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2024-2025 学年八年级数学下学期开学摸底考
（北师大版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． 18 B． 1 C． 5 D． 27
3
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义对各项进行判断即可．
【详解】解：A、 18=3 2，故此选项错误；
B、 1= 3，故此选项错误；
3 3
C、 5是最简二次根式，故此选项正确；
D、 27=3 3，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的问题，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2
2．下列各数： ， 12， 2﹣3，3 9，0.00101，π﹣3.14， (―5)2，无理数的个数是（ ）
3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整
数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此判定即可．
【详解】在所列各数中无理数有 12， 2―3，3 9，π﹣3.14这4个．
故选C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以
及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
学科网（北京）股份有限公司3．下列不能构成直角三角形三边长的是 （ ）
A．1、2、3 B．6、8、10 C．3、4、5 D．5、12、13
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三
边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】解：A、12+22 ≠32，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长，故该选项符合
题意；
B、62+82 =102，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
C、32+42 =52，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
D、52+122 =132，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意．
故选：A．
4．有甲、乙两组数据，已知甲组数据的方差为0.5，乙组数据的方差为0.2，那么甲、乙两组数据的波动程
度是（ ）
A．甲组数据的波动比较大
B．乙组数据的波动比较大
C．甲、乙两组数据的波动程度相同
D．甲、乙两组数据的波动程度无法比较
【答案】A
【分析】根据方差越小数据越稳定，根据甲，乙，两组数据的方差选择适合的选项即可．
【详解】解：∵方差越小数据越稳定，且0.2＜0.5，
所以甲组数据波动比较大，
故选：A．
【点睛】本题考查利用方差判断稳定性，能够熟练掌握利用方差判断稳定性的方法是解决本题的关键．
5．下列命题的逆命题是真命题的为（ ）．
A．如果𝑎>0，𝑏>0，则𝑎+𝑏>0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若𝑎=6，则|𝑎|=|6|
【答案】C
【分析】先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解；A、如果a＞0，b＞0，则a+b＞0；逆命题是：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；
B、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D、若a=6，则|a|=|6|的逆命题是若|a|=|6|，则a=6，是假命题．
故选：C．
【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个
学科网（北京）股份有限公司命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．如图，已知∠𝐴=60°，∠𝐵=40°，∠𝐶=30°，则∠𝐷+∠𝐸等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠𝐷+∠𝐸和∠1+∠2
的关系，然后即可求得∠𝐷+∠𝐸的度数．
【详解】解：连接𝐵𝐶，如下图所示，
∵∠𝐴=60°，∠𝐴𝐵𝐸=40°，∠𝐴𝐶𝐷=30°，
∴∠1+∠2=180°-∠𝐴-∠𝐴𝐵𝐸-∠𝐴𝐶𝐷=180°-60°-40°-30°=50°，
∵∠𝐷+∠𝐸=∠1+∠2，
∴∠𝐷+∠𝐸=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．如图，已知直线𝑦 =―𝑥与𝑦 =𝑛𝑥+4𝑛图象交点的横坐标是―2，则关于x的不等式𝑛𝑥+4𝑛>―𝑥>0
1 2
解集是（ ）
A．―4<𝑥<0 B．―2<𝑥<0 C． 𝑛<𝑥<0 D．―4<𝑥<𝑛
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】观察图象在𝑥轴上方，直线𝑦 的图象在直线𝑦 的图象的上方部分对应的自变量的取值即为不等
2 1
式𝑛𝑥+4𝑛>―𝑥>0解集；
【详解】解：观察图象可知：图象在𝑥轴上方，直线𝑦 的图象在直线𝑦 的图象的上方部分对应的自变量
2 1
的取值即为不等式𝑛𝑥+4𝑛>―𝑥>0解集，
∴―2<𝑥<0，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与不等式、两直线相交等知识，解题的关键是学会利用图象法解决自变量的
取值范围问题．
8．《孙子算经》中有这样一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不
足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长
木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长𝑥尺、绳子长𝑦尺，下列方程组正确的是（ ）
𝑦=𝑥―4.5 𝑦=𝑥+4.5 𝑦=𝑥+4.5 𝑦=𝑥+4.5
A． 1 B． C． 1 D． 1
𝑦=𝑥―1 𝑦=2𝑥―1 𝑦=𝑥+1 𝑦=𝑥―1
2 2 2
【答案】D
【分析】根据题意，找到等量关系，列出方程，即可．
【详解】设木长𝑥尺、绳子长𝑦尺，
∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
𝑦=𝑥+4.5
∴ 1 ，
𝑦=𝑥―1
2
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组运用．
9．若正比例函数𝑦=𝑘𝑥的图象经过第二、第四象限，常数k和b互为相反数，则一次函数𝑦=𝑘𝑥―𝑏在平
面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据正比例函数的性质确定k的符号，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：∵正比例函数𝑦=𝑘𝑥的图象在第二、第四象限，
∴𝑘＜0，
∵常数k和b互为相反数，
∴𝑏＞0，
∴一次函数𝑦=𝑘𝑥―𝑏在平面直角坐标系中的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数和一次函数的图象．抓住系数与图象的关系是解题关键．
10．学校提倡“低碳环保，绿色出行”、小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出
发、沿同一条路匀速新进．如图所示、𝑙 和𝑙 分别表示两人到小亮家的距离𝑆(km)和时间t(h)的关系，
2 2
下列结论：①小明和小亮两家相距3.5km；②小亮比小明早到0.1小时；③小明步行的速度为每小时
5km，④小明和小亮在距离学校0.75km处相遇，其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．由图逐项判断，用待定系数法求出𝑙 和𝑙
1 2
的函数解析式，再令𝑆 =𝑆 解方程求出相遇时间，再判断即可．
1 2
【详解】解：由图知：小明和小亮两家相距3.5km，小亮比小明早到0.5―0.4=0.1小时，
故①，②正确；
6―3.5
小明步行的速度为每小时 =5km，故③正确，
0.5
设𝑙 的函数解析式为𝑦 =𝑘𝑥+𝑏，
1 1
𝑏=3.5
则 ，
0.5𝑘+𝑏=6
𝑘=5
解得 ，
𝑏=3.5
∴𝑙 的函数解析式为𝑆 =5𝑡+3.5；
1 1
设𝑙 的函数解析式为𝑆 =𝑚𝑡，
2 2
则0.4𝑚=6，
解得𝑚=15，
学科网（北京）股份有限公司∴𝑙 的函数解析式为𝑆 =15𝑡；
2 2
令𝑆 =𝑆 ，即5𝑡+3.5=15𝑡，
1 2
解得𝑡=0.35，
∴出发0.35小时后两人相遇，此时小明和小克在距离学校5×(0.5―0.35)=0.75km处．
故④正确．
故答案为：D．
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．有一组数据如下：2，3，𝑎，5，6，它们的平均数是4，则𝑎的值为 ．
【答案】4
1
【分析】根据算术平均数的计算公式𝑥= （x +x +…+xn）列出关于a的方程，解方程即可求解．
𝑛 1 2
【详解】解：由题意得：
（2+3+a+5+6）÷5=4，
解得：a=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了算术平均数的计算方法，掌握计算公式是解决问题的前提．
12．已知一次函数𝑦=―2𝑥+2的图象经过点𝐴(―1,𝑎)，𝐵(2,𝑏)，则𝑎+𝑏= ．
【答案】2
【分析】根据一次函数𝑦=―2𝑥+2的图象经过点𝐴(―1,𝑎)，𝐵(2,𝑏)，可以求得𝑎、𝑏的值，然后即可计
算出𝑎+𝑏的值．
【详解】解：∵一次函数𝑦=―2𝑥+2的图象经过点𝐴(―1,𝑎)，𝐵(2,𝑏)，
∴𝑎=―2×(―1)+2=4，𝑏=―2×2+2=―2，
∴𝑎+𝑏=4+(―2)=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出𝑎、𝑏的值．
3𝑎+2𝑏=12
13．关于a、b的二元一次方程组 的解是 ．
5𝑎―𝑏=7
𝑎=2 𝑏=3
【答案】 /
𝑏=3 𝑎=2
【分析】利用加减法解方程组即可．
3𝑎+2𝑏=12①
【详解】解：
5𝑎―𝑏=7②
②×2＋①得13a＝26，
解得a＝2，
学科网（北京）股份有限公司把a＝2代入①得3×2＋2b＝12，
解得b＝3，
𝑎=2
∴方程组解的解是 ．
𝑏=3
𝑎=2
故答案为：
𝑏=3
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入法和加减法是解题的关键．
14．已知 𝑎+2+|𝑏―3|=0，则(𝑎―𝑏)𝑏 = ．
【答案】―125
【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握非负数的性
质．根据非负数的性质求出𝑎、𝑏的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵ 𝑎+2+|𝑏―3|=0，
∴ 𝑎+2=0，𝑏―3=0，
解得：𝑎=―2，𝑏=3，
∴ (𝑎―𝑏)𝑏 =(―2―3)3 =―125，
故答案为：―125．
15．如图，在平面直角坐标系中，𝐴(1,3)，𝐵(3,1)是直线𝑦=―𝑥+4上的两点，点P是x轴上的一个动点，
则𝑃𝐴+𝑃𝐵的最小值为 ．
【答案】2 5
【分析】本题考查了线段和最小值问题，两点间连线段最短，点关于坐标轴对称，勾股定理；作𝐴关于
𝑥轴的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵交𝑥轴于𝑃，此时𝑃𝐴+𝑃𝐵取得最小值，𝑃𝐴+𝑃𝐵 =𝐴′𝐵，由勾股定理即可求解；
利用两点间连线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．
【详解】解：作𝐴关于𝑥轴的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵交𝑥轴于𝑃，由对称得：𝑃𝐴=𝑃𝐴′，
𝐴′(1,―3)，
此时𝑃𝐴+𝑃𝐵取得最小值，
𝑃𝐴+𝑃𝐵
=𝑃𝐴′+𝑃𝐵
=𝐴′𝐵，
∴𝐴′𝐵= (1―3)2+(―3―1)2
=2 5，
故答案：2 5．
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（8分）计算
（1） 27―3 1+ 18÷ 6
3
2
（2）( 3― 2) + 2( 3― 2)
【答案】（1）3 3；（2）3― 6
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘除法则和完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】解：（1） 27―3 1+ 18÷ 6
3
=3 3―3× 3+ 18÷6
3
=3 3― 3+ 3
=3 3；
2
（2）( 3― 2) + 2( 3― 2)
=3+2―2 6+ 6―2
=3― 6
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运
算，然后合并同类二次根式．
17．（10分）解方程组：
𝑥―𝑦=3
(1)
3𝑥―8𝑦=14
2𝑥―3𝑦=8
(2)
7𝑥―5𝑦=―5
𝑥=2
【答案】(1)
𝑦=―1
𝑥=―5
(2)
𝑦=―6
【分析】此题考查了解二元一次方程组．
（1）方程组利用代入消元法求解即可
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
𝑥―𝑦=3①
【详解】（1）解： ，
3𝑥―8𝑦=14②
由①得：𝑥=3+𝑦③，
将③代入②得：3(3+𝑦)―8𝑦=14，即―5𝑦=5，
解得：𝑦=―1，
把𝑦=―1代入①得：𝑥=2，
𝑥=2
则方程组的解为 ；
𝑦=―1
2𝑥―3𝑦=8①
（2）解： ，
7𝑥―5𝑦=―5②
①×5+―②×3得：―11𝑥=55，
解得：𝑥=―5，
把𝑥=―5代入①得：𝑦=―6，
𝑥=―5
则方程组的解为 ．
𝑦=―6
18．（10分）已知Δ𝐴𝐵𝐶三顶点在如图所示的平面直角坐标系中的网格点位置．(1)写出𝐴，𝐵，𝐶三点的坐标；
(2)若Δ𝐴𝐵𝐶各顶点的纵坐标都不变，横坐标都乘以―1，在同一坐标系中描出对应的点𝐴′，𝐵′，𝐶′，并依
次连接这三个点得Δ𝐴′𝐵′𝐶′；
(3)求Δ𝐴′𝐵′𝐶′的面积．
【答案】(1)𝐴(2，2)，𝐵(1，0)，𝐶 4，―1 ；
(2)见解析；
(3)Δ𝐴′𝐵′𝐶′的面积为3.5．
【分析】（1）根据点在坐标系中的位置可直接读出点的坐标；
（2）纵坐标都不变，横坐标都乘以−1，得𝐴′(―2,1)，𝐵′(―1,0)，𝐶′(―4,―1)，然后依次连接即可得；
（3）在方格点中利用正方形的面积减去三个三角形的面积即可得．
【详解】（1）解：根据点在坐标系中的位置可得：𝐴(2,1)，𝐵(1,0)，𝐶(4,―1)；
（2）解：纵坐标都不变，横坐标都乘以−1，可得：
𝐴′(―2,1)，𝐵′(―1,0)，𝐶′(―4,―1)，然后依次连接，∆𝐴′𝐵′𝐶′即为所求；
1 1 1
（3）解：∆𝐴′𝐵′𝐶′的面积为：3×3― ×1×2― ×2×3― ×1×3=3.5，
2 2 2
∴∆𝐴′𝐵′𝐶′的面积为3.5．
【点睛】题目主要考查坐标与图形变换，点的变换等，理解题意，熟练掌握点的变换是解题关键．
19．（10分）棉花是纺织工业的主要原料，在我国是仅次于粮食的第二大农作物．棉花是由一根很细小的纤
维组成，纤维长度是衡量棉花品质的重要指标，纤维长度越大，棉花质量越好．现从某农场种植的A，
B两个品种的棉花中各随机抽取20束棉花，测量每束棉花的纤维长度（单位：mm），并对相关数据进
行整理、描述和分析，下面给出了部分信息，抽取的A品种棉花的纤维长度：25，25，26，27，27，
27，27，28，28，28，28，28，28，29，29，29，30，30，30，31抽取的B品种棉花的纤维长度
条形统计图如图：
A，B两个品种棉花纤维长度统计表
品种 平均数 中位数 众数
学科网（北京）股份有限公司𝐴 28 28 𝑎
𝐵 28 𝑏 27
根据上述信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并求出𝑎,𝑏的值；
(2)估计𝐵品种1600束棉花中纤维长度达到28mm及其以上的数量；
(3)根据以上数据分析，从某一个方面评价𝐴,𝐵两个品种棉花的质量谁更好？
【答案】(1)见解析，𝑎=28，𝑏=27.5
(2)800束
(3)A品种棉花的质量更好，见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得a、b的值；
（2）用1600乘样本中纤维长度达到28mm及其以上的数量所占比例即可；
（3）从中位数、众数和平均数的对比可得答案．
【详解】（1）解：补全条形统计图如图所示：
A品种棉花的纤维长度28mm出现的次数最多，故众数𝑎=28，
27+28
B品种棉花的纤维长度的中位数为： =27.5(mm)，故𝑏=27.5；
2
2+3+4+1
（2）解：1600× =800（束），
20
答：估计B品种1600束棉花中纤维长度达到28mm及其以上的数量为800束；
（3）解：A品种棉花的质量更好．
理由：这两个品种的棉花的平均数相同，但A品种棉花的中位数和众数均高于B品种，
故A品种棉花的质量更好．
【点睛】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数的意义和计算方法是正确
解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
学科网（北京）股份有限公司20．（12分）某商场销售𝐴、𝐵两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出𝐴种20件，𝐵种10件，
销售总额为840元；如果售出𝐴种10件，𝐵种15件，销售总额为660元．
(1)求𝐴、𝐵两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，𝐴种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；𝐵种
商品的售价不变，𝐴种商品售价不低于𝐵种商品售价．设𝐴种商品降价𝑚元，如果𝐴、𝐵两种商品销售量
相同，求𝑚取何值时，商场销售𝐴、𝐵两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)𝐴的销售单价为30元、𝐵的销售单价为24元
(2)当𝑚=5时，商场销售𝐴、𝐵两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
【分析】（1）设𝐴的销售单价为𝑥元、𝐵的销售单价为𝑦元，根据题中售出𝐴种20件，𝐵种10件，销售总
额为840元；售出𝐴种10件，𝐵种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案；
（2）设利润为𝑤，根据题意，得到𝑤=―10(𝑚―5)2+810，结合二次函数性质及题中限制条件分析求
解即可得到答案．
【详解】（1）解：设𝐴的销售单价为𝑥元、𝐵的销售单价为𝑦元，则
20𝑥+10𝑦=840 𝑥=30
，解得 ，
10𝑥+15𝑦=660 𝑦=24
答：𝐴的销售单价为30元、𝐵的销售单价为24元；
（2）解：∵ 𝐴种商品售价不低于𝐵种商品售价，
∴30―𝑚≥24，解得𝑚≤6，即0≤𝑚≤6，
设利润为𝑤，则
𝑤= (40+10𝑚)×[(30―𝑚―20)+(24―20)]
=―10𝑚2+100𝑚+560
=―10(𝑚―5)2+810，
∵―10<0，
∴𝑤在𝑚=5时能取到最大值，最大值为810，
∴当𝑚=5时，商场销售𝐴、𝐵两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，
根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4），C是第一象限内一点，且BC∥x轴．
（1）连接AC，当S ＝6时，求点C的坐标；
△ABC
（2）设D为y轴上一动点，连接AD，CD，作∠BCD、∠DAO的平分线相交于点P，在点D的运动过
程中，试判断等式∠CPA＝2∠CDA是否始终成立，并说明理由．【答案】（1）C（3，4）；（2）等式∠CPA＝2∠CDA始终成立；理由见解析．
【分析】（1）利用三角形面积公式求得BC的长，即可求得C的坐标；
（2）利用角平分线的意义、三角形内角和定理以及直角三角形两锐角互余的关系计算证明即可．
【详解】解：（1）∵B（0，4），C是第一象限内一点，且BC∥x轴，
∴OB＝4，
1
∵S ＝ BC•OB＝6，
△ABC 2
∴BC＝3，
∴C（3，4）；
（2）等式∠CPA＝2∠CDA始终成立；理由如下：
连接AC，如图所示：
∵AP是∠OAD的平分线，
1 1 1
∴∠DAP＝ ∠DAO＝ （90°﹣∠ADO）＝45°﹣ ∠ADO，
2 2 2
∵PC是∠BCD的角平分线，
1 1 1
∴∠PCD＝ ∠BCD＝ （90°﹣∠BDC）＝45°﹣ ∠BDC，
2 2 2
在△PAC中，∠CPA＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（∠DAC +∠DAP+∠PCD +∠DCA）
1 1
＝180°﹣（∠DAC+ ∠DAO+ ∠BCD+∠DCA）
2 2
1 1
＝180°﹣（180°﹣∠ADC+45°﹣ ∠ADO+45°﹣ ∠BDC）
2 2
学科网（北京）股份有限公司1
＝∠ADC+ （∠ADO+∠BDC）﹣90°
2
1
＝∠ADC+ （180°﹣∠ADC）﹣90°，
2
1
＝∠ADC﹣ ∠ADC
2
1
＝ ∠ADC，
2
∴2∠CPA＝∠CDA．
∴在点D的运动过程中，等式∠CPA＝2∠CDA始终成立．
【点睛】本题考查平面直角坐标系和角平分线以及角度之间的关系，解题的关键是能够熟练的掌握三
角形面积的求解方法，利用相关定理寻找角与角之间的数量关系．
22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线𝑙 ：𝑦=―𝑥+5与y轴交于点A，直线𝑙 与x轴、y轴分别交
1 2
于点𝐵 ―4，0 和点C，且与直线𝑙 交于点𝐷 2，𝑚 ．
1
(1)求直线𝑙 的解析式；
2
(2)若点E为线段𝐵𝐶上一个动点，过点E作𝐸𝐹⊥𝑥轴，垂足为F，且与直线𝑙 交于点G，当𝐸𝐺=6时，
1
求点G的坐标；
(3)若在平面上存在点H，使得以点𝐴，𝐶，𝐷，𝐻为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐
标．
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【答案】(1)𝑦= 𝑥+2
2
(2)𝐺 ―2，7
(3) 2，0 或 2，6 或 ―2，4
【分析】（1）先利用已知函数求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用两条直线的解析式表示出𝐺，𝐸两点的坐标，进而得出线段𝐺𝐸的长，列出方程即可解答；
（3）分四边形𝐴𝐻𝐶𝐷为平行四边形、四边形𝐴𝐻𝐷𝐶为平行四边形、四边形𝐴𝐷𝐻𝐶为平行四边形，三种情
形解答，先求得经过点H的解析式，再联立，解方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵当𝑥=2时，𝑦=―2+5=3=𝑚，
∴ 𝐷 2，3 ．
设直线𝑙 的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，由题意得：
2
学科网（北京）股份有限公司2𝑘+𝑏=3
，
―4𝑘+𝑏=0
1
𝑘=
解得： 2．
𝑏=2
1
∴直线𝑙 的解析式为𝑦= 𝑥+2．
2 2
（2）解：∵𝐸𝐹⊥𝑥轴，
∴𝐺，𝐸的横坐标相同．
设𝐺 𝑛，―𝑛+5 ，则𝐸 𝑛， 1 𝑛+2 ．
2
∵E为线段𝐵𝐶上一个动点，
1
∴―𝑛+5>0， 𝑛+2>0，
2
1
∴𝐹𝐺=―𝑛+5，𝐹𝐸= 𝑛+2．
2
3
∴𝐸𝐺=𝐹𝐺―𝐹𝐸=― 𝑛+3=6．
2
解得：𝑛=―2．
∴𝐺 ―2，7 ．
（3）解：如下图，当四边形𝐴𝐻𝐶𝐷为平行四边形时，
1
令𝑥=0，则𝑦= ×0+2=2，
2
∴𝐶 0，2 ．
∵𝐶𝐻∥𝐴𝐷，
∴直线𝐶𝐻的解析式为：𝑦=―𝑥+2．
令𝑥=0，则𝑦=―1×0+5=5，
∴𝐴 0，5 ．
∵𝐴𝐻∥𝐶𝐷，
1
∴直线𝐴𝐻的解析式为：𝑦= 𝑥+5．
2
𝑦=―𝑥+2
∴ 1 ．
𝑦= 𝑥+5
2𝑥=―2
解得： ．
𝑦=4
∴𝐻 ―2，4 ．
如下图，当四边形𝐴𝐻𝐷𝐶为平行四边形时，
∵𝐷𝐻∥𝐴𝐶，
∴直线𝐷𝐻的解析式为𝑥=2，
∵𝐴𝐻∥𝐷𝐶，
1
∴直线𝐴𝐻的解析式为𝑦= 𝑥+5，
2
1
∴当𝑥=2时，𝑦= ×2+5=6，
2
∴𝐻 2，6 ．
当四边形𝐴𝐷𝐻𝐶为平行四边形时，如下图，
∵𝐷𝐻∥𝐴𝐶，
∴直线𝐷𝐻的解析式为𝑥=2，
∵𝐶𝐻∥𝐴𝐷，
∴直线𝐶𝐻的解析式为：𝑦=―𝑥+2，
当𝑥=2时，𝑦=―2+2=0，
∴𝐻 2，0 ．
综上，存在点H，使得以点𝐴，𝐶，𝐷，𝐻为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为：2，0 或 2，6
或 ―2，4 ．
【点睛】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四
边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键．
