文档内容
2025 年秋季八年级开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列成语所描述事件是必然事件的是（ ）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．一箭双雕
【答案】A
【详解】解：选项A：水位上涨时，船因浮力作用会随水位上升，这是必然发生的自然现象，属于必然事
件．
选项B：农夫偶然捡到撞树的兔子后，继续等待类似事件发生，但这是极小概率事件，属于随机事件．
选项C：水中月亮是倒影，无法捞取，属于不可能事件．
选项D：一箭射中两只雕需要极高技巧和运气，属于随机事件．
故选：A
2．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选： ．
3．在 中， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
故选：C
4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各
组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10
【答案】C
【详解】解：A、 ，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、 ，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；C、 ，是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、 ，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，原计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原计算错误；
故选：C．
6．如图，一棵树生长在坡角为 的山坡上，已知树干与地面垂直，则树干与山坡所成的角
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，作 ，
∴ ，
∵树干与地面垂直，
∴
∴ ，
∴树干与山坡所成的角 的度数 为 ，
故选：A．
7．我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形 的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线 的长为（ ）
A．4或6 B．5 C．4 D．6
【答案】C
【详解】解：当 为等腰三角形时，
∴ 或 ；
当 时
满足 ，
在 满足 ；
当 时，
在 中， ，不满足条件，舍掉；
∴ ；
故选：C．
8．如图，在 中， ， ， ，以 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ，
于 ， 两点，再分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ．作射线 交
于点 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点 作 于 ，则 ，
由作图可知， 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9．以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系：
①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系．
②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系．
③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系．
④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系．
下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是( )
A．①②③④ B．①④③② C．①②④③ D．②④③①
【答案】C
【详解】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是：
第一幅图：因变量随着自变量的增大而减小，直至为零，符合①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱
中的剩余水量与放水时间的关系；
第二幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值大于零，符合②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧
受到的拉力的关系；
第三幅图：因变量随着自变量的增大，先由0开始增大，再保持不变，最后减小到0，且起始值大于零，
符合④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的
关系；
第四幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值为零，符合③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行
驶的路程与时间的关系；
正确的排序是：①②④③故选：C．
10．如图，小明同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形 的右下方，使其重
叠部分是长方形，面积记为 ，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为 ．已知
，且 ，则 为（ ）
A．15 B．18 C．20 D．23
【答案】C
【详解】由正方形的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为 米的丝线织布制作而成的五星
红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据 用科学记数法表
示为 ．【答案】
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形 的边长为
．
【答案】
【详解】解：由题意可知， ，
那么 ，
所以正方形 的边长为 ．
故答案为： ．
13．将小球随机扔在如图所示的正方形网格上自由滚动，则它最终停留在黑色区域的概率是 ．
【答案】
【详解】解：由图形可知，正方形网格共有16个小正方组成，其中4个小正方形全白，其余12个小正方
形白、黑色区域各占一半，
则停留在黑色区域的概率是 ，
故答案为： ．
14．已知一个梯形的高为12，下底长是上底长的2倍，设这个梯形的下底长为 ，面积为 ，则 与 之间
的关系式为 ．
【答案】
【详解】解： ，故答案为： ．
15．如图，在锐角三角形 中， ， ， 分别为 的角平分线， ， 相交于点
， 平分 ，已知 ， ， 的面积为2.5，则 的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，
， 、 为三角形 的角平分线，
， ，
，
，
平分 ，
，
在 和 中 ，
，
，
同理可得 ，
，
，
， ，
，
的面积为 ，
，，
，
，
的面积 ，
故答案为：4．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
，
当 时，
原式 ．
17．一个不透明袋中有5个红球和7个黄球，每个球除颜色外都相同．
(1)从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是多少？
(2)从袋中拿出3个黄球，将剩余的球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？
【详解】（1）解：从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是 ；
（2）解：从袋中拿出3个黄球，还剩余9个球，其中红球有5个，
所以从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
18．某小区院内有一块长为 米，宽为 米（ ， ）的长方形地，现在物业部门计划
将该地的周围进行绿化（如图中阴影部分）．中间部分将修建一长方形景点，长为 米，宽为
米．
(1)用含a、b的式子表示绿化的面积并化简；
(2)求出当 ， 时的绿化面积．【详解】（1）解：
答：绿化的面积是 平方米．
（2）解：当 ， 时，
（平方米），
答：当 ， 时的绿化面积为48平方米．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路 与l相连
接，其中 ，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运
输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路 （A，C，B在同一条直线上），测得 千米，
千米， 千米．
(1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明：
(2)求原来的路线 的长．
【详解】（1）解：是；
理由是：在 中，
， ，
，
是直角三角形，
，
是从村庄P到l的最近路；
（2）解：设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
答：原来的路线PA的长为8.45千米．
20．宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线
国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距 千米，两车同时出发，两车出发后 小时相遇；设普通列车
行驶的时间为 （小时），两车之间的距离为 （千米），图中的折线表示 与 之间的关系，根据图象，
解答下列问题：
(1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时；
(2)求动车的速度；
(3)动车行驶多长时间与普通列车相距 千米？
【详解】（1）解：由 时， ，
则西宁和西安两地相距 千米，
由图象知 时，普通列车到达西安，
即普通列车到达终点共需 小时，
故普通列车的速度是 （千米/小时），
故答案为： ， ；
（2）解：设动车的速度为 千米/小时，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：动车的速度为 千米/小时；
（3）解：①当相遇前动车行驶与普通列车相距 千米，
根据题意得： （小时），
∴相遇前动车行驶 小时与普通列车相距 千米；
②当相遇后动车行驶与普通列车相距 千米，
由当动车到达终点时用时 （小时），
此时两车相距 ，
即两车相距 千米是在动车到达终点之前，
根据题意得： （小时），∴相遇后动车行驶 小时与普通列车相距 千米；
综上，动车行驶 小时或 小时与普通列车相距 千米．
21．如图，在 中， ， ， 是 边上的一点，以 为直角边作等腰
，其中 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 时，求 的长．
【详解】（1）证明：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。
22．如图，射线 ，连接 ，点 是射线 上的一个动点（与点 不重合）， 分别平
分 和 ，分别交射线 于点 ．(1)当 时，求出 的度数；
(2)设 ，则 __________（用含 的式子表示）；
(3)当点 在射线 上运动时， 与 之间的数量关系始终保持不变，请写出它们关系，并说
明理由．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
（3）解： 与 之间的数量关系是： ，
理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
23．如图1，在 中， ， ，直线 经过点 ，过 作 ，垂足为 ，过
作 ，垂足为 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)如图2，延长 至 ，连接 ，过点 作 ，且 ，连接 交直线 于点 ，若
， ，求 的长．
【详解】（1）证明： 直线 经过点 ， ，垂足为 ， ，垂足为 ，
，
，
，
在 和 中，
，
．
（2）解：由（1）得 ，
，
，
，
的长是 ．
（3）解：如图 ，作 于点 ，则 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，，
在 和 中，
，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
线段 的长为 ．
