文档文本内容
2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考02（人
教版）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．3,4,5 B．4,4,8 C．3,10,4 D．4,5,10
【答案】A
【详解】解：A、3+4>5，能构成三角形，符合题意；
B、4+4=8，不能构成三角形，不符合题意；
C、3+4<10，不能构成三角形，不符合题意；
D、4+5<10，不能构成三角形，不符合题意．
故选：A．
2．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为
0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（ ）
A．4×10―11 B．4×10―10 C．4×10―9 D．0.4×10―9
【答案】B
【详解】解：0.0000000004=4×10―10，
故选B．
3．下列计算正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9 B．x6÷x2＝x3
3
C． ― 3 =― 9 D．a2b﹣2ba2＝﹣a2b
2𝑎 8𝑎3【答案】D
【详解】A.原式＝x6，故A错误．
B.原式＝x4，故B错误．
27
C.原式＝― ，故C错误．
8𝑎3
D. a2b﹣2ba2＝﹣a2b，故D正确
故选：D．
4．下列条件中，不能判定𝛥𝐴𝐵𝐶与𝛥𝐷𝐸𝐹一定全等的是（ ）
A．𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐵𝐶=𝐸𝐹，∠𝐴=∠𝐷=90°
B．𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐵𝐶=𝐸𝐹，∠𝐴=∠𝐷=80°
C．𝐴𝐵=𝐷𝐸，∠𝐴=∠𝐷=90°，∠𝐵=∠𝐸=40°
D．𝐵𝐶=𝐸𝐹，∠𝐴=∠𝐷=80°，∠𝐵=∠𝐸=40°
【答案】B
【详解】解：如图示：
𝐴.∵𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐵𝐶=𝐸𝐹，∠𝐴=∠𝐷=90°，∴根据𝐻𝐿证明𝛥𝐴𝐵𝐶≅𝛥𝐷𝐸𝐹，不符合题意；
𝐵.∵𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐵𝐶=𝐸𝐹，∠𝐴=∠𝐷=80°，∴根据𝐴𝑆𝑆不能推出𝛥𝐴𝐵𝐶≅𝛥𝐷𝐸𝐹，故本选项符合题意；
𝐶.∵𝐴𝐵=𝐷𝐸，∠𝐴=∠𝐷=90°，∠𝐵=∠𝐸=40°，∴利用𝐴𝑆𝐴能推出𝛥𝐴𝐵𝐶≅𝛥𝐷𝐸𝐹，故本选项不符合题意；
𝐷.∵𝐵𝐶=𝐸𝐹，∠𝐴=∠𝐷=80°，∠𝐵=∠𝐸=40°，∴利用𝐴𝐴𝑆能推出𝛥𝐴𝐵𝐶≅𝛥𝐷𝐸𝐹，故本选项不符合题意；
故选：𝐵．
x-2
5．已知代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
2x-5
5 5
A．x³2 B．x> C．x³2且x¹ D．x>2
2 2
【答案】C
【详解】解：由题意，得：𝑥―2≥0，且2𝑥―5≠0，
5
∴𝑥≥2且𝑥≠ ；
2
故选C．
6．下列等式从左至右变形，属于因式分解的是（ ）A．𝑥2+2𝑥―1=(𝑥―1)2 B．(𝑎+𝑏)(𝑎―𝑏)=𝑎2―𝑏2
C．𝑥2+4𝑥+4=(𝑥+2)2 D．𝑥2―𝑚𝑥―15=𝑥(𝑥―𝑚)―15
【答案】C
【详解】A、左右两边不相等，故错误；
B、整式的乘法，故错误；
C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故正确；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故错误；
故选：C.
1
7．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=50°，∠𝐶=35°，分别以点A和点C为圆心，大于 𝐴𝐶的长为半径画弧，两弧相交于
2
点M，N，作直线𝑀𝑁，交𝐵𝐶于点D，连接𝐴𝐷，则∠𝐵𝐴𝐷的度数为（ ）
A．50° B．60° C．75° D．85°
【答案】B
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐵=50°，∠𝐶=35°，
∴∠𝐵𝐴𝐶=180°―∠𝐵―∠𝐶=95°，
由作图可知𝑀𝑁为𝐴𝐶的中垂线，
∴𝐷𝐴=𝐷𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶=35°，
∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶―∠𝐷𝐴𝐶=60°，
故选：B．
8．已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所
对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）.A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
【答案】A
【详解】如图，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故选：A．
9．如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=10cm，点E在线段𝐴𝐷上，且𝐴𝐸=6cm，动点P在线段𝐴𝐵上，从点A出
发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段𝐵𝐶上．以𝑣cm/s的速度由点B向点C运动，当△𝐸𝐴𝑃与△𝑃𝐵𝑄
全等时，v的值为（ ）
6 12
A．2 B．4 C．4或 D．2或
5 5
【答案】D
【详解】解：当△𝐸𝐴𝑃与△𝑃𝐵𝑄全等时，有两种情况：
①当𝐸𝐴=𝑃𝐵时，△𝐴𝑃𝐸≌△𝐵𝑄𝑃(SAS)，
∵𝐴𝐵=10cm，𝐴𝐸=6cm，∴𝐵𝑃=𝐴𝐸=6cm，𝐴𝑃=4cm，
∴𝐵𝑄=𝐴𝑃=4cm；
∵动点𝑃在线段𝐴𝐵上，从点𝐴出发以2cm/s的速度向点𝐵运动，
∴点𝑃和点𝑄的运动时间为：4÷2=2s，
∴𝑣=4÷2=2cm/s；
②当𝐴𝑃=𝐵𝑃时，△𝐴𝐸𝑃≌△𝐵𝑄𝑃(SAS)，
∵𝐴𝐵=10cm，𝐴𝐸=6cm，
∴𝐴𝑃=𝐵𝑃=5cm，𝐵𝑄=𝐴𝐸=6cm，
∵5÷2=2.5𝑠，
∴2.5𝑣=6，
12
∴𝑣= ⋅
5
12
综上，v的值为2或 ．
5
故选：D．
10．如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷是中线，点P，Q分别在𝐴𝐵，𝐴𝐷上，且𝐵𝑃=𝐴𝑄=𝑄𝐷=1，动点E
在𝐵𝐷上，则𝑃𝐸+𝑄𝐸的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐵𝐴=𝐵𝐶=𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=60°，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷，𝐴𝑄=𝑄𝐷=1，
∴𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐴𝑄+𝑄𝐷=2，𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝐴𝐵=4，
如图，作点P关于𝐵𝐷的对称点𝑃′，连接𝑃′𝑄交𝐵𝐷于𝐸，
此时𝑃𝐸+𝐸𝑄的值最小．最小值𝑃𝐸+𝑄𝐸=𝑃′𝐸+𝐸𝑄=𝑃′𝑄，∵𝐵𝑃=1，
∴𝐵𝑃′ =𝐵𝑃=1，
∴𝐶𝑄=𝐶𝑃′ =3，而∠𝐴𝐶𝐵=60°，
∴△𝐶𝑃′𝑄是等边三角形，
∴𝑃′𝑄=𝐶𝑄=3，
∴𝑃𝐸+𝑄𝐸的最小值为3．
故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知点𝐴(𝑚,2)和点𝐵(―3,𝑛)关于𝑥轴对称，则𝑚―𝑛的值是 ．
【答案】―1
【详解】解：∵已知点𝐴(𝑚,2)和点𝐵(―3,𝑛)关于x轴对称，
∴𝑚=―3,𝑛=―2，
∴𝑚―𝑛=―3―(―2)=―1．
故答案为：―1．
12．若关于𝑥的两个多项式 𝑥＋3 与 𝑥＋𝑚 的乘积是𝑥2＋𝑛𝑥－3，则𝑚𝑛＝ .
【答案】1
【详解】（x+3）（x+m）=x2+（m+3）x+3m=x2+nx-3
∴m+3=n，3m=-3
∴m=-1，n=2
∴𝑚𝑛=(―1)2 =1.
故答案为1.
13．若𝑎= 2+ 3，𝑏= 2― 3，则𝑎3𝑏―𝑎𝑏3的值为 ．
【答案】―4 6
【详解】解：∵𝑎= 2+ 3，𝑏= 2― 3，∴𝑎+𝑏= 2+ 3+ 2― 3=2 2，
𝑎―𝑏= 2+ 3― 2+ 3=2 3，𝑎𝑏=( 2+ 3)( 2― 3)=―1，
∴𝑎3𝑏―𝑎𝑏3
=𝑎𝑏(𝑎2―𝑏2)
=𝑎𝑏(𝑎+𝑏)(𝑎―𝑏)
=―1×2 3×2 2
=―4 6．
故答案为：―4 6．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=8，点𝐷是𝐵𝐶边中点，设𝐴𝐷=𝑥，则𝑥的取值范围是 ．
【答案】1<𝑥<7
【详解】解：如图，延长𝐴𝐷至𝐸，使得𝐴𝐷=𝐷𝐸，连接𝐶𝐸，则𝐴𝐸=2𝐴𝐷=2𝑥，
∵点𝐷是𝐵𝐶边中点，
∴𝐵𝐷=𝐶𝐷，
∵∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐷𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐸𝐷𝐶(SAS)，
∴𝐶𝐸=𝐴𝐵=6，
∵𝐴𝐶―𝐶𝐸<𝐴𝐸<𝐴𝐶+𝐶𝐸，
∴8―6<2𝑥<8+6，
∴1<𝑥<7，
故答案为：1<𝑥<7．𝑎―𝑏 𝑎+2𝑏
15．定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为𝑎Δ𝑏= ,𝑎※𝑏= ，若𝑥Δ4=𝑥※2，则𝑥= ．
𝑎+𝑏 𝑎―2𝑏
【答案】0
𝑎―𝑏 𝑎+2𝑏
【详解】解：∵𝑎Δ𝑏= ,𝑎※𝑏= ，且𝑥Δ4=𝑥※2，
𝑎+𝑏 𝑎―2𝑏
𝑥―4 𝑥+4
∴ = ，
𝑥+4 𝑥―4
去分母得：
(𝑥―4)(𝑥―4)=(𝑥+4)(𝑥+4)，
整理得：―16𝑥=0，
解得：𝑥=0，
检验：当𝑥=0时，
(𝑥+4)(𝑥―4)=―16≠0，
∴原方程的解为𝑥=0，
故答案：0．
16．如图，在Rt△𝐵𝐶𝐴中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∠𝐶=30°．𝐴𝐷⊥𝐵𝐶垂足为D，𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线分别交
𝐴𝐷，𝐴𝐶于点P，E．则下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号）①𝐵𝐸=𝐶𝐸；②△𝐴𝑃𝐸是等边三
1
角形；③𝑆 = 𝑆 ；④𝐴𝑃=2𝑃𝐷．
△𝐴𝐵𝐸 3 △𝐵𝐸𝐶
【答案】①②④
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，∠𝐶=30°，
∴∠𝐴𝐵𝐶=60°，
∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐸𝐵𝐶=30°，
∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐶，
∴𝐵𝐸=𝐶𝐸；故①正确；
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶垂足为D，
∴∠𝐴𝐷𝐶=90°，∴∠𝐷𝐴𝐶=90°―∠𝐶=60°，
∵𝐴𝐸𝑃=∠𝐶+∠𝐸𝐵𝐶=60°，
∴∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐴𝐸𝑃=∠𝑃𝐴𝐸=60°，
∴△𝐴𝑃𝐸是等边三角形；故②正确；
在Rt△𝐴𝐵𝐸中，∠𝐴𝐵𝐸=30°，
1 1
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸= 𝐸𝐶，
2 2
1
∴𝑆 = 𝑆 ；故③错误；
△𝐴𝐵𝐸 2 △𝐵𝐸𝐶
在Rt△𝐵𝑃𝐷中，∠𝑃𝐵𝐷=30°，
1
∴𝑃𝐷= 𝑃𝐵，
2
∵∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐵𝐴𝑃=30°，
∴𝑃𝐴=𝑃𝐵，
∴𝑃𝐴=2𝑃𝐷；故④正确；
综上：正确的是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写
出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)(2𝑎+𝑏)2―(3𝑎―𝑏)(3𝑎+𝑏)+5𝑎(𝑎―𝑏)
(2)( 2 ) ―2 ×3―1+(𝜋―3.1415)0÷( 1 ) ―1
3 3
【答案】（1）―𝑎𝑏+2𝑏2；（2） 13 .
12
【详解】（1）原式=4a2+4ab+b2﹣（9a2﹣b2）+5a2﹣5ab=4a2+4ab+b2﹣9a2+b2+5a2﹣5ab=﹣ab+2b2；
9 1 3 1 13
（2）原式= × +1÷3= + = ．
4 3 4 3 12
18．（8分）（1）计算：1―
𝑎―𝑏
÷
𝑎2―𝑏2
𝑎+2𝑏 𝑎2+4𝑎𝑏+4𝑏2
4 𝑥+2
（2）解方程： + =―1
𝑥2―1 1―𝑥
𝑏 1
【答案】（1）― ；（2）𝑥=
𝑎+𝑏 3
【详解】解：（1）1―
𝑎―𝑏
÷
𝑎2―𝑏2
𝑎+2𝑏 𝑎2+4𝑎𝑏+4𝑏2𝑎―𝑏 (𝑎+2𝑏)2
=1― ×
𝑎+2𝑏 (𝑎+𝑏)(𝑎―𝑏)
𝑎+𝑏 𝑎+2𝑏
= ―
𝑎+𝑏 𝑎+𝑏
𝑏
=― ；
𝑎+𝑏
4 𝑥+2
（2） + =―1
𝑥2―1 1―𝑥
去分母得：4―(𝑥+2)(𝑥+1)=1―𝑥2，
1
解得：𝑥= ，
3
检验：当𝑥= 1 时，𝑥2―1≠0，
3
1
∴原方程的解为𝑥= ．
3
19．（8分）（1） 12― 75+3 27；
2
（2） 5― 7 5+ 7 ―( 2― 10) ．
【答案】（1）3―3 3；（2）4 5―14
【详解】解：（1）原式=2 3―5 3+3
=3―3 3；
（2）原式=5―7― 2―4 5+10
=5―7―2+4 5―10
=4 5―14．
20．（8分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=50°，∠𝐶=20°．过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为𝐸，延长𝐸𝐴至点𝐷．使
𝐴𝐷=𝐴𝐶．在边𝐴𝐶上截取𝐴𝐹=𝐴𝐵，连接𝐷𝐹．求证：𝐷𝐹=𝐶𝐵．
【答案】见解析
【详解】证明：在△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵=50°，∠𝐶=20°，
∴∠𝐶𝐴𝐵=180°―∠𝐵―∠𝐶=110°．∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶．
∴∠𝐴𝐸𝐶=90°．
∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐴𝐸𝐶+∠𝐶=110°，
∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐵．
在△𝐷𝐴𝐹和△𝐶𝐴𝐵中，
𝐴𝐷=𝐴𝐶
∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐵，
𝐴𝐹=𝐴𝐵
∴△𝐷𝐴𝐹≅△𝐶𝐴𝐵(SAS)．
∴𝐷𝐹=𝐶𝐵．
21．（8分）春节期间，某超市计划购进A，B两类预制菜礼盒，已知用2000元购进A类预制菜礼盒的盒数
与用1600元购进B类预制菜礼盒的盒数相同，B类预制菜礼盒的单价比A类预制菜礼盒的单价少20元．
(1)求A，B两类预制菜礼盒的单价各是多少元；
(2)超市计划购进A，B两类预制菜礼盒共50盒，且购买的总费用不超过4600元，求最多可以购进多少盒A
类预制菜礼盒？
【答案】(1)A类预制菜礼盒的进价是100元，B类预制菜礼盒的进价是80元
(2)最多可以购进30盒A类预制菜礼盒
【详解】（1）设A类预制菜礼盒的单价是x元，则B类预制菜礼盒的进价是(𝑥―20)元，根据题意得：
2000 1600
= ，
𝑥 𝑥―20
解得：𝑥=100，
经检验，𝑥=100是原方程的解，且符合题意，
∴𝑥―20=100―20=80，
答：A类预制菜礼盒的进价是100元，B类预制菜礼盒的进价是80元；
（2）设购进A类预制菜礼盒a盒，则购进B类预制菜礼盒(50―𝑎)盒，
由题意得：100𝑎+80(50―𝑎)≤4600，
解得：𝑎≤30，
答：最多可以购进30盒A类预制菜礼盒．
22．（10分）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2及𝑎2
―2𝑎𝑏+𝑏2称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，
使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关
的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式𝑥2+2𝑥―3．
原式=(𝑥2+2𝑥+1)―4=(𝑥+1)2―22 =(𝑥+1+2)(𝑥+1―2)=(𝑥+3)(𝑥―1)；
例如：求代数式2𝑥2+4𝑥―6的最小值．
原式=2𝑥2+4𝑥―6=2(𝑥2+2𝑥―3)=2(𝑥+1)2―8．可知当𝑥=―1时，2𝑥2+4𝑥―6有最小值，最小值是
―8．
(1)用配方法分解因式：𝑎2+2𝑎―8；
(2)当x为何值时，多项式―2𝑥2―8𝑥+5有最大值，并求出这个最大值．
(3)求使得𝑚2+𝑚+7是完全平方数的所有整数m的积．
【答案】(1)(𝑎+4)(𝑎―2)
(2)当𝑥=―2时，多项式―2𝑥2―8𝑥+5有最大值13
(3)84
【详解】（1）解：𝑎2+2𝑎―8
= (𝑎2+2𝑎+1)―1―8
=(𝑎+1)2―9
= (𝑎+1+3)(𝑎+1―3)
=(𝑎+4)(𝑎―2)；
（2）解：―2𝑥2―8𝑥+5
=―2(𝑥2+4𝑥)+5
=―2(𝑥2+4𝑥+4―4)+5
=―2(𝑥+2)2+13；
∵―2(𝑥+2)2 ≤0，
∴―2(𝑥+2)2+13≤13，
∴当𝑥=―2时，多项式―2𝑥2―8𝑥+5有最大值13．
（3）解：设𝑚2+𝑚+7=𝑘2，
所以𝑚2+𝑚+ 1 + 27 =𝑘2，
4 4
2
所以 𝑚+ 1 + 27 =𝑘2，
2 4
2
所以 𝑚+ 1 ―𝑘2 =― 27 ，
2 4所以 𝑚+ 1 +𝑘 𝑚+ 1 ―𝑘 =― 27 ，
2 2 4
所以(2𝑚+2𝑘+1)(2𝑚―2𝑘+1)=―27
因为𝑘≥0（因为𝑘2为完全平方数），且m与k都为整数，
所以①2𝑚+2𝑘+1=27，2𝑚―2𝑘+1=―1，解得：𝑚=6，𝑘=7；
②2𝑚+2𝑘+1=9，2𝑚―2𝑘+1=―3，解得：𝑚=1，𝑘=3；
③2𝑚+2𝑘+1=3，2𝑚―2𝑘+1=―9，解得：𝑚=―2，𝑘=3；
④2𝑚+2𝑘+1=1，2𝑚―2𝑘+1=―27，解得：𝑚=―7，𝑘=7．
所以所有m的积为6×1×(―2)×(―7)=84．
23．（10分）【问题情境】在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐷𝐶=𝐸𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=90°．
(1)【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接𝐵𝐷、𝐴𝐸，延长𝐴𝐸交𝐵𝐷于点F，则𝐴𝐸与𝐵𝐷
的数量关系是________，位置关系是________；
(2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接𝐴𝐸交𝐷𝐶于点H，连接𝐵𝐷交𝐴𝐸于点F，
（1）中结论是否仍然成立，为什么？
(3)【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接𝐶𝐹并延长𝐶𝐹交𝐴𝐷于点G，∠𝐴𝐹𝐺的大小固定吗？若固定，
求出∠𝐴𝐹𝐺的度数；若不固定，请说明理由．
【答案】(1)𝐴𝐸=𝐵𝐷,𝐴𝐸⊥𝐵𝐷；
(2)成立，理由见详解；
(3)∠𝐴𝐹𝐺=45°，理由见详解．
【详解】（1）证明：如图1，在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐶𝐷中，
𝐴𝐶=𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐷=90°，
𝐸𝐶=𝐷𝐶
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(SAS)，
∴∠1=∠2，𝐴𝐸=𝐵𝐷，
∵∠3=∠4，
∴∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐴𝐶𝐸=90°，
∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐷；
故答案为：𝐴𝐸=𝐵𝐷,𝐴𝐸⊥𝐵𝐷；
（2）解：成立，证明：如图2，
∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐶𝐷中，
𝐴𝐶=𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐷，
𝐸𝐶=𝐷𝐶
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(SAS)，
∴∠1=∠2，𝐴𝐸=𝐵𝐷，
∵∠3=∠4，∴∠𝐵𝐹𝐴=∠𝐵𝐶𝐴=90°，
∴𝐴𝐹⊥𝐵𝐷；
（3）∠𝐴𝐹𝐺=45°，
如图3，过点C作𝐶𝑀⊥𝐵𝐷，𝐶𝑁⊥𝐴𝐸，垂足分别为M、N，
∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷，
∴𝑆 =𝑆 ，𝐴𝐸=𝐵𝐷，
△𝐴𝐶𝐸 △𝐵𝐶𝐷
1 1
∵𝑆 = 𝐴𝐸⋅𝐶𝑁，𝑆 = 𝐵𝐷⋅𝐶𝑀，
△𝐴𝐶𝐸 2 △𝐵𝐶𝐷 2
∴𝐶𝑀=𝐶𝑁，
∵𝐶𝑀⊥𝐵𝐷，𝐶𝑁⊥𝐴𝐸，
∴𝐶𝐹平分∠𝐵𝐹𝐸，
∵𝐴𝐹⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐹𝐸=90°，
∴∠𝐸𝐹𝐶=45°，
∴∠𝐴𝐹𝐺=45°．
1 2
24．（12分）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如 , 的计算，需要运用分式的基本性质，
2 3― 2
将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如： 1 = 2 = 2； 2 = 2×( 3+ 2) = 2 3+2 2 =
2 ( 2)2 2 3― 2 ( 3― 2)×( 3+ 2) ( 3)2―( 2)2
2 3+2 2=2 3+2 2．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如： 2= 2=( 2) 2 = 2 ；
3―2 1 2 2
3―1 ( 3―1)×( 3+1) ( 3) 2 ―12 3―1 2
= = = = ．根据上述知识，请你完成下列问题：
3 3×( 3+1) ( 3)2+ 3 3+ 3 3+ 3
1 1
(1)比较大小： ______ （填“>”，“<”或“=”）．
3― 7 11―3
(2)运用分子有理化，比较 7― 6与 6― 5的大小，并说明理由；1 1 1 1
(3)计算： + + +⋯+ ；
1+ 2 2+ 3 3+ 4 2023+ 2024
2
(4)若𝑎= ，求3𝑎2―6𝑎+5的值．
3―1
【答案】(1)<
(2) 7― 6< 6― 5
(3)―1+2 506
(4)11
【详解】（1）解： 1 = 1×(3+ 7) =3+ 7，
3― 7 (3― 7)×(3+ 7) 2
1 = 1×( 11+3) = 11+3，
11―3 ( 11―3)×( 11+3) 2
∵ 11> 7，
∴3+ 7< 11+3，
2 2
1 1
∴ < ，
3― 7 11―3
故答案为：<．
（2）解：∵ 7― 6= 7― 6 = ( 7+ 6)( 7― 6) = 1 ，
1 7+ 6 7+ 6
6― 5= 6― 5 = ( 6― 5)( 6+ 5) = 1 ，
1 6+ 5 6+ 5
由 7+ 6> 6+ 5>0，
1 1
∴ < ，
7+ 6 6+ 5
∴ 7― 6< 6― 5．
1 1 1 1 1
（3）解： + + + +⋯+
1+ 2 2+ 3 3+ 4 4+ 5 2023+ 2024
= 2―1+ 3― 2+ 4― 3+⋯+ 2023― 2022+ 2024― 2023
=―1+ 2024=―1+2 506；
2 2×( 3+1)
（4）解：𝑎= = = 3+1，
3―1 ( 3―1)×( 3+1)
2
∴3𝑎2―6𝑎+5=3(𝑎2―2𝑎)+5=3(𝑎―1)2+2=3( 3+1―1) +2=11．
