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热点专题 06 反比例函数（9 个热点）
考点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即
，或表示为 ，其中 是不等于零的常数.
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变
量 的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量 的取值范围是
，函数 的取值范围是 ，故函数图象与 轴、 轴无交点；
（2） 可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是 ，在解决有关自变量指数问
题时应特别注意系数 这一条件.（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得到
反比例函数的解析式.
考点二、反比例函数的图像和性质
1.反比例函数的图象及性质
反比例函数的图象是双曲线
图象
（1）图象分别位于第二、四象限；
（1）图象分别位于第一、三象限；
性质 （2）在每个象限内， 值随 值的增大而增
（2）在每个象限内， 值随 值的增大而减小
大
对称性 反比例的图像关于原点的对称
2.画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写 值时，
只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连
接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐
标轴相交
考点三、实际问题与反比例函数
1.待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为 ，
然后求出k的值即可．
2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自
变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式．题型一 反比例函数的定义
【例1】下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有（ ）
①当路程一定时，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系；
②当商品的进价一定时，利润k与售价a之间的函数关系；
③当矩形的面积一定时，矩形的长a与宽b之间的函数关系；
④当电压一定时，电路中通过的电流强度I与电阻R之间的函数关系．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，正确表示出各量之间的函数关系是解决本题的关键．此题可
先根据题意列出各个函数关系式，再根据反比例函数的定义进行判断．
【详解】解：①由题意得： ，s为常数，故该函数为反比例函数；
②由题意得：利润 售价 进价x，其中x一定，即x是常数，故该函数不是反比例函数；
③由题意得： ，即 ，其中S是常数，故该函数是反比例函数；
④由题意得： ，其中U一定，即U是常数，故该函数为反比例函数；
综上分析可知，各变量之间的关系属于反比例函数关系的有3个．
故选：C．
【例2】若函数 是反比例函数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求解
即可．
【详解】∵函数 为反比例函数，
∴ 且 ．
解得 ．
故答案是： ．
【变式1-1】下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数解析式的一般式 （ ， 为
常数），据此依次判断即可．
【详解】解：A．是一次函数，故此选项不符合题意；
B．符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；
C．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意；
D．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】若 是关于 的反比例函数，则常数 ．
【答案】2
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．直接利用反比例函数的定义分析
得出答案．
【详解】解：∵函数 是 关于 的反比例函数，
解得： ．
故答案为：2．
【变式1-3】已知： ，并且 与x成正比例， 与 成反比例，且当 时， ，当
时， ，求y与x之间的函数解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的
值，用不同的字母区分．设 ， 则 ，然后利用待定系数法即可求得；
【详解】∵ 与x成正比例， 与 成反比例，
∴设 ， ，∴ ，
∵当 时， ，当 时， ，
∴ ，解得 ，
∴y与x之间的函数解析式为 ．
题型二 待定系数法求解析式
【例3】反比例函数的图象经过点A(3，2)，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可．
【详解】解：∵反比例函数 ，
∴ ，
A、∵ ，
∴点 不在反比例函数 图象上，故本选项不符合题意；
B、∵ ，
∴点 不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、∵ ，
∴点 在反比例函数 图象上，故本选项符合题意；
D、∵ ，
∴点 不在反比例函数 图象上，故本选项不符合题意．
故选：C．【例4】如图，反比例函数 的图象与直线 交于点 ，直线 ： 分别交两函数图象于
点 和点 ，过点 作 交反比例函数图象于点 ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当 时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数及反比例函数的性质，熟练求解反比例函数的解析式是
解题的关键．
（ ）利用待定系数法求解即可；
（ ）设 ，则 ，由 ，构造方程求解即可得解．
【详解】（1）解：∵ 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
解得 舍去 ，∴ ．
【变式2-1】如图， 是面积为4的等腰三角形，底边 在x轴上，若反比例函数图象过点B，则它的
解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数几何面积问题，等腰三角形性质．根据题意先设点B坐标为 ，再列出
的面积代数式即可求出．
【详解】解：设点B坐标为 ，
∵ 是面积为4的等腰三角形，
∴ 的面积为： ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ 的面积为： ，
∵反比例函数图象过点B，在第四象限，
∴ ，
∴反比例函数解析式为： ，
故选：D．
【变式2-2】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 、 ，与y
轴相交于点C．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接 、 ，求 的面积．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ；一次函数的解析式为
(2)
【分析】（1）本题考查用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，将 代入反比例函数
中，即可求得 ，再将 代入反比例函数解析式求得 ，最后将点 、 代入一次函数
中求解，即可解题．
（2）本题考查一次函数与反比例函数几何综合，根据一次函数解析式得出点C，再利用
，即可求解．
【详解】（1）解： 反比例函数 经过点 ，
，
反比例函数解析式为 ，
点 在 上，
，
把 、 代入 ，
得 ，解得 ，
一次函数的解析式为 ．（2）解：把 代入 ，得 ，
，
，
．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，将点 向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数
的图象上，则此反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的平移、待定系数法求反比例函数解析式，根据点的平移规律求出点B的坐标，再
利用待定系数法求出答案即可，熟练掌握点的平移规律和待定系数法是解题的关键．
【详解】解：∵点 向下平移5个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为 ，
设反比例函数的表达式为 ，
把点 代入 得， ，
解得 ，
∴反比例函数的表达式为 ，
故答案为：
题型三 反比例函数的图象的判断问题
【例5】在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象
位置之间的关系是解题的关键；
直接利用二次函数图象经过的图象得出a、b的值的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案，逐项
判断即可．
【详解】A、抛物线 开口方向向上，则 ，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即
，所以反比例函数 的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意；
B、抛物线 开口方向向上，则 ，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即 ，所
以反比例函数 的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
C、抛物线 开口方向向下，则 ，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即 ，所
以反比例函数 的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
D、抛物线 开口方向向下，则 ，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即 ，
所以反比例函数 的图象位于第一、三象限，故选项符合题意；故选：D
【例6】函数 与 ( )在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象综合判断，分 和 两种情况进行逐项判断即可．
【详解】解：当 时，函数 的图象位于第一、三象限，函数 的图象经过第一、三、四象
限，
当 时，函数 的图象位于第二、四象限，函数 的图象经过第一、二、四象限，
故选项C符合，选项A、B、D不符合，
故选：C．
【变式3-1】函数 与函数 在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数 可知，直线经过点 ，故
选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知， 的符号，从而选出答案．
【详解】解： 函数 的图像经过点 ，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知： ，
反比例函数 的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
【变式3-2】已知在同一直角坐标系中，二次函数 和反比例函数 的图象如图所示，则一次
函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数
的函数图象在一、三象限，得到 ，根二次函数 开口向下，对称轴在y轴右侧，得到 ，，则 ，由此即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数 的函数图象在一、三象限，
∴ ，
∵二次函数 开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 经过一、三、四象限，
故选：C．
【变式3-3】函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C．
D．【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的
特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．根据 ，
，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当 时，反比例函数 ，在二、四象限，而二次函数 开口向上，与 轴交于负半轴，
故A、B、C、D都不符合题意；
②当 时，反比例函数 ，在一、三象限，而二次函数 开口向下，与y轴交点在原点上
方，故选项A正确，
故选：A．
题型四 反比例函数的增减性问题
【例7】对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 随 的增大而减小
B．图象分布在第二、四象限
C．图象经过点
D．若点 都在图象上，且 ，则
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：对于反比例函数 ，
A. ∵ ，∴当 时， 随 的增大而减小，原说法正确，故此选项符合题意；B. ∵ ，∴反比例函数图象分布在第一、三象限，原说法错误，故此选项不符合题意；
C. 当 时， ，∴图象经过点 ，原说法错误，故此选项不符合题意；
D. 若点 都在图象上，且 ，则 不一定成立，只有当 同号时， 才成
立，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【例8】若点 ， ，在反比例函数 的图象上，且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质求解判断即可，熟练掌
握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴反比例函数 的图象经过第一、三象限，在每一象限内， 随 的增大而减小，
∵ ， ，
∴点 在第三象限内，点 在第一象限内，
∴ ，则 ，
故选： ．
【变式4-1】从下列4个函数：① ；② ；③ ；④ 中任取
一个，函数值 随自变量 的增大而增大的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查了函数的增减性，概率计算，先根据函数的性质，再运用简单地概率计算求解即可．
【详解】根据题意，得有4种等可能性，其中．① ；② ；④ ，函数
值 随自变量 的增大而增大，有3种等可能性，故函数值 随自变量 的增大而增大的概率是 ，
故选C．
【变式4-2】当反比例函数 的自变量 满足 时，函数值 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． 或2 C． 或 D．2或
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质；显然 ；由 知，当 时， ；当 时，
；由此可求得k的值．
【详解】解：当 时，有 ，则 ；
∵当 时，有 ，
∴当 时， ；当 时， ；
∴ ；
即 ；
故选：A．
【变式4-3】已知反比例函数 的图象上两点 ．若 ，则m的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．本题考查反比
例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
【详解】解：∵反比例函数 的图象上两点 ，且 ， ，
∴反比例函数图象在第二、四象限，
∴ ，解得， ，
故答案为： ．
题型五 图形面积与比例系数
【例9】如图，在反比例函数 的图象上，有 ， ， ， 等点，它们的横坐标依次为
1，2，3， ，分别过这些点作 轴与 轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为 ， ， ，
， ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，将将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至 轴，
得到则 是解题关键．
【详解】解：如图所示：∵ ， ， ， 的横坐标依次为1，2，3， ，
∴每一个阴影矩形都有一边长为1，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至 轴，
则
将 代入 得：
即：
∴
由反比例函数 的几何意义可得：
∴ ，
故答案为：
【例10】如图，点A是双曲线 上一点，过点A分别作 轴， 轴，垂足分别为B，C两
点. ， 与双曲线 分别交于D，E两点，若四边形 的面积为6，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数上的点向 轴和 轴引垂线形成的矩形
的面积等于反比例函数的 值是解题的关键．由反比例函数的几何意义得 ， ， ，再根据
即可求出k的值．
【详解】解：∵D，E在反比例函数 的图像上且图像在第二象限，
∴ ， ，
∵点A是双曲线 上一点，且图像在第二象限，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ．
故答案为： ．
【变式5-1】如图，点A在函数 的图象上，过点A作 轴于点B，作 轴交函数
的图象于点C，连接 ，四边形 的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线是正确解决本题的关键．
【详解】解：延长 交y轴于点D，轴，
轴，
设 ，
∵点C在反比例函数 的图象上，
，
，
∵AB⊥x轴，
，
∴四边形 是长方形，
设 ，
∵点A在反比例函数 的图象上，
，
，
．
故答案为：5．
【变式5-2】如图，点 为坐标原点，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图像上，顶点 在
反比例函数 的图像上，点 在 轴的正半轴上，则平行四边形 的面积是 ．【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，过点B作 轴于点D，延长 交y轴于点E，根据平
行四边形 ，得到 轴于点E，结合平行四边形的性质，解答即可．
【详解】过点B作 轴于点D，延长 交y轴于点E，
∵平行四边形 ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵顶点 在反比例函数 的图像上，顶点 在反比例函数 的图像上，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：3．
【变式5-3】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分
别为1， ，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数 ，当 时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S ＝ S ，请求出点P的坐标．
△BDP △ODA
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得
出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，
以及利用割补法求面积．
（1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为 ， ，再利用待定系数法即可求出一次函
数的解析式．
（2）当 时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为
．
（3）先求出 的面积为1，从而确定 的面积为 ，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为
，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A、B，点A、B的横坐标
分别为1，﹣2；∴A ，B ；
把A、B的坐标代入 得 ；
解得 ；
∴一次函数的解析式为 ．
（2）∵ ；
由图象可知，当 时， ．
（3）∵一次函数为 ；
∴D ；
∵A ，
∴ ；
∴ ，
设点P的坐标为： ， ；
∴ ， ；
当P在直线下方时，如图1，则；
；
解得 ；
∴点P ．
当P在直线AB的上方时，如图2，则；；
解得 ；
∴点P ；
综上可得：点P的坐标为： 或 ．
题型六 一次函数与反比例函数的交点问题
【例11】已知反比例函数 与正比例函数 图象交于 ， 两点，
若 ，则 的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原
点对称．
先将点 代入反比例函数 与正比例函数 中，得到 ， ，再
根据反比例函数 与正比例函数 图象交于 ， 两点，得到点
与 关于原点对称，则 ， ，代入 ，结合 即可求解．
【详解】∵反比例函数 与正比例函数 的图象过点 ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵反比例函数 与正比例函数 图象交于 ， 两点，
∴点 与 关于原点对称，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：0
【例12】已知点 、点 都在反比例函数 图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S，求S；
(3)一次函数 的图象过点P、Q，求一次函数的表达式，并根据图象直接写出不等式 的
解集．
【答案】(1)
(2)
(3) ， 或 ．【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，矩形的性质，利用数形结合的方法确定不等式
的解集是解本题的关键．
（1）把点 代入反比例函数 可得答案；
（2）先求解Q的坐标，再利用矩形面积公式可得答案；
（3）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可，再利用函数图象可得 的解集．
【详解】（1）解：∵点 在反比例函数 图象上，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）∵点 在反比例函数 图象上，
∴ ，
∴ ，
点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S，
∴ ；
（3）∵一次函数 的图象过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 为 ，
由图象可得： 的解集为： 或 ．
【变式6-1】如图，直线 与双曲线 交于点A，将直线 向右平移3个单位后，直
线与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及平移的基本性质，取 的中点为 ，设 的坐标为 ，
则 的坐标为 ，根据平移的性质和 ，得出 的坐标，利用 、 都在反比例函数图像上，
建立等式求解，算出 值，得到 的坐标，将 的坐标代入双曲线解析式，即可解题．
【详解】解：取 的中点为 ，设 的坐标为 ，
则 的坐标为 ，
直线 向右平移3个单位后，直线与双曲线交于点B， ，
的坐标为 ．
、 都在反比例函数图像上，
，整理得 ，解得 （舍去）， ，
的坐标为 ，
．
故答案为： ．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，两条平行直线 和 分别与反比例函数
的图象相交于点 ．已知直线 经过点 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值，并直接写出：当 时，不等式 的解集．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数及反比例函数以及一次函数与反比例函数的交点问题，熟
练掌握待定系数法求一次函数及反比例函数是解题的关键。
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据待定系数法即可求解k，利用不等式 的解集为反比例函数在直线 上方对应的自变
量的取值即可求解．
【详解】（1）解：
．又 的图象经过点 ，
，解得 ．
（2）解：由（1）得直线 的表达式为 ，设点 的坐标为 ．
∴点 的坐标为 ．
两点都在反比例函数 的图象上， ，解得 不合题意，舍
去），
点 的坐标为
．
由图可得，不等式 的解集为
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与反比例函数 的图
象都经过点 ．
(1)求反比例函数解析式；
(2)若这两个函数图象的另一个交点为C，点B在x轴上，且 ，求点B的坐标；
(3)若点 在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围．
【答案】(1)(2) 或
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解
析式，反比例函数图象的对称性质，结合图象求不等式的解集．掌握反比例函数图象的性质是关键．
（1）由点A坐标在正比例函数图象上可求得点A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解；
（2）因正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称，则可求得点C的坐标为 ．设
点B的坐标为 ，由面积关系建立关于t的方程，求解即可；
（3）由点P到x轴距离小于3，即 ，所以点P在直线 和 之间的反比例函数的图象上，
借助图形即可求得m的范围．
【详解】（1）解：将点A坐标代入正比例函数解析式得， ，
解得 ，
所以点A的坐标为
将A点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为 ．
（2）解：如图所示，
因为正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称，
所以点C的坐标为令点B的坐标为 ，
由 得， ，
解得 ，
所以点B的坐标为 或 ．
（3）解：如图所示，
因为 ， ，且点P到x轴距离小于3，
即 ，
所以点P在直线 和 之间的反比例函数的图象上，
故m的取值范围是： 或 ．
题型七 反比例函数的实际应用
【例13】受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速
滑到终点．第一次用了 秒；第二次比第一次速度提高了 米 秒，用了 秒．
(1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？
(2)求所用时间 秒 与速度 米 秒 的函数关系式；若要使所用时间不超过 秒，则速度应不低于多少
米/秒？
【答案】(1)3米/秒
(2)v= ；6米/秒
【分析】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用；（1）依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）依据题意，求出从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程，即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意，设小勇第一次训练的速度是 米 秒，
则第二次训练的速度是 米 秒，
．
解得： ，
答：小勇第一次训练的速度是 米 秒．
（2）从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程为： 米 ，
小勇从滑雪道顶端匀速滑到终点的平均速度为 米 秒，所用时间为 秒，
．
当要使所用时间不超过 秒时，即 ，
．
要使所用时间不超过 秒，则速度应不低于 米 秒．
【例14】学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵
塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数” （
）与放学后时间 （分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函
数最大值100，此后变化大致为反比例函数 的图象趋势．若“拥挤指数” ，校门外呈现
“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．
(1)求该二次函数的解析式和k的值；
(2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由．
【答案】(1) ；(2)“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用
（1）设该二次函数的解析式为 ，把点 代入，即可求得二次函数的解析式；把点
代入 ，即可求得k的值；
（2）由 可得 ，再由 ，得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为 ，
把点 代入，得 ，解得：
∴所求二次函数的解析式为
把点 代入 得： ；
（2）解：没有超过15分钟，
理由如下：
由 解得： ， （舍去），
由 ，解得： ，
，
所以“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟．
【变式7-1】为了更好助推乡村振兴，今年水果上市期间，某单位驻村工作队立足本地特色，在打通为农
服务“最后一公里”上主动作为，在村里成立村级供销合作社，帮助果农进行销售，该村水果月销售额y
（万元），在成立村级供销合作社前是反比例函数图象的一部分，成立村级供销合作社后是一次函数图象
的一部分．
(1)当 时，求y与x的关系式，并求出该种水果4月份的销售额；(2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元？
【答案】(1)当 时，y与x的关系式为 ； 万元
(2)该村水果有6个月的月销售额不超过90万元
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用．
（1）用待定系数法求出当 时，y与x的关系式，然后令 时求出y的值即可得到答案；
（2）先求出当 时，y与x的关系式为 ，然后分别求出当 时和当 时，月销售额
不超过90万元的月份，即可得到答案．
【详解】（1）解：设当 时，y与x的关系式为 ，
把点 代入得 ，
∴ ，
∴当 时，y与x的关系式为 ，
∴当 时， ，
∴当 时，y与x的关系式为 ，4月份的销售额为45万元；
（2）解：设当 时，y与x的关系式为 ，
把点 和点 代入得 ，
∴ ，
∴当 时，y与x的关系式为 ，
当 时，令 ，则 ，
∴ ，
当 时， ，
∴2月、3月和4月销售额不超过90万元；当 时，令 ，解得 ，
∴5月、6月和7月销售额不超过90万元；
∴该村水果有6个月的月销售额不超过90万元．
【变式7-2】制作一种工艺品时，需先将材料加热到 ，再进行后续操作．设整个过程所用时间为x（分
钟），材料的温度为y（ ），材料加热过程中，温度y是时间x的一次函数，工艺品制作过程中，y是x
的反比例函数，材料加热与工艺品制作过程中，y与x的函数图象如图所示．
(1)求工艺品制作过程中y与x的函数关系式；
(2)若此工艺品在制作过程中温度不能低于 ，那么只加热一次后，最多几分钟后就得停止工艺品的制作？
【答案】(1) （ ）， （ ）
(2)14分钟
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据待定系数法分别求出两个函数解析式即可；
（2）将 代入反比例函数解析式，求出 ， 即可．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 ，
点 ， 在一次函数图象上，
，
，
一次函数解析式为： ，
设反比例函数解析式为： ，点 在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为： ．
（2）当 时， ，
（分钟）
答：加热一次后最多14分钟后就得停止工艺品的制作．
【变式7-3】大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨
经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，
当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到
蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当 时， ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若小孔到蜡烛的距离为 ，求火焰的像高；
(3)若火焰的像高不得超过 ，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
【答案】(1)
(2)火焰的像高为
(3)小孔到蜡烛的距离至少是
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键；
（1）由题意设 ，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把 代入 ，再计算可得答案；
（3）由 再建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意设： ，
把 代入，得 ，关于x的函数解析式为： ；
（2）把 代入 ，得 ，
∴火焰的像高为 ．
（3） 时，
，
，
，
答：小孔到蜡烛的距离至少是 ．
题型八 反比例函数的存在性问题
【例15】如图，已知反比例函数 与一次函数 交于 ，N两点．
(1)求M，N两点的坐标；
(2)求 的面积？
(3)若反比例函数在第一象限上存在一点P，使得 是以 为腰的等腰三角形，求P点坐标？
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，解方程组求得点的坐标，勾股
定理，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，正确的求得点的坐标是解题的关键．（1）将点 的坐标代入 得到点 ，将点 的坐标代入 得到一次函数的表
达式为 ，解方程组即可得到结论；
（2）求得 ，根据 即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到 ，设 )，①当 时, ② 时，
解方程即可得到结论．
【详解】（1）将点 的坐标代入 得 ，
解得 ，
即点 ，
将点 的坐标代入 得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ，
解方程组 ，
解得 (舍去)或
，
故点 ；
；
（2）令 得
解得 ，
∴直线 与 轴的交点 的坐标为 ，；
（3）解： ，设 ，
①当 时，
解得 或
(舍去负值)或 (舍去) ，
∴ ；
时， ，
化简得 ，
解得 或 ，
∴P的坐标为 或 ，
综上所述， 或 或 ．
【例16】已知点A是反比例函数 的图象与正比例函数图象在第三象限的交点， 轴于点B，等腰直角三角形 的面积等于4．
(1)求反比例函数与正比例函数的表达式；
(2)直线： 图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若 ，求点M的坐
标；
(3)在（2）问条件下，点P是反比例函数图象第一象限分支上一动点，连接 ，是否存在直线
，作 于点Q，使得 ？若存在求出 的表达式，若不存在请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为 ；正比例函数表达式为 ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形 的面积等于4可得 ，则 ，利用待
定系数法即可得反比例函数与正比例函数的表达式；
（2）直线： 图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点 、 ，可分两
种情况，由 可得 ，即可得点M的坐标；
（3）由直线l1： 与正比例函数 平行，可得直线 正比例函数 的图象，过点
M作 轴于点C，此时 交反比例函数于点P， ，过点P作 于D，则
，在线段 上截取 ，过点M作 于点E，求出Q的坐标，利用待定系数法即可得 的表达式．
【详解】（1）解：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵等腰直角三角形 的面积等于4，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 在反比例函数 上，
∴ ，
∴反比例函数表达式为 ，
设正比例函数解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴正比例函数表达式为 ；
（2）解：∵点M在正比例函数表达式为 和直线： 的图象上，
∴设 ，则点N的横坐标为m，
若点 在 上方时，如图，∵点N在反比例函数 图象上，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得， （不符合题意，舍去），
若点 在 上方时，如图，
∵点N在反比例函数 图象上，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得， （不符合题意，舍去），
∴ ；
（3）解：如图，∵直线 与正比例函数 平行，
∴直线 正比例函数 图象，
过点M作 轴于点C，
∵点M的坐标为 ，
∴此时 交反比例函数于点P， ，
过点P作 于D，
∴ ，
在线段 上截取 ，则
∵反比例函数的表达式为 ，正比例函数的表达式为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
过点M作 于点E，
∵ ，
∴ ，∴ ，
代入 得 ，
∴ ，
∴ 的表达式为 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积
等知识，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
【变式8-1】如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于点 与
轴交于 点，交 轴交于点 ．
(1)求 ， 的值；
(2)若点 是反比例函数 的图象上的一动点，连接 ， ，当 的面积等于 时，求
的坐标；
(3)在反比例函数图象上存在一点 ，若点 为坐标轴上一动点，当以 ， ， ， 为顶点的四边形为平
行四边形时，直接写出 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)点
(3)点 或 或
【分析】（1）将点 ，点 坐标代入解析式可求解；
（2）由面积和差关系列出等式，即可求解；（3）分两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
， ，
一次函数解析式为 ，点 ，
直线 与反比例函数 的图象交于点 ，
；
（2）如图，设点 ，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，
， ， ，
直线 与 轴交于点 ，
点 ， ，
，
的面积等于 ，
，
，
舍去 或 ，
点 ， ；
（3）当点 在 轴上时，设点 ， ，点 ，
以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，和 是对角线，且互相平分，
，
，
点 ，
，
，
点 ；
当点 在 轴上时，设点 ，点 ，
若 ， 为对角线，
则 ，
， ，
点 ；
若 ， 为对角线，
则 ，
， ，
点 ， ，
综上所述：点 或 或 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，三角形的
面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式8-2】如图，直线 与双曲线 （ ）交于A，B两点，点A的坐标为 ，点C是
双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且 ．(1)求k的值并直接写出点B的坐标；
(2)P是x轴上的一点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形 是矩形？若存在，请求出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点G是直线 上的动点，连接 ， ，若三角形 的面积为6，求点G的坐标．
【答案】(1)6，
(2)
(3) 或
【分析】（1）将点 代入正比例函数 解得m，再代入反比例函数 求得k值，并联立求
得点B；
（2）过点B作 轴与点H，过点A作 轴，过点Q作 交于点M，设点 ，根据
点B的坐标求得 ，结合矩形性质得 ，求得 ，利用 ，即点P和点Q的
几何关系即可求得点Q的坐标；
（3）过C点作 轴交于点K，过B作 轴交于点H，过G点作 轴交 于点N，由题
意求得 ，进一步求得点C的坐标，即可求得直线 的解析式，设 ，则 ，则，利用三角形面积公式即可求得点G．
【详解】（1）解：将点 代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
将 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
解得： 或 ，
再把 代入 ，得： ．
∴
（2）存在，理由如下：
过点B作 轴与点H，过点A作 轴，过点Q作 交于点M，如图，
设点 ，∵ ，
∴ ， ， ，
由于四边形 是矩形，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，得 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
则 ， ，
故点 ．
（3）过C点作 轴交于点K，过B作 轴交于点H，过G点作 轴交 于点N，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵点C在双曲线 上，得 ，
∴则 ，
设直线 的解析式为 得
，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，则 ，
∴ ，解得 或 ，
则点 或 ．
【点睛】本题考查反比例函数和正比例函数的图象及性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、待定
系数法求解析式以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质和作平行线是解题的关
键．
【变式8-3】如图， 是 的直径， ， 与 相交于点E，D 是 的中点，直线
与直线 相交于点F．
(1)求证： 是 的切线．
(2)已知 ，当 长度变化时， 的长也随之变化．
①当 时，
②在整个变化过程中， 的长是否存在最大值？ 判断并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)① 或 ；②不存在最大值，理由见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 ，可得 ，由余角的性质可求
，可得结论；
（2）①通过证明 ，可得 ，通过证明 ，可得 即可求解；
②利用①中结论得出 和 的关系，可判断 的长度的变化．
【详解】（1）证明：连接 ， ．
∵ 是 的直径，
∴ ．
∴ ．
∵ D是 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
又 点 E在 上，
∴ 是 的切线．
（2）①∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
如图1， ∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ；
如图2，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ；②AF不存在最大值，理由如下：
如图1，设 ， ，
∴ ，
∴ ， 整理得， ，
当x无限接近4时，y的值无限大，即当 和 接近平行时，此时 无限大．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，反比例函数的性质，证
明三角形相似是解题的关键．
题型九 反比例与几何的综合
【例17】如图，点 和 在反比例函数 （ ）的图象上，其中 ．过点A作
轴于点 ．
（1） 的值为 ；
（2）若 的面积为 ，则 ．
【答案】 5 2
【分析】（1）根据点A和点B在反比例函数图象上，即可得到 ；
（2）根据 ，得出 ，根据三角形面积公式，即可求出 的面积；过点B作
轴于点D， 交 于点E，根据 ， ，得出
，进而得出 ，根据梯形面积公式，列出方程，化简得 ，令 ，则 ，求出x的值，根据 ，得出 ，即 ，即可解答．
本题主要考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
【详解】解：（1）∵点 和 在反比例函数 （ ）的图象上，
∴ ，
故答案为：5
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点B作 轴于点D， 交 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，整理得： ，
令 ，
则 ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：2．
【例18】如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，与 轴， 轴分别交于点 ．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设点 是 轴上的一个动点，当 的周长最小时，请求出点 的坐标；
(3)将直线 向下平移 个单位后，与双曲线 有唯一交点， 的值为______．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）作点A关于y轴的对称点D，连接 ，交y轴于点P，则此时 的周长最小，先根据点B、D坐标求得直线 的解析式，再结合直线 的解析式，求得点P的坐标；
（3）根据平移的规律得到 ，令 ，整理得 ，由题意可知
，据此得到关于t的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：∵双曲线 过 ， 两点，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数为 ， ，
将点 代入 ，得： ，
解得： ，
∴一次函数为 ；
（2）解：作点A关于y轴的对称点D，连接 ，交y轴于点P，则此时 的周长最小，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
代入B、D的坐标得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点P的坐标为 ；
（3）解：将直线 向下平移t个单位后，得到 ，
由题意可知方程 有两个相同的解，
整理得， ，
∴ ，
解得 或18，
故答案为：2或18．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查待定系数法求函数解析式、一次函数图象与
几何变换，轴对称的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与方程的关系是解题的关键．
【变式9-1】如图，平面直角坐标系中有一 ， ，点 坐标为 ， ，
边 与 轴交于点 ，且 ，反比例函数 与 的图象分别经过点 和点 ，则
．
【答案】【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数与几何图形综合；过点 作 轴的垂线，交
轴于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，设 ， ，则 得出
的横坐标为 ，设 ，则 ， ，证明 得出 ， ，证明
是等腰直角三角形，得出 ，即可得 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，
∵ ，点 坐标为 ， ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
解得： （负值舍去），
∴ ，
∴ 的横坐标为 ，设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，则 是等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式9-2】如图，矩形 中， ， ，点E是 的中点，连接 ，点P是线段 上的
一动点，从E向B运动，连接 ，点M是 的中点，连接 ，反比例函数 的图像经
过点M，当 取得最小值时，k的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，二次函数的最值，矩形的性质，构建二次函数确定点 的
坐标是解题的关键．
先用待定系数法求直线 的解析式，再设点P的坐标为： ，用含 的代数式表示点 的坐标，建
立 关于 的二次函数，求出当AM取得最小值时 的值，再写出点 的坐标，用待定系数法求k的值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
设 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴ 的解析式为 ，
∵点P是线段 上的一动点，
∴设点P的坐标为： ，
∵点M是 的中点，
∴
，
∵ ，
∴ 时， 取得最小值，即 取得最小值，
此时， ，
∵反比例函数 的图像经过点M，
∴ ，
故答案为： ．
【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，长方形 的边 分别在 轴、 轴
上，点 的坐标为 ，双曲线 的图象经过线段 的中点 ．
(1)求 的值；(2)若点 在反比例函数的图象上运动（不与点 重合），过 作 轴于点 ，记 的面积
为 ，求 关于 的解析式，并写出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据长方形的性质得到点 的坐标，再代入到 即可求解；
（ ）由（ ）得到反比例函数解析式为 ，由反比例函数可得 ， ，分点 在
的上方和下方两种情况解答即可求解；
本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，掌握反比例函数的性质是解题的
关键．
【详解】（1）解：∵长方形 的边 分别在 轴、 轴上，点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴反比例函数解析式为 ，
∵点 在反比例函数的图象上运动（不与点 重合），
∴ ，
当点 在 的上方运动时，如图 ，此时 ，∵ 轴，
∴ ， ，
∴
∴ ；
当点 在 的上方运动时，如图 ，此时 ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上， ．一、单选题
1．下列函数中，y是x反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的形式是解题的关键，
根据反比例函数的一般形式逐一判断即可．
【详解】A、 不符合 的形式，不是反比例函数，故选项不符合题意；
B、 不符合 的形式，不是反比例函数，故选项不符合题意；
C、 符合 的形式，是反比例函数，故选项符合题意；
D、 不符合 的形式，不是反比例函数，故选项不符合题意；
故选：C
2．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据一次函数的图象性质得到 经过第一、
二、三象限；根据反比例函数的图象性质得到 分布在第一、三象限，然后对各选项进行判断．
【详解】解：函数 经过第一、二、三象限，函数 分布在第一、三象限．
故选：C．
3．在函数 的图象上有三点 ， ， ．则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及性质．根据反比例函数图象上点的坐标特征、反
比例函数图象的增减性进行解答．
【详解】∵ ，函数图象如图，图象在第一、三象限，在每个象限内， 随 的增大而减小
故选B．
4．如图，在直角坐标系中， 与 轴相切于点 ， 为 的直径，点 在函数 的图
象上， 为 轴上一点， 的面积为 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，过点 作 轴于点 ，设 的半径为
，则 ， ，设 ，则点 的坐标为 ，据此可得 ，然后再根据
的面积为 可求出 ，即可得到 ，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，
设 的半径为 ，
∵ 与 轴相切于点 ，∴ ， ，
设 ， 则点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选： ．
5．如图，P，Q是反比例函数 图象上的两个点，分别过P，Q作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个
相邻且不重叠的小矩形，其面积分别表示为 ， ， ，已知 ，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义，得
， ，再根据 得 ， ，进而可得 的值．
【详解】解：∵点P，Q在反比例函数 的图象上，且 是三个相邻且不重叠的小矩形，
∴根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
故选：B．
6．如图，甲所示的是一款酒精浓度监测仪的简化电路图，其电源电压保持不变， 为定值电阻， 为酒
精气体浓度传感器 气敏电阻 ， 的阻值与酒精浓度的关系如图乙所示，当接通电源时，下列说法正确的
是（ ）
A．当酒精浓度增大时， 的阻值增大
B．当酒精浓度增大时，电压表的示数与电流表的示数的比值不变
C．当酒精浓度增大时，电流表的示数变小
D．当酒精浓度增大时，电压表的示数变小
【答案】B
【分析】由图甲知定值电阻于传感电阻串联，电压表测量的是定值电阻的电压，根据图乙知，当酒精浓度
增大时，传感 的阻值减小，由欧姆定律可得电流中的变化，定值电阻两端电压的变化，再由串联电路的
特点可得传感电阻两端电压的变化．
本题主要考查了物理知识与反比例函数的综合应用，根据反比例函数的图象弄清传感器电阻于酒精浓度的
关系是解决问题的关键．
【详解】解： 由图乙知 的阻值与酒精浓度是反比例函数，且图像在第一象限，
的阻值随酒精浓度增大而减小，
当酒精浓度增大时， 的阻值减小，故本选项不符合题意；
B.由图甲可知，定值电阻 与气敏电阻串联，电压表测量定值电阻 两端电压，
电压表的示数与电流表的示数的比值是定值电阻 的值，故本选项符合题意；
C. 当酒精浓度增大时， 的阻值减小，根据欧姆定律知，电路电流增大，电流表示数增大，故本选项不
符合题意；
D.当酒精浓度增大时，电路电流增大，电流表示数增大，据欧姆定律知，定值电阻 两端电压增大，故本
选项不符合题意．故选：B．
7．我们知道函数 的图象可以由反比例函数 的图象左右平移得到，下列关于 的图象
的性质：
① 的图象可以由 的图象向右平移3个单位长度得到；
② 的图象关于点 对称；
③ 的图象关于直线 对称；
④若 ，根据图象可知， 的解集是 ．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
【答案】B
【分析】①由平移变函数关系式的规律“左加右减”，即可判断；②由 的图象关于 对称，即可
判断；③由 的图象关于直线 对称，即可判断；④画出图象，结合图象，即可求解．
【详解】解：① 的图象可以由 的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误；
② 的图象关于 对称，当 时， ， 的图象关于点 对称；结论正确；
③ 的图象关于直线 对称， 的图象关于直线 对称；结论正确；
④如图，根据图象可知， 的解集是 ；结论错误；
正确的有②③；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合
是解题的关键．
8．如图，点 ，B均为双曲线 在第一象限上的点，且 ，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，图象交点坐标；过 作
交 的延长线于 ，过 作 轴交于 ，过 作 交 的延长线于 ，由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ， ，可求 ，待定系数法可求直线
为 ，联立两个函数关系式即可求解；掌握相关的性质，能根据 作出适当的辅助线，
构建三角形全等是解题的关键．
【详解】解：过 作 交 的延长线于 ，过 作 轴交于 ，过 作 交 的延
长线于 ，
，
，
∵ ，
， ，
，
在 和 中，
，
（ ），
，
，
，
， ，
， ，
，
解得： ，，
，
，
设直线 为 ，则有 ，
解得 ，
直线 为 ，
联立 ，
解得： ， （舍去），
，
故选：D．
二、填空题
9．在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图像位于第二、四象限，则k的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当 时， 的图象位于第二、四象限．
根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
【详解】解：∵反比例函数 的图象位于第二、四象限，
解得 ，
故答案为： ．10．若点 在反比例函数 的图象上，则代数式 的值为 ．
【答案】5
【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出 ，将其代入代数式 中即可得出结论．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出 ．解决该题型题目时，由
点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可．
11．如图，已知反比例函数 ， ，点A在y轴的正半轴上，过点A作直线
轴，且分别与两反比例函数的图象交于点C和点B，连接 ， ，若 的面积为9，
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函数 图象上任意一
点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 ．
根据反比例函数系数k的几何意义得到 ，而 的面积为9， ，
根据三角形面积公式得到 ，即有 ，然后计算出，最
后计算它们的乘积．
【详解】解： 轴，,
的面积是9，
故答案为： ．
12．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点，若点 的坐
标为 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点
的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可．
【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是 ，
∴B点的坐标为 ．
故答案为： ．
13．如图，点 是双曲线 上一点，射线 与另一支曲线交于点 轴，垂足为点 ．
有以下结论：① ；②点 坐标为 ；③ 面积为 ；④ 随 的增大而增大，其中正确的结
论是 （填入正确答案的序号）．【答案】①②③
【分析】将点A代入 可判断①；根据中心对称的性质可求出点B的坐标，即可判断②；根据三角形
面积公式即可判断③；根据反比例函数的性质可判断④．
【详解】将点 代入 可得， ，故①正确；
∵由图像可得，点A和点B关于原点中心对称，
∴点B的坐标为 ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
由图象可得，
在每一象限内， 随 的增大而增大，故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、图象与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
14．如图，已知在平面直角坐标系 中，点 在 轴的负半轴上，点 在 轴的负半轴上，
，以 为边向上作正方形 ．若图象经过点 的反比例函数的表达式是 ，则图象
经过点 的反比例函数的表达式是 ．【答案】
【分析】本题考查反比例函数几何结合问题，全等三角形判定及性质，解直角三角形．根据题意过点 作
轴， 轴， 轴，证明 ，再利用三角函数值即可得到本题答案．
【详解】解：过点 作 轴， 轴， 轴，
，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
同理 ，
∵ ，
∴设 则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点C坐标为： ，点D坐标为： ，
∵图象经过点 的反比例函数的表达式是 ，
∴ ，解得： ，
∴点D坐标为： ，∴图象经过点 的反比例函数的表达式是： ，
故答案为： ．
15．定义 ，若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】先由题意得到 ，分两种情况：① ，② ，利用函数图象的交点求出不等
式的解集，最后确定 的取值范围即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
分两种情况求解如下：
①当 时， ，
此时 ，即 ，
当 时，解得 ，
即函数 与 的图象相交于点 ，
如图，不等式 的解集为 或 ，
∴ 的取值范围是 ，
②当 时， ，
此时 ，即 ，
当 时，解得 ，
即函数 与 的图象相交于点 ，
如图，
不等式 的解集为 或 ，
∴ 的取值范围是 ，
综上可知，若 ，则 的取值范围是 或 ，
故答案为： 或
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，利用数形结合求出不等式的解集是解题的关
键．
16．如图，在平面直角坐标系中， 为 轴正半轴上一点，过点 的直线 轴，分别交反比例函数
和 的图象于点 ， ，且 ， ．（1） 的值为 ；
（2）若直线 与直线 交于点 ，当点 ， ， 中其中两点关于第三点对称时， 的值为 ．
【答案】 2或 或
【分析】（1）根据反比例函数比例系数 的几何意义得到 ，进而求得 ，由
求得 ，即可求得 ，然后利用反比例函数系数 的几何意义即可
求得 的值；
（2）由于点 ， ， 三点中两点关于第三点对称，可以分三种情况讨论求得 的坐标，代入 即可
求得 的值．
【详解】解：（1） 过点 的直线 轴，分别交反比例函数 和 的图象于点 ，
，
，
， ，
，
，
，
，，
，
而 ，
．
（2）当点 ， 关于点 对称，即点 为线段 的中点，
， ，
，
，
代入 得， ，
解得： ，
当点 ， 关于点 对称，即点 为线段 的中点，
，
，
，
代入 得， ，
解得： ，
当点 ， 关于点 对称，即点 为线段 的中点，
，
，
，
代入 得， ，
解得： ，
综上所述， 的值为2或 或 ．
故答案为： ；2或 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数 的几何意义，求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的
交点问题，一元一次方程，分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
三、解答题17．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 这两点，与y
轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求 的面积．
(3)根据图象直接写出 的x的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
(3)x的取值范围为 或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点坐标
满足两个函数的解析式是解题的关键．
（1）先将B点坐标代入反比例函数 中求出m，再将点坐标代入反比例函数的解析式中求出n，从而
确定A点的坐标，最后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）先利用一次函数确定C点的坐标，根据对称求出D点的坐标，再利用割补法，将 分为
与 两个部分，分别求得其面积后相加即可．
（3）因为一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 这两点，运用
数形结合思想，得 的x的取值范围，即可作答．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ，∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵点 在反比例函数图象上，
∴ ，
则A点坐标为
将 两点的坐标代入 得：
，解得 ，
∴一次函数的解析式为： ；
（2）解：∵一次函数 交y轴于点C，
∴C点坐标为 ，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D点坐标为 ， ，
将 分为 与 两个部分，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；（3）解：∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 这两点
∴结合图象，当 时，x的取值范围为 或
18．如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点， ， 轴，
交 轴于点 ．
(1)若 ，则 ．
(2)若 ，则点 坐标 ；当 时， 的取值范围 ．
(3)点 在第一象限反比例函数图像上， ，设 ， ，用含 或 的式子表示
和 长，并求 值．
【答案】(1)
(2) ； 或
(3) ；
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，交点问题，反比例函数与结合图形， 的几何意义；
（1）根据 的几何意义，即可求解；
（2）联立正比例与反比例函数解析式，得出点 的坐标，进而根据函数图象写出不等式的解集范围；
（3）设 ，则 ，过点 作 交 于点 ，设 交 轴于点 ，，根据等腰三角形的性质得出 ， 即可得出 ， ，进而根据三角形的面积公式，即
可求解．
【详解】（1）解：∵ ， 平行于 轴，
∴ ，
又∵
∴ ，
故答案为： ．
（2）∵
∴
解得： 或
∴ ， ；
根据函数图象，可得当 时， 的取值范围为 或
故答案为： ； 或 ．
（3）解：设 ，则 ，
如图所示，过点 作 交 于点 ，设 交 轴于点 ，又 ，
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．某种原料需要达到60℃及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度y（℃）与时间x（min）之间
的关系，其中线段 表示原料加热阶段；线段 轴，表示原料的恒温阶段；曲线 是反比例函数
图象的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
(1)填空：a的值为 ；
(2)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间．
【答案】(1)21；
(2)30分钟．
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）把 代入 ，可得 ；
（2）用待定系数法可得线段 对应的函数解析式为 ， 由 得 ，由得 ，
即可得到答案．
【详解】（1）解：把 代入 ，
得： ，
∴ ，
故答案为：21；
（2）解：设线段 对应的函数解析式为 ，把 代入得：
，
解得 ，
∴线段 对应的函数解析式为 ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴可进行零件加工的时间长度为30分钟．
20．如图，已知 ， ，连接 ，以 为边在第一象限内作正方形 ，直线 与反比例
函数 相交于 ， 两点，连接 ，交 轴于点 ．
(1)求 的值及直线 的解析式；(2)求 的面积．
【答案】(1) ，直线 的解析式为
(2)
【分析】（1）作 轴于 ，通过证得 ，求得 的坐标，然后根据待定系数法
即可求得双曲线 和直线 的解析式．
（2）解析式联立求得 的坐标，然后根据勾股定理求得 和 ，进而求得 的长，即可根据三角形
面积公式求得 的面积．
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
作 轴于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
双曲线 经过 点，
，双曲线为 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解：连接 ，交 于 ，
四边形 是正方形，
垂直平分 ， ，
解 ，
得 或 ，
，
， ，
， ，
，．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了正方形的性质、待定系数法求一次函
数、反比例函数的解析式，勾股定理的应用，求得 、 的坐标是解题的关键．
21．如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，与反比例函数
的图象交于点 ， ．
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)当 时，直接写出 的取值范围．
(3)连接 ， ，求 的面积；
(4)点 是反比例函数上一点， 轴交直线 于 ，且 请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
(2) ；
(3) ；
(4) 或 ．
【分析】（1）把 代入 求出 的值，即可得出反比例函数的解析式为 ，把 代入
，求出点 的坐标， 最后把 ， 代入 ，求出 和 的值，即可得出一次函数
的解析式为 ；
（2）根据数形相结合即可得解；（3）过点 作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作 轴于点 ，易得 ，则
，进而推出 ，根据梯形面积公式，即可求解；
（4）设点 ，则点 的纵坐标为 ，进而得出点 横坐标 ，根据 ，得出 ，
求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 得： ，
∴反比例函数的解析式为 ，
把 代入 得： ，
∴ ，
把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解： 即是一次函数 的图象在反比例函数 的图象上方时，对应自
变量 的取值，
∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ．，
∴ 时， ；
（3）解：过点 作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作 轴于点 ，∵点 和点 在反比例函数 图象上，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（4）解：设点 ，
∵ 轴，
∴点 的纵坐标为 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
①当 时，整理得： ，
该方程无解，
②当 时，整理得： ，
解得： ，∴ 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，解一元二次方程，利用函数求不等式的值，熟练掌握
用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及反比例函数 值的几何意义，是解题的关键．
