2024-2025 学年九年级数学下学期开学摸底考
（北师大版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．用配方法解一元二次方程𝑥2―4𝑥=1，变形正确的是（ ）
A．(𝑥―2)2 =0 B．(𝑥―2)2 =5 C．(𝑥―1)2 =1 D．(𝑥―1)2 =5
【答案】B
【分析】根据完全平方公式和等式的性质进行配方即可．
【详解】解：𝑥2―4𝑥+4=1+4
(𝑥―2)2=5
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法，其一般步骤为：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
2．某市举行中学生合唱大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三所学校，通过抽签确定三所学校的出场顺序，
则甲、乙两校排到前两个出场的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】B
【分析】先画出树状图，得出所有出现的情况，再根据概率公式进行求解即可．
【详解】解：画树状图如下，
由树状图可知：共有6种等可能的结果，其中甲、乙两校排到前两个出场的有2种结果，2 1
∴甲、乙两校排到前两个出场的概率为 = ，
6 3
故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，
列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树
状图法；概率的公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关
键．
3．如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹，若𝐴𝐶=6，𝐶𝐸=3，𝐷𝐹=2，则𝐵𝐹的长为（ ）
A．4 B．4．5 C．5．5 D．6
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数代入计算即可．
【详解】解：∵ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹
𝐴𝐶 𝐵𝐷
∴ =
𝐶𝐸 𝐷𝐹
∵ 𝐴𝐶=6，𝐶𝐸=3，𝐷𝐹=2
6 𝐵𝐷
∴ = ，解得：𝐵𝐷=4
3 2
∴ 𝐵𝐹=𝐵𝐷+𝐷𝐹=4+2=6
故选：D
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，解题关键
是熟练掌握平行线分线段成比例．
9
4．已知点𝐴(2,𝑦 )、𝐵(3,𝑦 )、𝐶(―3,𝑦 )都在反比例函数𝑦= 的图象上，则𝑦 、𝑦 、𝑦 的大小关系是（ ）
1 2 3 𝑥 1 2 3
A．𝑦 <𝑦 <𝑦 B．𝑦 <𝑦 <𝑦
3 1 2 1 2 3
C．𝑦 <𝑦 <𝑦 D．𝑦 <𝑦 <𝑦
2 1 3 3 2 1
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征，把点𝐴、𝐵、𝐶的坐标代入解析式求出𝑦 ,𝑦 ,𝑦 的值是解
1 2 3
题的关键．分别把点𝐴(2,𝑦 ),𝐵(3,𝑦 ),𝐶(―1,𝑦 )代入函数解析式求出𝑦 ,𝑦 ,𝑦 的值即可判断．
1 2 3 1 2 3
9
【详解】解：∵点𝐴(2,𝑦 )、𝐵(3,𝑦 )、𝐶(―3,𝑦 )都在反比例函数𝑦= 的图象上，
1 2 3 𝑥
9 9 9
∴𝑦 = ；𝑦 = =3；𝑦 = =―3，
1 2 2 3 3 ―3
9
∵―3<3< ，
2
∴𝑦 <𝑦 <𝑦 ，
3 2 1
故选：D．
学科网（北京）股份有限公司5．把二次函数𝑦=2𝑥2―1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析
式为（ ）
A．𝑦=2(𝑥+1)2―3 B．𝑦=2(𝑥―1)2+3
C．𝑦=2(𝑥+1)2+3 D．𝑦=2(𝑥―1)2―3
【答案】A
【分析】本题考查的是函数图象的平移，熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解本题的关键．
根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答．
【详解】∵二次函数𝑦=2𝑥2―1的顶点坐标为(0,―1)，
把(0,―1)向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，对应点的坐标为(―1,―3)，
∴新抛物线的解析式为𝑦=2(𝑥+1)2―3，
故选：A．
6．下列说法中，错误的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．平行四边形对角相等
C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】C
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、
菱形及正方形的判定定理进行排除．
【详解】A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故原说法正确；
B、平行四边形对角相等；故原说法正确；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法错误；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确；
故选：C．
7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D、E、F分别是边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴的中点，在图中能画出多少个平行四边形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由于D、E、F分别是边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴的中点，易知𝐷𝐸、𝐷𝐹、𝐸𝐹都是△𝐴𝐵𝐶的中位线，那么
𝐷𝐸∥𝐴𝐶，𝐷𝐹∥𝐵𝐶，𝐸𝐹∥𝐴𝐵，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形𝐸𝐷𝐹𝐶是平行四边形；四边
形𝐸𝐵𝐷𝐹是平行四边形；四边形𝐴𝐷𝐸𝐹是平行四边形．
【详解】解：∵D、E、F分别是边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴，
学科网（北京）股份有限公司∴𝐷𝐸、𝐷𝐹、𝐸𝐹都是△𝐴𝐵𝐶的中位线
∴𝐷𝐸∥𝐴𝐶，𝐷𝐹∥𝐵𝐶，𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∴四边形𝐸𝐷𝐹𝐶是平行四边形；四边形𝐸𝐵𝐷𝐹是平行四边形；四边形𝐴𝐷𝐸𝐹是平行四边形．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理
的内容．
8．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定
“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按
规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，
转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A．𝑥2 =91 B．1+𝑥2 =91 C．1+𝑥+𝑥(1+𝑥)=91 D．1+𝑥+𝑥2 =91
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共
有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为1+𝑥+𝑥2 =91，
故选：D．
9．已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（b，c是常数）的图象如图所示，则一次函数𝑦=𝑐𝑥+𝑏与反比例函数
𝑎𝑏
𝑦= 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
𝑥
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线开口向上得到𝑎>0；由抛物线对称轴的位置确定𝑏<0，由抛物线与y轴的交点位置
确定𝑐>0，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、三、四象限，根据反比例函
数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．
【详解】∵抛物线开口方向向上，
∴𝑎>0；
∵抛物线对称轴在y轴右侧，𝑏
∴𝑥=― >0，
2𝑎
∴𝑏<0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴𝑐>0，
对于一次函数𝑦=𝑐𝑥+𝑏，
∵𝑐>0，𝑏<0
∴一次函数𝑦=𝑐𝑥+𝑏的图象经过第一、三、四象限；
𝑎𝑏
对于反比例函数𝑦= ，
𝑥
∵𝑎>0，𝑏<0
𝑎𝑏
∴𝑎𝑏<0，反比例函数𝑦= 图象分布在第二、四象限
𝑥
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断及反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌
握二次函数系数的符号是解决问题的关键
10．如图，在边长为1的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，E为𝐴𝐷边上一点，连接𝐵𝐸，将△𝐴𝐵𝐸沿𝐵𝐸对折，A点恰好落在
对角线𝐵𝐷上的点F处．延长𝐴𝐹，与𝐶𝐷边交于点G，延长𝐹𝐸，与𝐵𝐴的延长线交于点H，则下列说法：
①△𝐵𝐹𝐻为等腰直角三角形；②△𝐴𝐷𝐹≌△𝐹𝐻𝐴；③∠𝐷𝐹𝐺=60°；④𝐷𝐸=2― 2；⑤𝑆 =
△𝐴𝐸𝐹
𝑆 ．其中正确的说法有（ ）
△𝐷𝐹𝐺
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①根据对称及正方形的性质即可判断；②可证∠𝐻=∠𝐹𝐷𝐴=45°，∠𝐻𝐹𝐴=∠𝐷𝐴𝐹，𝐴𝐹为公共
1
边，根据AAS可证明三角形全等；③可证∠𝐷𝐹𝐺=∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐹𝐴𝐵= ×(180°―45°)=67.5°，可判断③
2
错误；④可证𝐷𝐸= 2𝐸𝐹= 2𝐴𝐸，有𝐴𝐸+ 2𝐴𝐸=1，可求出𝐴𝐸= 2―1，进而求出𝐷𝐸的长，即可
判断；⑤过𝐷作𝐷𝑁⊥𝐹𝐺于𝑁，另𝐴𝐹交𝐵𝐸于点𝑀，可证△𝐷𝐹𝑁≌△𝐹𝑀𝐸，而𝑆 =2𝑆 ，𝑆 =2
△𝐷𝐹𝐺 △𝐷𝐹𝑁 △𝐴𝐸𝐹
𝑆 ，则可判断𝑆 =𝑆 ．
△𝐹𝑀𝐸 △𝐴𝐸𝐹 △𝐷𝐹𝐺
【详解】解：①∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝐵𝐷为对角线，
∴𝐸𝐴⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵=45°
∵△𝐴𝐵𝐸翻折之后为△𝐹𝐵𝐸，∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸，
∴𝐸𝐹⊥𝐵𝐹，
又∵∠𝐴𝐵𝐹=45°，
∴△𝐵𝐹𝐻为等腰直角三角形，
故①正确；
②∵△𝐵𝐹𝐻为等腰直角三角形，𝐵𝐷为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线，
∴∠𝐻=∠𝐹𝐷𝐴=45°，
∵𝐴、𝐹关于𝐵𝐸对称，
∴∠𝐻𝐹𝐴=∠𝐷𝐴𝐹
在△𝐴𝐷𝐹和△𝐹𝐻𝐴中，
∠𝐻=∠𝐹𝐷𝐴
∠𝐻𝐹𝐴=∠𝐷𝐴𝐹
𝐴𝐹=𝐹𝐴
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐹𝐻𝐴(AAS)
故②正确；
③∵𝐴、𝐹关于𝐵𝐸对称，
∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐹𝐴𝐵，
又∵∠𝐴𝐵𝐹=45°，
1
∴∠𝐷𝐹𝐺=∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐹𝐴𝐵= ×(180°―45°)=67.5°，
2
故③错误；
④∵𝐴𝐸⊥𝐴𝐵，△𝐴𝐸𝐵与△𝐹𝐸𝐵对称，
∴𝐷𝐹⊥𝐸𝐹，𝐴𝐸=𝐸𝐹，
又∵∠𝐸𝐷𝐹=45°，
∴△𝐷𝐸𝐹为等腰直角三角形，
∴𝐷𝐸= 2𝐸𝐹= 2𝐴𝐸
有𝐴𝐸+ 2𝐴𝐸=1，
1
∴𝐴𝐸= = 2―1，
2+1
∴𝐷𝐸= 2𝐴𝐸=2― 2，
学科网（北京）股份有限公司故④正确；
⑤过𝐷作𝐷𝑁⊥𝐹𝐺于𝑁，设𝐴𝐹交𝐵𝐸于点𝑀，
∵∠𝐹𝐷𝐺=45°,∠𝐷𝐹𝐺=67.5°，
∴∠𝐷𝐺𝐹=180°―67.5°―45°=67.5°，
∴𝐷𝐹=𝐷𝐺，𝑆 =2𝑆 ，
△𝐷𝐹𝐺 △𝐷𝐹𝑁
1 1
在Rt△𝐵𝐸𝐹中，∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝐹= ×45°=22.5°，
2 2
∠𝐹𝐸𝐵=90°―22.5°=67.5°，
在△𝐷𝐹𝑁和△𝐹𝑀𝐸中，
∠𝐷𝑁𝐹=∠𝐹𝑀𝐸=90°
∠𝐷𝐹𝑁=∠𝐹𝐸𝑀=67.5°
𝐷𝐹=𝐸𝐹
∴△𝐷𝐹𝑁≌△𝐹𝑀𝐸 (AAS)，
∴𝑆 =𝑆 ，
△𝐸𝐹𝑀 △𝐹𝐷𝑁
而𝑆 =2𝑆 ，𝑆 =2𝑆 ，
△𝐷𝐹𝐺 △𝐷𝐹𝑁 △𝐴𝐸𝐹 △𝐹𝑀𝐸
∴𝑆 =𝑆 ．
△𝐴𝐸𝐹 △𝐷𝐹𝐺
故⑤正确．
正确的说法有①②④⑤，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知
识，找到相应线段和角度的相等，并证明相应三角形全等是求解的关键．
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
𝑏 1 𝑎
11．若 ＝ ，则分式 的值为 ．
𝑎 3 𝑎―𝑏
3
【答案】
2
𝑏 1
【详解】根据 = ，所以设a＝3k，b＝k（k≠0），代入分式中化简即可．
𝑎 3
𝑏 1
【解答】解：∵ = ，
𝑎 3
∴设a＝3k，b＝k（k≠0），
学科网（北京）股份有限公司𝑎 3𝑘 3𝑘 3
∴ = = = ，
𝑎―𝑏 3𝑘―𝑘 2𝑘 2
3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了分式的求值，根据条件设a＝3k，b＝k（k≠0）是解题的关键．
12．若一元二次方程𝑚𝑥2+𝑥―2=0有实数根，则𝑚的取值范围是 ．
1
【答案】𝑚≥― 且𝑚≠0
8
【分析】本题考查了根的判别式、一元一次不等式的解法及一元二次方程的定义．
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2+𝑥―2=0有实数根，
则Δ=1+8𝑚≥0，且𝑚≠0．
1
解得𝑚≥― 且𝑚≠0．
8
1
故答案为：𝑚≥― 且𝑚≠0．
8
13．如图，已知点𝑂是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的对称中心，𝐸、𝐹分别是边𝐴𝐷、𝐵𝐶上的点，且关于点𝑂中心对称，如果矩
形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 ．
【答案】5.5
【分析】根据矩形性质得到∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐹𝐶𝑂，由三角形全等的判定定理得到△𝐸𝑂𝐴≌△𝐹𝑂𝐶（ASA），
1
从而根据三角形全等的性质得到𝑆 =𝑆 ，再由矩形对角线性质即可得到𝑆 =𝑆 =
△𝐴𝐸𝑂 △𝐹𝑂𝐶 阴影部分 △𝐵𝑂𝐶 4
1
𝑆 = ×22=5.5．
矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 4
【详解】解：在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝐴𝐷∥𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐹𝐶𝑂，
在△𝐸𝐴𝑂与△𝐹𝐶𝑂中，
∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐹𝐶𝑂
𝑂𝐴=𝑂𝐶 ，
∠𝐸𝑂𝐴=∠𝐹𝑂𝐶
∴△𝐸𝑂𝐴≌△𝐹𝑂𝐶（ASA），
∴𝑆 =𝑆 ，
△𝐴𝐸𝑂 △𝐹𝑂𝐶
1 1
∴𝑆 =𝑆 = 𝑆 = ×22=5.5，
阴影部分 △𝐵𝑂𝐶 4 矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 4
故答案为：5.5．
【点睛】本题考查矩形性质及全等三角形的判定与性质求图形面积，熟练掌握两个三角形全等的判定
与性质是解决问题的关键．
14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，
则∠AOC的正弦值是 ．
学科网（北京）股份有限公司3
【答案】
5
【分析】如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F，证明∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝑂𝐶, 再利用勾股定理及等面积法
求解𝐵𝐸,𝐸𝐹, 从而可得答案．
【详解】解：如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F．
∵BD∥CE．BD＝CE．
∴四边形DBEC是平行四边形．
∴BE∥DC．
∴∠ABE＝∠AOC．
∵𝐴𝐵= 22+42 =2 5，
1 1 1
∴𝑆 = 𝐴𝐵·𝐸𝐹= ×2 5×𝐸𝐹= ×3×2．
△𝐴𝐵𝐸 2 2 2
∴𝐸𝐹=3 5．
5
在Rt△BEF中，
∵𝐵𝐸= 12+22 = 5，
𝐸𝐹 3 5 3
∴sin∠𝐴𝐵𝐸= = 5 =
𝐵𝐸 5
5
3
∴sin∠AOC＝ ．
5
3
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正弦，掌握构造直角三角形求解锐角的正弦是解
题的关键．
9 𝑘
15．如图，已知𝐵 𝐴分别在反比例函数𝑦=― ,𝑦= 上，当𝐴𝑂⊥𝐵𝑂时，𝐵𝑂:𝐴𝑂=3:4，则𝑘= ．
､
𝑥 𝑥
学科网（北京）股份有限公司【答案】16
【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，设点B 𝑎,― 9 ，则有𝑂𝐷=―𝑎,𝐵𝐷=― 9 ，然后由
𝑎 𝑎
题意易得△BOD∽△OAC，进而根据相似三角形的性质可得OC、AC的值，最后问题可求解．
【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，如图所示：
∴∠BDO=∠OCA=90°，
∴∠DBO+∠DOB=90°，
∵BO⊥AO，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠COA，
∴△BOD∽△OAC，
∵𝐵𝑂:𝐴𝑂=3:4，
𝐵𝐷 𝑂𝐷 𝐵𝑂 3
∴ = = = ，
𝑂𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝑂 4
设点B 𝑎,― 9 ，
𝑎
9
∴𝑂𝐷=―𝑎,𝐵𝐷=― ，
𝑎
12 4𝑎
∴𝑂𝐶=― ,𝐴𝐶=― ，
𝑎 3
∴点A ― 12 ,― 4𝑎 ，
𝑎 3
∴𝑘=― 12 × ― 4𝑎 =16；
𝑎 3
故答案为16．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的
图像与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
2
16．（10分）（1）计算：(―1)2004+ ― 1 ―(π―3.14)0+3 ―27
2
（2）先化简，再求值： 1+ 1 ÷ 𝑥2―𝑥，其中𝑥=―3
𝑥―2 𝑥2―4
11 𝑥+2 1
【答案】（1）― ；（2） ， ．
4 𝑥 3
【分析】（1）根据乘方运算、零指数幂、立方根的定义分别运算，再合并即可求解；
（2）利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再把𝑥=―3代入到化简后的结果中计算即可求解；
本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握实数的运算法则和分式的运算法则是解题的关键．
1
【详解】解：（1）原式=1+ ―1+(―3)
4
1
= +(―3)，
4
11
=― ；
4
（2）原式= 𝑥―2 + 1 × (𝑥+2)(𝑥―2)
𝑥―2 𝑥―2 𝑥(𝑥―1)
𝑥―1 (𝑥+2)(𝑥―2)
= ×
𝑥―2 𝑥(𝑥―1)
𝑥+2
= ，
𝑥
当𝑥=―3时，
―3+2 1
原式= = ．
―3 3
17．（10分）某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追
踪调查，他将调查结果分为四类：A．很好；B．较好；C．一般；D．不达标，并将调查结果绘制成以
下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)此次调查的总人数为多少人；
(2)条形统计图缺少C组女生和D组男生的人数，请将它补充完整；
(3)该校九年级共有学生1200名，请你估计“达标”的共有多少人；
(4)为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学
习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．【答案】(1)此次调查的总人数为20人
(2)条形统计图缺少C组女生的人数为3人，D组男生的人数为1人，统计图见解析
(3)估计“达标”的共有1080人
1
(4)P（所选两位同学恰好是相同性别）=
2
【分析】本题考查了树状图法求概率，用样本估计总体以及条形统计图和扇形统计图等知识，树状图
法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
（1）由𝐴等级的人数除以所占百分比即可；
（2）用总人数分别乘以“一般”和“不达标”所占的百分比求出𝐶、𝐷类的男女生人数和，再求出𝐶等级的
女生和𝐷等级的男生，然后补全统计图即可；
（3）用总人数乘以达标的人数所占的百分比即可；
（4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可
得出答案．
【详解】（1）解：(1+2)÷15%=20（人)，
答：此次调查的总人数为20人；
（2）𝐶组的人数为：20×25%=5（人)，
∴𝐶组女生人数为：5―2=3（人)，
∴𝐷组人数为：20×(1―50%―25%―15%)=2（人)，
∴𝐷组男生人数为：2―1=1（人)，
补全统计图如下：
（3）1200×(15%+50%+25%)=1080（人)，
答：估计“达标”的共有1080人；
（4）由题意画树形图如下：
学科网（北京）股份有限公司从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是
相同性别的结果共有3种．
3 1
所以P（所选两位同学恰好是相同性别）= = ．
6 2
𝑘
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数𝑦= (𝑥>0)与一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)的图象相
𝑥
交于点𝐴(2,𝑚)与点𝐵(4,2)
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△𝐴𝑂𝐵的面积；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得𝐴𝑃+𝐵𝑃最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
8
【答案】(1)𝑦=―𝑥+6，𝑦= (𝑥>0)
𝑥
(2)6
(3)存在，𝑃 10 ,0 ，理由见解析
3
【分析】（1）通过𝐵(4,2)可求出反比了函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求得𝐴(2,4)，通过𝐴(2,4)，
𝐵(4,2)即可求得一次函数的解析式；
（2）设一次函数的图像交x轴于点𝐶(𝑛,0)，根据一次函数的解析式求出C的坐标，分别求出𝑆 ，𝑆 ，
△𝑂𝐶𝐴 △𝑂𝐶𝐵
再通过𝑆 =𝑆 ―𝑆 即可得到答案；
△𝐴𝑂𝐵 △𝑂𝐶𝐴 △𝑂𝐶𝑏
（3）作点A关于x轴的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵交x轴于点P，此时𝐴𝑃+𝐵𝑃最小，求出直线𝐴′𝐵的解析式
即可求得点P的坐标．
𝑘 𝑘
【详解】（1）解：将𝐵(4,2)带入𝑦= (𝑥>0)得2= ，
𝑥 4
∴𝑘=8，
8
∴反比例函数的解析式为：𝑦= (𝑥>0)；
𝑥
学科网（北京）股份有限公司∵𝐴(2,𝑚)在反比例函数上，
8
∴𝑚= =4，
2
∴𝐴(2,4)，
将𝐴(2,4)和𝐵(4,2)带入𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)得
4=2𝑎+𝑏
，
2=4𝑎+𝑏
𝑎=―1
解方程组得： ，
𝑏=6
∴一次函数的解析式为：𝑦=―𝑥+6；
（2）解：如下图所示，设一次函数的图像交x轴于点𝐶(𝑛,0)，
根据一次函数的解析式可以得0=―𝑛+6，
∴𝑛=6
∴𝑂𝐶=6，
1 1
∴𝑆 = ×6×4=12，𝑆 = ×6×2=6，
△𝑂𝐶𝐴 2 △𝑂𝐶𝐵 2
∴𝑆 =𝑆 ―𝑆 =12―6=6；
△𝐴𝑂𝐵 △𝑂𝐶𝐴 △𝑂𝐶𝐵
（3）解：存在，
如下图所示，作点A关于x轴的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵交x轴于点P，此时𝐴𝑃+𝐵𝑃最小，
∵𝐴(2,4)，
学科网（北京）股份有限公司∴𝐴′(2,―4)，
设直线𝐴′𝐵的解析式为𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)，
―4=2𝑎+𝑏
则 ，
2=4𝑎+𝑏
𝑎=3
解方程组的： ，
𝑏=―10
∴直线𝐴′𝐵的解析式为𝑦=3𝑥―10，
10
当𝑦=0时，𝑥= ，
3
∴𝑃 10 ,0 ．
3
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图像性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析
式．
19．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以𝐴、𝐵两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单
价是𝐵原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购𝐵原料少100kg．生产该产品每盒需
要A原料2kg和𝐵原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每
天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
(1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；
(2)设每盒产品的售价是𝑥元（𝑥是整数），每天的利润是𝑤元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利
润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)每盒产品的成本为30元
(2)当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程
和函数解析式成为解答本题的关键．
（1）设𝐵原料单价为𝑚元，则𝐴原料单价为1.5𝑚元，然后再根据题意列分式方程求解即可；
（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物
线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设𝐵原料单价为𝑚元，则𝐴原料单价为1.5𝑚元，
900 900
根据题意，得 ― =100，
𝑚 1.5𝑚
解得𝑚=3，
经检验𝑚=3是方程的解，
∴1.5𝑚=4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9=30（元)，
答：每盒产品的成本为30元
（2）根据题意，得𝑤=(𝑥―30)[500―10(𝑥―60)]=―10𝑥2+1400𝑥―33000，
∴𝑤关于𝑥的函数解析式为：𝑤=―10𝑥2+1400𝑥―33000；
学科网（北京）股份有限公司∴𝑤=―10𝑥2+1400𝑥―33000=―10(𝑥―70)2+16000，
∵―10<0，
∴抛物线开口向下，
∴当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元．
20．（10分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得𝐵𝐶=10
cm，𝐴𝐵=24cm，∠𝐵𝐴𝐷=60°，∠𝐴𝐵𝐶=50°．
(1)在图2中，过点B作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，垂足为E，填空：∠𝐶𝐵𝐸=_____°；
(2)求点C到𝐴𝐷的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据： 3≈1.73，sin20°≈0.342，cos
20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【答案】(1)20；
(2)11.4cm．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠𝐴𝐸𝐵＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠𝐴𝐵𝐸＝30°，
然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
（2）过点C作𝐶𝑀⊥𝐴𝐷于M，𝐶𝑁⊥𝐵𝐸于N，利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】（1）解：如图：
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵＝90°，
∵∠𝐵𝐴𝐷＝60°，
∴∠𝐴𝐵𝐸＝90°―∠𝐵𝐴𝐷＝30°，
∵∠𝐴𝐵𝐶＝50°，
∴∠𝐶𝐵𝐸＝∠𝐴𝐵𝐶―∠𝐴𝐵𝐸＝20°，
（2）解：过点C作𝐶𝑀⊥𝐴𝐷于M，𝐶𝑁⊥𝐵𝐸于N
学科网（北京）股份有限公司∴四边形𝐶𝑀𝐸𝑁为矩形
∴𝐶𝑀=𝐸𝑁
𝐵𝐸
在Rt△𝐴𝐸𝐵中，∠𝐴=60°，sin60°=
𝐴𝐵
∴𝐵𝐸=𝐴𝐵⋅sin60°=24× 3=12 3cm
2
𝐵𝑁
在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝑁中，∠𝐶𝐵𝑁=20°，cos20°=
𝐵𝐶
∴𝐵𝑁=𝐵𝐶⋅cos20°≈10×0.940=9.4cm
∴𝐸𝑁=𝐵𝐸―𝐵𝑁=12 3―9.4≈12×1.73―9.4≈11.4cm
∴𝐶𝑀=𝐸𝑁≈11.4cm
答：点C到𝐴𝐷的距离约为11.4cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题
的关键．
21．（12分）已知二次函数𝑦=𝑥2+2𝑥―3的图象与𝑥轴的交于𝐴，𝐵两点，与𝑦轴交于点𝐶．
(1)求𝐴，𝐵两点坐标；
(2)点𝐷在第三象限内的抛物线上，过点𝐷作𝑥轴垂线交𝐴𝐶于点𝐸，求𝐷𝐸的最大值；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点𝑁，使以𝐷，𝑁，𝐵,𝑂为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请求出点𝑁的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)𝐴(―3,0)；𝐵(1,0)
9
(2)𝐷𝐸的最大值为
4
(3)存在，点𝑁的横坐标为― 1 ，― 3 或1+ 7
2 2 2
【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题
等知识，数形结合和分类讨论是关键．
（1）解方程𝑥2+2𝑥―3=0得到𝑥 =1，𝑥 =―3，即可得到答案；
1 2
学科网（北京）股份有限公司（2）求出直线𝐴𝐶的表达式为𝑦=―𝑥―3，设𝐷(𝑚,𝑚2+2𝑚―3)，则𝐸(𝑚,―𝑚―3)，求出
2
―3<𝑚<0，𝐷𝐸=― 𝑚+ 3 + 9 ，则当𝑚=― 3 时，𝐷𝐸的最大值为 9 ；
2 4 2 4
（3）分𝑂𝐵为平行四边形的边和𝑂𝐵为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：令𝑦=0，代入𝑦=𝑥2+2𝑥―3得：𝑥2+2𝑥―3=0，
解得𝑥 =1，𝑥 =―3，
1 2
∴𝐴(―3,0)；𝐵(1,0)
（2）设直线𝐴𝐶的表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑛，把𝐴(―3,0)、𝐶(0,―3)代入得：
0=―3𝑘+𝑛 𝑘=―1
，解得 ，
―3=𝑛 𝑛=―3
∴直线𝐴𝐶的表达式为𝑦=―𝑥―3，
设𝐷(𝑚,𝑚2+2𝑚―3)，则𝐸(𝑚,―𝑚―3)，
∵点𝐷位于第三象限，
2
∴―3<𝑚<0，𝐷𝐸=―𝑚―3―(𝑚2+2𝑚―3)=―𝑚2―3𝑚=― 𝑚+ 3 + 9 ，
2 4
3 9
∴当𝑚=― 时，𝐷𝐸的最大值为 ．
2 4
（3）①当𝑂𝐵为平行四边形的边时，𝐷𝑁∥𝑂𝐵．
∴𝐷，𝑁关于直线𝑥=―1对称
∵𝐷𝑁=𝑂𝐵=1
1 3
∴点𝑁的横坐标为― 或― ．
2 2
②当𝑂𝐵为平行四边形的对角线时，设点𝑁(𝑡,𝑡2+2𝑡―3)，则点𝐷(1―𝑡,―𝑡2―2𝑡+3)，∵点𝐷在抛物线上
∴―𝑡2―2𝑡+3=(1―𝑡)2+2(1―𝑡)―3
解得𝑡 =1+ 7，𝑡 =1― 7
1 2
2 2
∵点𝐷在第三象限
∴点𝑁在第一象限
∴点𝑁的横坐标为1+ 7
2
综上所述：点𝑁的横坐标为― 1 ，― 3 或1+ 7．
2 2 2
22．（13分）如图1，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点E，且𝐴𝐷=𝐶𝐷．
(1)求证：△𝐶𝐷𝐸∽△𝐵𝐷𝐶；
(2)若𝐷𝐸=3，𝐵𝐸=5，求𝐶𝐷的长度；
(3)如图2，连接𝑂𝐷交𝐴𝐶与点F，𝐴𝐶=8，𝐶𝐷=5，求⊙𝑂的半径长度；
(4)如图3，若𝐴𝐷=𝐶𝐸，延长𝐴𝐷至点F，若𝐶𝐷平分∠𝐵𝐷𝐹，记△𝐴𝐶𝐷的面积为𝑆 ，△𝐵𝐶𝐷面积为𝑆 ，△𝐵𝐶𝐸
1 2
面积为𝑆 ，若5𝑆 ⋅𝑆 =2𝑆2，则 𝐷𝐸 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，说明理由．
3 1 3 2 𝐵𝐷
【答案】(1)见解析
(2)𝐶𝐷的长度为2 6
25
(3)⊙𝑂的半径为
6
(4)是； 𝐷𝐸 =5― 10
𝐵𝐷 5
【分析】
（1）𝐴𝐷=𝐶𝐷，得出∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出答案即可；
学科网（北京）股份有限公司𝐷𝐸 𝐶𝐷 3 𝐶𝐷
（2）根据△𝐶𝐷𝐸∽△𝐵𝐷𝐶，得出 = ，即 = ，求出结果即可；
𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐶𝐷 8
1
（3）连接𝑂𝐶，根据垂径定理得出𝑂𝐷⊥𝐴𝐶，𝐶𝐹=𝐴𝐹= 𝐴𝐶=4，根据勾股定理求出𝐷𝐹= 𝐶𝐷2―𝐶𝐹2
2
= 52―42 =3，设⊙𝑂的半径为 R，则𝑂𝐹=𝑅―3，根据勾股定理得出𝑅2 =(𝑅―3)2+42，求出
25
𝑅= 即可；
6
（4）先证明𝐴𝐷∥𝐵𝐶，得出 𝑆 △𝐴𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 ，即 𝑆 1 = 𝐴𝐷 ，由 𝑆 △𝐵𝐶𝐸 = 𝐵𝐸 ，得出 𝑆 3 = 𝐵𝐸 ，求出 𝑆 1 ⋅𝑆 3 = 𝐴𝐷⋅𝐵𝐸 ，证
𝑆 △𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝑆 2 𝐵𝐶 𝑆 △𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝑆 2 𝐵𝐷 𝑆 2 2 𝐵𝐶⋅𝐵𝐷
明𝐴𝐷=𝐵𝐸，𝐵𝐶=𝐵𝐷，得出 𝑆 1 ⋅𝑆 3 = 𝐵𝐸2 ，根据5𝑆 ⋅𝑆 =2𝑆2，得出 𝑆 1 ⋅𝑆 3 = 2 = 𝐵𝐸2 ，求出𝐵𝐸= 10𝐵𝐷，
𝑆 2 2 𝐵𝐷2 1 3 2 𝑆 2 2 5 𝐵𝐷2 5
得出𝐷𝐸=𝐵𝐷―𝐵𝐸=5― 10𝐵𝐷，即可得出 𝐷𝐸 =5― 10．
5 𝐵𝐷 5
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐷=𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐵，
∴△𝐶𝐷𝐸∽△𝐵𝐷𝐶；
（2）解：∵𝐷𝐸=3，𝐵𝐸=5，
∴𝐵𝐷=𝐷𝐸+𝐵𝐸=8，
∵△𝐶𝐷𝐸∽△𝐵𝐷𝐶，
𝐷𝐸 𝐶𝐷
∴ = ，
𝐶𝐷 𝐵𝐷
3 𝐶𝐷
即 = ，
𝐶𝐷 8
解得：𝐶𝐷2 =24，
∴𝐶𝐷=2 6，负值舍去，
答：𝐶𝐷的长度为2 6．
（3）解：连接𝑂𝐶，如图所示：
∵𝐴𝐷=𝐶𝐷，
1
∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐶，𝐶𝐹=𝐴𝐹= 𝐴𝐶=4，
2
∵𝐶𝐷=5，
∴𝐷𝐹= 𝐶𝐷2―𝐶𝐹2 = 52―42 =3，
设⊙𝑂的半径为R，则𝑂𝐹=𝑅―3，
在Rt△𝑂𝐶𝐹中，根据勾股定理得：𝑂𝐶2 =𝑂𝐹2+𝐶𝐹2，
即𝑅2 =(𝑅―3)2+42，
学科网（北京）股份有限公司25
解得：𝑅= ，
6
25
答：⊙𝑂的半径为 ．
6
（4）解：∵𝐴𝐷=𝐶𝐷，
∴𝐴𝐷=𝐶𝐷，
∵𝐴𝐷=𝐶𝐸，
∴𝐶𝐷=𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐶𝐷𝐸，
根据解析（1）可知，△𝐶𝐷𝐸∽△𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐶𝐷𝐸，
∴𝐵𝐶=𝐵𝐷，
∵𝐶𝐷平分∠𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐶𝐷𝐹，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴ 𝑆 △𝐴𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 ，
𝑆 △𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶
即 𝑆 1 = 𝐴𝐷 ，
𝑆 2 𝐵𝐶
∵ 𝑆 △𝐵𝐶𝐸 = 𝐵𝐸 ，
𝑆 △𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷
∴ 𝑆 3 = 𝐵𝐸 ，
𝑆 2 𝐵𝐷
∴ 𝑆 1⋅ 𝑆 3 = 𝐴𝐷 ⋅ 𝐵𝐸 ，
𝑆 2 𝑆 2 𝐵𝐶 𝐵𝐷
即 𝑆 1 ⋅𝑆 3 = 𝐴𝐷⋅𝐵𝐸 ，
𝑆 2 2 𝐵𝐶⋅𝐵𝐷
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐴𝐷，
∵𝐶𝐷=𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝐶𝐸=𝐵𝐸，
∵𝐴𝐷=𝐶𝐸，
∴𝐴𝐷=𝐵𝐸，
∵𝐵𝐶=𝐵𝐷，
∴ 𝑆 1 ⋅𝑆 3 = 𝐵𝐸2 ，
𝑆 2 2 𝐵𝐷2
∵5𝑆 ⋅𝑆 =2𝑆2，
1 3 2
学科网（北京）股份有限公司∴ 𝑆 1 ⋅𝑆 3 = 2 = 𝐵𝐸2 ，
𝑆 2 2 5 𝐵𝐷2
∴𝐵𝐸2 = 2 𝐵𝐷2，
5
∴𝐵𝐸= 10𝐵𝐷，
5
∴𝐷𝐸=𝐵𝐷―𝐵𝐸=5― 10𝐵𝐷，
5
∴ 𝐷𝐸 =5― 10．
𝐵𝐷 5
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，
勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．
