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重难点 2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移 8 大题型
函数与导数一直是高考中的热点与难点，利用导数研究不等式问题在近几年高考中出现的频率较高。求解
此类问题关键是要找到与待证不等式紧密联系的函数，然后利用导数工具来研究函数的单调性、极值、最
值（值域），从而达到目的。考查难度较大。
函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数
学问题，考查考生的化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力。
【题型1 单变量不等式的证明】
满分技巧
不等式证明的常用思路
1、移项构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．
在证明过程中，等价转化是关键，此处 恒成立．从而f(x)>g(x)，
但此处 与 取到最值的条件不是同一个“x的值”．
3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
【例1】（2024·山东青岛·高三校考期末）已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 时，证明： ．
【变式1-1】（2023·安徽合肥·高三校考期末）已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间
（2）讨论 的单调性；（3）当 时，证明 .
【变式1-2】（2024·陕西榆林·高三一模）设函数 ，曲线 在点 处的切线
方程为 .
（1）求 ；
（2）证明： .
【变式1-3】（2024·内蒙古·高三校考期末）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：在 上 .
【题型2 双变量不等式的证明】
满分技巧
双变量不等式的处理策略：
含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，
具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）已知 ，求证： ．
【变式2-1】（2024·北京西城·高三统考期末）已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间；
（3）当 且 时，判断 与 的大小，并说明理由.
【变式2-2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求 的极值；
（2）当 ， 时，证明： .【变式2-3】（2024·全国·高三专题练习）知函数 ．
（1）求函数 的单调区间和最小值；
（2）当 时，求证： （其中 为自然对数的底数）；
（3）若 ， 求证： ．
【题型3 对称化构造解决极值点偏移】
满分技巧
1、和型 （或 ）问题的基本步骤：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，
得 与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
2、积型 问题的基本步骤：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 的范围，结合 的单调性，可得 与 的大小关系，由此证得结论.
【例3】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知函数 .
（1）讨论 的单调区间；
（2）已知 在 上单调递增， 且 ，求证： .
【变式3-1】（2024·山西晋城·统考一模）已知函数 ．
（1）若 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 有两个零点 ，证明： ．
【变式3-2】（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数 .
（1）若 有唯一极值，求 的取值范围；
（2）当 时，若 ， ，求证： .【变式3-3】（2024·江苏扬州·高三统考期末）已知函数 的最小值为 .
（1）求实数 的值；
（2）若 有两个不同的实数根 ，求证： .
【题型4 比值代换法解决极值点偏移】
满分技巧
比值换元的目的也是消元、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点
的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的。设法用比值（一般用 表示）表示两个极值点，即
，化为单变量的函数不等式，继而将所求问题转化为关于 的函数问题求解。
【例4】（2023·全国·高三统考月考）已知 是函数 的导函数．
（1）讨论方程 的实数解个数；
（2）设 为函数 的两个零点且 ，证明： ．
【变式4-1】（2023·河南驻马店·高三统考期末）已知函数 有两个零点.
（1）求 的取值范围；
（2）设 ， 是 的两个零点， ，证明： .
【变式4-2】（2024·福建厦门·统考一模）已知函数 有两个极值点 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
【变式4-3】（2022·全国·模拟预测）设函数 .
（1）若 ，求函数 的最值；
（2）若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： .
【题型5 导数与数列不等式证明】
满分技巧
1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式，用关于正整数 的不等式替代函数不等式中的自变量。通
过多次求和达到证明的目的。此类问题一般至少两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得
来。
2、已知函数式为指数不等式（或对数不等式），而待证不等式为与对数有关的不等式（或与指数有关的
不等式），还有注意指、对数式的互化，如 可化为【例5】（2024·安徽合肥·高三统考期末）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：对于任意正整数n，都有 ．
【变式5-1】（2024·山西·高三统考期末）已知函数 .
（1）若当 时， ，求实数 的取值范围；
（2）求证： .
【变式5-2】（2023·天津红桥·统考一模）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程：
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明： （ ， ）.
【变式5-3】（2024·湖南长沙·统考一模）已知函数 .
（1）若 有且仅有一个零点，求实数 的取值范围：
（2）证明： .
【题型6 三角函数型不等式证明】
满分技巧
1、正余弦函数的有界性： ；
2、三角函数与函数的重要放缩公式： .
【例6】（2023·全国·高三专题练习）当 时，证明： 恒成立.
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， .
（1）讨论 的极值；
（2）若 ， ，求证： .
【变式6-2】（2023·江苏常州·校考一模）已知函数 .（1）若 ，求 的值；
（2）证明：当 时， 成立.
【变式6-3】（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数 .
（1）求 的极值；
（2）已知 ，证明： .
【题型7 不等式恒成立求参问题】
满分技巧
1、利用导数求解参数范围的两种方法
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关
系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别解出满足题意的参数范围
最后取并集。
2、不等式恒成立问题转化：
（1） ，
（2） ，
【例7】（2023·辽宁·高三校联考期中）已知函数 ， ， ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若对任意 ，
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·江西赣州·高三统考期末）设函数 ，曲线 在点 处
的切线方程为 ．
（1）求a和b的值；
（2）若 ，求m的取值范围．【变式7-3】（2024·山东枣庄·高三统考期末）已知函数 .
（1）若 是增函数，求 的取值范围；
（2）若 有两个极值点 ，且 恒成立，求实数 的取值范围.
【题型8 不等式能成立求参问题】
满分技巧
1、形如 有解问题的求解策略
（1）构造函数法：令 ，利用导数求得函数 的单调性与最小值，只需
恒成立即可；
（2）参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利
用导数求的函数 的单调性与最值即可。
2、单变量不等式能成立问题转化
（1） ，
（2） ，
3、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集．
【例8】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ．若存在实数 ，使得
成立，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，对于存在的
，存在 ，使 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ．（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若 ，不等式 在 上存在实数解，求实数 的取值范围．
【变式8-3】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2） （ ），若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数a
的取值范围．
（建议用时：60分钟）
1．（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）设实数 ，若不等式 对任意 恒
成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北·高三石家庄精英中学校联考期末）设实数 ，若 对 恒成立，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于 的不等式 在 内有
解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西西安·高三统考期末）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明： .
5．（2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知函数
．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若 且 ，求证： ．6．（2024·天津宁河·高三统考期末）已知函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）求 的单调区间；
（3）设 是函数 的两个极值点，证明： ．
7．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）证明： ．
