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专项突破 04 反比例函数模型
【思维导图】
◎突破一 一点一垂线
例．（2020·河北·石家庄外国语学校九年级期中）反比例函数y＝ 图象如图所示，下列说法正确的是（
）
A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2
D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断．
【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；
D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个点向x
轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，函数 （x＞0）和 （x＞0）的图象将第一象限分成
三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则 MON的面积可能是（ ）
△
A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
【答案】C
【分析】分别假设点M在 和 上，即可得出△MON面积可能的值．
【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，
假设点M落在 上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，
假设点M落在 上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，
∴△MON的面积可能是2，
故选C．
【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义．
专训2．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，点A是反比例函数y＝ 的图象上的一点，过点A作AB⊥x
轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是( )A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的几何意义求解即可．
【详解】解：连接OA，如图，
∵ 轴，
∴OC∥AB，
∴
而
∴
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义．
专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，面积为2 的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝
30°，反比例函数 图象恰好经过点A，则k的值为（ ）A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【答案】D
【分析】作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA＝ OB，然后通过证得
△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得k的值．
【详解】解：作AD⊥OB于D，
∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°，
∴OA＝ OB，
∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA，
∴△AOD∽△BOA，
∴ ，
∴S AOD＝ S BOA＝ ×2 ＝ ，
△ △
∵S AOD＝ |k|，
△
∴|k|＝ ，
∵反比例函数y＝ 图象在二、四象限，
∴k＝﹣ ，
故选D．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是是
解答此题的关键．◎突破二 一点两垂线
例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数y= 的图象上的一点，过点A作□
ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．-6
【答案】C
【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD//x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所
以平行四边形ABCD的面积=矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义得到矩形ADOE的面积=|
−k|，则|−k|=6，利用反比例函数图象得到−k<0，即k>0，于是有k=6．
【详解】解：作AE⊥BC于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//x轴，∴四边形ADOE为矩形，
∴ ，而 =|−k|，
∴|−k|=6，而−k<0，即k>0，∴k=6．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数 (k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数 (k≠0)图象上任意一点
向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数 图象上的一个动点，过点A作
AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（ ）A．-4 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形ABOC的面积等于比例系数的绝对值，即可求解．
【详解】解：∵点A是反比例函数 图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，
∴矩形ABOC的面积 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数 中 的
几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂线，所得矩形面积等于 是解题的关键．
专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A，B 两点在双曲线 y＝ 上，分别经过 A，B 两点向轴作
垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S+S＝______．
1 2
【答案】4
【分析】欲求S+S ，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，
1 2
而矩形面积为双曲线y= 的系数k，由此即可求出S+S ．
1 2
【详解】解：∵点A、B是双曲线y= 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，
∴S+S =3+3-1×2=4．
1 2
故答案为4．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．
专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点
B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为___________．
【答案】y=﹣ ．
【详解】试题分析：过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案．
解：过A点向x轴作垂线，如图：
根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为4，即|k|=4，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k=﹣4，
即函数解析式为：y=﹣ ．
故答案为y=﹣ ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
◎突破三 两点一垂线
例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A、B是反比例函数y＝ 的图象上关于原点O对称的任意两点，
过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为( )．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，根据反比例函数的性质，设点A坐标为： ，再根据坐标系中两点关于原点对称
的性质，得点B坐标；过点 做 交 延长线于点 ，根据直角坐标系的性质，得 的值，通
过计算即可得到答案．
【详解】根据题意，设点A坐标为： ，且
∵A、B是反比例函数y＝ 的图象上关于原点O对称的任意两点
∴点B坐标为：
∵过点A作AC⊥x轴于点C
∴点C坐标为：
∴
如图，过点 做 交 延长线于点
根据题意得：
∴故选：B．
【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点
关于原点对称、反比例函数的性质，从而完成求解．
专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直y=mx与双曲线 交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，
垂足为点M，连接BM．若S ABM=1，则k的值是（ ）
△
A．1 B．m﹣1 C．2 D．m
【答案】A
【分析】利用三角形的面积公式和反比例函数的图象性质可知．
【详解】解：由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成，点A与点B关于原点中心
对称，
∴点A，B的纵横坐标的绝对值相等，
∴△AMO和△BMO的面积相等，且为 ，
∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为1，
又因为点A在第一象限内，
所以可知反比例函数的系数k为1．
故选A．
【点睛】本题利用了反比例函数的图象在一、三象限和 而确定出k的值．
专训2．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，直线 与双曲线 交于点A,B．过点A作 轴，
垂足为点P，连接 ．若B的坐标为 ，则 _______．【答案】3
【分析】先根据反比例函数和正比例函数的性质求出点 的坐标，从而可得 的长，再根据三角形的面
积公式即可得．
【详解】解：由题意得：点 与点 关于原点 对称，
，
， 边上的高为2，
轴，
，
则 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质（对称性）是解
题关键．
专训3．（2022·四川遂宁·中考真题）已知一次函数 （a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数
交于B、C两点，B点的横坐标为 ．
(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
(2)求出点C的坐标，并根据图象写出当 时对应自变量x的取值范围；
(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出 ACD的面积．
△
【答案】(1) ，画图象见解析
(2)点C的坐标为（3，2）；当 时， 或
(3)【分析】（1）根据B点的横坐标为-2且在反比例函数y= 的图象上，可以求得点B的坐标，然后代入一
2
次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当y＜y 时对应自
1 2
变量x的取值范围；
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出
ACD的面积．
△（1）
解：∵B点的横坐标为-2且在反比例函数y= 的图象上，
2
∴y= =-3，
2
∴点B的坐标为（-2，-3），
∵点B（-2，-3）在一次函数y=ax-1的图象上，
1
∴-3=a×（-2）-1，
解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x-1，
∵y=x-1，
∴x=0时，y=-1；x=1时，y=0；
∴图象过点（0，-1），（1，0），
函数图象如图所示；
；
（2）
解：解方程组 ，
解得 或 ，∵一次函数y=ax-1（a为常数）与反比例函数y= 交于B、C两点，B点的横坐标为-2，
1 2
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y＜y 时对应自变量x的取值范围是x＜-2或0＜x＜3；
1 2
（3）
解：∵点B（-2，-3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x=2代入y=x-1，得y=1，
∴S ACD=S ADE+S DEC= =2，
△ △ △
即 ACD的面积是2．
【△点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．
◎突破四 两点两垂线
例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，过点A作
AB∥x轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点C，连接BC．若
△ABC的面积为 ，则m，n的值不可能是（ ）
A．m＝ ，n＝﹣ B．m＝ ，n＝﹣
C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2
【答案】A【分析】设A的坐标为（x， ），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出
，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可．
【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，
∴设A的坐标为（x， ），
∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝ （n＜0）上，
∴B的坐标为（ ， ），C的坐标为（x， ），
∴AB= ，AC= ，
∵△ABC的面积为 ，
∴ ，
∴ =9，
∴ ，
∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能
力．
专训1．（2021·全国·九年级专题练习）点A，B分别是双曲线 上的点， 轴正半轴于点
C， 轴于点D，联结AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ________．
【答案】6
【分析】首先根据平行四边形的性质得出 ，从而有 ，然后根据k
的几何意义求解即可．【详解】如图，
∵点A，B分别是双曲线 上的点， 轴正半轴于点C， 轴于点D，
．
∵四边形ACBD是面积为12的平行四边形，
，
∴A，B关于原点对称，
，
，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及k的几何意义，掌握平行四边形的性质以及k的几何意义是
解题的关键．
专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线y＝mx与双曲线y＝ 交于点A，B，过点A，B分别作
AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S AMBN＝1，则k的值是_______．
四边形
【答案】
【分析】先证明四边形AMBN是平行四边形， 的面积实际上就是 面积的2倍，则S ABM＝
△，结合图象可知 ．
【详解】解：∵OA=OB，ON=OM，
∴四边形AMBN是平行四边形，
∵S AMBN＝1，
四边形
∴S ABM＝ ，
△
设点A的坐标为（x，y），
∴B的坐标为（−x，−y），
∴ ×2x×y＝ ，
∴xy＝ ，
∴k＝xy＝ ．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的
比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键．
◎突破五 两点和原点
例．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，直线y＝－ x与双曲线y＝ 交于A，B两点，点C在x轴
上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S ABC＝15时，k的值为（ ）
△
A．－10 B．－9 C．－6 D．－4
【答案】B
【分析】先利用自正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，OA＝OB，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC，设设B（t，− t），则 A（−t， t），利用勾股定理表示出OA＝
，OC＝ ，接着利用三角形面积公式得到 × ×（ t+ t）＝15，解出t得到A（− ，2 ），进而
可求出k的值．
【详解】解：∵直线y＝－ x与双曲线y＝ 交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，OA＝OB，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC，
设B（t，− t），则 A（−t， t），
∴OA＝ ，
∴OC＝ ，
∵S ABC＝15，
△
∴ × ×（ t+ t）＝15，解得t＝ ，
∴A（− ，2 ），
把A（− ，2 ）代入y＝ ，得k＝− ×2 ＝−9．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数图像和反比例函数图像的中心对
称性，是解题的关键，也考查了待定系数法求函数解析式和直角三角形的性质．
专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线 （k≠0），连接
OA，OB．若S ＝8，则k的值是（ ）
ABO
△A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
【答案】C
【分析】过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，设A（k，1），B（2， k），
则AC＝2﹣k，BC＝1﹣ k，利用 ，可计算出 的值.
【详解】解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，如下图所示：
设A（k，1），B（2， k），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣ k，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数图像的性质和坐标与线段之间
转化是解题关键.
专训2．（2022·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝ 和y＝上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S ABCD＝12，则k＝_____．
四边形
【答案】-4
【分析】通过平行四边形的性质得到△AOD的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义得到
．
【详解】解：由双曲线的对称性得OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∵AD∥y轴，
∴ ，
∴ ，
解得k＝-4或k＝4（舍），
故答案为：-4．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是根据题干得到△AOD的面积．
专训3．（2021·浙江·温州外国语学校二模）如图， 是反比例函数 图象上一点，过 分别作
轴、 轴的垂线，垂足分别为点 ，点 ，且分别交反比例函数 图象于点 ，点 ，连结 ，
，若图中阴影部分的面积为4，则 的值为________．【答案】7
【分析】连接CD，作 轴，垂足为E，设 ，得到D，C，E的坐标，分别表示出△OCD和
△DPC的面积，根据 ，即可得到k值．
【详解】解：连接CD，作 轴，垂足为E，
设 ，则 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．
．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：7．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐
标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
◎突破六 两曲-平行例．（2022·湖南衡阳·八年级期中）如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例
函数y （x＞0）和y （x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积
为（ ）
A．3B．6 C．9 D．
【答案】D
【分析】设P（a，0），由直线APB与y轴平行，得到A和B的横坐标都为a，将x＝a代入反比例函数y
和y 中，分别表示出A和B的纵坐标，进而由AP＋BP表示出AB，三角形ABC的面积
AB×P的横坐标，求出即可．
【详解】解：设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，
将x＝a代入反比例函数y 中得：y ，故A（a， ）；
将x＝a代入反比例函数y 中得：y ，故B（a， ），
∴AB＝AP＋BP ，
则S ABC AB•xP ，
△
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何
意义.专训1．（2022·江西南昌·九年级期末）如图，两个反比例函数y 和y 在第一象限内的图象分别是C
1
和C ，设点P在C 上，PA⊥x轴于点A，交C 于点B，则△POB的面积为（ ）
2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【答案】A
【分析】根据反比例函数y （k≠0）系数k的几何意义得到S POA 4＝2，S BOA 2＝1，然后
△ △
利用S POB＝S POA﹣S BOA进行计算即可．
△ △ △
【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C 于点B，
2
∴S POA 4＝2，S BOA 2＝1，
△ △
∴S POB＝2﹣1＝1.
△
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数y （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y （k≠0）图象上任意
一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y （x＞0）及y
1 2
（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k﹣k 的值等于（
1 2
）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【分析】先根据反比例函数k的几何意义可得△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，由题意可知△AOB的面积为 3，最后求出k﹣k 的值即可．
1 2
【详解】解：由反比例函数k的几何意义可得：△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，
∴△AOB的面积为 ，
∴ 3，
∴k﹣k＝6.
1 2
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，掌握反比例函数中k表示相关三角形的面积成为解
答本题的关键．
专训3．（2021·北京·首都师范大学附属育新学校九年级开学考试）如图，在 中， ，
轴，点A在反比例函数 的图象上．若点B在y反比例函数 的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【分析】设 ，根据平行线的性质求出B点坐标，计算即可；
【详解】设点A的坐标为 ，
∵ 轴，
∴令 ，则 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解，准确计算是解题的关键．
