2025《数学•开学摸底考》九年级解析卷02(人教)_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学人教版试卷_初中数学人教版7-9年级下册

2024-2025 学年九年级数学下学期开学摸底考 02
（人教版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的）
1．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
1 1 æ 1 ö
A．-+5与+-5 B．- 与-+0.5 C．- 与0.3 D．- -0.01与-ç- ÷
2 3 è 100ø
【答案】D
【详解】解：A．-+5=-5,+-5=-5，错误；
1
B．-+0.5=-0.5与- 相等，错误；
2
1
C．- 与0.3不是相反数，错误；
3
æ 1 ö 1
D．- -0.01 =-0.01,-ç- ÷= =0.01，-0.01与0.01互为相反数，正确．
è 100ø 100
故选D．
2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，
“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第 1 页 共 17 页9´10-5纳米 B．9´10-4纳米 C．0.9´10-4纳米 D．9´105纳米
【答案】A
【详解】解：0.00009纳米=9´10-5纳米．
故选A．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2 =a4 B． a23 =a6 C．2a2-a2 =a D．a2×a3 =a6
【答案】B
【详解】A、a2+a2 =2a2，故选项不符合题意；B、 a23 =a6，故选项符合题意；
C、2a2 -a2 =a2，故选项不符合题意；D、a2×a3 =a5，故选项不符合题意；故选：B．
5．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力
检查．某班45名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 4 4 7 11 10 5 3
这45名同学视力检查数据的中位数是（ ）
A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9
【答案】B
【详解】总计为45名同学，则处在最中间为第23位，
根据：1+4+4+7=16，1+4+4+7+11=27
∴中位数落在具有11人的4.7的范围内，故中位数为4.7．
故选：B．
第 2 页 共 17 页6．如图，AD是等腰
V
ABC底边BC上的中线，点E在AD上，且BE^CE，若ÐBAC=70°，则ÐABE的度数为
（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】A
【详解】解：∵ ABC是等腰三角形，ÐBAC =70°，
V
1 1
∴AB= AC，ÐABC =ÐACB= 180°-ÐBAC= ´180°-70°=55°，
2 2
∵𝐴𝐷是BC上的中线，且BE^CE，
∴𝐴𝐷是BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴ÐEBD=ÐECD=45°，
∴ÐABE=ÐABD-ÐEBD=55°-45°=10°，
故选：A ．
7．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这
段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几
尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x+4=4x+1 B．3x+4=4x+1 C．3x-1=4x-4 D．3x-4=4x-1
【答案】A
【详解】解：设井深为x尺，依题意得，3x+4=4x+1
故选：A．
8．如图， ABCD中，AE平分ÐDAB，ÐB=100°，则ÐDAE=（ ）
Y
A．100° B．80° C．60° D．40°
【答案】D
【详解】∵平行四边形ABCD中，AE平分ÐDAB，ÐB=100°，
∴ÐD=ÐB=100°，DC∥AB，ÐDAE=ÐBAE，ÐAED=ÐBAE,
第 3 页 共 17 页180°-100°
∴ÐDAE=ÐAED= =40°，
2
故选：D．
9．如图，点A，B，C，D四点均在
e
O上，ÐAOD=68°，AO∥DC，则ÐB的度数为（ ）
A．62° B．56° C．34° D．54°
【答案】B
【详解】解：∵AO∥DC，ÐAOD=68°，
∴ÐAOD=ÐODC =68°，
∵OD=OC，∴ÐAOD=ÐODC =ÐOCD=68°，
1
∴ÐCOD=44°，∴ÐAOC =ÐAOD+ÐCOD=112°，∴ÐB= ÐAOC =56°，故选：B．
2
10．如图，二次函数y=ax2+bx+ca¹0的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下
8 4
列四个结论：①abc>0；②3a+2c<0；③ax2+bx³a+b；④若-2<c<-1，则- <a+b+c<- ，其中正确结
3 3
论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：①Q 函数图象开口方向向上，
\a>0；
对称轴在y轴右侧，
Q
第 4 页 共 17 页\a、b异号，
\b<0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
\c<0，
\abc>0，故①正确；
②Q
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，
b
\- =1，
2a
b=-2a，
Q
\x=-1时，y=0，
\a-b+c=0，
\3a+c=0，
\3a+2c<0，故②正确；
③Q 对称轴为直线x=1，a>0，
\y=a+b+c最小值，
ax2+bx+c³a+b+c，
∴ax2+bx³a+b，
故③正确；
④ -2<c<-1，
Q
c
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得xx =-1´3=-3= ，
1 2 a
\c=-3a，
\-2<-3a<-1，
1 2
\ <a< ，
3 3
b=-2a，
Q
\a+b+c=a-2a-3a=-4a，
8 4
\- <a+b+c<- ，
3 3
故④正确；
综上所述，正确的有4个．
故选：D．
第 5 页 共 17 页第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．分解因式：3a2-27= ．
【答案】3a+3a-3
【详解】解：3a2-27=3  a2-9  =3a+3a-3，
故答案为：3a+3a-3
x+1
12．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
x-2
【答案】x³-1且x¹2．
x+1
【详解】解：要使式子 有意义，
x-2
ìx+1³0
则í ，
îx-2¹0
解得x³-1且x¹2．故答案为：x³-1且x¹2．
13．已知关于x的一元二次方程k-1x2-2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k £2且k¹1
ì k-1¹0
【详解】解：由题意，得：í ，
îΔ=b2-4ac=(-2)2-4(k-1)³0
ìk ¹1
解得：í ，
îk £2
∴实数k的取值范围是k £2且k¹1．
故答案为：k £2且k¹1．
14．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M 为AB的中点，连接OM ，若BC=8，则OM 的长为 .
第 6 页 共 17 页【答案】4
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC，
∴点O为AC的中点，
∵点M 为AB的中点，
∴OM 为 V ABC的中位线，
∵BC=8，
1
∴OM = BC =4，
2
故答案为：4．
15．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+b交于A-1,m和B4,n两点，则不等式ax2+c-kx-b<0的解集是 ．
【答案】-1<x<4
【详解】解：∵ax2+c-kx-b<0，
∴ax2 +c<kx+b，
由图象可知，当-1<x<4时，抛物线y=ax2+c在直线y=kx+b的下方，
∴不等式ax2+c-kx-b<0的解集是-1<x<4，
故答案为：-1<x<4．
16．将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为AC =3，
AB=4，新几何体的最大横截面圆的半径AD=2，则新几何体的表面积为 ．
【答案】14π
第 7 页 共 17 页【详解】解：由图可知：新几何体的表面积=p´2´3+p´2´4=14p，
故答案为：14π
三、解答题（本大题共 9 个小题，第 17、18、19 题每小题 6 分，第 20、21 题每小题 8 分，第 22、23 题每
小题 9 分，第 24、25 题每小题 10 分，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：-20240 + æ ç 1ö ÷ -2 +|1- 2|- -32
è3ø
【答案】6+ 2
【详解】解：-20240 + æ ç 1ö ÷ -2 +|1- 2|- -32
è3ø
=1+9+ 2-1-3
=6+ 2．
æ 3 ö x2-4x+4
18．（6分）先化简ç -x+1÷¸ ，请从-1，0，2中选择一个合适的x的值代入求值．
èx+1 ø x+1
2+x
【答案】 ，1
2-x
æ 3 ö x2-4x+4
【详解】解：ç -x+1÷¸
èx+1 ø x+1
3-x-1x+1 x+1
= ×
x+1 x-22
3-x2+1
=
x-22
2+x2-x
=
2-x2
2+x
= ，
2-x
∵x=-1或2时，原分式无意义，
∴x=0，
2+0
当x=0时，原式= =1．
2-0
第 8 页 共 17 页19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k¹0)的图象过点 A0,3和 B-2,1，与过点 0,5且平行
于x轴的直线交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m¹0)的值小于y=kx+b(k¹0)的值，直接写出m的取值范围．
5
【答案】(1)y
=
x
+
3，C2，5；(2)1£m£
2
【详解】（1）∵函数y=kx+b(k¹0)的图象过点 A0,3和 B-2,1，
𝑏=3
∴ ，
―2𝑘+𝑏=1
ìb=3
解得：í ，
îk =1
∴直线解析式为：y
=
x
+
3，
当y=5时，x=2，
∴C2，5．
5
（2）如图所示，直线y=mx(m¹0)过点C时，m= ，
2
当直线y=mx(m¹0)与直线y
=
x
+
3平行时，m=1，此时，满足条件．
5
∴1£m£ 满足条件．
2
第 9 页 共 17 页20．（8分）为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题
教育活动，活动方式有：A．主题征文，B．书法绘画，C．红歌传唱，D．经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方
式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______；
(2)请补全条形统计图；
(3)学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率．
1
【答案】(1)40，54°；(2)详见解析；(3)
6
【详解】（1）解：总人数=18¸45%=40（人），
A类型人数=40-12-18-4=6（人）
6
扇形统计图中A部分圆心角的度数为360°´ =54°，
40
故答案为40，54°；
（2）解：补全条形统计图如图所示，
第 10 页 共 17 页（3）解：将1班，2班，3班，4班分别记为1，2，3，4.
根据题意，列表如下：
班级 1 2 3 4
1 (2,1)
3,1 4,1
2
1,2 3,2 4,1
3
1,3
(2,3)
4,3
4 (1,4)
2,4 3,4
如表，所有可能发生的结果共有12种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中2班和3班的有2种，
2 1
\恰好选中2班和3班的概率是 = ．
12 6
21．（8分）如图AB= AC，点O在AB上，
e
O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF^AC于F ．
(1)求证：DF是
e
O的切线：(2)若AC与
e
O相切于点G，AC =8，CF =1，求阴影部分面积．
36-9p
【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为
4
【详解】（1）证明：连接OD，则OD=OB，
\ÐODB=ÐB，
AB=AC，
Q
\ÐC=ÐB，
\ÐODB=ÐC，
\OD∥AC，
DF ^ AC，
Q
\ÐAFD=90°，
第 11 页 共 17 页\ÐODF =180°-ÐAFD=90°，
Q
OD是
e
O的半径，且DF ^OD，\DF是
e
O的切线．
（2）解：连接OG，
AC与 O相切于点G，
Q e
\AC^OG，
\ÐOGF =ÐODF =ÐGFD=90°，
\四边形ODFG是矩形，
OG=OD，
Q
\四边形ODFG是正方形，
\FG=OG=OD=OB，ÐDOG=90°，
设FG=OG=OB=r，
ÐOGA=90°，AB= AC =8，CF =1，
Q
\AG2+OG2 =OA2，且AG=8-1-r=7-r，OA=8-r，
\(7-r)2+r2 =(8-r)2，
解得r =3，r =-5（不符合题意，舍去），
1 2
90´p´32 36-9p
\S =S -S =32- = ，
阴影 正方形ODFG 扇形DOG 360 4
36-9p
\阴影部分面积为 ．
4
22．（9分）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土
特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润=销售
额-成本）
【答案】(1)日销量y关于每袋售价x的函数关系式为y=-x+40
(2)每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元
第 12 页 共 17 页【详解】（1）解：设y=kx+b（k ¹0）
将15,25，20,20代入y=kx+b，
ì25=15k+b
得í
î20=20k+b
解得k =-1，b=40
\y=-x+40
∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为y=-x+40；
（2）解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为40-x袋，成本为1040-x，总利润为W元，
W =x40-x-1040-x（0< x< 40）
=-x2+50x-400
=-x-252+225，
当x=25时，W最大，最大值为225
答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元．
23．（9分）如图，在
V
ABC中，AB=BC，以AB为直径的
e
O交BC于点D，交AC于点E，CF∥AB交BE的延
长线于点F ，连接AF ．
(1)求证：四边形ABFC是菱形； (2)若BD=6，AE =2 5，求菱形ABCF的面积．
【答案】(1)见解析； (2)80．
【详解】（1）解：
Q
AB是
e
O直径，
\ÐAEB=90°，
\BF ^ AC，
AB=BC，
Q
\AE=EC，ÐBAC =ÐBCA，
CF AB，
Q P
第 13 页 共 17 页\ÐFCE=ÐEAB，
\ÐFCE=ÐBCE，
ìÐFEC =ÐBEC =90°
ï
在
V
CEF 和
V
AEB中íCE=CE ，
ï
îÐFCE=ÐBCE
\ CEF≌ AEBASA，
V V
\FC =BC = AB
\四边形ABCF是平行四边形，
又 AB=BC，
Q
\ ABCF 是菱形；
Y
（2）解：如下图所示，连接AD，
Q
AB为
e
O直径，
\ÐADB=90°，
在菱形ABCF中，设BC = AB=x，
则CD=x-6，AC =2AE=4 5，
x>6，
Q
在Rt△ACD中AD2 = AC2-CD2，
在Rt△ABD中，AD2 = AB2-BD2，
\AC2-CD2 = AB2-BD2，
\  4 5 2 -x-62 =x2-62，
解得x=10或x=-4（舍去），
\ AD= AB2-BD2 = 102-62 =8，
\S =BC´AD=80．
菱形ABCF
第 14 页 共 17 页24．（10分）定义：若直线l：y=kx+b与函数G交于Ax,y 、Bx ,y 两点，将 AB 叫做函数G在直线l上的弦
1 1 2 2
长，且 AB = 1+k2 x -x ，其中 x -x 叫做函数G在直线l上的截距．
A B A B
(1)求出y=ax2-5ax+6a在x轴上的截距；
æ 1ö 1 1
(2)若直线过定点ç0, ÷，抛物线y= x2- 在该直线上的弦长等于8，求直线的解析式；
è 4ø 2 4
56
(3)若二次函数y=x2+a+17x+38-a与反比例函数y= 在第一象限交于点A，在第三象限交于B、C两点．
x
①若B、C两点的横纵坐标均为整数，请直接写出正整数a的值；
②若-1<a<2，求该二次函数在直线BC上的截距的取值范围．
1
【答案】(1)1； (2)y=± 3x+ ； (3)① a=12或39；② 65< x -x <4 11．
4 B C
【详解】（1）令y=ax2-5ax+6a=0，
解得：x=2或3，
则截距= 3-2 =1；
1
（2）设直线的表达式为：y=kx+ ，
4
1 1 1
联立直线和抛物线的表达式得：kx+ = x2- ，即x²-2kx-1=0，
4 2 4
则x +x =2k，x x = -1，
1 2 1 2
则弦长 = 1+k2 x -x = 1+k2 ´ x +x 2 -4xx = 1+k2 ´ 2k2 -4´-1 =8
1 2 1 2 1 2
解得：k =± 3；
1
则直线的表达式为：y=± 3x+ ；
4
56
（3）①联立两个函数表达式得：x2+a+17x+38-a= ，
x
整理得：x-1éx2+a+18x+56ù=0，
ë û
∵两个函数在第三象限交于B、C两点，则x2+(a+18)x+56=0，
若B、C两点的横纵坐标均为整数，则
x=-1或-56，则a+18=57，解得：a=39，
x=-2或-28，则a+18=30，解得：a=12，
x=-4或-14，则a+18=18，解得：a=0（舍去），
第 15 页 共 17 页x=-7或-8，则a+18=15，解得：a=-3（舍去），
综上可知：a=12或39；
②由①知，x +x =-a+18，x x =56，
B C B C
设二次函数在直线BC上的截距 = x -x = x +x 2 -4x x = -a-182 -4´56 = a2+36a+100，
B C B C B C
∵-1<a<2，
则 65< x -x <4 11．
B C
25．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a¹0）的对称轴为y轴，且经过0，0和 æ ç a, 1 ö ÷两点，
è 16ø
点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的
e
P总经过定点A0，2．
(1)求a，b，c的值；
(2)求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；
(3)设
e
P与x轴相交于Mx
1
，0，Nx
2
，0x
1
<x
2
两点，当
V
AMN 是以AM 为底边的等腰三角形时，求圆心P的纵
坐标．
1
【答案】(1)a= ，b=c=0；(2)见解析；(3)P的纵坐标为：4+2 3或4-2 3
4
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a¹0）的对称轴为y轴，且经过0，0和 æ ç a, 1 ö ÷两点，
è 16ø
∴抛物线的一般式为：y=ax2，
1  2
∴ =a a ，
16
1
解得：a=± ，
4
∵图象开口向上，
1
∴a= ，
4
1
∴抛物线解析式为：y= x2，
4
第 16 页 共 17 页1
故a= ，b=c=0；
4
（2）设P æ çm， 1 m2 ö ÷，
e
P的半径r= m2+ æ
ç
1 m2-2 ö
÷
2 ，
è 4 ø è4 ø
1 1
化简得：r= m4+4 > m2，
16 4
∴点P在运动过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；
æ 1 ö
（3）设Pçn，n2 ÷，
è 4 ø
1
∵PA= n4+4，
16
作PH ^MN 于H，
1
则PM =PN = n4+4，
16
1
又∵PH = n2，
4
1 æ1 ö 2
则MH =NH = n4+4-ç n2 ÷ =2，
16 è4 ø
故MN =4，
∴Mn-2，0，Nn+2，0，
又∵A0，2，
∴ AM = n-22+4,AN = n+22+4
当AN =MN时， n+22+4 =4，
1
解得：n=-2±2 3，则 n2 =4±2 3；
4
综上所述，P的纵坐标为：4+2 3或4-2 3．
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