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培优专题 23 反比例函数的比例系数 K 和面积的关系
【专题讲解】
◎反比例函数的比例系数k的几何意义:
k
过双曲线y= (k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形的面积为1K1.
x
k
过双曲线y= (k≠0)上任意一点作x轴(或y轴)的垂线,连接这点和原点的线段,它们与x轴(或y轴)
x
1
所围成的三角形的面积为 1k1.
2
◎反比例函数中常见的解题模型
1.双曲线与一次函数的图象交于两点
两点和原点
结论2.双K模型
两曲一
平行
结论
3.双曲线过矩形“中点”
位置 过矩形相邻两边的中点 过矩形对角线的中点
图示
结论
【专题训练】
◎类型一：已知比例系数求面积
1．（2022·全国·九年级单元测试）如图， 的顶点 在第一象限，顶点 在 轴的正半轴，函数
的图象经过 的中点 ，与直角边 交于点 ，若点 的坐标为 ，则 的面
积为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·山东·济南高新区东城逸家初级中学九年级阶段练习）如图，两个反比例函数y＝ 和y＝ 在
1 2
第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C 上，PA⊥x轴于点A，交C 于点B，则 POB的面积为（
1 2 1 2
） △
A．4 B．2 C．1 D．6
3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）如图，A，B是函数y= （m＞0）的图象上关于原点
对称的任意两点，BC x轴，AC y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点P在
的图象上，PC⊥x轴，交 的图象于点A，PD⊥y轴，交 的图象于点B．当点P在 的图
象上运动时，以下结论：①△ODB与 OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积不
△会发生变化；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
5．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反
比例函数 在第一象限的图象经过点B，则 与 的面积差为（ ）．
A．32 B．16 C．8 D．4
◎类型二：两点和原点
6．（2022·河南南阳·一模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交
于二、四象限内的 、 两点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)则 ， ；
(2)若 时，则 的取值范围是 ；(3)过点 作 轴于 点，连接 ，过点 作 于点 ，求线段 的长．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点 是直线 与反比例函数 图象的
两个交点， 轴，垂足为点 已知 ，连接 ．
求反比例函数和直线 的表达式：
和 的面积分别为 求 ．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝ x的图像与反比例函数y
＝ 的图像交于A，B两点，且点A的坐标为（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点C（b，4）在反比例函数y＝ 的图像上，点P在x轴上，若△AOC的面积等于△AOP的面积
的两倍，请求出点P的坐标．
◎类型三：两曲一平行9．（2021·福建·厦门外国语学校八年级期末）如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，
交函数 的图像于点A，交函数 的图像于点B，过点B作x轴的平行线，交 于点C，连
接AC．
（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积；
（2）若AB＝BC，求点A的坐标；
（3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理
由．
10．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点 在反比例函数 的图象上， 轴，且交y轴于点
C，交反比例函数 于点B，已知 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求反比例函数 的解析式；
（3）点D为反比例函数 上一动点，连接 交y轴于点E，当E为 中点时，求 的面积．
◎类型四：一点两垂线11．（2022·黑龙江牡丹江·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在第二象限，直线
轴，垂足是D， 轴，垂足是C，AB，AD的长分别是方程 的两根．
(1)求点C的坐标；
(2)连接CD，过点B作CD的垂线，垂足是H，交y轴负半轴于点E， ，双曲线 的一支经过
点B，求k的值；
(3)在（2）条件下，点M在y轴上，点N直线BE上，是否存在点N，使以B，M，N为顶点的三角形与
△BCD相似？若存在？请写出满足条件的点N的个数，并直接写出其中两个点N的坐标；若不存在，请说
明理由．
12．（2022·四川成都·二模）如图1，动点 在函数 的图象上，过点 分别作 轴和 轴
的平行线，交函数 的图象于点 、 ，作直线 ，设直线 的函数表达式为 ．
（1）若点 的坐标为 ．
① 点坐标为______， 点坐标为______，直线 的函数表达式为______；②点 在 轴上，点 在 轴上，且以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 、
的坐标；
（2）连接 、 ．
①当 时，求 的长度；
②如图2，试证明 的面积是个定值．
◎类型五：一点一垂线
13．（2015·浙江嘉兴·中考真题）如图，直线y＝2x与反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象交于点A(1，
a)，点B是此反比例函数图象上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C．
(1)求k的值；
(2)求△OBC的面积．
14．（2021·全国·九年级专题练习）已知图中的曲线是反比例函数y＝ （m为常数）图象的一支．
（1）根据图象位置，求m的取值范围；
（2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求m的值．
