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第三课时——公式法、根与系数的关系
知识点一：根的判别式：
1. 根的判别式：
一般地，在一元二次方程 中，我们把 叫做一元二次方
程的跟的判别式。用符号“ ”表示，即 。一元二次方程 根
的情况与 的具体关系如下：
① 方程有两个不相等的实数根。
② 方程有两个相等的实数根。
③ 方程没有实数根。
【类型一：判断根的情况】
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣x+ ＝0 B．x2+2x+4＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣3x＝0
2．一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
3．定义运算：m n＝mn2﹣m n+1．例如：1 2＝1×22﹣1×2+1＝3．则方程 1 x＝0 的根的情况为
（ ）
⊕ ⊕ ⊕
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4．关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0的根的情况（ ）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【类型一：根据根的情况求字母的取值范围】
5．关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1且a≠0 B．a＜1且a≠0 C．a＜1 D．a＞﹣1
6．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k＜3 C．k＞﹣3且k≠2 D．k＜3且k≠2
7．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞ C．m＞ 且m≠1 D．m≠1
8．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥ 且k≠2
知识点一：求根公式：
1. 求根公式：
当 时，一元二次方程方程 的实数很可写为
，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
①当 时，一元二次方程 的两个跟可以分别写为：
， 。
②当 时，一元二次方程 的两个跟可以写为：
。
2. 利用公式法解一元二次方程的过程：步骤一：将一元二次方程化成 。并确定出 的值。
步骤二：计算 的值确定根的情况。
步骤三：若方程有根，利用求根公式求解。
【类型一： 系数判断】
9．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（ ）
A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8
10．用公式法解方程x2+x＝2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
C．a＝1，b＝1，c＝﹣2 D．a＝1，b＝﹣1，c＝2
【类型二：求根公式的熟悉】
11．以x＝ 为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0
12．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．用公式法解一元二次方程，得：x＝ ，则该一元二次方程是 ．
【类型三：利用公式法解方程】
14．用公式法解下列方程：
（1）x2﹣5x＝6； （2）3x2﹣11x﹣4＝0；（3）3x2+10x+3＝0； （4）6t2﹣13t+5＝0．
知识点一：根与系数的关系：
从公式法可知，一元二次方程若有解，则求根公式分别为： 和
。分别把两个式子相加和相乘即可得出根与系数的关系。
1. 根与系数的关系：若一元二次方程 的两根分别是 ，则
， 。
特别提醒：一元二次方程 的两根分别是 ，则满足：
，
2. 变形公式：① ；（利用完全平方式转换）
② ；（提公因式）
③ ；（分式通分运算）④ ；（分式通分运算与完全平方公式）
⑤ ；（整式乘法运算）
⑥ 。（利用完全平方式转换）
【类型一：求根与系数的基本式子】
15．方程x2﹣4x+3＝0的两根为x 、x ，则x +x 等于（ ）
1 2 1 2
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
16．设x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x x ＝（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
17．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x ，x ，则x +x ﹣x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
18．已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a+b＝ ．
【类型二：求根与系数的推广式子】
19．已知x ，x 是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x 2+x 2的值为（ ）
1 2 1 2
A．5 B．10 C．11 D．13
20．若x 和x 为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x 2x +x x 2值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．4 B．2 C．4 D．3
21．已知x ，x 是一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的两根，则 ＝ ．
1 2
22．已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则 的值是 ．
23．设x 、x 是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
1 2
（1）x 2x +x x 2； （2）（x ﹣x ）2．
1 2 1 2 1 2【类型三：利用两个根满足的方程转化求式子】
24．设a，b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是 ．
25．设 ， 是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则 2+5 +2 ＝ ．
α β α α β
26．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（ ）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
27．设x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x 3﹣4x 2+20等于（ ）
1 2 1 2
A．1 B．5 C．11 D．13
28．设m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，则m3+2020n﹣2019＝ ．
【类型二：利用根与系数的关系求字母的值】
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个实数根，且满足 ，则m的值是
．
30．若关于x的一元二次方程x2+m x+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
31．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0的两个实数根的平方和是7，则k＝ ．
32．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的两个实数根互为相反数，则k的值是（ ）
A．k＝±2 B．k＝2 C．k≥﹣1 D．k＝﹣2
33．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x 、x ．
1 2
（1）求k的取值范围； （2）若x +x ＝1﹣x x ，求k的值．
1 2 1 2一．选择题（共10小题）
1．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+3＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣2＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
2．关于x的一元二次方程x2+m x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
3．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
4．一元二次方程3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式x＝ 求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣1
5．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（ ）
A．x＝1﹣ B．x＝ C．x＝﹣1+ D．x＝
6．用公式法解方程（x+2）2＝6（x+2）﹣4时，b2﹣4ac的值为（ ）
A．52 B．32 C．20 D．﹣12
7．已知x ，x 是一元二次方程x2﹣2x＝2的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
1 2
A．x ≠x B．x 2﹣2x ＝2 C．x +x ＝2 D．x •x ＝2
1 2 1 1 1 2 1 28．关于x的方程（a﹣1）x2+2ax+a﹣1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．一定是一个一元二次方程
B．a＝﹣1时，方程的两根x 和x 满足x +x ＝﹣1
1 2 1 2
C．a＝3时，方程的两根x 和x 满足x •x ＝1
1 2 1 2
D．a＝1时，方程无实数根
9．若x ，x 是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x x ﹣x ﹣x ＝﹣7且，则b的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
10．已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+k x+7＝0的两个根，且这个直角三角形的斜边长是
3，则k的值是（ ）
A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．4或﹣4
二．填空题（共6小题）
11．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式 的值为 ．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是 ．
13．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x ，x ，且以x ，x ，6为三边的三角形恰
1 2 1 2
好是等腰三角形，则m的值为 ．
14．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x＝ ．
15．已知x ，x 是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则 的值为 ．
1 2
16．已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x 2﹣x 2＝10，则a＝ ．
1 2 1 2
三．解答题（共4小题）
17．用公式法解一元二次方程
（1） x2﹣x﹣4＝0； （2）（2x+3）（x﹣6）＝16．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣m x+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x ，x ，且（x ﹣x ）2+m2＝21，求m的值．
1 2 1 220．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
