
5式3]解：由题可得：产(x+2)m-2x-3,恒过定点，说明与加无关,
所以加的系数x+2=0,即尸-2；
当x=-2 时,y=l.
302函数专题・第二章一次函数的性质和图象
所以，此函数恒过定点(-2,1).
留题型方法14： 一次函数和不等式综合
3 4a
(变八 I』①=—1, > —1；②二—2 , 2—2；③二—，V----；④—VxVO .
2 2 2
【变式2】x<-2.
【变式3】x>l.
拭4】画出直线y = 的图象恰好过点(-2,-1),利用图象法解得-3VxV-2.
【变式5】C.
【变式6】解：(1),・•直线y=-fcc+b经过点/(5,0), 5(1,4).
.J5左+ 6 = 0
u\k + b = 4 '
k = -l
解方程得:
b = 5
直线45的解析式为产- x+5 ；
(2) ;•直线y=2x-4与直线45相交于点C,
y = -x+5
・••解方程组
y = 2x-4
解得：[I,
・,•点。的坐标为(3,2)；
(3) x>3.
留题型方法15: 一次函数中的图形面积问题
【变式1】解：设一次函数与y轴交于4点，与x轴交于5点,
根据题意，04=3, 0B=--,
k
i i 3
所以,S.aob = -^OA OB = -x3x -- = 15 .
2 2 k
所以，k = ±一 .
10
故一次函数为尸---x + 3或歹=一x + 3 .
10 10
【变式2】解：(1)设解析式为：y=kx+b.
斤 = 0
将 4—1,0)、3(2,3)代入得：… ,
[2k + b = 3
解得：[『， "
[b = 1
所以，/i解析式为：y=x+1.
303初中数学题型方法全归纳
(2)由题可得：AP=\m+\\,
所以，Slbap = ；• 4P机+ 1卜3 = 3 .
解得：加=1或-3.
【变式3】(1),・7(2,0)、C(1,O),
：.OA=2, OC=1,
:・ C为 OA 的中点.S^BOC = SlABC f
将5(0,2)和C(1,0)代入尸府+b,
得七-2, 6=2；
(2)本题有两种情形：
过点C作直线L交43于点P,或作直线A交y轴于点P.
Saaob = — X 2x 2 = 2 ，
2
S &ACP\ = Sl\COP2 — —Sl^AOB ——，
6 3
又・.・0C=4C=],
2
・••点P、尸2的纵坐标都为4,
3
易得尸1(2：)、。2(0,：)・
4 ?
把和C(l,0)的坐标代入y = —+ 8,求得/=2, 61 = -2；
? ? 2
将尸2(0,§)和C(l,0)的坐标代入y = "c +岳，求得左2 = -葭 岳=§.
【变式4】解：设直线ZC的解析式为：尸自+b,
1 7
所以，/C的解析式为：y = -x--,
2 2
所以，。点坐标为(7,0).
所以，SLAOC — SLAOD — SACOD = —OD - 5----OD > 1 = 14 .
2 2
【变式5】解：设直线8C的解析式为：y=kx+b,
5k + b = 5
所以,
-k + b = 2
304卷
函数专题,第二章一次函数的性质和图象
解得： 乙.
b =—
I 2
所以，5C的解析式为：
y = -x + -
2 2
过4做x的垂线，交
BC
于点、
D,
所以，设。点坐标为（4簿）.
将D（4,〃）代入 > =+ g，
得：
n=—.
2
Q
所以，设。点坐标为（4,1）.
7
所以，
AD ——.
2
所以， S LABC = S l\ACD + SlABD = — AD - BC .
2 2
【变式6】解：由题意得，y =—/工+1,
令尸。得：0 = --—x + 1 ,
解得：
x = 43 ,
故力（百,0）;
令尸0,得产1,故5（0,1）.
：.OB=y/3 9 08=1,
由勾股定理得，
AB=2,
• • S LABP — S LABC = 2 ,
法一（割补法）：连PO, S△…弓，S△…g Swob =当,
由 S 4BOP + SLAOB - SXAOP = SLABP — SLABC ， -----F —^― — ——— 二 2 ,
2 2 4
V3 — 8
解得Q
2
法二：（铅锤法）：
思路：可以过p点作工轴平行线（水平宽），求尸的面积；
可以过P点作y轴平行线，交48延长线于点。，再运用铅锤法.
n
【爱式？】由题意得， S^ABC - a/3 .那么， SAABP = .
2
4点坐标为（一百,0）, 8点坐标为（0,1）,而P点坐标为（3,〃）.
305初中数学题型方法全归纳
那么直线的函数表达式为： )=匕8"+避二
6 2
设直线4尸与歹轴交点为。点，那么。点坐标为(0,专工。)，
所以，Saabp = Sabda + Sxbdp = -BD x ^3 H—BD 义 3 =----——BD ，
2 2 2
―Q .1
而及”
2
所以，壮@a)=之芭x星1”1 =五,
2 2 2 2
解得：a=2+V3 ,或。=6.
留题型方法16： 一次函数与将军饮马模型
【变式1】解：作4点关于x轴对称点4,作8点关于y轴对称点玄，连接40, B'C.
・・,四边形力BCD周长最短，且长度一定，
J必须使40+CQ+5C最短，即4、D、C、8,共线,
设直线45为尸丘+6,
则 4(-6,-3), 3(2,5),
将其代入直线中得：k=1, b=3,
.*.y=x+3,
・・・C(0,M，D(«,0),
则代入直线方程中，得：加=3,片-3,
因此，m+n=0,通过四个点坐标易求出四边形ZBCQ面积为15.
【变式2】解：(1)由条件：8(0,-1), C(4,-3),
如图，当M8=MC时，|也-MC|最小为0,
故作线段的中垂线交x轴于交5C于N,点〃就是符合题意的点，
设点M的坐标为:(加,0),则:m2 + (-1)2 = (m - 4)2 + (-3)2 ,
解得加=3, /.M(3,0)；
(2)存在.如图，作点M关于直线8的对称点“，
过点M作M"_L8C于H,交CD于G,则点G, 〃就是符合条件的点，Af(5,0),
直线MW解析式为：产2x-10,与直线CD交点为点G： (4,-2)
二」-1
与直线48交点为点〃：,一 2、，
y = 2x-10
解得： ' =电，
5
.•.H点坐标为：(竺，-£) .
306春
函数专题-第二章一次函数的性质和图象
7 R
・・・MG+G〃的最小值为.
5
留题型方法17： 一次函数中的翻折问题
【变式1】解：由题可知：S
3
所以，CM=1, OC=B ZACO=30°,
根据翻折的性质：CB=CB=1, ZACB=ZACB=60°, NAB'C=NABC=90。,
n
在及△C5'Z)中，B'D=—.
3
i
所以，Sacdb，= — xCB'xB'D = J.
2 6
4
【变式2】(解析法):当x=0时,y = --x + S=S,即8(0,8),
当尸0 时，x=6,即4(6,0),
所以46=48=10,
那么 8(-4,0),
因为点B与B关于4〃对称，
所以班，的中点为(一,早)，
即( — 2,4)在直线上，
设直线的解析式为歹=Ax+b,
把(-2,4), (6,0),代入可得y = _”3.
4
(几何法)：直线＞=-丁 + 8与x轴，)轴分别交于点4和5,
・ ・・4(6,0), 5。8),
・ ・・AB“6? +于=10,
则 4* = 10,
设
贝 1139=切"=5。-肱9 = 8-、,*0 = 4*-40 = 10-6 = 4 ,
：.x2+4x = (8-x)2 ,
307海
初中数学题型方法全归纳
解得：x=3,
・ ・・M(0,3)又46,0),
故直线/Af的解析式为y = -;x + 3 .
【变式3】解：(1)加与理之间的关系式为：冽=，/ + 5；
(2)(几何法)
解：(如图②)连接”，
由题意可知，ED=E0, EDLTC, DC=OC=10,
・ ・・£是4。中点，
：.AE=EO,
：.AE=ED,
・ ・・在Rt/\4TE和RfAQTE中,
,TE = TE
\ae = ed '
:.RtAATEQRtADTE.
：.AT=DT.
^AT=x,贝/丁=10-工，TC=10+x,
在历ASTC中，BT2 +BC2 =TC2,
BP (10-x)2+102=(10 + x)2,
解得x=2.5,
即4尸=2.5.
(解析法)：先求。点关于C£的对称点。，再求8解析式，最后求T点坐标.
留题型方法18：根据函数图像获取信息一一分段函数
【变式1】解：由图象知用水量不超过15吨时水费为27+15=1.8元/吨,
超过部分为(39.5-27)+(20 - 15)=2.5 元/吨.
本月应交水费27+2.5x(21-15>42.
故选：C.
【变式2】解：(1)根据题意得：
小丽步行的速度为：(3900 - 3650)+5=50(米/分钟)，
学校与公交站台乙之间的距离为：(18- 15)x50=150(米);
(2)当8(x4 15时，设产bc+力，
8左+ 6 = 3650
把。(8,3650), 0(15,150)代入得:
15 左+ b = 150
k = -500
解得:
b = 7650
500x4-7650(8 <x< 15).
【变式3】解：(1)由图象可知，4、8两点之间的距离是70米,
308函数专题-第二章一次函数的性质和图象
甲机器人前2分钟的速度为：(70+60义2尸2=95米/分;
(2)设线段瓦嘶在直线的函数解析式为：y=kx+b,
71x(95-60)=35,
・ ・・点产的坐标为(3,35),
2k + b = 0
则
3左+ 6 = 35 '
左=35
解得:
b = 70’
・ ・・线段£尸所在直线的函数解析式为尸35x - 70；
(3) ,・,线段FG〃X轴，
・ ・・甲、乙两机器人的速度都是60米/分；
(4)4、C两点之间的距离为70+60x7=490米.
留题型方法19：根据函数图像获取信息一-一多函数结合
【变式1】【提示】由图象知小刚让小强先跑20米，用8秒时间追上小强，所以每秒快2.5米.图
象的交点表示的实际意义：小刚用时8秒追上小强，距离出发点64米.
故选：D.
【变式2】解：(1)根据图象得：360+6=60左加/肌
(2)当1W5时，设＞乙=履+6,
k + b = 0
把(1,0)与(5,360)代入得:
5左+ 6 = 360 '
解得O
贝！j y乙=90% - 90 ；
(3)令衣= 240,即90% —90=240,
解得：X = -
3
则甲与4地相距60xU =220左加，
3
故答案为：(1) 60； (3) 220.
【变式3】【答案】120.
【解析】由图象可分别求出直线。4和直线5c的解析式，分别为产4x和y=2x+240,
当产"时，4x=2x+240,解得：x=120.则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒.
309卷
初中数学题型方法全归纳
【变式4】解：(1)・・・，=后戊+ 4过点(0, 30), (10, 180),
? = 3° ,解得卜
[10怎+ 6 = 180 [6 = 30
怎=15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
6=30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
(2)由题意可得，打折前的每次健身费用为15+0.6=25(元)，
则 ki =25x0.8=20；
(3)选择方案一所需费用更少.理由如下：
由题意可知，y=15x+30, yi =20x.
当健身8次时，
选择方案一所需费用：6=15x8+30=150(元)，
选择方案二所需费用：g =20x8=160(元)，
V150<160,
・ ・.选择方案一所需费用更少.
留题型方法20： 一次函数中的方案、决策问题
【变式1】解：(1)由题意可得，
y 甲=2000xx0.8=1600%,
y 乙=2000(%+1 )x0.75= 1500x+1500,
即 y甲=1600%, y乙=1500x+1500；
(2)当x=10 时，
”=1600x10=16000, y乙=1500x 10+1500= 16500,
V16000< 16500,
・ ••当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；
(3)由题意可得，
1600x=1500x+1500,
解得x=15,
即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当
员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样.
【变式2】解：(1)・・・y = /x + b过点(0,30), (10,180),
.­ = 3。，解得卜15.
[10后+ 6 = 180 [b = 30
310当
函数专题-第二章一次函数的性质和图象
葭=15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
6=30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15・0.6=25（元），
则 ki =25x0.8=20；
（3）选择方案一所需费用更少.理由如下：
由题意可知，=15x+30, yi =2Ox.
当健身8次时，
选择方案一所需费用：以=15x8+30=150（元），
选择方案二所需费用：及=20x8=160（元），
V150＜160,
・,・选择方案一所需费用更少.
[变式 3 ]解：（1） y=3x+2（20-x）=x+40；
20x + 3（20-x）＞ 264
（2）由题意可得:
48x + 6（20-x）＜ 708 '
・•・不等式组的解集为：12W14,
,・5为正整数，
・・・x的取值为12、13、14,
有3种修建方案：①4型12个，B型8个；②4型13个，B型7个;③/型14个，3型6个;
（3） •・•1+40中，＞随x的增大而增大，
当%=12时,最少费用y=x+40=52（万元），
（520000 - 335200）+264=700（元）.
答：平均每户村民应自筹资金为700元.
【变式4】解：（1）设直线对应的函数解析式为歹=履，
200^60,
解得仁0.3,
即直线h对应的函数解析式为y=0.3x,
设直线h对应的函数解析式为尸分+b,
任=20
\200a + b = 60 '
[a — 0.2
解得
[b = 20 '
即直线k对应的函数解析式为y=0.2x+20,
由上可得，用租书卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式是产0上,用会
员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式是尸0.2x+20；
（2）当%=50时，租书卡的租金为0.3x50=15（元），
会员卡的租金为0.2x50+20=30（元），
V15＜30,
・・・小红准备租某本名著50天，选择租书卡租书方式比较合算；
311初中数学题型方法全归纳
当产90时，租书卡可以租用90+0.3=300（天），
会员卡可以租用（90-20）+0.2=350（天），
V 300050,
・・・小明准备花费90元租书，选择会员卡租书方式比较合算.
留题型方法21：四边形中的动态问题
【变式1】解：（1）当点尸运动2秒时，AP=2cm,
由 NZ=60°,知力E=lcm, PE= V3 cm.
.Q g2
・・ d AAPE = —cm .
2
（2）①当0W6时，点尸与点。都在43上运动，设尸M与4。交于点G, QN与AD交于点F,贝
AF=— ， QF----t， AP=t+2, AG= 1 + — , PG= V3 + ——t .
2 2 2 2
・・・此时两平行线截平行四边形45C。的面积为S = S四边形fgpo = 2 + 昼.
2 2
设尸”与。。交于点G, QN与AD交于点F,贝！U0=%, AF= — , DF=4 — — , QF- 1 j BP—t — 6,
2 2 2
CP=10T,尸G=（10-小瓦 而助=46，
故此时两平行线截平行四边形4BCQ的面积为：
5g
S = S四边形B0FD + S四边形BPG。=---- 1 2+10a/5-34a/3 .
③当8<f<10时，点P和点0都在BC上运动.
设PM与DC交于点G, QN与DC交于点F,
贝！JC0=2O —23 QF=Q0-2t）密,CP=10 — t, PG=（10 —。百.
此时两平行线截平行四边形的面积为S = S四边形.gpo = 38〃 _ + 150a/3 .
2
312卷
函数专题-第二章一次函数的性质和图象
争 + 争0V/K6)
故S关于t的函数关系式为8 = —--产 + iOyf^t — 34^/§*(6<£ ( 8).
a F\
-y-Z2 - 30回 + 150^(8<Z < 10)
【变式2】解：(1)当片1秒时，的边0火经过点反
(2)①当0〈/<1时，如图1所示.设PR交BC于点G,
过点尸作尸H_L5C于点”，则。由0尸=2，，GH=PH=3.
1 39
S = S矩形ozBc — S梯形opgc = 8x 3— —(2z + 2/ + 3)x 3 = --- 6t ；
②当KW2时，如图2所示.设PR交BC于点、G, RQ交BC、于点S、T.
过点P作PHLBC于点、H,则C〃=。尸=23 GH=PH=3.
QD=tf 则1。=护4-，BT=BS=AB -AQ=3- (4- t)=t - 1.
S = S矩形o”c — S 梯形。尸 GC — Sassr = 8 3—5(2 + Z + 3) 3— ；(,—1)2
二—t2 — 5/ +19 ；
2
v
③当2VM4时，如图3所示.设R0与4s交于点T,
5
贝lU7MQ=4—九 PQ=n-3tf :.PR=RQ=^Q2 — 3t).
S = S，qr- S.aqt = [PR? — ^AQ2 = ^(12- _ ；(47)2 =夕？ _ + 28 .
313初中数学题型方法全归纳
39
y-6r(0<Z<l)
-1/2-5z + 19(l</<2) .
综上可得：S = <
7
-Z2-14r + 28(2<^<4)
【变式3】解：(1) (6,0), 2折.
(2)①如图1所示：
,.・OC=4, DA=6,
・••点N从。到C需要4s,点M从。至必需要2s.
・・・0V/<2时，点府。C上，点上.
・••当0W2时，△MCW为直角三角形.
②如图2所示：
当MN_L。。时，△MCW是直角三角形，
v
9：MN±OC, :ZMNO=90。,
：.ZMNO=ZNOA=ZOAM,
四边形。4M7V为矩形，
：・ON=AM,
t=3t- 6,
解得：t=3.
・•・当仁3s时，为直角三角形.
③如图3所示：
当点N与点。重合时，△NO"为直角三角形.
•： ON=CO=4,
尸4.
综上所述，当0VK2时或Z=3时或尸4时，△NO"为直角三角形.
314海
函数专题・第三章 二次函数
留题型方法1：已知二次函数求参
m2 — 4 w 0
【变式1】解：由题可知： ，
m -m-4=2
解得：加=3.
—4 w 0
【变式2】解：由题可知：/,
［m -5加+ 6 = 2
解得：m=\.
【变式3】解：由题可知：［,+加,°,
m -m = 2
解得：加=2.
所以，函数为歹=6/+12x + 8 .
留题型方法2:二次函数图像和性质判断
【变式1】解：图像经过原点，所以，/一2 = 0,又二次项系数存0,所以a =-四.
【变式2】解：根据开口方向得：〃】>0, «2>0,方<0, «4<0 ,
又知同越大开口越小，同越小开口越大,所以，|ai|>|a2|,同〈同，
解不等式可得：ai>ai , t/3>«4,
综上可知：3V.
【变式3］解：依题可知：-- = -2,
4
解得：6=8,
当尸-2时，y=-5,
所以，顶点坐标为(-2,-5).
【变式4】解：对称轴为：% = = 1,
2a
当尸。时，ax2 -2ax-3tz = 0 W： %=-1 或x=3,
所以，与x轴的交点坐标为(-1,0), (3,0).
【变式5】解：顶点在y轴上，说明对称轴为y轴，
匚匚I、1 —2(4+1)
所以，x =——S——1=0,
2
所以4—1,
顶点在x轴上，说明最值为0,
所以，处a=3二%左+ l)2=o,
4a 4
315春
解得：或-3.
【变式6】解：根据抛物线解析式可知，图像开口向上，对称轴为尸2,
所以，x值离2越近，》轴越小，
所以，yi>y3>y\,
故选：C.
【变式7】解：因为Q<0,所以图像开口向下，对称轴为x = -/ —4 = /7 2,
所以，x值离2越近，y轴越大，
所以，y3<yi<yx,
故选：A.
【变式8】解：对称轴为％ = -&二。=匕％,
-2 2
根据题意，匕%21,解得：m<-l.
2
-2 + 6
【变式9】解：因为4、B两点的歹值相等，所以，可知对称轴为x =，^=2,
又因为C。两点y值相等，所以两点的x值关于x=2对称，
所以，吐竺=2,解得：m=\.
2
【变式10］解：根据解析式可知：抛物线对称轴为x=-1，
又因为4 5两点y值相等，所以两点的x值关于卡-1对称，
将加=-4代入解析式得：n=9.
【变式11］解：根据解析式可知：抛物线对称轴为' =上，
2
又因为4 B两点y值相等，所以两点的x值关于％ = £对称,
所以，也土上二竺，解得：X1 + X2 = m,
2 2
设与X = X1 + X2的歹值相等，
,［工1 +12 + 〃 m 即加 八
贝!J-------------:一，解得：n=0.
2 2
【变式12］解：由题可知：图像开口向上，①错，
对称轴为尸3,②对，
顶点坐标为(3,-1),③错，
当xV3时，歹随工的增大而减小，④对，
故选：B.
【变式13］解：当加=2时，解析式为> =/-4x + 3 = (x-2)2-1 ,最小值为-1,①对;
由解析式得对称轴为广加，若时，>随x的增大而减小，则用之1,②错；
可知对称轴为%=1008,故加=1008,卷________
函数专题・第三章二次函数
所以解析式为^ =1_2016% + 3,
所以，当x=2016时，y=3,故③对；
所以答案为：①③.
【变式14]解：当机>0时，一次函数 > =加工+加经过一、二、三象限,此时二次函数y = -加工2 + 2工+ 2
开口向下，故。错；
当加V0时，一次函数歹=加工 +冽经过二、三、四象限，此时二次函数y =-加/+ 21+ 2开口
向上，物4错；
二次函数对称轴1 = 一7= =上1 <0,故C错.
-2m m
故选：D.
【变式15]Z选项，一次函数y=Qx + b经过一、二、三象限，所以，a>0, b>3
所以，二次函数^ =反2+。开口向上，交y轴于正半轴，故/、B错;
。选项，一次函数y = + A经过一、二、四象限，所以，6Z< 0, b> 0,
所以，二次函数y =双2+Q开口向上，交y轴于负半轴，故C对；
。选项，一次函数y = ax + b经过二、三、四象限，所以，a<0, /?< 0,
所以，二次函数> = 6/+。开口向下，交y轴于负半轴，故D错.
故选：C.
留题型方法3：求二次函数的解析式
【变式1】解：设二次函数的解析式为歹= a/+bx + c,
c = -1
贝岫题意得，<Q + b + c = 5 ,
a-b + c = -3
a = 2
解得：< b = 4 ,
c = -\
・ ••二次函数的解析式为歹= 2/—4x —1；歹= 2/—4x —l = 2(x —以一3 .
【变式2】解：设二次函数的解析式为：y = q(x + l)2+2,
• ・•二次函数过点(0,-1),
J —l = q(0 + iy + 2 ,即：-1=4+2.
。= 一 3.
・ •・二次函数的解析式为y = -3(x + 1)2 + 2 .
【变式3】解：设二次函数的解析式为：y = a(x-2y-2,
则由题意得，〃-2=1,解得〃=3,
・ ・・二次函数的解析式为尸3(x- 2y -2 .
令尸0,贝lj3(x-2)2-2 = 0,
解得为=2 + - , %2 = 2 - ,
3 3
317米
初中数学题型方法全归纳
・ ,・与'轴的交点坐标为(2 +乎,0)和(2 - * ,0).
【变式4】解：设二次函数的解析式为：y = t/(x + 3)(x-l),
4
由题意得，-3〃=4,解得4=—，
3
4 4 8
・ ・・二次函数的解析式为、=_*+ 3)(1) = _尸2_24 .
【变式5］解：・・•二次函数的对称轴为x=2,且经过点(5,0),
・ ・・二次函数与x轴的另一个交点坐标是(-1,0),
设二次函数的解析式为：y = a(x + l)(x-5),
又・・,图象经过点(1,4),
4 = a(x + l)(x - 5),
,_ 1
• • CL ---.
2
・ ・・二次函数的解析式为歹=一；(1+ 1)。-5) = -；x2 + 2x+:.
留题型方法4：二次函数图像判断
【变式1］解：・・•抛物线开口向上,
：.a>0,
• /抛物线对称轴为直线% = - 2 = -1,
b=2a>0,则2a-b=0,所以②正确；
• ・•抛物线与歹轴的交点在%轴下方，
：.c<0,
/. abc<0,所以①正确；
,.,%=2 时，>>0,
・ ・・4〃+2Hc>0,所以③错误；
• ・•点(-5, y)离对称轴的距离与点(3, / )离对称轴的距离相等,
* *- yi = ^2,所以④不正确.
故选：A.
【变式2］解：・・•抛物线开口向下，
：.a<0f
• ・•抛物线与y轴的交点在x轴上方，
：.c>0,
由于抛物线的对称轴为直线一畀1,
则 6=-2。>0,
则 2a+6>0, abc<0f
・ ••①正确；
318函数专题-第三章二次函数
・ ••③错误；
• ・•抛物线与X轴有2个交点，
• ♦•△=62-44>0,所以④错误；
* .*x=- 1 时，y<0,
：.a-b+c<Of所以②正确.
故选：B.
【变式3】解：由图可知：cVO,
・ ・,抛物线开口向上，
.*.6Z>0,
・ ・・抛物线对称轴为直线% = -—<0,
2a
：.b>0；
• \a+b>0,
・ ・,抛物线与y轴的交点在%轴下方，
.\c<0,
ac<0；
，尸(a+b)x+Qc经过第一、三、四象限，不经过第二象限.
故选：B.
【变式4】解：由图可知：c<0,
• ・,抛物线开口向下，
• \a<0；
由图可知：ov-2vi,
2a
：.b>0, 2a+b<0,
.\a+b>0；
・・•抛物线与x轴有两个交点，
A b2-4ac>0,
由图可知：当%=1时，y=a+b+c>0,
当%=-1 时，y=a- b+c<0,
ab<0, ac>0；
由图可知：--- > -1,
2a
：.2a-b<0.
故选：C.
【变式5】解：由题意得q>0, 0<-—<1 ,
2a
：.b<0 , 2a + b>0 , 2a - b>0 ,
又当x=l 时，y = a + b + c<0 ,当%=-1 时，y = a-b + c>0 ,
故原式=一(q + 6 + c) - (a -6 + c) + (2a + b)- (2a -b) = -2(a -b + c)<0 .
319卷
初中数学题型方法全归纳
................................................................
【变式6】解：由图可知：c>0,
・ ・,抛物线开口向下，
：.a<Of
・ ・,抛物线对称轴为直线-2 vo，
2a
：.b<0,
由图可知：当x=-2时，尸4。-26+cVO,
由图可知：一~—>-1,
2a
：.2a-b<0f
由图可知：当%=1时，y=a+b+c<0,
由图可知：当工=-1时，y=a-b+c>Q,
• *. (a+b+c)(Q — b+c)<0,
/. (a + c)2<b2.
所以，①②④正确.
【变式7】解：由图可知：c>0,
• ・•抛物线开口向下，
•・,抛物线对称轴为直线，
2a
・・力>0,
abc<0；
由图可知：--- VI ,
2a
：.2a+b<0,
由图可知：当%=-1时，y=a- b+c<Of
将(1,2)代入得：a+b+c=2,
所以两式相加得：Q+cVl，
由图可知：当x = -2, y>2 ,
2a
所以，q(-----y+b--------fc>2.
' 2a -2a
化简整理得：6+8。>4友，
所以，①②正确.
留题型方法5：二次函数图像变换
【变式1］解：将y = -2/+4x + l配方得:y = -2(x-l)2 + 3,
要将二次函数y = -2(x - Ip + 3的图象平移得到到y = -2x2,
故选：C.
【变式2】解：先将得到的函数转化为顶点式y = -2(x-以+ 2,则先向上平移2个单位，再向左
320函数专题・第三章二次函数
平移3个单位得到原抛物线解析式y = -2(x + 2y + 4 ,即y = —2d — 8x - 4.
【变式3］解：将y =-2/+8向右平移〃个单位后得：＞ =—2(%一〃)2 + 8,
将(3,6)代入得：-2(3 - op + 8 = 6 ,
解得：a=2或a=4.
【变式 4］(1, - 1), y = x2- (4w + 2)x + 4n2 + 4n .
【变式5】解：过点尸作?林Ly轴于点M
•・•抛物线平移后经过原点。和点4( -6,0),
V |
工平移后的抛物线对称轴为、=-3, 、：
I m \ '
得出二次函数解析式为：＞=］(%+3)2+〃， 、 v
o
将4( — 6,0)代入得：— + h = 0 9
O
o M
解得：h =—,
2
Q
・••点P的坐标是(-3,-/，
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
.q 27
2
【变式61(1)关于x轴对称，那么x不变一变-n 得到：-y = x2-2x-lf
整理得：＞ =—Y+2x + i；
(2)关于y轴对称,那么y不变，x变-x,得到：^ = (-x2)-2x(-x)-l ,
整理得：y = x2+2x-l；
(3)关于原点对称,那么x变-x,歹变-y,得到：-y = (-x2)-2x(-x)-1,
整理得：y = -x2-2x + l.
【变式7】解：先画出歹=必+5%的图像，再将位于入轴下方的图象翻折到％轴上方即可得到
》=卜2 + 5耳的图像了，如下图所示：
O x
留题型方法6：二次函数的区间最值一一定轴定区间
［变式 1 ］解：*.* y = -x2 + 2x = -(x -1)2 +1 ,
・ ••当x=l时，》有最大值为1.
故答案为：1.
【变式2］解：把二次函数 ＞ =-犬_2工+ 0转化成顶点坐标式为y = -(x-iy+c + 1 ,初中数学题型方法全归纳
又知二次函数的开口向下，对称轴为x=-L
故当尸-1时，二次函数有最大值为-5,
故- l+2+c=-5,
故 c=_ 6.
故选：D.
【变式3]解：・・,二次函数》=/一2工+ 1 =。一1)2,
・ ••当x>l时，y随工的增大而增大，
・ ••在2W 范围内，当x=2时―取得最小值，此时”(2-1)2=1,
故答案为：1.
【变式4]解：・・,点尸(Q力)在抛物线p=-2/ + 2X + 1上，
* *. b— —2a2 +2a+1,
* *.a - b=a -(-2 a2 +2。+1)=2 a2 - a-l,
i 9
\'a-b=2a2 -a-l=2(a——)2 ——,
4 8
Q
・・・a-b的最小值为-一，
8
故答案为：一？.
8
〃_6+。=0
【变式5】解：(1)将/(-1,0)和C(0,-3)代入广犬+乐+c得 ，
[c = -3
解得
(c = -3
J抛物线的解析式为•尸/ -21-3；
Vy= x2 - 2x - 3= (x -1)2 -4,
・ •・抛物线的顶点坐标为(1，-4)；
(2),当%=0 时，产-3；当%=3 时，y=x2 - 2x-3=9-6-3=0,
・ ••当0VxV3时，y的取值范围为-44xV0.
留题型方法7:二次函数的区间最值——动轴定区间
【变式1】解：抛物线25+5对称轴为直线尸〃，且开口向上，
・ ,・1>4时，y随“增大而增大，X小于。时y随X增大而减小，
当7 — 时，满足题意，
当q43时满足题意，
a < 5.
【变式2 解：因为y = -9(x + §)2 + 2a , —— < x< —,它的对称轴是直线x =-],
(1)当—@V —工时，即41时，y在区间」〈，随着x的增加而减少，
3 3 3 3
322函数专题・第三章 二次函数
这时，当工=」时，函数的最大值是--+4〃一1,
3
—a2 + 4a — 1 = —3 .得 q = 2 土 >J6 .因 d>\,故 a = 2 + V6 .
(2)当一1<—时，即时，这时，当工=一q时，函数的最大值是2a,
3 3 3 3
3
**. 2a = —3 得a =—,这与—\<a< \ 矛盾.
2
(3)当-巴>,，即aV-l时，y在区间随着工增加而增加，
3 3 3 3
这时，当x = 1时，函数的最大值是=-/—1,
3
-a1 -1 = -3 ,得 q = ±^2 .因为 a< -1,故 a = -V2 .
综上所述，满足题意的。为2+遥或-也.
【变式3】解：y = (x + -)2+3-a-—,对称轴是x =-巴，
x 4 2
①当一@<一2,即">4时，二次函数在尸-2时取得最小值7 -3a.
2
7
由7 —3q20,得q<—,这与a>4矛盾，此时〃不存在.
3
@3-2<--<2,即-4<。<4时，二次函数在、=—3时取得最小值3-a —
2 2 4
由3-幺 20 得：］2+4。—12<0,
4
解得：-6 < a < 2 ,
所以,-4 < « < 2 .
③当-巴>2,即aV-4时，二次函数在%=2时取得最小值7+星
2
由 7+qNO,得。2—7,此时一7<。<一4,
综上所述，。的取值范围是
留题型方法8:二次函数的区间最值一一定轴动区间
【变式1】解：尸/ — 2x+2=a-iy+1,开口向上，对称轴为x=l,
①当加+1V1时即加V0,在对称轴的左边，y随x的增大而减小，
・••当工=加时， ym^ = m2 - 2m+ 2 , 当工=m+ 1 时， ymin = m2 + 1 ,
1 Q
②当 旺加〈一时，10加+1V±,对称轴x=l取得最小值，
2 2
• •当 X= 1 0^， y min = 1 , 当 X=Tn ， y max =加？ — 21Tl + 2 ,
i q
③当—v加01时，—V加+仁2,对称轴x=l取得最小值，
2 2
・••当 X=1 时，ymin = 1 ,当％=m+1 时，>2=/+1,
④当机>1时，在对称轴的右边，> 随X的增大而增大,
323初中数学题型方法全归纳
・,•当工=机+］时,^max = ZW2 +1 ,当 时，'max =〃/ -2加 + 2.
【变式2】解：二次函数＞ = £—2x + 2的对称轴是x= 1,
①当＞1时，对称轴在%=£左边，・・・s =『-2t + 2；
②当YlVt + 1,即0W/K1时，最小值s在顶点处取得，・・・s=l;
③当E + 1V1,即/＜0时，对称轴在尸什1右边，.・.s = F+i.
?+1(/<0)
综上所述：s = {l(04(l)
/-2/ + 2(/>1)
【变式3】解：函数的对称轴为x=0,下面分三种情况加以讨论:
(1)若OWaVb时，即函数在区间QWxWb上单调递减，有
—b H-----= 2a
I 2 2
解得：［"I
［b = 3
(2)若aVOVb时，则由函数图象知，
函数在qWxWO上单调递增，在OKxWb上单调递减,
13 13
因此在x=0处有最大值24BP 2b=—f得6=廿.
2 4
而函数的最小值在工=〃或X=6处取得，
又由于qVO,并且当x=b时，y = -l(—)2 + —＞0 ,
2 4 2 32
1 13
故函数的最小值在处取得，则有-±/+U=2q,
2 2
解得"_2-而或q = _2 + VF7(舍去).
”-2-屈
从而＜
4
⑶当QV6W0时，即函数在区间QWxWb上单调递增，有
—1
q
2
H---
1
--
3
-
c
2cl
2 2
17 13c7
—b H------= 2b
I 2 2
由于〃、b是方程-L2+»=2x的两个根，又因为两根之积为负数,
2 2
即两根异号，这与。＜b〈0矛盾，故不存在.
r =1 ［a = -2-4vj
综上所述，得:一或 13
［力=3 b =—
I 4
324*_____
函数专题・第三章二次函数
留题型方法9：二次函数与x轴交点个数问题
【变式1］解：・・•抛物线y = —〃的对称轴—二L = L,
2x1 2
・ ・・可知抛物线的顶点在y轴的右侧，
又•・•关于x的一元二次方程V _X — 〃 = 0没有实数根，
・ ••开口向上的> = % —理与%轴没有交点，
・ ・.抛物线y = x2-x-n的顶点在第一象限.
故选：A.
【变式2】解：由题可得：/—4qc = （4左丫 一4x2（左+ 1）（2左一 3） = 16左2一8（2左2—左一 3） = 8左+ 24 .
（1）当〃—4qc = 8左+ 24>0,且2（左+ 1）。0,即当左> -3且左W - 1时，抛物线与x轴有两个交点.
（2）当62-4公=8左+ 24 = 0 ,且2（左+ 1）。0,即当上=—3时，抛物线与x轴有唯一交点.
（3）当〃—4四=8左+ 24V0,且2（左+ 1）。0,即当左V-3时，抛物线与x轴不相交.
【变式3】解：（1）①当加=0时，原方程可化为x-2=0,解得x=2；
②当加H0时，方程为一元二次方程，
A=［-（3m - I）］2 - 4m（2m - 2）
=m2 +2m+l
= （m + l）2>0,故方程有两个实数根，
故无论加为何值，方程恒有实数根.
（2） •・•二次函数 > =加/_（3加一1. + 2冽-2的图象与x轴两交点间的距离为2,设两个交点的横坐
标为Xl, X2 ,
则孙》2是一元二次方程加/一。加-l）x + 2冽-2 = 0的两个根.
. （3m -1） 2m-2
• • X\ + X2 - ， X\X2 — ，
m m
|xi-%2| = ^/（Xl -X2）2
= Vxi2 +X22 - 2xiX2
=J（X1 + X2）2 - 4X1X2
_J（3 加一 1）2—4-（2 加一 2）
\m\
=2.
两边平方，整理得，3 m2 -2m- 1=0,
解得加i=l， m2 =--.
3
贝I」函数解析式为y = 2x或> =-；/ + 2x —|.
解：・・,二次函数y = /+疝+ /的图象与1轴有两交点，设两个交点的横坐标为孙心，
A= m -4m2>0 ,
325卷
初中数学题型方法全归纳
同时X1,X2是一元二次方程f + 4rnx + m2 = 0的两个根,
xi + xz = -y/m , X1X2 = m2，
/. |xi - Xz| = J(X1 - X2)2
=+X22 - 2xiX2
= 5/(x1 + X2)2 - 4xiX2
=J-4(加一
V 8 16 4
・••与x轴两交点间距离的最大值为工.
4
【变式5】解：由题意得，f二 押I：2
[a + b + c = -l [6 = 一(。+ 3)
因此 y = a/ 一 (a + 3)x + 2 .
设图象与x轴的交点坐标为(科0), (%2,0),贝I」
%和是方程分之一 (q + 3)x + 2 = 0的两根，
由韦达定理，xi +工2 = " + 3 , XlX2 =—,
a a
2V2 = |xi-%2| = J(-i + X2)2 -4xiX2 = 3a + x —.
o
整理得7q2+2"9 = 0,贝布=1或折——.
7
a 1?
y = x2 — 4x + 2 或 y = ——x2 ——x + 2 .
留题型方法10：二次函数与一次函数交点问题
【变式1】解：由题可知：〃。0，
联立方程组,方程组有解；
[y = ax + 2a-].
消去y得：x2 + (5-a)x + a2 -+1 = 0 ,此方程有解，
所以,△= (5 — d)2 — 4(/ — 2a +1) N 0 ,
整理得：(a+3)(3a —7)< 0,
7
所以，—3 < a K —,且存0.
3
【变式2】解：①当加=0时，函数 > =加/—3x + 2为一次函数> =一31+ 2,
令：—3x 4- 2 = x +1,解得 x 二二，
②当初。0时，函数y = mx2 - 3x + 2为二次函数，
若一次函数尸x+1的图象与函数y =加/ 一3工+ 2的图象只有一个交点,
326令 mx2 -3x + 2 = x + l ,即》=rnx2 - 4x + 1 = 0，
i ?
由△=(),得加=4,此时交点为6j).
综上，此交点为(；,》或(；弓).
【变式3】解：由江+&r + c + 3 = 0得：ax2 + bx + c = -3 ,
引入函数尸—3,
由图可知，函数产-3与函数yuM+bx + c的图象有两个交点,
所以，方程以2+&+。+ 3=0有两个不相等的实数根.
故选：D.
【变式4】解：(1)由题意得[〃 =2 +。，解得,
\2n — l = 2 + c [c = -1
；・ y =7 _ % _ ] =(1 _ ,
・••二次函数>=/ 一 > i的最小值是.
(2)・・•点。、E关于原点成中心对称,
・・・。(2,-2)、£(-2,2),设直线为尸丘+6,
-2 = 2k + b
2 = 2k + b
解得:
直线为y= -x.
①当-c-"0时，即。=-〜 方程/=-c-士有相同的实数根，
8 8 8
a
3
即当c = -一时，直线尸-X与抛物线y 一X + C +一有1个交点.
8 8
②当-c-2>0时，即eV-己，方程/=—C —三有两个不同实数根，
8 8 8
3 3
即当eV-巳时，直线产-x与抛物线y = %2—x —0 +?有两个不同的交点.
8 8
③当-c-2V0时，即c>-三，方程/=_。—士没有实数根，
8 8 8
即当c>-士时，直线尸-x与抛物线》=好一l_。+亡没有交点.
8 8
留题型方法11：二次函数与一元二次不等式
【变式1]解：・・•抛物线丁 =犬+(2加一 1户+加2_1经过坐标原点，初中数学题型方法全归纳
・ ••加2 一 1 = 0 ,
加=±1 ,
• ・•当xVO时，y随x的增大而减小，
m= - 1,
・ ・・抛物线的解析式为歹=/一 3x,
当>VO时，对应x的取值范围为0VxV3.
【变式2】解：(1)如图所示：方程“/+云+。= 0的两个根为：-5或1；
(2)如图所示：不等式Q/+bx + c>0的解集为：-5VxVl；
(3),・,抛物线与坐标轴分别交于点4(-5,0), 5(1,0), C(0,5),
设抛物线解析式为：尸1),
• ・,抛物线过点C(0,5),
• •・5=qx5x(—1),
解得：a=-\,
，抛物线解析式为：尸-。+5)。-1)= - x2 -4x+5,
・ ・•〃=-1V0,
・ •・当x=-2 = -2时，
2a
)最大=_(_2 + 5)(_2-1) = 9 ,
・ ,・歹的取值范围为：y<9.
【变式3】解：(1)依题意，得加。0,
. b -4m _
• • x =---=---------- 2 ,
2a 2m
4ac-b—2 = 4加(4加一2)-(T加丫 =_ 16m2 -Sm-16m2 —_ 乙•
y = —
4q 4m 4m
・・・抛物线的顶点坐标为(2,-2).
(2)・・,抛物线与x轴交于整数点，
mx2 -4mx + 4m-2 = 0 的根是整数.
. 4m ± J16加 2 — 4 加(4 加 - 2) 2y[lm
= / 工 •
• • X —
2m 2m
m>0,
x = 2 ±是整数•
V m
・・・工是完全平方数.
m
・・• -<m<5 ,
5
2
・,」取1, 4, 9,
m
328函数专题・第三章二次函数
2
当一 =1 时，m=2；
m
当2 = 4时， 1
m = ­
m 2
2 2
当* = 9时，
m — —.
m 9
1 ?
・・・加的值为2或工或
2 9
・・・抛物线的解析式为歹=2/_&+ 6或＞ 或
身题型方法12:二次函数和一元二次方程根的分布问题
Q W 0
A>0
【变式1】解：此方程两实根为Xi、X2 ,由已知得＜ ，
xi + %2<0
xiX2>0
a w 0
(3-2a)2-4ax("l)N0
— VO
a
q>0
,a
9
解之可得：1＜。＜一.
8
A>0
【变式2】解：此方程两实根为％、x2,由已知得 + 工2 2 0 , ：
X\X2 > 0
(—4)2—4x3(左一 2)2 0
->0
3
口。
I 3
解之可得：2＜k＜ — .
3
1-b + c = 0
【变式3】解：（1）将（-1,0）、（0,-3）代入＞= /+双+。得:
c = -3
所以'c：：3
所以，解析式为＞ -21一3 ,
由》=/ 一 2% 一 3 =（% + i）（x — 3） = 0得：另一个交点坐标为（3,0）.
（2）由图像可知：-IVxVO或2«3.
329初中数学题型方法全归纳
【变式4]解：设y = Y+(加一5" +加一2 ,
因为方程1+(加-5)工+加-2 = 0的两根都大于0,所以
A= (w-5)2-4(w-2)>0
一金 >0 ,
2
加一 2>0
m < 3或加>11
解得：m<5
m>2
2<m < 3 .
【变式5]解:设y = Y—(2-a)x + 5 = a ,
由题，抛物线与x轴的两交点分别落在(0,2)和(4,6)内.
a<5
5-a>0 a<-5
a +5Vo
即〃V 一巨.
3a + 13 Vo 3
5a + 29>0
解得--- Vq<—5.
5
29
・ ,・满足条件的。的取值范围是-5 .
身题型方法13：二次函数中的利润问题
【变式1】解：(1)设猪肉粽每盒进价。元，则豆沙粽每盒进价(。-10)元，
mtI 8000 6000
则----=----- ，
a a — 10
解得：a=40,经检验q=40是方程的解，
・ •・猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
答：猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；
(2)由题意得，当―50时，，每天可售出100盒，
当猪肉粽每盒售价X元(5065)时，每天可售[100-2(x-50)]盒，
：.y=x[100 - 2a - 50)]- 40x[100 - 2a — 50)]= -2x2 +280x - 8000,
配方，得：产-2(x-70y+1800,
• ・hV70时，y随x的增大而增大，
・ ••当-65时，歹取最大值，最大值为：-2(65-70)2 +1800= 1750(元).
答：》关于x的函数解析式为尸-2/+280x-8000(50姿65),且最大利润为1750元.
【变式2】解：(1)设每套书降价x元时，所获利润为天元，
则每天可出售20+4x| =(20+2x)套；
330春________
函数专题・第三章 二次函数
由题意得：
y=(40-x)(20+2x)
= -2x2 +80x - 20x+800
= -2x2+60x+800,
•・•由题意可知，自变量x的取值范围是：0<x<40,
，歹关于x的函数表达式为：y= - 2 x2 +60x+800(0<x<40)；
(2)当尸 1200 时，-2Y+60x+800=-2(15)2 +1250=1200,
整理得：0-15)2=25,
解得：％=10或20,
但为了尽快减少库存，所以只取户20,
答：若每天盈利1200元，为了尽快减少库存，则应降价20元；
(3) ••力-2x2 +60x+800= -2(%-15y +1250,
则当x=15时，》取得最大值1250,
即当将价15元时，该书店可获得最大利润1250元.
【变式3】解：(1)由题意得：
%=(48 - 30-x)(500+50x)= - 50 x2 +400x+9000,
x=2 时，/(48-30-2)(500+50x2)=9600(元)，
答：工厂每天的利润%元与降价x元之间的函数关系为序=-501+400%+9000,当降价2元时，
工厂每天的利润为9600元；
(2)由(1)得： 八- 50/+400什9000=-50(x— 4)2+9800,
-50<0,
・・・尸4时，用最大为9800,
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
(3) -50x2 +400x+9000=9750,
解得：xi =3, X2 =5,
・・•让利于民，
工％1=3不合题意,舍去,
，定价应为48 - 5=43(元),
答：定价应为43元.
豺题型方法14：二次函数中的轨迹问题
【变式1］解：由〃=—守。—6y + 5可得，当仁6时，〃最大=5.
・・・沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是5米，此时飞行时间为6秒.
故答案为：5； 6.
【变式2】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为尸a(x-6)2+3,
将(0,0)代入解析式得。=-、，
331初中数学题型方法全归纳
・・・抛物线解析式为y = --6)2 + 3 ,
当x=10时，7 = -, -<2.44 ,满足题意，
3 3
故选：A.
【变式3】解：如图，建立以45所在直线为x轴, 43垂直平分线为y轴的平面直角坐标系，
由图可得4( —6,0), 8(6,0), C(0,4),
设其解析式为y = ax2 + 4(tz w 0),
将4( 一 6,0)代入得：0=36(7+4,
解得：a =--,
9
所以> =一/犬+ 4 ,
当尸1时，解得：x = ±3V3 ,
所以此时水面宽度为：36-(-3也)=6也m,
答：此时水面的宽为6西加.
留题型方法15:二次函数中的图形面积问题
【变式1】解：设挡板的宽度为我加，小球滚动的区域(空白区域)面积为"病,
根据题意可得：^=(5 -x)(3 -x),
故选：B.
【变式2】解：由题意可得：S=x(28-2x)
= - 2x2 +28x
= -2(x-7)2 +98,
V -2<0, 10<x<14,
・ •・当x=10时，甫最大值，最大值为80・
【变式3】解：(1)由题意得：3x+20+GC=100,
解得：GC=(80-3x)加，
• ・・BC=5G+GC=10+80 —3x,
而 0VBe<30,即 0C10+80 —3x«30,解得 20WxV30,
矩形CDHG面积=GCCQ=(80-3戏曰25,解得x=25或舍去)，
・ ・・CD长为25m；
(2)设矩形/BCD的面积为s,
则s=3CCr>=x(10+80 - 3x)= - 3 f +90x= - 3(x-15)2 +675,
V -3<0,故抛物线开口向下，
而 20<x<30,
当x>15时，s随x的增大而减小，
故当%=20m时，s取得最大值为-3x(20-15)2 +675=600疗.
332海
函数专题-第三章二次函数
答：当CZ)长为20次时，矩形48c。的面积最大，最大面积是600病.
留题型方法16:二次函数中的函数图像问题
【变式1】解：(1)由图可知：二次函数图像经过原点，
设二次函数表达式为s = q/+4 , 一次函数表达式为期=k+c,
• ・•一次函数经过(0,16), (8,8),
[8 = 8 左+ c \k = -1
则，解得：一
[16 = c [c = 16
・ ・・一次函数表达式为尸-什16,
令v=9,则仁7,
.・・当仁7时，速度为9加/s,
・ ・,二次函数经过(2,30), (4,56),
4q +2b = 30
解得："=—5,
16q + 46 = 56
b = 16
・ ・・二次函数表达式为y = -y +16/ ,
40
令户7,贝"——+ 16x7 = 87.5 ,
2
・ •・当甲车减速至9加/s时，它行驶的路程是87.5加；
(2)・・•当仁0时，甲车的速度为16加/s,
・ ••当10VvV16时，两车之间的距离逐渐变小，
当0Vy<10时，两车之间的距离逐渐变大，
・ ••当v=10m/s时，两车之间距离最小，
将v=10代入尸一什16中，得1=6,
将/=6代入s =——+ 16%中，得s=78,
2
此时两车之间的距离为：10x6+20-78=2加，
・ ・・6秒时两车相距最近，最近距离是2米.
【变式2】解：(1)设y与销售单价'之间的函数关系式为：y=kx+b,
将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：
130 左+ 6 = 100 \k = -2
[45左+ 6 = 70 [* = 160
故函数的表达式为：y=-2x4-160；
(2)由题意得：W=(x - 30)( - 2x+160)= - 2 (x- 55)2 +1250,
V -2<0,故当》〈55时，例随x的增大而增大，而304、<50,
・••当x=50时，/有最大值，此时，叫4200,
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元.
【变式3】解：(1)设丁与x的函数关系式为产戊+乩
333初中数学题型方法全归纳
..J3OE = 4OO, (k = -20 ,
[40^ + 6 = 200 [6 = 1000
即y与x的函数关系式是尸-20x+1000(30<x<50)；
(2)设这批绿色食品每天的利润为％元，
W=(x-2G)y
=(x - 20)(-20x+1000)
=-20 x2+1400%-20000
=-20 0-35)2+4500,
-20<0,
・••当x=35时，w取得最大值，此时g4500,
答：当x为35元/千克时，这批绿色食品每天的利润达到最大，此时的最大利润为4500元.
334卷
函数专题・第四章 反比例函数
留题型方法1:已知反比例函数求参
【变式II解：•・•函数是y关于%的反比例函数，
・••加 - 2= 一 1,
解得：m=l,
故答案为：1.
【变式2】解：因为y =（加-2）*-5是反比例函数，
所以工的指数/-5 = -1,
即加2 =4,解得：加=2或-2；
又加-2H0,
所以加。2,即加=一2.
故答案为：-2.
【变式3】解：由题意得：k2-k-l = -l,且左2+心0,
解得：k=\,
故答案为：L
留题型方法2：反比例函数的图像性质
17
【变式1】解：叶上，x的取值范围为A0,
x
故选：A.
【变式2】解：由题可知，2左+5>0,所以，k>--.
2
【变式3】解：•・• 〃 =加2+2加+ 3 = （加+ iy + 222 .
**• k — —ci < —2<0 ,
・・・反比例函数y = &（左w0）的图象在第二、四象限.
x
三式4】解：图像在第一象限，说明左>0,图像在第二象限，说明《V0,
故必是最小的，
在第一象限图像离坐标轴越远，左值越大，所以，k2<k..
综上可知：左1V左2V左3 .
【变式5】解：如图，可知,y2<yi<y3,
故选：C.
335初中数学题型方法全归纳
【变式6】解：因为-1-病＜0,所以图像如图所示,
由图像可知，"＞6＞及.
留题型方法3：求反比例函数解析式
【变式1】解：设y = £当%=-6时，尸4,
x
所以4 =二, 则Q — 24,
—6
_?4
所以y = *
x
-24
当%=2时, y =——=12
2
【变式2】解：k = x5 = -3a ，解得a= —
2
k
【变式3］解:设4 =左式,y2 = —f （怎wOgwO）,
x
贝!J y = y 1 +》2 = k\x + —，
x
2Jti + —= 8
2
由题意可知
4h + —= 13
4
左1 = 3
解得:
左2 二 4
m r 4
故y = 3x + —・
x
国题型方法4：反比例函数和一次函数图像判断问题
【变式1］解：若反比例函数y = &图像在一、三象限，则Q0,此时一次函数尸自+隆过一、二、
x
三象限；
若反比例函数y =幺图像在二、四象限，则左＜0,此时一次函数尸区+隆过二、三、四象限.
x
故选：C.
【变式2】当歹=强图像在一、三象限时，说明晨6同号，那么广府+b经过一、二、三象限或者
x
二、三、四象限，故A错,8对；
当 》 图像在二、四象限时，说明左、b异号，那么产履+6经过一、二、四象限或者一、三、
x
四象限，故。错，D错.
故选：B.
【变式3］若%＞0,则^ = —七图像在二、四象限，尸依c+1）经过一、二、三象限；故5、。错；
x
336祢
函数专题・第四章 反比例函数
若左V0,则丁 =—七图像在一、三象限，尸l(x+l)经过二、三、四象限；故/对、c错;
x
故选：A.
【变式4】B选项中，产办+6经过二、三、四象限，所以，aVO, b<0,
而'二土吆在一、三象限，所以，a+b > 0,这与々VO, b<0矛盾.
x
故选：B.
留题型方法5：反比例函数k的几何意义
【变式1】解：由人得几何意义可知：8和阴影部分面积为3, S2和阴影部分面积为3,
而阴影部分面积为1,
所以，Si = Si = 2 ,
所以，Si + S2 = 4.
【变式2】解:如图，延长以交y轴于£点，
则四边形。。4£的面积为4,四边形OC5E的面积为鼠
所以，四边形Z5C。的面积为左-4,
所以，k-4=8,
所以412.
【变式3】解： Slabc = Slabo — Slpbo + Slpao =2+3=5.
【变式 4】解：S\ — Si = (S\ + Slode) — (Si-vSlode)
=Slbod — Slaoc
= 3 — 5
=-2 .
【变式5】解：如图，过M点作X轴和y轴的垂线，
所以， S4AOD = SAOMF = —k , S^COE = SLOMG = ~k 9
2 2
而 S四边形 04BC = 4s四边形 OEWG = 4k，
所以， S四边形 OZ>BE = S四边形 O4BC — S MOD — S LCOE = 3k = 6 9
所以,h=2.
【变式6］解：42x2=4,所以，机=1,
所以, S^aob = S四边形 4c 皿="C + B')* °。 = 3 .
2
【变式7】解：k = — xS = 4 ,所以，加=1,
2
所以，2(4,1),
将0(4,1)代2=-x+b得：b=5,
所以，一次函数为尸-、+5,
'_ 4
联立方程组，=1 ,解得：尸1或尸4,
J = f + 5
所以，尸点坐标为(1,4).
337笠
初中数学题型方法全归纳
斫以 c _c _(PC + QD)xCD_15
2 2
【变式8】解：因为加点为力C中点，
所以M点的坐标为(2,5),
所以，房2X5=10,
所以，y = W,
所以，£点坐标为(1,10),尸点坐标为(4,1"),
1 45
所以，S^OAE = S^OCF = 5 , SABEF = — BE 义 BF =---，
2 4
、 75
所以, SaOEF = S 四边的Z5C - Saoze - SaOCF — Sabef = •
rp Ap i
【变式9】解：连接。8,则赤=定=5,
dLt、l S^OCE S^OAF 1
所以，----=7— = 7，
S^OBE SbOBF 2
而 S^OCE = S^OAF ，
所以，Sl\OBE = St\OBF = 1 ,
所以，Sloce =—，
2
所以,kr=l ,
AD CF 1
【变式10］解：由题可知：- = — =
BD BE 4
设C£=q, AD=b,贝 i 」5£=4e AD=4b,
贝 lj Sload — Sloce — ab ， S(\bde — 8cib ，
2
所以，SAODE = S西边加ABC — S&OCD - S40CE — S4BDE = 5 .
所以，ab = —,
12
而£点坐标为(5b/),
25
所以，k = 5bx a = Sab --.
留题型方法6：反比例函数与方程不等式
【变式1】由题意可得产6,代入尸3x+b,歹=幺上可得b=5.
x
【变式2】观察图象得三>3或-2VxV0.
3
【变式 3](1) y = y=x+2；
x
(2) -3VxV0 或 x>l.
【变式4】解：(1)由4(。,0)、。(1,5)两点在直线产fcc+b上,
338差
函数专题・第四章 反比例函数
方二。消去幅1+%
有
(2)容易求得双曲线解析式＞ =』，从而交点。(9,2),
x 9
-k + b = 5
可得 5，
-9k + b = -
9
k = -
9
解得：
l 50
b =——
9
由(1)的结论4 = 1 + 2,可得4=10,
k
S^coa = — x 10x5 = 25 .
2
留题型方法7：反比例函数对称问题
【变式1】解：根据对称性可知，/、5两点关于。点对称，
所以，X2 = -xi, yi = -y\ ,
所以，x\yi + xiy\ = -2x\y\ = -2 x 2 = -4 .
【变式2】解：根据对称性可知，两个交点坐标关于尸对称，
而(2,6)关于尸对称的点为(6,2),
所以，另外一个交点坐标为(6,2).
【变式3］解：根据对称性可知，两个交点坐标关于尸-%对称,
而(-1,5)关于产-%对称的点为(-5,1),
所以，另外一个交点坐标为(-5,1).
1 a
【变式4】解：由题意，。点的坐标为(；,；)，
Q 1
・・・D点的坐标为(；,；).
.G zl 3a 1 1 1
• • S&OCD = (---1---) X —X
4 4 2 2 4
【变式5］解：由题意，点4与点5关于直线尸对称，贝।伤点坐标为(巩加),
S = S^obc = —(m + n)n = —mn + —n2, X« = — »
2 2 3 m
A 5 = - + -^.
2 2m2
【变式6】解：如图，当反比例函数图像经过4点时，上值取得最小值，
而4点坐标为(1,1),
所以，此时41x1=1,
如图，当反比例函数图像经过5C中点D点时，左值取得最大值，
339初中数学题型方法全归纳
而5点坐标为（3,1）,。点坐标为（1,3）,
所以，。点坐标为（2,2）,
所以,此时kr=2 x 2=4,
所以，l<k<4.
留题型方法8:反比例函数中的平行和相等
【变式1】根据反比例函数中的平行和相等，可以得到①④正确.
3
【变式2】解：设。点坐标为（、。，）.
Xo
设点坐标为（加,0）,
贝情点纵坐标为9,
Xo
代入 y = 3得：x = —xo,
x 2
所以，8点横坐标为工危，
2
又因为。为中点，
所以，4点横坐标为±x。，
2
3
所以，OA——xo t
2
o 13 69
所以,Sloab =------Xo ■ — =­ •
2 2 xo 2
【变式3】解：设及点坐标为（耳人），
Xo
设8点坐标为（加,0）.
贝〃点纵坐标为生，
Xo
代人尸七得：X=—Xo ,
x 2
所以，4点横坐标为,工。，
2
又因为E为4s中点，
3
所以，5点横坐标为
2
3
所以，OB=—xo，
2
3 2k
所以,S四边形 Z08C = —Xo = 18 .
2 xo
所以，k=6.
【变式4】（1）将4（1,4）代入》=竺得：片4；
x
340春
4
(2)设夕点坐标为(.,2),
4 4
则。点坐标为(0,—)，C点坐标为(1,0), M点坐标为(1,一),
所以，tan/ABM=-----=———=
BM xo-1 xo
CM 4
tan/CDM=J = — .
DM xo
所以，/ABM=/CDM,
所以，DC!I AB.
(3)由题可知：^D=(4-—)2+l2 , 5C=(xo-l)2+(—)2,
4 4
由可得：(4 — 一)2+l2=(xo-l)2+(—)2，
Xo Xo
整理得：(xo - 2)(X0 + 4)(X0-4) = 0 ,
所以，xo = 2 或 xo = —4 (舍)或 xo = 4 ,
当心=2时，8点坐标为(2,2),
此时，45直线解析式为尸-2x+6,
当xo = 4时，B点坐标为(4,1),
此时，直线解析式为产-x+5.
综上，直线45的解的式为尸-2x+6或y=-x+5.
341数据统计与
概率专题篇卷
数据统计与概率专题・第一章 数据的收集、整理和描述
国题型方法1:普查和抽样调查
【变式1】4、对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查，应采用抽样调查；
5、对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查，应采用全面调查；
C、对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查，应采用抽样调查；
D、对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查，应采用抽样调查.
故选：B.
【变式2】4、对一批节能灯使用寿命的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故4错误；
B,对我国初中学生视力状况的调查，调查范围广适合抽样调查，故5错误；
。、对最强大脑节目收视率的调查，调查范围广适合抽样调查，故C错误；
。、对量子科卫星上某种零部件的调查，要求精确度高的调查，适合普查，故。正确.
故选：D.
【变式3】4、了解市面上一次性筷子的卫生情况不适合普查而适合抽样调查，①符合题意；
5、了解我校九年级学生身高情况适合普查，②不合题意；
。、了解一批导弹的杀伤范围不适合普查而适合抽样调查，③符合题意；
D, 了解全世界网迷少年的性格情况不适合普查而适合抽样调查，④符合题意.
故选：D.
留题型方法2：总体、个体、样本、样本容量
【变式1】4、总体是：某市参加中考的28000名学生的体重情况，故4错误；
B、每名学生的体重是总体的一个样本，故5错误；
。、本题是抽样调查，故。错误；
D、样本是：1400名学生的体重情况，故。正确.
故选：D.
【变式2】①这种调查方式是抽样调查，故①正确；
②八年级800名学生的数学成绩的全体是总体，故②正确；
③每名学生的数学成绩是个体，故③正确；
④样本是所抽取的200名学生的数学成绩，故④错误；
⑤样本容量是200,故⑤错误.
综上所述，正确的有：①②③.
故选：C.
【变式3】①这种调查采用了抽样调查的方式，故①正确；
②18000名考生的数学成绩是总体，故②错误；
③1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故③错误；
④每名考生的数学成绩是个体，故④正确；
所以，正确的有①④共2个.
故选：A.
343初中数学题型方法全归纳
留题型方法3：数据的收集与整理过程
【变式1】解：统计调查一般分为以下几步：收集数据、整理数据、描述数据、分析数据.
故选：C.
【变式2】解：统计调查一般分为以下几步：收集数据、整理数据、描述数据、分析数据.
故答案：②①④⑤③.
留题型方法4：抽样调查的合理性
【变式1］解：Z、调查不具广泛性，故4错误；
5、调查不具广泛性，故8错误；
C、调查具有广泛性、代表性，故C正确；
。、调查不具代表性，故。错误.
故选：C.
【变式2】解：在这个问题中，小明忽略了样本的广泛性，故4 B, C不符合题意，。符合题意.
故选：D.
【变式3】解：4、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛
性，故4错误；
B, 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、
广泛性，故8正确；
。、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；
。、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故。
错误.
故选：B.
寻题型方法5：统计图的选择
【变式1］解：要求直观反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，
应选择折线统计图.
故选：C.
【变式2】解：为了知道空气中有毒气体的百分比，使用的统计图最好是扇形统计图.
故选：A.
【变式3】解：要绘制一幅能清楚反映全校各年级男女生人数情况的统计图是条形统计图.
故选：B.
野题型方法6：用样本估计总体
2
【变式1】解：由题意可得:50+坛=1250（条）.
故选：A.
首先求出有记号的2条鱼在50条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比
例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数.
【变式2】解：由题意可得，
344赛
数据统计与概率专题-第一章数据的收集、整理和描述
白球的个数大约为：8^ —-8«28,
400
故选：B.
【变式3】解：因为在样本中做公益时间不少于10〃所占的百分比为生上曳土3x100% = 84%,
50
所以由样本可以估计全部1000名志愿者中做公益时间不少于10〃所占的百分比为84%,
故选：C.
时题型方法7：频数和频率的计算
【变式1］解：・・,某人将一枚质量分布均匀的硬币连续抛50次，落地后正面朝上30次，反面朝
上20次,
・・・出现正面的频率是：— = 0.6.
50
故选：C.
【变式2】解：根据题意，得:
菱工
频数
频率 =6-40=0.15 .
数据总和
故答案为0.15.
【变式3】解：设袋子内有黄色球x个,
由题意得，上= 0.4,
x + 3
解得，x=2,
经检验，、=2是原方程的解，
所以原方程的解为尸2,
故答案为：2.
【变式4］解：・・•将所得数据分成5组，第一组的频率是0.18,第二、三、四小组的频率和为0.62,
，第五组的频率是：1-0.18-0.62=0.2.
故答案为：0.2.
【变式5】解：（1）合格的频数为200- 15=185,
频率：185-200=0.925；
（2） 3000x叵= 225 （件）.
200
答：大约有225件不合格的休闲装.
【变式6】解：抽取的学生总数是：20+0.4=50（人），
b = — = 0.3；。=50'0.18=9；
50
故答案为：0.3； 9.
留题型方法8：从频数分布直方图获取信息
6
【变式1】解：分数在70.5到80.5之间的人数是： -------------x64 = 24（A）;
1+3+6+4+2
345寿
故选：B.
【变式2】解：A,绘制该频数分布直方图时选取的组距为8-6=2,分成的组数为5,故4错误；
B、这50人中大多数学生参加社会实践活动的时间是12〜14/，18+50=36%V50%,故5错
14 + 18 + 10
C、这50人中参加社会实践活动时间不少于10〃的人数是十二U二= 84%.故C错误；
2
D、可以估计全年级700人中参加社会实践活动时间为6〜8%的学生大约为700x —= 28人,
正确.
故选：D.
【变式3】解：①・・・200+100+80+50+25+25+15+5=500,而75〜80元的人数不能确定，
・•・在所调查的1000人中一定有一半或超过一半的人月均花费超过小明，此结论错误；
②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在60〜120之间，
估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60〜120,
所以估计平均每人乘坐地铁的月均花费的不低于60元，此结论正确；
③・・・1000><20%=200,而 80+50+25+25+15+5=200,
・・・乘坐地铁的月均花费达到120元的人可以享受折扣.此结论正确.
综上，正确的结论为②③.
故选：C.
留题型方法9：从频数分布折线图获取信息
【变式1］解：根据所给出的折线统计图可得：超过限速110而2/%的有：60+20=80（辆）.
故选：D.
解：根据图象，发言次数是4次的男生有4人，女生有2人.
故选：B.
【变式3】解：利用图象可知：累计百分率从90岁以上达到100%,由此得出不可能存在100岁
以上的老人，故4不正确；
20岁以下的居民超过60%,那21〜80岁之间的居民不可能超过五成以上，故5不正确，
由以上可得30岁以上的人数，也绝对不可能超过20岁以下的人数，故C正确，
由图象可知，在40〜60岁之间的人口累积百分率也不可能超过50%,。不正确.
故选：C.
留题型方法10：频数分布表和频率分布直方图
【变式 1】解：（1） «=400- 148- 104-48-20=80,
故答案为：80；
（2）补全频数分布直方图如下：
346数据统计与概率专题・第一章 数据的收集、整理和描述
148
(3) 2000x——= 740(人)
400
答：全校2000名学生中获奖的大约有740人.
【变式2】解：（1） “没时间”的人数是360-（120+20）=220（人）,
补全图形如下：
人数
个
400-
350-
300-
250 - 220
200 -
120
150-
100-
20
50-
0 不喜欢没时间 其他 原因
故答案为：220；
（2）估计2020年全市中小学生每天阅读超过1小时的约有24、40%=9.6（万人）;
故答案为：9.6；
（3）设2020年至2022年阅读超过1小时人数年均增长的百分率为x,
根据题意，得9.6（1 + 4 = 24 - 9 ,
解得为=- 2.25（舍去），%2 =0.25=25%,
答：2020年至2022年阅读超过1小时人数年均增长的百分率为25%.
【变式 3】（1） tz=50-8-15-12-10-3=2,
第1组的占比为8+50=16%,因此6=16.
故答案为：2, 16.
（2）画图如下：
347初中数学题型方法全归纳
(3)根据题意：1.2<x<1.6, 1.60V2和2白V2.4的总人数为:10+3+2=15人.
占总人数的比例为：15+50=30%.
因此，全市日行走步数超过1.2万步(包含1.2万步)的教师约有：
40000x30%=12000 人.
【变式4】解：(1)八甲班的学生有：5+0.1=50(人)，
q=50x0.2=10, 6=5+50=0.1,
即频数分布表中。和b的值分别为10, 0.1；
(2)由(1)知，q=10,
补全的频数分布直方图如右图所示；
(3) (1 -0.1)xl00%=0.9xl00%=90%,
即该班本次数学考试的及格率是90%.
频数(人数)
348数据统计与概率专题・第二章数据分析
留题型方法1:求平均数
【变式 1】解：(42+48+45+46+49)+5=46(幅).
即这组数据的平均数是46幅.
故选：C.
解：由题意可得，
若去掉一个最高分，平均分为%,则此时的x一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的
平均分为z,
去掉一个最低分，平均分为y,则此时的y一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平
均分为z,
故y>z>x,
故选：A.
【变式3】解：抽取的20户平均每户年收入约为：
(1.8+2.2+1.8+1.0+2.1+2.6+2.1 + 1.3+3.2+0.9+1.54-2.1+2.7+1.6+1.6+1.4+1.1+2.4+1.7+1.3)-20
=36.4+20
=1.82(万元).
可以估计这个村平均每户年收入约为1.82万元；
全村年收入约为：1.82x150=273(万元).
Q
抽取的20户平均年收入达到2.0万元的有8户，占一=40% ,
20
可以估计这个村年收入达到2.0万元的户数约为：150x40%=60(户).
【变式4］解：由平均数的计算公式得：-(-3+x+0+l+x+6+9+5)=5.
8
解得：x=ll,
故选：B.
【变式 5］解：由已知，xi + X2 +... + xn = nx , + yi +... + yn = ny ,
新的一组数据2xi +yi , 2心+/....2x〃 +及的平均数为
(2xi + y\ , 2x2 + >2... 2xn + 及)+〃
=［2(X1 + X2 + ... + Xn) + (y + >2 +... + 及)卜〃
=(2rix + riy) + n
= 2x+y
故选：C.
【变式 6 解:依题思得：Ql + 5 + 〃2 — 5 ++ 5 +。4 - 5 + 〃5 + 5 = Ql +。2 +。3 +。4 ++ 5 = 30 ,
所以平均数为6.
故选：C.
349初中数学题型方法全归纳
【变式7】解：前10个数的和为100后40个数的和为40b, 50个数的平均数为10"+ 401.
50
故选：D.
国题型方法2：求加权平均数
【变式1】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是：
95x20%+90x30%+85x50%=19+27+42.5=88.5（分）.
故选：A.
【变式2】解：设小红的姐姐和对手的面试成绩分布为为、y2,由题意得:
82x60%+ yi x40%=88x60%+ yi x40%
y!-y2 =（88x60% - 82X60%户40%=9,
故选：C.
【变式3】解：因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重,
故选：C.
【变式4】解：由题意可得，该班四项折分后的综合得分
为：80x40%+90x25%+84x25%+70xl0%=32+22.5+21+7=82.5（分），
故选：B.
【变式5】解： ⑴ 甲的平均成绩：70x2 + 50x3 + 80x5 =6外分）,
2 + 3 + 5
7 g 击.# 任 50x2 + 60x3 + 85x5 ”“八、
乙的平均成绩： ------------------ = 70.5（分），
2 + 3 + 5
A 70.5 >69,
所以商场应该录取乙；
（2）甲的平均成绩：70x50%+50x30%+80x20%=66（分），
乙的平均成绩：50x50%+60x30%+85x20%=60（分），
.\66 >60,
所以，商场应该录取甲.
、一
. 堆 hjj rnriT 10x2+ 10x2+ 6x3 +10x1+ 7x2 八、
【变式6】解：甲班：-------- -------------= 8.2（分）；
2+2+3+1+2
10x2+8x2+8x3+9x1+8x2
乙班: = 8.5（分）;
2+2+3+1+2
V8.2<8.5,
・・・应推荐乙班为在线教学先进班级.
留题型方法3：求中位数和众数
【变式1】解：将这组数据重新排列为36.2、36.2、36.2、36.3、36.3、36.4、36.5,
所以这组数据的众数为36.2,中位数为36.3,
故选：B.
【变式2】解：由题意知共有15名运动员，
图表中的成绩是按从小到大的顺序排列的，
350当________
数据统计与概率专题・第二章 数据分析
则这些运动员成绩的中位数为1.70；
故答案为：1.70.
【变式3］解：・・,一共调查了 51名学生平均每天的阅读时间，
・ •・中位数应为第26个数，
而第26个数是1,
・ ,•中位数是1・
故答案为：1.
【变式4］解：・・•一组数据4, 3, 2,加，〃的众数为3,平均数为2,
・ ・・加的值可能为3,
4+3+2+3+〃=2乂5,
解得〃=-2.
同理加可能是-2, 〃可能是3,
所以该组数据排序为：-2, 2, 3, 3, 4,
所以中位数为3,
故答案为：3或-2, -2或3, 3.
【变式5］解：・・•整数〃是这组数据中的中位数，
a=2> 3、4,
当a=2时，这组数据的平均数是1x(l+2+2+4+8)=3.4,
当〃=3时，这组数据的平均数是卜(1+2+3+4+8)=3.6,
当q=4时，这组数据的平均数是gx(l+2+4+4+8)=3.8,
・ •・这组数据的平均数不可能是4.
故选：D.
留题型方法4：从扇形统计图分析数据
【变式1】解：被调查的学生人数为18・30%=60(人)，4选项错误；
乘私家车的学生人数60x(1 -25% - 30%)xg=9(人)，8选项正确；
乘公交车的学生人数60x(1 -25%-30%)x：=18(人)，C选项错误；
骑车的学生人数为60'25%=15(人)，。选项错误.
故选：B.
【变式2】解：甲校中七年级学生占全校的35%,和八年级学生人数也占全校的35%,由于甲校
的人数是一定的，因此甲校中七年级学生和八年级学生人数一样多是正确的；
乙校中七年级占45%,而其他两个年级分别占25%, 30%,因此5是正确的；
乙校中八年级学生占25%,比九年级学生人数占30%由于整体乙校的总人数是一定的，所以
C是正确的；
两个学校九年级所占的比都是30%,若两个学校的总人数不同.他们也不相等，所以。是错
351误的.
故选：D.
【变式3】解：4、扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；
B、每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为1 -40%=60%,超过50%,此选项正确;
C、每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%,此选项错误；
D、每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360耿(1-40%-10%-
20%)=108°,此选项正确.
故选：C.
留题型方法5：从条形统计图分析数据
8x4 + 9x2 + 10x4 ^ ^立,此班 8x3 + 9x4 + 10x3 1r
【变式；解：甲的平均数为: 二9环，乙的平均数为： 二9环,
10-------------------------------------------10
因此甲、乙的平均成绩一样.
故选：C.
解：①2012年到2018年，我国博物馆参观人数持续增，正确；
②10.08x(1 +竺用萨生尸10.45,故2019年末我国博物馆参观人数估计将达到10.45亿人次;
故错误；
③2012年到2018年，我国博物馆参观人数年增幅最大的是2017年；正确；
④设平均年增长率为%,则8.50(l+x)2=10.08,
解得：x=0.0889,
故2016年到2018年，我国博物馆参观人数平均年增长率是8.89%,故错误；
故选：A.
【变式3】解：由图可得，乙种作物受环境影响最小，故①错误；
甲种作物平均成活率为15,乙种作物平均成活率为16,丙种作物平均成活率约为15.67,故
乙种作物平均成活率最高，故②正确；
丙种作物最适合播种在山脚，故③错误；
如果每种作物只能在一个地方播种，那么山脚，山腰和山顶分别播种甲，乙，丙三种作物能
使得成活率最高，故④正确.
故选：D.
留题型方法6：从折线统计图分析数据
解：4、截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦，故本选项正确;
B、2017年我国光伏发电新装机容量约占当年累计装机容量的40.6%,故本选项错误；
C、2013-2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2500万千瓦，故本选项正确;
D、2013-2017年，我国光伏发电新增装机容量先减少后增加，故本选项正确.
故选：B.
解：由折线统计图可以看出：甲公司1-8月份的盈利的曲线呈下降趋势，因此盈利在
逐月下跌，力的判定是正确的，
乙公司1-4月份盈利曲线是上升的，因此5的判定是正确的
352*___
数据统计与概率专题・第二章 数据分析
8月时，甲、乙公司的盈利是一样的，因此。的判定是正确的，
9月的盈利很难取得谁的多、谁的少，不确定因此。的判定是错误的.
故选：D.
【变式3】4、甲超市5月份的利润为30万元，此选项正确；
3、甲超市的利润逐月减少，此项正确；
。、乙超市4月份的利润最大，此选项正确；
。、乙超市9月份的利润将超过甲超市，此选项错误.
故选：D.
留题型方法 7：求极差
【变式1】解：这天气温的极差是：8-(-l>9°C.
故选：D.
【变式2】解：根据题意：工-(-1尸7或5-》=7,
•*.x=6 或1=一2.
故选：C.
解：根据题意：1-4=5或6-%=5,
.*.x=9 或x=l.
故答案为：1或9.
【变式4】解：入围同学决赛成绩的极差是：9.90-9.40=0.5；
故选：A.
国题型方法 8：求方差、标准差
【变式1]解：这组数据的平均数是:(5x20+4x10+3x30+2x30+1x10)X00=3,
1 O
= —x[20x(5-3)2 +10x(4-3)2 +30x(2-3)2 +10x(l-3)2jl=1-；
则这100人成绩的标准差为担=巫 .
V5 5
故选：B.
【变式2】解：由题意知：尸15-(1+3+2+5)=4,
方差S? =:[(1 — 3)2+(3-3y+(2-3y +(5-3y+(4-3月=2 .
故五个数据的标准差是s = VF=行，
故选：C.
【变式3]解：・・,数据为，X2, X3,平均数是2,
・ •・数据2%-1, 2x2-1 , 2心-1的平均数是2x2-1=3,
• ・•数据为，%2,心的方差是3,
・ •・数据2%一1, 2x2-1 , 2x3 —1的方差是3x22=12.
故选：C.
式「解：数据濠，……,①的平均数为10,那么数据2m+ 3, 2外+ 3,…，2统+ 3的
平均数为2x10+3=23,
353笠
初中数学题型方法全归纳
数据41, 42,.......,方差为4,
那么数据2m + 3, 2a2 + 3,…,2a+ 3的方差为4x2z =16,
故选：C.
【变式5】解：•・•数据1, 1, %, 3, 3的平均数为x,
.,.1(l + l + x + 3 + 3) = x ,
解得：x=2,
则这组数据的方差是52=|x[(l-2)2 + (1-2y + (2-2y + (3-2y + (3-2y]=：；
故选：B.
【变式6】解：•・•数据》+ 1 , %2 + 1,羽+ 1的平均数为17,
/. xi + 2, %2 + 2 ,居 + 2 的平均数为 18,
• ・,数据为+ 1, X2 + 1, 居+ 1的方差为2,
，数据巾+ 2, X2 +2 , ...9招+2的方差不变,还是2；
故选：B.
【变式7】解：:S是数据为，xz,瑞的标准差，Si是箝-2.5，觇-2.5,…篇-2.5的标准差，
利用一组数据同时加减一个数，方差不变，
：.S = Si.
故选：A.
豺题型方法9：方差的意义
【变式1】解：从平均数看，成绩最好的是丙、丁同学，
从方差看，甲、丙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加市级比赛，应该选择丙，
故选：C.
【变式2】解：由于SlVS丙2<S/VS甲2,则成绩发挥最不稳定的是丁；
故选：D.
【变式3]解：・・•这4人的平均成绩相等，而S丙2Vs甲2Vs乙2<S丁2,
・ ••这4人中丙的成绩最稳定，
・ ・・应该选择丙，
故选：C.
【变式 4]解：・・•耳=(176+175+174+172+175+178)+6=175(。加)，
私=(170+176+173+174+180+177)-6=175(。加)，
• • X甲 X乙,
,/ S甲2 = ( X [(176 — 175)2 +2x(175-175)2 +(174-175)2 +(172-175丫 + (178 — 175 小
S乙 2 二,(170-175)2 +(176 — 175)2 +(173 — 175)2 +(174 — 175)2 +(180 — 175y+ (177_ 175j]= 10
・・・S甲2Vs乙2.
故选：D.
354数据统计与概率专题-第二章 数据分析
留题型方法10：平均数、中位数、众数、方差的命题判断
【变式1】解：4、甲的平均数= (x(7 + 8 + 8 + 9 + 8) = 8(分)，
乙的平均数=(x(10 +7+ 9+ 4 + 10) = 8(分)，所以4选项错误；
B、甲的中位数为8(分)，乙的中位数为9(分)，所以5选项错误；
C、甲的众数为8(分)，乙的众数为10,所以。选项错误；
D、甲的方差=(x[(7 — 8)2+3x(8 —8y +(9 — 8y]=(；
乙的方差=不、[2乂(10_8)2+(7 — 8)2 +(4 — 8)2+(9 — 8)2] =三，所以。选项正确.
故选：D.
【变式2】解：4、甲、乙两班的平均水平相同；正确；
5、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；
C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；
。、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确.
故选：A.
【变式3】解：/、由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、
10,
・••其中位数。=6,
乙组学生成绩的平均分6=Wx(5x2+6x1+7x2+8x3+9x2)=7.2.
故本选项说法正确；
B、甲组的众数为6,乙组的众数为8,
故本选项说法错误；
C、・・•甲组的中位数为6,乙组的中位数为7.5,
而小英得了 7分，在小组中排名属中上游略偏上，
工小英属于甲组学生.
故本选项说法正确；
。、从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组
的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定.所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于
甲组成绩.
故本选项说法正确.
故选：B.
355祢
初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:必然事件
【变式1】解：0的绝对值不是正数，所以Z是随机事件；
两平行线被第三条直线所截，同位角才是相等的，所以8是随机事件；
如果Q、b都是实数，那么一定有〃+b=b+Q,。是必然事件；
抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上是随机事件，。是随机事件.
故选：C.
2】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇
匀，从中任意摸3个球，至少有一个球是黑球的事件是必然事件.
故选：A.
【变式3】解：4、画蛇添足是不可能事件；
B.纸上谈兵是随机事件；
C、狐假虎威是不可能事件；
。、瓮中捉鳖是必然事件.
故选：D.
留题型方法2：判断随机事件
【变式1】解：/、是随机事件，故/符合题意；
B,三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，故8不符合题意；
。、。是实数，|。|20是必然事件，故。不符合题意；
。、在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球是不可能事件，故。不符合题意.
故选：A.
【变式2】解：/、将一个圆分成〃等份，顺次连接各分点得到一个正〃边形是必然事件；
B、将△4C5绕点。旋转50。得△4C5,这两个三角形全等是必然事件；
C、任意写出一个二次函数，它的图象与x轴有交点是随机事件；
D、若〃为实数，贝IJ/vo是不可能事件.
故选：C.
解：小是随机事件，故/符合题意；
B、是不可能事件，故5不符合题意；
。、是必然事件，故C不符合题意；
D、是不可能事件，故。不符合题意.
故选：A.
留题型方法3：判断不可能事件
解：4、一只不透明的袋子中有2个红球和1个白球，从中摸出1个球，该球是黄球，
这是不可能事件；
8、明天某地区早晨有雾，这是随机事件；
356卷
数据统计与概率专题-第三章 概率初步
。、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6,这是随机事件；
。、明天见到的第一辆公交车的牌照的末位数将是偶数，这是随机事件.
故选：A.
【变式2】解：A,水到渠成是必然事件，故本选项错误；
5、空中楼阁是不可能事件，故本选项正确；
。、木已成舟是随机事件，故本选项错误；
。、日行千里是随机事件，故本选项错误.
故选：B.
解：①②③⑥是不可能事件，是确定事件；
④是必然事件，是确定事件.
⑦⑤是随机事件.
故选：D.
留题型方法4：判断事件发生可能性的大小
【变式1】解：1图中指针落在阴影区域内的概率=3,
4
2图中指针落在阴影区域内的概率=亚=2 ,
360 3
3图中指针落在阴影区域内的概率=3 = ,，
8 2
4图中指针落在阴影区域内的概率=*,
8
所以指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为①②④③.
故选:A.
式2】解：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球的可能性为0；
②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数的概率为,；
2
③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的概率为工；
4
④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育的概率较大，接近1；
⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下的概率为1,
故大小排列为：⑤④②③①.
故选：C.
【变式3】解：白球6个，红球6个，则摸到白球的可能性是,，摸到红球的可能性也是工；
2 2
红、白、黑球各4个，则摸到红、白、黑球的可能性都是
3
红球2个、白球4个、黑球6个，
则摸到黑球的可能性是,,摸到白球的可能性是1,摸到红球的可能性是工；
2 3 6
红球8个、白球2个、黑球2个，
357卷
则摸到红球的可能性是4 7 ,摸到白球和黑球的可能性都是1上.
3 6
故选：D.
留题型方法5：概率的意义
【变式1】解：4、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%,
不合理；
5、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是l的意思是每6次就有1次掷得6,不
合理;
C、某彩票的中奖机会是2%,那么如果买100张彩票一定会有2张中奖，不合理；
D、在一次课堂进行的抛掷硬币试验中，某同学估计硬币落地后，正面朝上的概率为:，正
故选：D.
【变式2】解：4、顶尖朝上的可能性大，故4正确；
B、一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了 2000次，其中掷出5点的次数最少，则第2001次可
能抛出5点，也可能不是5点，故5错误；
。、天气预报说明天下雨的概率是50%,明天有可能下雨，不是一半时间在下雨，故C错误;
D、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，由于总体不是100,故。错误.
故选:A.
【变式3】解：①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大，此说法正确；
②“抛一枚硬币正面朝上的概率为表示每抛两次就有一次正面朝上，此说法错误；
2
③“抛一枚硬币正面朝上的概率为!”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事
2
件发生的频率稳定在!附近，此说法正确；
2
④“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖，此说法错误.
故选：A.
留题型方法6：求随机事件的概率
【变式1】解：画树状图如图：
开始
男 男 女 女
/T\ /N /N
男女女男女女男男女男男女
共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种,
•••两人恰好是一男一女的概率为»
故选：C.
358数据统计与概率专题・第三章 概率初步
【变式2】解：(1)若这次调研准备选取一所学校，则恰好抽到4校的概率是工,
5
故答案为：—；
5
(2)画树状图如图：
开始
A B C D E
xAx /TVx
BCDEACDEABDEABCEA BCD
共有20种等可能的结果，所选取的两校恰好是4校和8校的结果有2种，
7 1
・ ・・所选取的两校恰好是4校和5校的概率为e=2 .
20 10
【变式3】解：画树状图如图：
开始
男 男 男 女 女
/TV. /yVx
男男女女男男女女男男女女男男男女男男男女
共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，
・••这两名工人恰好都是男工人的概率为£=』，
20 10
故选：C.
【变式4】解：(1)画树状图如图：
红 红 白
/T\ /4\ /N
红红白红红白红红白
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种,
・ ・・两次摸出的球都是红球的概率为3 ；
9
(2)画树状图如图：
红 红 白
/X /\ /1\
红白红白红红白
共有7种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有1种,
・ ・・两次摸出的球都是白球的概率为工，
7
故答案为：
7
359初中数学题型方法全归纳
【变式5】解：（1）画树状图如图：
开始
A B C D
Z\ /N /N /N
BCDACDABDABC
所有等可能结果共有12种；
（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，小怡和小宏同时被选中的结果有2种,
2 1
,小怡和小宏同时被选中的概率为—
12 6
【变式6】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
盒
第2金、 白 黑
白 白、白 黑、白
E0 函1
黑1 白、黑1 黑、繇1
黑2 白、黑2 E0 雨。
共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种,
所以取出的2个球都是白球的概率为』.
6
答：取出的2个球都是白球的概率为
6
留题型方法7：已知概率反求实验数据
解：设袋子中有红球x个，
根据题意得一9—= 0.6,
x + 6
解得x=4 .
经检验尸4是原方程的解.
答：袋子中有红球有4个.
故选：A.
解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有九+4个球，其中黄球几个,
根据古典型概率公式知：P（黄球尸」一 = 3,
九+ 4 5
解得片6.
故选：C.
解：由题意知一--=-,
a+b+c 3
则 3a=a+b+cf
2a=b+c,
(b+c),
故选：D.
360数据统计与概率专题-第三章 概率初步
豺题型方法8：几何概型
【变式1】解：（1）因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是9 = 3,
16 8
所以投针一次击中阴影区域的概率等于1. A
⑵如图所示：
要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为;,
还要涂黑2个小正三角形.
【变式2】解：（1）4间距离为10, 的长为2,
故以随意在这条线段上取一个点，
那么这个点取在线段上的概率为2=
10 5
70
（2）因为大圆的面积为：51 = ^（―）2 = 100zr ；
小圆的面积为：*S*2 = 7V（—y=25%.
所以小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是痣 =1
故答案为:
4
【变式3】解：（1）■半径为5c加的圆的面积=乃.52 =25»cm2 ,
边长为30c机的正方形Z5CD的面积=3（）2 = 900cm2,
/.尸（飞镖落在圆内）二-----笠尝为5c加町圆的面积------二——25 _ _71
万
边长为30c加的正方形4BCQ的面积 900 36
（2）如图可得：当点。落在以，5为直径的半圆内时，为钝角三角形.
* .* S半圆=—- 152 = 2"兀,
2 2
225
-----71
・ •・PSCM5为钝角三角形）=2—=-
900 8
留题型方法9：频率估计概率
【变式 1］解:（1） 600-1000=0.60；
1800-3000=0.60；
（2）・・,随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到0.6,
・ •・若从盒子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率尸=06
故答案为：0.6.
（3）盒子里黑颜色的球有40x0.6=24个.
【变式2】解：（1）
361箜
初中数学题型方法全归纳
抛掷次数〃 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
针尖不着地的频数加 63 120 186 252 310 360 434 488 549 610
针尖不着地的频率或
0.63 0.60 0.62 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61
n
(2)
(3)通过大量试验，发现频率围绕0.39上下波动，于是可以估计概率是1-0.61=0.39.
【变式3】解：(1)20+29乜).69；
48+95=0.65；
89+180=0.69,
当投掷的次数很大时，则巾〃的值越来越接近0.7；
(2)观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在0.4,
(3)设封闭图形的面积为e根据题意得：— = 0.4,
a
解得：Q = 10 7T,
故答案为:0.7, 0.4, IOtt.
362..- ,■
做一题,学一法
t
会一类 通一片
•
定价：198.00元