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第三课时——二次函数的图像与性质（2）（答案卷）
知识点一： 转换成 ：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：
【类型一：把二次函数一般式化为顶点式】
1．将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
所以，y＝（x﹣1）2﹣3．
故选：B．
2．把二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方化为y＝a（x﹣h）2+k形式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4 B．y＝﹣（x+1）2+4
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2﹣3【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般
式转化为顶点式．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1）+3+1
＝﹣（x+1）2+4，
即y＝﹣（x+1）2+4．
故选：B．
3．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x+m）2+h的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x+1）2+4 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2+2
【分析】根据配方法整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3
＝（x2﹣2x+1）+2
＝（x﹣1）2+2．
故选：C．
知识点一： 的图像与性质：
把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下：
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标
（ ） （ ）
对称轴
增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小。 。
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
与y轴交点坐标 （ 0 ， c ） （ 0 ， c ）
特别提示：当a与b同号时， ，对称轴在y轴的左边。
当a与b异号时， ，对称轴在y轴的右边。简称左同右异。
【类型一：判断二次函数的图像】
4．下列是抛物线y＝﹣2x2﹣3x+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用二次函数的图象对四个选项逐一判断即可得到答案．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2﹣3x+1的图象，因为a＝﹣2，所以开口向下，故CD错误；
抛物线y＝﹣2x2﹣3x+1的对称轴是直线x＝﹣ ，故A错误；故选：B．
5．在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数 y＝
ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：
二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣ ＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四
个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣ ＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
6．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向
下，不可能；
B、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交
于y轴的正半轴同一点，不可能；
C、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交
于y轴的负半轴同一点，有可能．
D、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，c＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，与
一次函数的图象交于y轴同一点，不可能；
故选：C．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相
比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣ ＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项
正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．
8．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+2x+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+2x+b的图象相
比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确．
故选：D．
【类型二：二次函数的性质——对称轴与顶点坐标】
9．抛物线y＝x2﹣2x﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝1 D．直线x＝2
【分析】先将抛物线化为顶点式，即可解决问题．
【解答】解：因为抛物线y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣2＝（x﹣1）2﹣2，
所以对称轴是直线x＝1．
故选：C．
10．抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的对称轴是（ ）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝4 D．x＝﹣4
【分析】先根据抛物线的解析式得出a、b的值，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣4，
∴a＝﹣1，b＝4，
∴其对称轴是直线x＝﹣ ＝﹣ ＝2．
故选：B．
11．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为 ．
【分析】把一般式化成顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，
∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），
故答案为（﹣1，8）．
12．二次函数y＝x2+2x﹣4的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，
∴该函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5），
故答案为：直线x＝﹣1，（﹣1，﹣5）．
13．抛物线y＝x2+2x﹣4的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可得出抛物线的对称轴及顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5）．
故答案为：直线x＝﹣1，（﹣1，﹣5）．
【类型三：二次函数的性质——函数最值】
14．二次函数y＝﹣x2+4x+1有（ ）A．最大值5 B．最小值5 C．最大值﹣3 D．最小值﹣3
【分析】利用配方法求二次函数的最值．
【解答】解：y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5．
由于a＝﹣1＜0，
所以该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（2，5）．
所以该抛物线有最大值，且最大值是5．
故选：A．
15．二次函数y＝x2﹣4x+7的最小值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最小（大）值的方法．
【解答】解：∵原式可化为y＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3，
∴最小值为3．
故选：C．
16．甲卖橘子x千克与所获利润y（元）满足关系式y＝﹣x2+120x﹣1200，则当甲卖出 千克橘子时，
获得最大利润为 元．
【分析】根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质确定函数的对称轴和最大值．
【解答】解：y＝﹣x2+120x﹣1200＝﹣（x﹣60）2+2400，
∵﹣1＜0，∴函数有最大值，
当x＝60时，函数有最大值2400，
故答案为：60；2400．
17．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线 x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合
图象解答即可．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
对称轴是：x＝﹣1
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，
x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，
故选：B．
【类型四：利用最值求未知字母】
18．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或 C．3或﹣ D．﹣3或﹣
【分析】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣ ；
故选：C．
19．二次函数y＝cx2﹣4x+2c的图象的最高点在x轴上，则c的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．±
【分析】利用抛物线的顶点在x轴上，则 ＝0，解得c＝± ，然后根据二次函数的性
质确定满足条件的c的值．
【解答】解：二次函数y＝cx2﹣4x+2c的图象的顶点的纵坐标为 ，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴ ＝0，解得c＝± ，
∵抛物线有最高点，
∴c＝﹣ ．
故选：C．
20．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6
【分析】把点（4，c）代入y＝y＝x2+bx+c可得b＝﹣4，根据最小值是﹣6即可求解．
【解答】解：把点（4，c）代入y＝x2+bx+c得：
c＝42+4b+c，解得：b＝﹣4，
∵二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，∴ ＝﹣6，即 ＝﹣6，
解得：c＝﹣2，
故选：B．
21．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
【分析】根据对称轴求出a，再根据二次函数的增减性和最值问题解答．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，
∴1≤m≤2．
故选：C．
【类型五：二次函数的性质——增减性】
22．已知函数y＝x2﹣8x+9，当x＞ 时，y随x的增大而增大．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，找出函数的对称轴，根据函数的性质判断即可．
【解答】解：y＝x2﹣8x+9＝（x2﹣8x+16）﹣7＝（x﹣4）2﹣7，
∵a＝1＞0，对称轴x＝4，
∴当x＞4时，y随x的增大而增大，
故答案为：4．
23．关于x的二次函数y＝x2﹣m x+5，当x≥1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＝2 C．m≤2 D．m≥2【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣mx+5的开口向上，对称轴是直线x＝ ，
∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴ ≤1，
解得，m≤2，
故选：C．
24．已知函数 ，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞﹣2 D．﹣2＜x＜4
【分析】函数 ，由于a＝ ＞0，开口向上，则先求出其对称轴，在对称轴左侧，y随x的
增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【解答】解：函数y＝ x2﹣x﹣4，对称轴x＝1，又其开口向上，
则当x＞1时，函数y＝ x2﹣x﹣4随x的增大而增大，
当x＜1时，函数y＝ x2﹣x﹣4随x的增大而减小．
故选：A．
25．已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ m+1，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣ m+1≤1，解得m≥0．
故m的取值范围是m≥0．
故答案为：m≥0．
【类型六：利用二次函数增减性比较函数值大小】
方法说明：利用点到对称轴之间的距离进行比较：
二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大，反之函数值越大的点离对称轴越
远；二次函数开口向下时，离对称轴越远的点函数值越小，反之函数值越小的点离对称轴越
远。
26．点A（﹣2，y ）、B（1，y ）在二次函数y＝x2+2x﹣1的图象上，y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＝y C．y ＜y D．无法判断
1 2 1 2 1 2
【分析】分别计算自变量为﹣2、1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x＝﹣2时，y ＝x2+2x﹣1＝﹣1；
1
当x＝1时，y ＝x2﹣2x+1＝2；
2
∵﹣1＜2，
∴y ＜y ，
1 2
故选：C．
27．点P （﹣1，y ），P （3，y ），P （5，y ）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y ，y ，y 的
1 1 2 2 3 3 1 2 3
大小关系是（ ）
A．y ＝y ＞y B．y ＞y ＝y C．y ＞y ＞y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而
减小，据二次函数图象的对称性可知，P （﹣1，y ）与（3，y ）关于对称轴对称，可判断y ＝y ＞y ．
1 1 1 1 2 3
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
∴对称轴为x＝1，
P （3，y ），P （5，y ）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
2 2 3 3
∵3＜5，∴y ＞y ，
2 3
根据二次函数图象的对称性可知，P （﹣1，y ）与（3，y ）关于对称轴对称，
1 1 1
故y ＝y ＞y ，
1 2 3
故选：A．
28．若点A（﹣1，y ），B（2，y ），C（3，y ）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y ，y ，y 的大小
1 2 3 1 2 3
关系是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2
【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝ ＝2，
∵点A（﹣1，y ）的对称点为（5，y ），
1 1
又∵5＞3＞2，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
∴y ＜y ＜y ，
1 3 2
故选：C．
29．已知（﹣3，y ），（﹣2，y ），（1，y ）是抛物线y＝3x2+12x+m上的点，则（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 3 1 2 2 3 1 2 1 3
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线 x＝﹣2，根据x＞﹣2时，y随x的
增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝3x2+12x+m，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴（﹣3，y ）关于直线x＝﹣2的对称点是（﹣1，y ），
1 1
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y ＜y ＜y ，
2 1 3故选：D．
【类型七：二次函数性质综合】
30．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：① a b c＜0；② 2a+b＝0；
③ 9a+3b+c＞0；④当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，其中正确的结论是
（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】①由抛物线的开口方向向上，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，
确定出a，b及c的正负，即可对于abc的正负作出判断；
②根据对称轴为：x＝﹣ ＝1判断即可；
③根据抛物线与x轴的交点即可求得抛物线的对称轴，然后把x＝3代入方程即可求得相应的y的符号；
④由图象得到当x＜0时，y随x的变化而变化的趋势．
【解答】解：①根据图示知，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵﹣ ＝1＞0，
∴b＜0，
所以abc＞0．故①错误；
②根据图象得对称轴x＝1，即﹣ ＝1，所以b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；
③当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0．故③错误；
④根据图示知，当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确；
故选：D．
31．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列四个结论中：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③abc＞
0；④5a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图示知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．故①错误；
②由图示知，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．故②错误；
③由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
对称轴x＝﹣ ＜0，则b＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
所以abc＞0．故③正确；
④由图示知，当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0．当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
所以10a﹣2b+2c＜0，即5a﹣b+c＜0，故④正确．
综上所述，正解的结论有：③④，共2个．
故选：B．
32．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是
（ ）A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【分析】由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x＝﹣ ＝﹣1，即b＝2a；①当x＝1时，y＜0；②当x＝
﹣1时，y＞1；③abc＝2a2＞0；④当x＝﹣3时，y＜0；⑤c﹣a＝1﹣a＞1．
【解答】解：由图象可知，a＜0，c＝1，
对称轴x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
①∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故正确；
②∵当x＝﹣1时，y＞1，
∴a﹣b+c＞1，故正确；
③abc＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故正确；
⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；
∴①②③④⑤正确，
故选：D．
33．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；
③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（ ）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
【解答】解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵把x＝1代入抛物线得：y＝a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3b+2c＜0，∴②正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝a﹣b+c的值最大，
即把x＝m代入得：y＝am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm+b≤a，
即m（am+b）+b≤a，∴③正确；
∵a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，
则（a+c）2﹣b2＜0，
即（a+c）2＜b2，故④正确；故选：D．
34．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列六个结论：①a＞0；②b＜0；③c＞0；
④b2﹣4ac＞0；⑤2a﹣b＞0；⑥a+b+c＜0．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线与x轴的公共点的个数可得到b2﹣4ac＞0；由抛物线开口向下得a＜0，根据对称轴
在y轴的左侧，得a，b同号，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则abc＞0；由抛物线的对称
轴为直线x＝﹣ ＞﹣1得2a﹣b＜0，因为当x＝1，所以a+b+c＜0．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，故①错误；
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a，b同号，
∴b＜0，故②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＞﹣1，
∴2a﹣b＜0，故⑤错误；当x＝1，y＝a+b+c＜0，故⑥正确；
故选：C．
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y＝2x2﹣3x+4与y轴的交点是（ ）
A．（0，4） B．（0，2） C．（0，﹣3） D．（0，0）
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝2x2﹣3x+4与y轴的交点．
【解答】解：当x＝0时，y＝4，
∴抛物线y＝2x2﹣3x+4与y轴的交点坐标为（0，4），
故选：A．
2．在平面直角坐标系x Oy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y ），B（m，y ），
1 2
C（m+2，y ）为抛物线上三点，且总有y ＞y ＞y ．结合图象，则m的取值范围是（ ）
3 1 3 2
A．m＜1 B．0＜m＜1 C．0＜m＜ D．m＜0
【分析】a＞0时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小．
【解答】解：如图：抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）的对称轴为x＝1，
A（m﹣1，y ），B（m，y ），C（m+2，y ）为抛物线上三点，且总有y ＞y ＞y ，
1 2 3 1 3 2
则1﹣m＜（m+2）﹣1＜1﹣（m﹣1），（注：a＞0时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标
越小），
∴0＜m＜ ．
故选：C．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线G的开口向下
B．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线x＝ ＝﹣ ，故选项B错误，
该抛物线开口向上，在x＝﹣ 时，取得最小值，故选项A错误，当x＞﹣ 时，y随x的增大而最大，故选项D错误，
当x＝0时，y＝4，则抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4），故选项C正确；
故选：C．
4．已知二次函数y＝x2+mx+n的对称轴为x＝﹣1，点（﹣4，y ）（﹣3，y ），（3，y ）在此函数的图象
1 2 3
上，则有（ ）
A．y
1
＞y
2
＞y
3
B．y
3
＞y
1
＞y
2
C．y
2
＞y
1
＞y
3
D．y
3
＞y
2
＞y
1
【分析】根据题目中二次函数的对称轴、二次函数的性质，可以判断出y 、y 、y 大小关系，从而可以
1 2 3
解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的对称轴为x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∵点（﹣4，y ）（﹣3，y ），（3，y ）在此函数的图象上，﹣1﹣（﹣4）＝3，﹣1﹣（﹣3）＝2，3
1 2 3
﹣（﹣1）＝4，
∴y ＞y ＞y ，
3 1 2
故选：B．
5．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减少．
故选：B．
6．若点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
【解答】解：∵点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．
∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝ ＝3．
故选：C．
7．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象
得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣ ，由直线可知，a＞0，b
＜0，直线经过点（﹣ ，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣ ，直线不经过点（﹣ ，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣ ，直线不经过点（﹣ ，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣ ，直线不经过点（﹣ ，0），故本选项不符合题意；
故选：A．8．已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1
个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【分析】根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将（0，0）代入，求得k的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣ ＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+ ）²﹣ ．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝
（x+ ﹣3）²﹣ +1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+ ﹣3）²﹣ +1，
解得k ＝2（舍去），k ＝﹣5．
1 2
故选：B．
9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线
的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物
线顶点坐标，易得抛物线解析式．
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．
由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．故选：A．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①4a+2b+c＞0；②abc＜0；③b
＜a﹣c；④3b＞2c；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）；其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及
抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故①正确；
②由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故②正确；
③当x＝1时，y＝a+b+c＞0，即b＞﹣a﹣c，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故③错误；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣ ＝1，
即a＝﹣ ，代入得9（﹣ ）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤错误．
综上所述，①②④正确．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．二次函数y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标是 ．【分析】将解析式化为顶点式，即可得到答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴二次函数y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标是（2，﹣8），
故答案为：（2，﹣8）．
12．二次函数y＝﹣3x2+6x+9的图象的开口方向 ，它与y轴的交点坐标是 ．
【分析】根据a＝﹣3可判断函数开口的方向；令x＝0，可求y的值，即可求出与y轴的交点坐标．
【解答】解：∵a＝﹣3＜0，
∴图象开口向下；
把x＝0代入函数解析式，得y＝9．
∴函数与y轴的交点坐标是（0，9）．
13．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为 ．
【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围 t≤x≤t+1 右侧时以及顶点横坐标在范围
t≤x≤t+1内时和顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值 ＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，
方程无解．
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，
解这个不等式，即 0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值 ＝1，
∴t＝1．
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值 ＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），
∴t＝1或2．
故答案为：1或2．14．已知二次函数y＝a（x﹣3）2+c（a，c为常数，a＜0），当自变量x分别取 ，0，4时，所对应的函
数值分别为y ，y ，y ，则y ，y ，y 的大小关系为 （用“＜”连接）．
1 2 3 1 2 3
【分析】根据二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线x＝3，然后利用增减性和对称性解答即可．
【解答】解：∵a＜0，
∴二次函数图象开口向下，
又∵对称轴为直线x＝3，
∴自变量x分别取 ，0，4时，所对应的函数值y 最大，y 最小，
1 2
∴y ＜y ＜y ．
2 3 1
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 3 1
15．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ．
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后将
8a﹣4b﹣11变形求值即可．
【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
16. 已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c
三个字母的等式或不等式：① ＝﹣1；②ac+b+1＝0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．正确的序
号是 ．【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判
断．
【解答】解：① ＝﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；
②ac+b+1＝0，设C（0，c），则OC＝|c|，
∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c＝0，又c≠0，
∴ac+b+1＝0，故正确；
③abc＞0，从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，故正确；
④a﹣b+c＞0，当x＝﹣1时y＝a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0，故正确．
故答案为①②③④．
三．解答题（共4小题）
17．已知点A（a，7）在抛物线y＝x2+4x+10上．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）把点A的坐标代入解析式，计算即可；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【解答】解：（1）∵点A（a，7）在抛物线y＝x²+4x+10上，
∴a2+4a+10＝7，
解得，a＝﹣1或﹣3，
∴点A的坐标为（﹣1，7）或（﹣3，7）；
（2）y＝x²+4x+10＝（x+2）2+6，
抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，6）．
18．已知y＝y +y ，y 与x2成正比例，y 与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝11．
1 2 1 2（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求当x＝2时y的值．
【分析】（1）根据正比例函数，可得函数关系式，根据自变量与函数值，可得方程组，根据解方程组，
可得k 、k 的值，可得函数解析式．
1 2
（2）把x＝﹣2代入（1）中求得的函数的解析式即可．
【解答】解：（1）设y ＝k x2，y ＝k （x﹣2），
1 1 2 2
由y＝y +y ，得y＝k x2+k （x﹣2），
1 2 1 2
由当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝11，得 ，
解得 ．
∴y与x之间的函数关系式y＝2x2﹣3x+6．
（2）当x＝﹣2时，y＝2×22﹣3×2+6＝8．
19．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y＝ax2+2bx+2b﹣a（a≠0）．
（1）当x＝﹣1时，求y的值．
（2）将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点（﹣1，0），求b的值．
【分析】（1）把x＝﹣1代入y＝ax2+2bx+2b﹣a，即可求得；
（2）根据题意原抛物线经过（1，0），代入解析式解方程即可求得．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝a﹣2b+2b﹣a＝0；
（2）∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点（﹣1，0）
∴原抛物线经过（1，0），
把（1，0）代入解析式可得：0＝a+2b+2b﹣a，
∴b＝0．
20．在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象上．（1）当t＝2时，求抛物线对称轴的表达式；
（2）若点B（5﹣t，0）也在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答：
①当这个函数的最小值为0时，求t的值；
②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据点A的坐标求出a和b的关系，再用对称轴的公式即可求出对称轴；
（2）①由点（0，2）和（t，2）找出抛物线的对称轴，再由题意得出x＝5﹣t是对称轴，列出关于t的
方程，求出t即可；
②根据函数图象的开口方向分a＞0和a＜0两种情况讨论，由对称轴的位置即可确定t的取值范围．
【解答】解：（1）当t＝2时，有A（2，2），
把A代入y＝ax2+bx+2中可得：2＝4a+2b+2，
即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴为x＝ ＝ ；
（2）①∵函数经过点B（5﹣t，0），且函数的最小值为0，
∴B为抛物线的顶点，且函数图象开口向上，
∴该函数的对称轴为x＝5﹣t，
取x＝0，得y＝2，
∴该抛物线经过（0，2），
又∵（t，2）和（0，2）在该抛物线上，
∴ ，
解得t＝ ；
②当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，
当a＜0时，抛物线开口向下，则当x 时，y随x的增大而增大，∴ ≥1，即t≥2，
又∵（5﹣t，0）在抛物线上，
∴5﹣t＜0或5﹣t＞t，即t＞5或t ，
∴2 或t＞5，
当a＞0时，抛物线开口向上，则当x 时，y随x的增大而增大，
所以 ≤0，即t≤0，
又∵（5﹣t，0）在抛物线上，
∴t＜5﹣t＜0，无解，
综上所述，2 或t＞5．
