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第一课时——一元二次方程及其相关概念（答案卷）
知识点一：一元二次方程的定义及其一般形式：
1. 一元二次方程的定义：
只含有 1 个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程是一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
二元一次方程的一般形式为 ，其中，二次项是 ，二
次
项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
特别提示：①二元一次方程未知数的最高次数是2。
②二次项系数一定不能为0。
③在判断一个方程是否为一元二次方程时一定要先将其化成一般形式。
【类型一：判断方程是否为一元二次方程】
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．3（x+2）＝8 B．3x2+6x＝8 C．ax2+bx+c＝0 D． ＝1
【分析】根据一元二次方程的定义，即可判断．
【解答】解：A、3（x+2）＝8，是一元一次方程，故A不符合题意；
B、3x2+6x＝8，是一元二次方程，故B符合题意；
C、ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）是一元二次方程，故C不符合题意；
D、 ＝1是分式方程，故D不符合题意；故选：B．
2．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2
C．x+3y﹣5＝0 D．ax2+by+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义判断．
【解答】解：A、x2﹣1＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、x2﹣2＝（x+3）2整理是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、x+3y﹣5＝0，是二元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意意；
故选：A．
3．下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B． ﹣2＝0
C．3x2＝2（x+1） D．x2+2x＝x2﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整
式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是分式方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．方程整理得2x+1＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【类型二：根据一元二次方程的定义求字母的值】
4．关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0【分析】根据一元二次方程定义可得：a﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：C．
5．若方程（m﹣1） ﹣（m+1）x﹣2＝0是一元二次方程，m的值为（ ）
A．1 B．± C．±1 D．﹣1
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高项次数为2次，这样的整式方程叫一
元二次方程，判断即可．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x ﹣（m+1）x﹣2＝0是一元二次方程，
∴m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故选：D．
6．若（m+2）x|m|+（m﹣1）x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式，进而得出答案．
【解答】解：由题意得，|m|＝2，m+2≠0，
解得m＝2．
故答案为：2．
7．已知：（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【类型三：化一元二次方程的一般形式】8．将方程x2+1＝2x化为一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2＝2x+1 D．x2＝2x﹣1
【分析】根据一元二次方程的一般形式，进行计算即可解答．
【解答】解：将方程x2+1＝2x化为一元二次方程的一般形式，即：x2﹣2x+1＝0，
故选：B．
9．一元二次方程2x2+3x＝7的一般形式为（ ）
A．2x2﹣7＝﹣3x B．2x2+3x+7＝0 C．2x2+3x﹣7＝0 D．2x2＝7﹣3x
【分析】方程移项，整理为一般形式即可．
【解答】解：方程2x2+3x＝7，
移项得：2x2+3x﹣7＝0．
故选：C．
10．把一元二次方程x（3x+2）＝x﹣2化成一般形式是 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）即可解答．
【解答】解：x（3x+2）＝x﹣2，
3x2+2x＝x﹣2，
3x2+x+2＝0，
∴把一元二次方程x（3x+2）＝x﹣2化成一般形式是：3x2+x+2＝0，
故答案为：3x2+x+2＝0．
11．将方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化为一般形式是 ．
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再移项，合并同类项，最后得出答案即可．
【解答】解：2（x﹣1）2＝3﹣5x，
2x2﹣4x+2＝3﹣5x，
2x2﹣4x+2﹣3+5x＝0，2x2+x﹣1＝0，
即方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化为一般形式是2x2+x﹣1＝0，
故答案为：2x2+x﹣1＝0．
【类型三：一般形式的认识及求值】
12．将一元二次方程﹣x2+4x＝8+2x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣1，4 B．﹣1，2 C．4，8 D．2，﹣8
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【解答】解：将一元二次方程﹣x2+4x＝8+2x化成一般形式之后，变为﹣x2+2x﹣8＝0，
一次项系数和常数项分别是2，﹣8．
故选D．
13．将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
【分析】根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）判断即可．
【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，
∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1，
故选：B．
14．方程y（2y﹣3）﹣4y（y+1）＝0中，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，7，1 B．﹣2，0，﹣7 C．﹣2，7，0 D．﹣2，﹣7，0
【分析】把方程整理为一般形式后，再找出方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【解答】解：y（2y﹣3）﹣4y（y+1）＝0，
2y2﹣3y﹣4y2﹣4y＝0，
﹣2y2﹣7y＝0，
则二次项系数、一次项系数和常数项分别为﹣2，﹣7，0．故选：D．
15．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
【分析】利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，
∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
16．若（1﹣m） +3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3
【分析】先根据一元二次方程的定义求m，再求系数．
【解答】解：由题意得：
解得：m＝﹣1．
∴该方程的一次项系数为：3m＝﹣3．
故选：C．
知识点一：一元二次方程的解（根）：
1. 使一元二次方程左右两边相等的 未知数 的值，叫做一元二次方程的解，又叫做根。
特别提示：一元二次方程若有根，则一定是两个根，这两个根可以相等。
【类型一：利用一元二次方程的根求值】
17．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝ ．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方
程即可求得m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，
∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
∴m2﹣1＝0，即（m﹣1）（m+1）＝0且m﹣1≠0，
∴m+1＝0，
解得，m＝﹣1；
故答案是：﹣1．
18．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个根是0，则m＝ ．
【分析】根据一元二次方程的定义、一元二次方程的解的定义，将 x＝0代入关于x的一元二次方程（m
﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，列出关于m的方程，且二次项系数m﹣3≠0，从而求得m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个根是0，
∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，且m﹣3≠0，
∴m2﹣9＝0，且m﹣3≠0，
解得，m＝﹣3；
故答案是：﹣3．
19．若一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为﹣1，则下列等式成立的是（ ）
A．a+b+c＝1 B．a﹣b+c＝0 C．a+b+c＝0 D．a﹣b+c＝1
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝﹣1代入方程即可得到a、b、c的关系．
【解答】解：把x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0得a﹣b+c＝0．
故选：B．
20．已知方程x2﹣bx+a＝0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A．ab B． C．a+b D．a﹣b【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x＝﹣a代入方程，即可求解．
【解答】解：∵方程x2﹣bx+a＝0有一个根是﹣a（a≠0），
∴（﹣a）2﹣b（﹣a）+a＝0，
又∵a≠0，
∴等式的两边同除以a，得a+b+1＝0，
故a+b＝﹣1．
故选：C．
21．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2017﹣a﹣b的值是 ．
【分析】令x＝1代入原方程即可求出原式的值．
【解答】解：令x＝1代入ax2+bx+5＝0
∴a+b+5＝0
∴原式＝2017﹣（a+b）＝2017+5＝2022
故答案为：2022
22．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2020的值．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．
故选：C．
23．已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为 ．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用
这个数代替未知数所得式子仍然成立．【解答】解：把x＝a代入方程可得，
a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，
∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2
＝（a+1）2﹣3a﹣2
＝a2﹣a﹣1＝0．
一、选择题（10题）
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+y﹣2＝0 B．x+y＝5 C．x+ ＝5 D．x2+2x＝3
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正
确答案．
【解答】解：A、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；C、不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
2．关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣2，4 B．﹣2，﹣1 C．2，4 D．2，﹣4
【分析】根据单项式的系数和多项式的项的定义得出答案即可．
【解答】解：关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别2和﹣4，
故选：D．
3．把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x﹣2＝0 B．x2+5x﹣2＝0 C．x2﹣x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案．
【解答】解：将一元二次方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式有：x2﹣x﹣2＝0，
故选：A．
4．关于x的方程（m﹣2） +x＝0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．±2 C．3 D．±3
【分析】根据一元二次方程的定义得到 m﹣2≠0且m2﹣7＝2，然后解方程和不等式即可得到满足条件
的m的值．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2） +x＝0是一元二次方程，
∴ ，
解得m＝±3．
故选：D．
5．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，再把2021﹣m2+m变形为2021﹣（m2﹣m），然
后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，
所以m2﹣m＝2，
所以2021﹣m2+m＝2021﹣（m2﹣m）＝2021﹣2＝2019．
故选：B．
6．把方程2x（x﹣1）＝3x化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（
）
A．2，5，0 B．2，﹣5，0 C．2，5，1 D．2，3，0
【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．
【解答】解：方程2x（x﹣1）＝3x，
整理得：2x2﹣5x＝0，
则二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为0．
故选：B．
7．若方程x2﹣4x+c＝0的一个实数根是3，则c的值是（ ）
A．c＝﹣3 B．c＝3 C．c＝5 D．c＝0
【分析】把x＝3代入已知方程，列出关于c的新方程，通过解新方程求得c的值即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣4x+c＝0，得
32﹣4×3+c＝0．
解得c＝3．
故选：B．
8．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
【分析】把x＝0代入方程计算，检验即可求出a的值．【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，
（a﹣2）（a+2）＝0，
可得a﹣2＝0或a+2＝0，
解得：a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为﹣2．
故选：A．
9．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】根据题意列出方程即可求出a的值．
【解答】解：由题意可知：a﹣2＝0，
∴a＝2，
∵a+2≠0，
∴a的值为2，
故选：C．
10．已知2+ 是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
【分析】把x＝2+ 代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【解答】解：根据题意，得
（2+ ）2﹣4×（2+ ）+m＝0，
解得m＝1；
解法二：对方程变形得：x（x﹣4）+m＝0，再代入x＝2+ ，得到：（ +2）（ ﹣2）+m＝0，
即m﹣1＝0，m＝1故选：B．
二、填空题（6题）
11．一元二次方程3x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数是 ，常数项是 ．
【分析】先找出二次项和常数项，再找出二次项系数即可．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数是3，常数项是﹣7，
故答案为：3，﹣7．
12．已知（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2021+a﹣b的值是
．
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，可以得到a﹣b的值，然
后将所求式子变形，再将a﹣b的值代入，即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，
∴a﹣b+1＝0，
∴a﹣b＝﹣1，
∴2021+a﹣b＝2021﹣1＝2020．
故答案为：2020．
14．方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ．
【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系
数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，最
后合并即可．【解答】解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，
去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，
合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0，
二次项系数为：6．
故答案为：6x2﹣5x﹣11＝0；6．
15．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a﹣1的值是 ．
【分析】把x＝2代入已知方程得到：4a﹣2b＝﹣3，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：把x＝2代入，得
4a﹣2b+3＝0，
所以4a﹣2b＝﹣3，
所以4b﹣8a﹣1＝﹣2（4a﹣2b）﹣1＝﹣2×（﹣3）﹣1＝5．
故答案是：5．
16．设 、 是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（ 2+2020 ﹣1）（ 2+2020 +2）＝ ．
α β α α β β
【分析】根据 、 是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，即可求解．
α β
【解答】解：∵ 、 是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
α β
∴ 2+2020 ﹣2＝0，
α α
2+2020 ﹣2＝0
β β
∴ 2+2020 ＝2，
α α
2+2020 ＝2
β β
∴（ 2+2020 ﹣1）（ 2+2020 +2）
α α β β
＝（2﹣1）（2+2）＝4．故答案为4．
三、解答题（4题）
17．当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0．
（1）是一元一次方程？
（2）是一元二次方程？
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出k﹣5＝0且k+2≠0，求出即可；
（2）根据一元二次方程的定义得出k﹣5≠0，求出即可．
【解答】解：（1）（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，
当k﹣5＝0且k+2≠0时，方程为一元一次方程，
即k＝5，
所以当k＝5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元一次方程；
（2）（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，
当k﹣5≠0时，方程为一元二次方程，
即k≠5，
所以当k≠5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元二次方程．
18．已知2x2﹣10x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2的值．
【分析】当2x2﹣10x﹣1＝0时，x2﹣5x＝ ．然后根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当2x2﹣10x﹣1＝0时，x2﹣5x＝ ．
原式＝2x2﹣3x+1﹣（x2+2x+1）
＝x2﹣5x
＝ ．19．已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式 ÷（a+3﹣ ）的值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由方程的解的概念得出 a2+4a＝21，代入
计算即可．
【解答】解： ÷（a+3﹣ ）
＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝
＝ ，
∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，
∴a2+4a﹣21＝0，即a2+4a＝21，
则原式＝ ＝ ．
20．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二
次方程．
（1）a：b：c＝3：4：5，且a+b+c＝36；
（2）（a﹣2）2+|b﹣4|+ ＝0．
【分析】（1）设一份为k，表示出a，b及c，代入a+b+c＝36列出关于k的方程，求出方程的解得到k
的值，确定出a，b及c的值，写出方程即可；
（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出a，b及c的值，写出方程即可．
【解答】解：（1）设一份为k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴3k+4k+5k＝12k＝36，
解得：k＝3，
∴a＝9，b＝12，c＝15，
则方程为9x2+12x+15＝0；
（2）∵（a﹣2）2+|b﹣4|+ ＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣4＝0，c﹣6＝0，
解得：a＝2，b＝4，c＝6，
则方程为2x2+4x+6＝0．
