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培优专题 08 一次函数与二次函数在利润中的综合应用
【方法提示】此类题型抓住利润公式，一般是一次函数作为数量，单件产品利润乘数量，得
到一个二次函数的解析式，把二次函数化为顶点式即可求出最值，对于自变量，要注意范围
的取值问题。
【真题巩固】
1．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天
的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用
品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最
大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)13
(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关
系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
（1）
解：设y与x之间的函数关系式为 ，根据题意得：
，解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）
解：（-5x+150）（x-8）=425，整理得： ，
解得： ，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）
解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关
系，
2．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，
每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发
现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法
可得y＝﹣2x+160；（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得
销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次
函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
（1）
解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得： ，
解得 ，
∴y＝﹣2x+160；
（2）
根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x＝50，x＝60，
1 2
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）
设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
和一元二次方程．
3．（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日
销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) ；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与 的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
（1）
解：由图可知，设一次函数的解析式为 ，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）
解：根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，则
，
解得： ， ，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）
解：根据题意，则，
整理得： ；
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键
是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
4．（2022·辽宁盘锦·中考真题）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑
料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一
次函数关系，部分数据如下表：
x（天） 1 2 3 … x
每天的销售量（千
10 12 14 …
克）
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，
每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
(1)将表格中的最后一列补充完整；
(2)求y关于x的函数关系式；
(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)见解析
(2)y＝
(3)销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元
【分析】（1）设每天的销售量为z，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一次函数关系式，根据关系式填表即可；
（2）根据图像写出分段函数即可；
（3）根据函数关系列出x和w之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
（1）
设每天的销量为z，
∵每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，
∴z＝sx+t，
∵当x＝1时，z＝10，x＝2时z＝12，
∴ ，
解得 ，
即z＝2x+8，
当 时，销售量 ，
则将表格中的最后一列补充完整如下表：
x（天） 1 2 3 … 30
每天的销售量（千
10 12 14 … 68
克）
（2）
由函数图像知，当0＜x≤20时，y与x成一次函数，且函数图像过(10，14)，(20，9)，
设y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝- x+19（0＜x≤20），
当20＜x≤30时，y＝9，∴y关于x的函数关系式为y＝ ；
（3）
由题意知，当0＜x≤20时，
w＝ ＝﹣x2+24x+112＝ ，
∴此时当x＝12时，w有最大值为256，
当20＜x≤30时，
w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，
∴此时当x＝30时，w有最大值为272，
综上所述，销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的图像和性质
及二次函数的应用是解题的关键．
5．（2022·辽宁营口·中考真题）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和
B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念
册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每
天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
售价（元/本） … 22 23 24 25 …
每天销售量（本） … 80 78 76 74 …
(1)求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
(2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数
不变，设A款纪念册每本降价m元．
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
(2)①B款纪念册销售量为(80-2m)本；②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润
是1264元．
【分析】（1）设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，根据题意列出二元一次方程组，求解即
可；
（2）①设A款纪念册每本降价m元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②先利用待定系数法求得B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每
本的利润×每周的销售数量，再根据二次函数的性质可得答案．
(1)
解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，
依题意得 ，
解得 ，
答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
(2)
解：①设A款纪念册每本降价m元，
则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32-m)元，则每册利润为32-m-20=12-m（元），
∵这两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n，
∴ ，
解得 ，
∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=-2x+124，
由①得：B款纪念册销售量为(80-2m)本，
售价为80-2m =-2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m-14=8+m(元)，
设该店每天所获利润为w元，
则w=(40+2m)(12-m)+ (80-2m)(8+m)
=-4m2+48m+1120
=-4(m-6)2+1264，
∵-4<0，
∴当m=6时，w有最大值，最大值为1264元，
此时A款纪念册售价为32-6=26(元)，答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和
函数关系式．
6．（2021·四川南充·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2
元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价．
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格
减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千
克）与一天销售数量x（千克）的关系为 ．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w
（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入 购进支出）
【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2） ；（3）要使超市销售苹果利润w最
大，一天购进苹果数量为200千克．
【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当x≤100时， 当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；
（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，
即可求解．
【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克，
由题意得： ，解得：x=10，
经检验：x=10是方程的解，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克；
（2）当x≤100时，y=10x，
当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，
∴ ；
（3）若x≤100时，w=zx-y= = ，∴当x=100时，w =100，
最大
若x＞100时，w=zx-y= = ，
∴当x=200时，w =200，
最大
综上所述：当x=200时，超市销售苹果利润w最大，
答：要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分
式方程，是解题的关键．
7．（2021·江苏扬州·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一
段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费
每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计
1850元．
说明：①汽车数量为整数；
②月利润=月租车费-月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______
辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润
仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，
求a的取值范围．
【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）
【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月
利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为y ，y ，月利润差为y，同（1）可得y 和y 的表达式，再分甲公司的利
甲 乙 甲 乙
润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x
的范围求出最值，再比较即可；（3）根据题意得到利润差为 ，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，
结合x为整数可得关于a的不等式 ，即可求出a的范围．
【详解】解：（1） =48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得： ，
解得：x=37或x=-1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y ，y ，月利润差为y，
甲 乙
则y = ，
甲
y = ，
乙
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y=y -y =
甲 乙
= ，
当x= =18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y=y -y =
乙 甲
= ，
∵对称轴为直线x= =18，
当x=50时，利润差最大，且为33150元；
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为 = ，对称轴为直线x= ，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关
系式，尤其（3）中要根据x为整数得到a的不等式．
8．（2018·湖北荆门·中考真题）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购
了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为
166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根
据往年的行情预测，a与t的函数关系为a= ，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多
少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）
【答案】（1）m=600，n=160000；（2） ；（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾
放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是108500元.
【详解】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；
（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；
（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．【详解】（1）依题意得 ，
解得： ；
（2）当0≤t≤20时，设y=kt+b ，
1 1
由图象得： ，
解得：
∴y= t+16；
当20＜t≤50时，设y=kt+b ，
2 2
由图象得： ，
解得： ，
∴y=﹣ t+32，
综上， ；
（3）W=ya﹣mt﹣n，
当0≤t≤20时，W=10000（ t+16）﹣600t﹣160000=5400t，
∵5400＞0，
∴当t=20时，W =5400×20=108000，
最大
当20＜t≤50时，W=（﹣ t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）
2+108500，∵﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当t=25，W =108500，
最大
∵108500＞108000，
∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，具体考查了待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定
最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
