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专题 26.19 反比例函数与一次函数专题（培优篇）
（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，点 是反比例函数 图像上的一动点，连接 并延长交图像的另一支
于点 ．在点 的运动过程中，若存在点 ，使得 ， ，则 ， 满
足（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将直线 向下平移一个单位长度后交x轴于点A，交y轴于点B，交
双曲线 于点C，以线段AB为边向上方作平行四边形ABDE，点E恰好落在双曲线上，
连接CE，CD，若 轴，四边形BCED的面积为8，则k的值为（ ）
A．－12 B． C． D．－4
3．已知反比例函数y= 和正比例函数y= 的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x
轴上.若 PMN为锐角三角形，则m的取值为( )
△A．-2＜m＜ 且m≠0 B．- ＜m＜ 且m≠0
C．- ＜m＜- 或 ＜m＜ D．-2＜m＜- 或 ＜m＜2
4．如图，在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝ （x＞0）
的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝ 的图象于点C，过点C作CE∥y轴
交函数y＝ 的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结
论：①k＝1；②S BOC＝ ；③S CDF＝ S AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝
△ △ △
2∠COE．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
5．已知点A在函数 （x＞0）的图像上，点B在直线y=kx+1+k（k为常数，且
2
k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y，y 图像上的一对“友好点”．
1 2
请问这两个函数图像上的“友好点”对数的情况为（ ）
A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对
6．如图，直线 （ ）与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，以 为边
作矩形 ，点 在 轴上．双曲线 经过点 ，与直线 交于点 ．则点 的
坐标为（ ）A．（ ， ）B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ， ）
7．如图，已知直线 与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y= 的图像相交于
A（－2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB. 给出下列结论： ①kk<0；②m+ n=0；
1 2
③S AOP= S BOQ；④不等式kx+b＞ 的解集是x<－2或00)的图像上，
∴将点A的坐标代入函数y 的解析式，得 ，
1
∴点B的坐标可以表示为 ．
∵点B在直线y=kx+1+k (k为常数，且k≥0)上，所以将点B的坐标代入y=kx+1+k，得
2 2
，①
∵点A在函数 (x>0)的图像上，
∴x>0，
0
方程①两侧同时乘以x 并整理，得
0
，②
∵k≥0，
∴应该按以下两种情况分别对方程②进行求解．
(1) 当k=0时，方程②应为： ，
解之，得 ．
故当k=0时，“友好点”为：点A (1， -1)与点B (-1， 1)．
(2) 当k>0时，方程②为关于x 的一元二次方程，利用因式分解法解该一元二次方程，
0
得，
∴ 或 ，
∴ 或
故当k>0时，“友好点”为：点A ( ， -k)与点B (- ， k)，或点A (1， -1)与点B
(-1， 1)．
综上所述，
当k=0时，两个图像有1对“友好点”，“友好点”是：点A (1， -1)与点B (-1，
1)；
当k>0且k≠1时，两个图像有2对“友好点”，它们分别是：点A ( ， -k)与点B (-
， k)，点A (1， -1)与点B (-1， 1)；
当k=1时，两个图像实际上只有1对“友好点”，“友好点”是：点A (1， -1)与点B
(-1， 1)．
因此，这两个图像上的“友好点”应有1对或者2对．
故选：A．
【点拨】本题是一道利用代数方法求解几何相关问题的综合题目，也是数形结合思想
的应用问题． 本题的关键思想可以总结为：利用关于原点对称的点的坐标特征和函数图像
与解析式之间的关系将题目中的几何问题转化为关于某一待定坐标值的方程，通过求解方
程获得符合要求的点．
6．D
解：根据题意,直线 与x轴交于C，与y轴交于D，
分别令x=0，得y=m，令y=0，得x=2m，即D(0,m),C(2m,0)，
又AD⊥DC且过点D，所以直线AD所在函数解析式为：y=2x+m.
令y=0,得 ，即 .
作BH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠DAO=∠BCH，
在△AOD和△CHB中
∵∠DAO=∠B，CH∠AOD=∠CHB=90°，AD=BC
∴△AOD≌△CHB(AAS)，
∴BH=OD=m, ， ，∴B点的坐标为 .
又B在双曲线双曲线 (k<0)上，
，解得m=±2，∵m>0，∴m=2，∴直线CD的解析式为
.
解 得， 或 ，故点E的坐标为(6,−1)，
故选D.
7．A
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到kk＞0，故①错误；把A（−2，
1 2
m）、B（1，n）代入y＝ 中得到−2m＝n故②正确；把A（−2，m）、B（1，n）代入y
＝kx＋b得到y＝−mx−m，求得P（−1，0），Q（0，−m），根据三角形的面积公式即可
1
得到S ＝S ；故③正确；根据图象得到不等式kx＋b＞kx的解集是x＜−2或0＜x＜
AOP BOQ 1 2
△ △
1，故④正确．
解：由图象知，k＜0，k＜0，
1 2∴kk＞0，故①错误；
1 2
把A（-2，m）、B（1，n）代入y= 中得-2m=n，
∴m+ n=0，故②正确；
把A（-2，m）、B（1，n）代入y=kx+b得
1
，
∴
∵-2m=n，
∴y=-mx-m，
∵已知直线y=kx+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，
1
∴P（-1，0），Q（0，-m），
∴OP=1，OQ=m，
∴S AOP= m，S BOQ= m，
△ △
∴S AOP=S BOQ；故③正确；
△ △
由图象知不等式kx+b＞ 的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确；
1
故选A．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的性质及图象，求两直线的交点坐标，三
角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
8．A
【分析】根据菱形的性质求出点A坐标，将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式
后求得k值即可确定函数的解析式，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点
N，首先求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，求得直线和双曲线的交点F坐标，
然后根据S OBF＝ OB•FH求得即可．
△
解：∵四边形OBCD是菱形，
∴OA＝AC，∵C（8，4），
∴A（4，2），
把点A（4，2）代入，反比例函数y＝ （x＞0）得， ，解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，
在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42，
解得：x＝5，
∴点B的坐标为B（5，0），
设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝ x﹣ ，
联立方程组得 ，解得： 或 ，
∴点F的坐标为F（6， ），
作FH⊥x轴于H，连接OF，
∴S OBF＝ OB•FH＝ ×5× ＝ ，
△
故选：A．【点拨】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点、待定系数法确定反比例函数
的解析式等知识，解题的关键是能够根据点C的坐标确定点B的坐标，从而确定直线的解
析式．
9．B
【分析】设D（x， ），则F（x，0），根据三角形的面积求出△DEF的面积，同法
求出△CEF的面积，即可判断①；由①的结论可得△CEF和△DEF两三角形EF边上的高
相等，进而可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③；证出平行四边形BDFE和平行
四边形ACEF，可推出AC＝BD，进而可判断④；于是可得答案．
解：①设D（x， ），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是： × ×x＝ k，
设C（a， ），则E（0， ），
由图象可知：a＜0， ＜0，
△CEF的面积是： ×|a|×| |＝ k，
∴△CEF的面积＝△DEF的面积，故①正确；
②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
∴EF∥CD，故②正确；
③BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BE＝DF，而只有当a＝1时，才有CE＝BE，
即CE不一定等于DF，故△DCE≌△CDF不一定成立；故③错误；
④∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD＝EF，
同理EF＝AC，
∴AC＝BD，故④正确．
综上，正确的结论有3个．
故选：B．
【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质、反比例函
数系数k的几何意义、三角形的面积、全等三角形的判定以及平行四边形的判定和性质等
知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
10．C
【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，
可从①问的面积相等入手； DFE中，以DF为底，OF为高，可得S ＝ |x |•|y |＝
DFE D D
△ △
2k，同理可求得 CEF的面积也是 k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，
△
那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件
来逐一判断各选项的正误．
解：设点D的坐标为（x， ），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S ＝ DF•OF＝ |x |•|y |＝ k，
DFE D D
△
同理可得S ＝ k，故⑤正确；
CEF
△
故S ＝S ．故①正确；
DEF CEF
△ △若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S ＝S ，
DEF BED
同理△可得S△ACF ＝S
ECF
；
由①得：S△DBE ＝S△ACF ．
又∵CD∥E△F，BD、△AC边上的高相等，
∴BD＝AC，故④正确；
因此正确的结论有4个：①②④⑤．
故选C．
【点拨】本题通过反比例函数的性质来证图形的面积相等，根据面积相等来证线段的
平行或相等，设计巧妙，难度较大．
11．( )
【分析】由条件可求得D点坐标，则可求得反比例函数解析式，联立直线与反比例函
数解析式可求得C点坐标．
解：A(1，3)，AB⊥x轴点B，
AB=3， OB= 1，
，
BD=1，
D(1，1)，
点D在反比例函数图象上，
，解得k=1，
反比例函数解析式为 ，
联立直线与反比例函数解析式可得{ √3
x=
解得 3 或 ，
y=√3
C ( )．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及，函数图
象的交点，联立方程组求交点是解题的关键
12．
【分析】作直线 ，根据A的坐标为 ，可求出反比例函数解析式，从而可求出
点坐标，进而可利用待定系数法求出直线AB的解析式为 ，求出直线与 轴的
交点 的坐标后，即可由 ．
解：如图，作直线 ，设直线 与 轴交于点 ，
点 在反比例函数图象上，
，
解得： ，
反比例函数解析式为 ．
点的横坐标为 ，
，
．设直线AB的解析式为 ，
则 ，解得： ，
直线 解析式为 ，
对于 ，令 ，则 ，
解得： ．
∴ ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查用待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题以
及三角形的面积．解本题的关键是求得交点坐标．
13．①③④
【分析】设点A（m，n），则M（n，m），求出直线AM的解析式，得到OC=OD，
∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，证明△OAP≌△OMQ，得到
∠AOP=∠MOQ，由此判断①正确；过O作OH⊥MA于H，得到DH=CH，结合
，得到MH=AH，但是DM与MH不一定相等，故②错误；作 ，
连接FR，求出直线BM的解析式为 ，得到OF=OE=m-n，证明△BOE≌△AOR，
判定四边形AMFR是矩形，得到AR=MF，AM=FR，设MF=2x，则MB=7x，证明
△BOE≌△MOF，求出EF=3x，由DM=AC=2x，故③正确；过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG
于N，设AH=a，证明△AOM是等边三角形，得到∠AOH=30°，
∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°， ， ，得到
，求出a，得到A（ ，1），故④正确．
解：设点A（m，n），则M（n，m），
∴直线AM的解析式为 ，∴D（0，m+n），C（m+n，0），
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=45 ，
作AP⊥x轴于P，MQ°⊥y轴于Q，
∴∠OQM=∠OPA=90 ，QM=AP=n，OQ=OP=m，
∴△OAP≌△OMQ， °
∴∠AOP=∠MOQ，
∴ ，故①正确；
过O作OH⊥MA于H，
∵OC=OD，
∴DH=CH，
∵ ，
∴DM=AC，
∴MH=AH，
但是DM与MH不一定相等，
故 不一定成立，故②错误；
如图，作 ，连接FR，则∠BEO=∠ARO，
∵连接AO交双曲线另一支于点B，点A（m，n），
∴B（-m，-n），OA=OB，∵点M（n，m），
∴直线BM的解析式为 ，
∴F（0，m-n），E（n-m，0），
∴OF=OE=m-n，
∵∠BOE=∠AOR，
∴△BOE≌△AOR，
∴OR=OE=OF，
∴∠OFR=∠ORF=45°，
∵∠ARC=∠MEC=∠ACE=45°，
∴∠EFR=∠ARF=∠RAC=90°，
∴四边形AMFR是矩形，
∴AR=MF，AM=FR，
设MF=2x，则MB=7x，
∴AC=AR=2x，BF=5x，
∵OE=OF， OA=OM=OB，∠BOE=∠AOR=∠MOE，
∴△BOE≌△MOF，
∴BE=MF=2x，
∴EF=3x，
∵∠FER=∠FRE=45°，
∴FR= EF=3x，
∴AM=3x，
∵DM=AC=2x，
∴ ，故③正确；
过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，∵ ，OA=OM，
∴△AOM是等边三角形，
∴∠AOM=∠OAM=60°，
∵OH⊥MA，
∴∠AOH=30°，
∴∠AOC=15°，
∴∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，
∵AH=a，
∴ ，
∴ ，
∵M点的横坐标为1，
∴QM=AP=GN=1，
∴ ，
得 ，
∴ ，
∴A（ ，1），
∴ ，故④正确；
故答案为：①③④．
【点拨】此题考查了反比例函数与一次函数的综合知识，反比例函数的轴对称性，求
一次函数的解析式，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
14．( ，3)##（4.5,3）
【分析】根据点D求出k和直线OD的表达式，再用OA和 算面积，将OA用 表
示出来， 用 表示出来，B点坐标用 表示出来，最后将B点代入直线OD表达式，解
出 ，算出B点坐标，即可
解：∵D(3，2)在反比例函数上
∴
解得：
反比例函数解析式为：
设直线OD表达式为：
将D点坐标带入得：
解得：
故直线OD：
设C( ， )
∵B点在直线OD上
∴解得：yC=3
故B( ，3)
故答案为：( ，3)
【点拨】本题考查反比例函数，平行四边形，正比例函数；难点在于将B点坐标用一
个未知数表示出来
15．①②
【分析】①若k＝4，则计算S OEF＝ ，故命题①正确；
△
②若 ，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；
③因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；
④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用
算式 ，求出k＝1，故命题④错误．
解：命题①正确．理由如下：
∵k＝4，
∴E（ ，3），F（4，1），
∴CE＝4− ＝ ，CF＝3−1＝2．
∴S OEF＝S AOBC−S AOE−S BOF−S CEF
矩形
△ △ △ △
＝S AOBC− OA•AE− OB•BF− CE•CF＝4×3− ×3× − ×4×1− × ×2＝
矩形
12−2−2− ＝ ，故命题①正确；
命题②正确．理由如下：
∵ ，
∴E（ ，3），F（4， ），∴CE＝4− ＝ ，CF＝3− ＝ ．
如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝ ；
在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝ ，连接NF．
在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN2＝EN2−EM2= ，
∴MN＝ ，
∴BN＝OB−OM−MN＝4− − ＝ ．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF2＝BN2＋BF2= ，
∴NF＝ ．
∴NF＝CF，
又EN＝CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，
故命题②正确；
命题③错误．理由如下：
由题意，得点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命题③错误；
命题④正确．理由如下：
设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．
设直线EF的解析式为y＝ax＋b，则 ，解得 ，
∴y＝ x＋3m＋3．
令x＝0，得y＝3m＋3，
令y＝0，得x＝4m＋4，
∴D（0，3m＋3），G（4m＋4，0）．
如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．
在Rt△ADE中，AD＝OD−OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；
在Rt△MEG中，MG＝OG−OM＝（4m＋4）−4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝
5．
∴DE•EG＝5m×5＝25m＝ ，解得m＝ ，
∴k＝12m＝1，故命题④错误．
综上所述，正确的命题是：①②，
故答案为：①②．
【点拨】本题综合考查函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征、比例系
数k的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及勾股定理等知识点，本题计算量较
大，正确的计算能力是解决问题的关键．
16．6
【分析】如图所示，过点A作AM⊥x轴于M，过点O作OK⊥AB交BC于K，过点K作
KT⊥x轴于T，设直线BC与y轴交于J，连接OC，设 ，则 ， ，
由反比例函数的对称性可知 ，OB=OA，然后证明△KOT≌△OAM得到
， ，则点K的坐标为 ，然后求出直线BC的解析式为 ，得到J点坐标为 ，设C点坐标为 ，然后推出
得到 ，由此求解即可．
解：如图所示，过点A作AM⊥x轴于M，过点O作OK⊥AB交BC于K，过点K作
KT⊥x轴于T，设直线BC与y轴交于J，连接OC，
设 ，则 ， ，
∴由反比例函数的对称性可知 ，OB=OA，
∵∠ABC=45°，OK⊥AB，
∴OK=OB=OA，
∵∠OTK=∠AOK=∠AMO=90°，
∴∠KOT+∠AOM=90°，∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠KOT=∠OAM，
∴△KOT≌△OAM（AAS），
∴ ， ，
∴点K的坐标为 ，
设直线BC的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，∴直线BC的解析式为 ，
∴J点坐标为 ，
设C点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，全等三角形的性质与判定，
一次函数与反比例函数综合等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．
【分析】连接OD、OE，首先证明E是线段AB的中点，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m
﹣2，在Rt△BEC′中，根据BC′2＝BE2+EC′2，构建方程求出m＝5，则点E的坐标为(5，4)，
延长延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，由勾股定理求得FG＝ ，则OF＝4+ ＝ ，可
得F点坐标，最后根据待定系数法求出直线BF的解析式．
解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．∵CD＝BD，
∴S CDO＝ ＝ S ABCO，
矩形
△
∵S AOE＝ ＝S CDO＝ S ABCO，
矩形
△ △
∴AE＝EB，
∵C′(2，4)，
∴AE＝EB＝4，
在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，
∴m2＝42+(m﹣2)2，
∴m＝5，
∴E(5，4)，
∴B(5，8)，则BC＝5，
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
∴C′G＝2，CG＝4，
∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即(4﹣FG)2＝22+FG2，
∴FG＝ ，
∴OF＝4+ ＝ ，F(0， )
设直线BF的解析式为y=kx+b，则
解得∴
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，勾股定理，待定系数
法求一次函数解析式，综合性较强，合理作出辅助线利用勾股定理建立等式是解题的关键．
18．
【分析】作EC⊥x轴于C，EP⊥y轴于P，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，由题意可得点
A，B的坐标分别为(4，0)，B(0， )，利用待定系数法求出直线AB的解析式，再联立反
比例函数解析式求出点，F的坐标．由于S +S =S +S ，S =S =1，所
OEF OFD OEC 梯形ECDF OFD OEC
△ △ △ △ △
以S =S ，然后根据梯形面积公式计算即可．
OEF 梯形ECDF
△
解：如图，作EP⊥y轴于P，EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，
由题意可得点A，B的坐标分别为(4，0)，B(0， )，
由点B的坐标为(0， )，设直线AB的解析式为y=kx+ ，将点A的坐标代入得，
0=4k+ ，解得k=- ．
∴直线AB的解析式为y=- x+ ．
联立一次函数与反比例函数解析式得，
，解得 或 ，
即点E的坐标为（1，2），点F的坐标为（3， ）．
∵S +S =S +S ，而S =S = ×2=1，
OEF OFD OEC 梯形ECDF OFD OEC
△ △ △ △ △
∴S =S = ×（AF+CE）×CD= ×（ +2）×(3-1)= ．
OEF 梯形ECDF
△
故答案为： ．【点拨】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查了反比例函数k的几何意义、
一次函数解析式的求法，两函数交点问题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例
函数的比例系数k的几何意义，利用转化法求面积是解决问题的关键．
19．(1)E（6， ）(2)12
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=BC=4，求得A（2，4），得到k=2×4=8，求
得点E的坐标为(6， )；
（2）设A（a，2a）（a＞0），则点E(3a， )，根据梯形的面积公式即可得到答案．
（1）解：在正方形ABCD中，AB=BC=4，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在y＝ 的图象上，
∴k=2×4=8，
∵OC=OB+BC=6，
∴ =6，
将 =6代入y＝ 中，得： ＝ ，
∴点E的坐标为(6， )．
（2）解：设A（a，2a）（a＞0），则点E(3a， )，
根据反比例函数的几何意义得 ，
∴ ，∴
得 ，
∴k= ．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，正方
形的性质，反比例函数的几何意义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．(1) ， (2)9(3)(-8，0)或(-5，0)或(5，0)或( ，0)
【分析】（1）首先把 ， 代入 中，就可以确定m和 n的值，再把
A、B两点的坐标代入 ，可以求得一次函数与反比例函数的表达式；
（2）分别过点A，B作AD⊥ 轴于点D，BE⊥ 轴于点E，设直线AB与 轴交于点
C，求出点C的坐标，求出OC、AD、BE的值，然后利用面积的分割法求出 AOB的面积；
（3）根据AO=OP，AP=AO，AP=OP三种情况，结合两点间的距离公式△分类讨论，得
出点 的坐标．
解：（1）把A（-4，3）代入 ，得
∴
∴反比例函数的表达式为
把B（2， ）代入 ，得 ，
∴B（2，-6），
把A（-4，3），B（2，-6）代入 ，得
， 解得
∴一次函数的表达式为 ；
（2）如图，分别过点A，B作AD⊥ 轴于点D，BE⊥ 轴于点E，
设直线AB与 轴交于点C，把 代入 ，
得， 解得 ，
∴C（-2，0）
∴OC=2
∵A（-4，3），B（2，-6）
∴AD=3，BE=6
∴S AOB=S AOC+S BOC= OC●AD+ OC●BE= ×2×3+ ×2×6=9
△ △ △
即 AOB的面积是9；
△
（3）设P（x，0）
∵A（-4，3）
∴ ，
当OP=OA时，
∵ ，
∴ ，
∴x=-5，或x=5，
当AP=AO时，
∵
∴ ， ，
∴x=0（舍去），或x=-8，当PA=PO时， ，
∴8x+25=0，
∴
∴点P的坐标.为（-8，0）或（-5，0）或（5，0）或（ ，0）
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，解决问题的关键是熟练掌握一
次函数性质和反比例函数性质，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，分类讨论．
21．(1) ， (2) 或 (3)见分析
【分析】（1）、将A 坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再求出
B 点，再用待定系数法求出一次函数解析式．
（2）、找出A、B两点的横坐标，分四个范围 、 、 、
看图即可求得．
（3）、求出C、D两点的坐标，进而求出OC、OD长，即可证明．
（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ．解得 ，
∴反比例函数的解析式是 ，
∵点B在反比例函数 上，点B的纵坐标是2，
∴ ，
解得 ，∴点B的坐标是 ，
∵一次函数 过点 和点 ，
，
解得： ，
∴一次函数的解析式是 ．
（2）∵A 点横坐标为-4，B点的横坐标为6，
∴可以分为四个范围，分别是： 、 、 、 ，
由图像可知：
当 时，x的取值范围是 或 ．
（3）证明：把 代入 中， ，
∴点D的坐标是 ，
∴ ，
把 代入 中， ，
∴点C的坐标是 ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数和反比例
函数交点问题以及观察图像的能力．熟练掌握待定系数法以及观察图像的能力是解题的关
键．
22．(1) ， (2) 或 (3) 或
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数可求得反比例函数解析式，进而求得点B坐
标，进而把A、B坐标代入一次函数解析式可求得一次函数的解析式．（2）首先求得直线AB与x轴的交点P的坐标，设点N坐标为（0，n），进而可确定
和 三角形的底和高，再根据三角形面积求得点N的坐标即可；
（3）由题意可得直线 的解析式，然后根据图像可进行求解．
（1）解：∵ 过点 ，
∴ ，
即反比例函数解析式为 ，
当 时， ，即 ，
∵ 过 和 ，
可得 ，解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）如下图，设点P为一次函数 与x轴的交点，
当 时，有 ，
∴点P的坐标为（-1，0），
设点N的坐标为（n，0），则 ，
∵，
∴ ，
解得 或 ，
∴点N的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ；
（3）如图，设 与 的图像交于 、 两点，
∵ 向下平移两个单位得 ，且 ，
∴ ，
将直线 解析式与反比例函数解析式联立，
得 ，解得 或 ，
∴ ， ，
在A、 两点之间或B、 两点之间时，存在 ，
∴当函数值 时， 的取值范围为 或 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数
法求出解析式，利用数形结合思想解决问题．23．(1)反比例函数的关系式为：y=- ；(2)C（-8，0）；(3)①M（-4，0）；②点N的
坐标为：（2 ，4）或（ ，4）或（-8，8）．
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数y= 中，可得k的值，写出反比例函数
的关系式；
（2）先利用待定系数法求一次函数的解析式，再令y=0，可得点C的坐标；
（3）①设M（x，0），根据面积差列式： =8，可得x的值，则M
（-4，0）；
②以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，分AB为边和对角线两种情况讨论，
根据勾股定理和菱形的性质可计算点N的坐标．
（1）解：∵点A的坐标为（-2，6），
∴k=-2×6=-12，
∴反比例函数的关系式为：y=- ；
（2）解：当x=-6时，y=- =2，
∴B（-6，2），
把点A（-2，6）和B（-6，2）代入y=ax+b得： ，
解得： ，
∴y=x+8，
当y=0时，x+8=0，
x=-8，
∴C（-8，0）；
（3）解：①设M（x，0），∵D（0，8），
∴OD=8，
∵ =8，
∴ =8，
∴ ×8×6- •(x+8)×2- ×6(-x) =8，
x=-4，
∴M（-4，0）；
②如图2，过A作AE y轴，过B作BE x轴，
∵A（-2，6），B（-6，2），
∴AE=BE=4，
∴AB=4 ，
过B作BF⊥x轴于F，如图2，则BF=2，
分两种情况：①以AB为边，当M在F的右侧时，
∵FM= =2 ，
∴OM=2 -6，
∴点M（2 -6，0），
根据“点B向右平移4个单位，向上平移4个单位得到点A”的平移规律，可得N的坐
标为（2 -6+4，0+4），
∴N（2 ，4）；
当M在F的左侧时，
同理求得FM=2 ，
∴OM=-2 -6，
∴点M（-2 -6，0），
同理由平移的性质得N（ ，4）；
②以AB为对角线时，如图3，此时因为A、B对称，所以M与O重合，∵AB的解析式为：y=x+8，
∴OD=OC=8，C（-8，0），D（0，8），
∴△OHD是等腰直角三角形，
∵四边形ANBM是菱形，
∴AB⊥MN，
∴点G是CD的中点，也是MN的中点，
∴点G（-4，4），
∴点N（-8，8）；
综上所述，点N的坐标为：（2 ，4）或（ ，4）或（-8，8）．
【点拨】本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的性质，反比例函数与一次函数的
交点问题，也考查了三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式，并注意运用分类讨论
的思想解决问题．
24．(1) ； (2)4(3)
【分析】（1）先把点A（4，n）代入 ，求得n值，从而得出点A坐标，然后用
待定系数法求解可；
（2）将y轴顺时针旋转45o，交 的图象于点N，则OM＝ON，且线ON的
解析式为y = x，联立解析式可求得点N坐标，即可求得ON长，从而求得OM长；
（3）作A点关于直线OB的对称点A，则OA=OA，AA⊥OB，
1 1 1
作AC⊥y轴于点C，作AD⊥x轴于点D，易证 ，即可求出A 坐标，
1 1
从而求得直线AA 的解析式为： 和直线OB的解析式为： ，联立解析式，
1即可求得交点B坐标．
（1）解：把点A（4，n）代入 ，得 ；
设直线OA为 ，把 代入，得
4k=2,解得： ，
∴直线OA的解析式为 ；
（2）如图1，将y轴顺时针旋转45°，交 的图象于点N，
则OM＝ON，
直线ON的解析式为y = x，
由 ，解得： 或 （舍去）
∴点N（ ）
∴OM＝ON＝ ；
（3）解：如图2，作A点关于直线OB的对称点A，
1则OA=OA，AA⊥OB，
1 1
作AC⊥y轴于点C，作AD⊥x轴于点D，
1
易证 ，
∴OC=OD，AC=AD，
1
∵A的坐标为（4，2），
∴ 的坐标为 ，
∴直线AA 的解析式为： ，
1
∴直线OB的解析式为： ，
由 ，解得 或 （负解舍去）
∴点 ．
【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式，函数交点问题，旋转的性质，本题属一
次函数与反比例函数综合题目，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象性质是解题的关键．
