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第9 章 不等式与不等式组（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2． 的整数解的和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为 的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于 的不等式组 有5个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，射线OA是第三象限角平分线，若点B(k－3，1－2k)在第三象限内且在射线OA的下方，则k的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．对于实数x,符号 可表示不超过x的最大整数，如 ．若 有正整数解，则正
实数a的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
或7．已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．不等式组 的解集中任何x的值均在2≤ ≤5的范围内，则a的取值范围是（ ）
A． ≥2 B．2≤ ≤4 C． ≤4 D． ≥2且 ≠4
9．已知关于x的不等式组 的所有整数解的和为 ，则m的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
10．八年级某班同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植
树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为 人，则能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12．不等式 的最小整数解是 ．
13．如图，已知不等式 的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值是 ．
14．已知一个锐角为（5x﹣35）°，则x的取值范围是 ．
15．若点P（ m， m ）在第四象限，且m为整数，则m的值为 ．
1- -2 -4
16．若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是 ．
17．对于任意实数a，b，定义一种运算 ．请根据上述定义解决问题：若 ，
且解集中有三个整数解，则m的取值范围是 ．18．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>18”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了
两次停止，则x的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解不等式（组）
(1) ； (2) ．
20．（8分）关于 和 的二元一次方程组 的解 ， 均是正数，求满足条件的 的整数
值．
21．（10分）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内
容．
已知关于 的方程： 的解是负数，求 的取值范围．
（2） 【拓展】若关于 、 的方程组 的解满足 ，求 的最小整数值．
22．（10分）已知关于x的方程 的解是非负数．
(1) 求a的取值范围；
(2) 若关于y的不等式组 的解集为 ，求所有符合条件的整数a的和．23．（10分）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以
运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000
元．若运输物资不少于1500箱，所需费用少于54000元，求出所需费用最少的方案，且最少费用是多少？
24．（12分）在平面直角坐标系中， 为坐标原点．已知点 ， ，连接 ．
(1) 若 ，求线段 的长；
(2) 若 ．
① 平移线段 ，使点 ， 的对应点分别为点 ，求 的值；
② 连接 ， ，记三角形 的面积为 ，若 ， ， 时，求 的取值范围．参考答案：
1．D
【分析】此题考查了不等式的性质，利用不等式的性质判断即可，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．
注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
【详解】解：A、 ， ，故A不成立，不符合题意；
B、当 时， ，故B不一定成立，不符合题意；
C、当 时， ，故C不一定成立，不符合题意；
D、 ， ， ，故D一定成立，不符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而确定整数解，再求和即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 ，即： 时， ，解得： ，
当 ，即： 时， ，解得： ，
∴ 的整数解为： ， ；
故选B．
3．A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴与四个选项中的不等式组比较知，只有A选项的不等式组符合题意．
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集情况确定参数是解答题的关键．
先分别求出每一个不等式的解集，进而确定不等式组的解集，最后根据不等式组有5个整数解即可解答．【详解】解：解不等式 ，可得： ，
解不等式 ，可得： ，
∴不等式组的解集为：
∵不等式组有5个整数解，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
5．D
【分析】根据第三象限内点的符号特征确定k的取值范围，再根据射线OA所在的直线表达式为y=x，根据
题意可得B点的纵坐标小于其横坐标列式求解．
【详解】解：如图，过点B作y轴的平行线交射线OA于C点，
∵射线OA为第三象限的角平分线，
∴射线OA所在到直线表达式为y=x，
∴C点坐标为B(k-3，k-3)．
∵B(k-3，1-2k)在第三象限内且在射线OA的下方，即点B在点C正下方，
∴ ，
解得： ．
故选：D．
【点拨】本题考查平面直角坐标系内点坐标的符号特征，根据点的位置确定符号特征后列式求解，即数形
结合思想是解答此题的关键．
6．C
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，首先根据题意列出不等式组，再解不等式组即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 有正整数解，a是正数，
∴ ，即x可取1、2，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
综上，a的取值范围是 或 ．
故选：C．
7．B
【分析】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的
方法，以及在数轴上表示不等式的解集的方法是解本题的关键．
根据不等式的性质，列出关于a的不等式，确定出a的范围即可，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵关于 的不等式 的解集是 ，
∴
解得： ，
在数轴上可表示为：
．
故选：B．
8．B
【分析】由x-a≥0，得x≥a；由x-a≤1，得x≤a+1．再根据“小大大小中间找”可知不等式组的解集为：
a≤x≤a+1；然后根据x的值均在2≤x≤5的范围内，可得出a的取值范围．【详解】试题解析： ，
由①得：x≥a，
由②得：x≤1+a，
∴不等式的解集是a≤x≤1+a，
∵不等式组 的解集中x的值均在2≤x≤5的范围内，
∴
解得：2≤ ≤4．
所以a的取值范围是：2≤ ≤4．
故选B．
【点拨】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，等知识的理解和掌握，能根
据不等式组的解集，和已知得出a≥5且1+a≤2是解此题的关键．
9．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据已知得出
关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
【详解】 ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∵关于x的不等式组 的所有整数解的和为 ，
∴不等式组必有整数解 或是 ，
∴ ，或 ，
∴ 或 ，故选：B．
10．C
【分析】不到8棵意思是植树棵数在0棵和8棵之间，包括0棵，不包括8棵，关系式为：植树的总棵数
位同学植树的棵树，植树的总棵数 位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．
【详解】解： 位同学植树棵数为 ，
有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为 棵，
可列不等式组为： ，
即 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关
键；理解“有1位同学植树的棵数不到8棵”是解决本题的突破点．
11．
【分析】根据算术平方根的非负性可得 ，再解不等式即可求解．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．熟练掌握一元一次不等式的整数解是解题的关键．先求不
等式的解集，进而可得最小整数解．
【详解】解： ，
，
，
解得， ，
∴最小整数解为 ，
故答案为： ．13．6
【分析】本题主要考查了解不等式、根据不等式的解集求参数等知识点，根据数轴确定不等式的解集成为
解题的关键
先解不等式 得到 ，再根据数轴可得 ，进而得到 求解即可
【详解】解：∵ ，
∴ ，
根据题图可得：不等式的解集为 ，
∴ ，解得 ．
故答案为6.
14．7＜x＜25
【详解】解：由题意可知：0＜5x﹣35＜90
解得：7＜x＜25
故答案为7＜x＜25
15． ，
【分析-1】0直接利用第四象限内点的坐标特点得出m的取值范围，进而得出答案．
【详解】∵点P（1-m，-2m-4）在第四象限，且m为整数，
∴
解得：-2＜m＜1，
则m为：-1，0．
故答案为-1，0．
【点拨】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的取值范围是解题关键．
16．
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质 ，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号
的方向改变，可得 ，解不等式即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵关于 的不等式 的解集为 ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
17． /
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、定义新运算，根据题意得不等式组 ，再利用不
等式组的整数解为1，0， ，得 ，求解即可．
【详解】根据题意，得 ．
∵ ，
∴ ，
即
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
∵ 的解集中有三个整数解，
∴三个整数解是1，0， ．
∴ ．
解得 ．
18．
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于 ，第二次运算结果大于 列出不等式组，然后求解即
可．
【详解】解：由题意得： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则 得取值范围是： ；
故答案为 .
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组：
（1）按照去分母，去括号，移项， 合并同类项的步骤解不等式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ；
（2）解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
20．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确求出m的
取值范围．先求出方程组的解，然后结合 均为正数，组成不等式组，即可求出m的取值范围，从而求
得答案．
【详解】解： 得 ，
∴ ，
得 ，
∴
∴ ，∵ 均为正数，
∴ ，
解得：
则满足条件的 的整数为：
21．（1） ；（2） 的最小整数值为
【分析】本题考查了一元一次方程的解，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算
是解题的关键．
（1）先解一元一次方程，可得 ，然后题意可得 ，进行计算即可解答；
（2）先利用加减消元法解方程组，求出 、 的值，然后根据题意可得关于 的不等式，解不等式即可解
答．
【详解】（1）解： ，
，
，
关于 的方程 的解是负数，
，
解得： ；
（2）
得： ，
解得： ，
得： ，
解得： ，
，，
解得： ，
的最小整数值为 ．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次不等式（组），不等式组的整数解：
（1）先用含a的式子表示出该方程的解，再根据解是非负数列不等式，即可求解；
（2）根据不等式组的解集为 ，得出关于a的不等式，结合（1）中结论得出关于a的不等式组，得出
整数解，求和即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
解得 ，
该方程的解是非负数，
，
解得 ；
（2）解：
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
该不等式组的解集为 ，
，
，
由（1）得 ，
，整数a可能为 ， 或 ，
，
所有符合条件的整数a的和为 ．
23．(1)1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资
(2)当有6辆大货车，6辆小货车时，最小费用为48000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找
到等量关系和不等关系，列出式子．
（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解
即可；
（2）设有a辆大货车， 辆小货车，列出不等式组，求出a的取值范围，然后求解即可得出结果．
【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得： ，
解得： ，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资；
（2）解：设有a辆大货车， 辆小货车，
由题意可得： ，
解得： ，
∴整数 ，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，所需要的费用为：
（元）；
当有7辆大货车，5辆小货车时，所需要的费用为：
（元）；
当有8辆大货车，4辆小货车时，所需要的费用为：
（元）；∵ ，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，最小费用为48000元．
24．(1)6
(2)① ；② 且
【分析】（1）根据非负数的性质可求得 的值，可得点 的纵坐标相同，故线段 轴，即可求
解；
（2）①根据平移的性质可得 ，结合 ，即可求解；②根据题意可求得 ，
，然后分当 时、当 且 时和当 时三种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点 的纵坐标相同，
∴线段 轴，
∴ ，
即线段 的长为6；
（2）①根据题意，平移线段 ，使点 ， 的对应点分别为点 ，
可得 ，
整理可得 ，
∵ ，∴可得 ，解得 ，
∴ 的值为 ；
②∵ ，
∴ ，
∴当 时，可有 ， ，
当 时，如下图，
则
，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴此时 ；
当 且 时，如下图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴当 且 时， 一定成立；
当 时，如下图，
则
，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴此时 ．
综上所述， 的取值范围为 且 ．
【点拨】本题主要考查了平行于坐标轴的线段长、平移变换、动点三角形面积问题、一元一次不等式的应
用等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
