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培优专题 06 二次函数的图像与字母系数的关系
二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号 图象的特征
a>0 开口向上
a
a<0 开口向下
b=0 对称轴为y轴
b ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0 经过原点
c c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点（顶
b2–4ac=0
点）
b2–4ac
b2–4ac>0 与x轴有两个交点
b2–4ac<0 与x轴没有交点
常用公式及方法：
（1）二次函数三种表达式：
表达式 顶点坐标 对称轴
( b 4ac−b2 ) b
一般式 y=ax2 +bx+c − , x=−
2a 4a 2a
顶点式 y=a(x−h) 2 +k (h,k) x=h
(x +x a(x −x ) 2 ) x +x
交点式 1 2 ,− 1 2 x= 1 2
2 4 2
（2）韦达定理：若二次函数
y=ax2 +bx+c
图象与x轴有两个交点且交点坐标为（
x
1，0）和
b c
x +x =− x ⋅x =
（ x 2，0），则 1 2 a， 1 2 a 。（3）赋值法：在二次函数 y=ax2 +bx+c 中，令 x=1，则 y=a+b+c ；令 x=−1，则
y=a−b+c ；令x=2，则 y=4a+2b+c ；令x=−2，则 y=4a−2b+c ；利用图象上对应点的
位置来判断含有a、b、c的关系式的正确性。
【巩固练习】
1．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数 ，其中 、 ，则该函数的图象
可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北黄石·中考真题）已知二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，
有以下结论：① ；②若t为任意实数，则有 ；③当图象经过点 时，方程
的两根为 ， （ ），则 ，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2019·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图所示，现
给以下结论：① ；② ；③ ；④ 为实数 ；⑤ ．其中错误结论的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．（2021·湖北襄阳·中考真题）一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能
是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·四川宜宾·中考真题）函数 的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，
n)，其中 ，以下结论正确的是（ ）
① ；
②函数 在 处的函数值相等；③函数 的图象与的函数 图象总有两个不同的交点；
④函数 在 内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
6．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于
， 两点，若 ，则下列四个结论：① ，② ，③ ，
④ ．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021·山东东营·中考真题）一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐
标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数 的图象与一次函数 在同一平面直角坐标
系中的图象可能是（ ）A． B． C． D．
9．（2021·山东聊城·中考真题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图
象和反比例函数y＝ 的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·山东菏泽·中考真题）一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·山东泰安·中考真题）在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数
的图象可能是（ ）A． B． C． D．
12．（2020·四川达州·中考真题）如图，直线 与抛物线 交于A、B两点，则
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，
对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）D．﹣1＜a＜﹣
14．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数 的图象，其对称轴为直线 ，且过点
．有以下四个结论：① ，② ，③ ，④若顶点坐标为 ，当 时，
y有最大值为2、最小值为 ，此时m的取值范围是 ．其中正确结论的个数是( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣
2）和点（x，y），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞
0 0
4b；④若 ＞﹣4，则 ＞c．其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2022·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为 ，
且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点 ，（3，y）是抛物线上的两点，则y0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（ ，
y）、C（ ，y）、D（ ，y）是抛物线上的三点，则y
