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培优专题 06 浅谈两种特殊的一元一次方程
【专题精讲】
◎类型一：含字母系数的方程
当方程的系数用字母表示时,这样的方程称为含字母系数方程,根据方程解的不同
情况,在求方程的解及字母系数时,通常会把一元一次方程化成ax=b的形式,结合
方程解的特征,去寻求解题思路。
1. 根据方程解的个数来确定字母系数
当字母a,b的取值范围未给出时,方程ax=b的解应根据a,b的取值范围分类讨论
b
(1)当a≠0时,方程有唯一解,x=- ;
a
(2)当a=0,且b=0时,方程有无数解;
(3)当a=0,且b≠0时,方程无解。
1．（2021·全国·七年级单元测试）下列说法：①若 ，且 ，则 是方程
的解；②若 ，且 ，则 是方程 的解；③若 ，
则 ；④若 是一元一次方程，则 ．其中正确的结论是（ ）
A．只有①② B．只有②④ C．只有①③④ D．只有①②④
【答案】D
【分析】①将x=1代入方程判断即可；②将x=﹣1代入方程判断即可；③分当a≠0时和a=0
判断即可；④根据一元一次方程的定义解答判断即可．
【详解】解：①将x=1代入方程 中得： ，故①正确；
②将x=﹣1代入方程 中得： ，故②正确；
③当a≠0时，由 得： ，当a=0、b≠0时，该方程无解，故③错误；
④若 是一元一次方程，则有a﹣3≠0且∣a﹣2∣=1，
解得：a=1，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义、方程的解、解一元一次方程、绝对值方程，理解
一元一次方程的定义，熟知方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值是解答的关
键，注意未知数的系数不为0．
2．（2020·江西·宜春九中七年级期中）下列说法：
①若 ，且 ，则 是方程 的解；②若 ，且 ，则 是方程 的解；
③若 ，则 ；
④若 是关于x的一元一次方程，则 ．
其中正确的结论是（ ）
A．只有① B．只有②④ C．只有①③④ D．只有①②④
【答案】D
【分析】根据 ，且 ，得 ， ， ，从而得 是方程
的解；根据 ，且 ，得 ， ， ，从而得 是方程
的解；当 时， ，则 ；再根据一元一次方程的定义分析，即可得到a
的值，从而得到答案．
【详解】∵ ，且
∴ ， ，
∵
∴
∴ 是方程 的解，故①正确；
若 ，且 ，
∴ ， ，
∵
∴
∴ 是方程 的解，故②正确；
，当 时， ，故③错误；
∵ 是关于x的一元一次方程
∴
∴
∴ 或 （舍去）
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义和性质，从而完成求解．
3．（2021·全国·七年级单元测试）若关于 的方程 （ ， 为常数）的解是
，则（ ）
A．方程 的解是 B．方程 的解是
C．方程 的解是 D．方程 的解是
【答案】C
【分析】根据题意得 ，b为任意数，据此判断各选项即可．
【详解】解：∵关于 的方程 （ ， 为常数）的解是 ，
∴ ，b为任意数
A.当 时，方程 无解，故此选项不正确；
B当b=0时，方程 无解，故此选项不正确；
C. 方程 的解是 ，正确；
D. 当b=-1时，方程 无解，，故此选项不正确；
故选：C
【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（2021·吉林·长春市第二实验中学七年级阶段练习）如果（a﹣b）x=︱a﹣b︱的解是x=
﹣1,那么 （ ）
A．a=b B．a>b C．a<b D．a≠b
【答案】C
【分析】把x=-1代入方程计算即可求出．
【详解】解：把x=﹣1代入（a﹣b）x=︱a﹣b︱得：
∴
∵
∴
∴
又∵（a﹣b）x=︱a﹣b︱有解，
∴
∴
∴
故选C【点睛】此题考查了一元一次方程的解、绝对值的性质，掌握方程的解即为能使方程左右
两边相等的未知数的值是解题的关键．
2. 根据方程定解的情况来确定字母系数
5．（2020·辽宁大连·七年级期末）如果x＝ 是关于x的方程5x﹣2m＝6的解，则m的值
是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【分析】将 代入方程即可求出m的值．
【详解】将 代入方程得：2﹣2m＝6，
移项合并得：2m＝﹣4，
解得：m＝﹣2.
故选A.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义.一元一次方程ax＋b＝0 (a≠0)的解一定满足
该解析式的相关问题，在解答这类题目时首先用所含的未知数表示出方程的解然后代入求
值.
6．（2021·辽宁葫芦岛·七年级期末）如果x=-5是关于 的方程 的解，那么
的值是（ ）
A．-40 B．-2 C．-4 D．4
【答案】B
【分析】把x=-5代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值，这
实际上是求待定系数.
【详解】解：将x=-5代入 得：
m-1=-3
m=－2
故答案为B.
【点睛】本题主要考查一元一次方程的的解法，理解一元一次方程解的含义，就是将解代
入这个方程，从而将方程变为以另个一个字母为未知数的一元一次方程即可.
7．（2020·重庆万州·七年级期末）如果关于x的方程3x+2k-5=0的解为x=-3，则k的值是(
)
A．2 B．-2 C．7 D．-7
【答案】C【分析】把x=-3代入3x+2k-5=0得到关于k的方程，然后解方程即可．
【详解】把x=-3代入3x+2k-5=0得，-9+2k-5=0，
解得k=7．
故选C
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟悉等式的性质是解题的关键．
8．（2018·江苏盐城·七年级阶段练习）已知 是方程 的解，则 的值
是 （ ）
A．6 B．-6 C．-9 D．-5
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】将x=-1代入2x-5=x+m，
∴-2-5=-1+m
∴m=-6
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本
题属于基础题型．
3. 根据方程的解相同来确定字母系数
9．（2022·四川自贡·七年级期末）关于y的方程ay－2＝4与方程y－1＝1的解相同，则a
的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．－2
【答案】B
【分析】求出第二个方程的解得到y的值，代入第一个方程即可求出a的值．
【详解】解：由y﹣1＝1，得到y＝2，
将y＝2代入ay﹣2＝4中，得：2a﹣2＝4，
解得：a＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查同解方程，根据方程同解，得到关于a的方程是关键．
10．（2022·江西赣州·七年级期末）若关于 的方程 与 的解相同，则
的值为（ ）
A．8 B．6 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】先求出方程 的解，再把求得的解代入 即可求出k的值．【详解】解：∵ ，
∴2x-1=15，
∴2x=16，
∴x=8，
把x=8代入 ，得：8k−1=15，
∴k=2．
故选：D.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题
的关键．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；
⑤未知数的系数化为1．
11．（2022·全国·七年级课时练习）若方程 与关于x的方程 的解相
同，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出k的值．
【详解】方程2x+1=-1，
解得：x=-1，
代入方程得：1+2+2k=2，
解得：k=- ．
故选：B．
【点睛】此题考查解一元一次方程——同解方程问题，解决问题的关键是求出一个方程的
解，代入另一个方程中，求出待定字母的值．
12．（2022·安徽安庆·七年级期末）若关于x的方程 与 有相同的解，则
x的值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据两个方程有相同的解，可联立方程组，然后解二元一次方程组即可．
【详解】解：联立方程组得 ，
① ②式得
解得： ，
则x=-3
故选：D．【点睛】本题考查了方程的解与解二元一次方程组．解题的关键在于熟练掌握方程的解并
正确的解方程组．
4. 根据方程整数解的情况来确定字母的系数
13．（2019·重庆荣昌·七年级阶段练习）关于 x 的方程 ax 2 x 1有整数解，那么正
整数 a 可能的取值有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先变形得到x ，再结合题意，列举出正整数 a 可能的取值即可.
【详解】ax 2 x 1
ax x 21
(a 1)x 21
x
因为关于 x 的方程 ax 2 x 1有整数解，且a为正整数，所以a=2、4.故选择B.
【点睛】本题考查一元一次方程的整数解，解题的关键是掌握一元一次方程的整数解求解
方法.
14．（2019·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）若关于 的方程
有正整数解，则自然数 的值是（ ）
A．1或3 B．5 C．5或7 D．3或7
【答案】C
【分析】表示出方程的解，根据k为自然数， x为正整数确定出k的值即可．
【详解】解：
x= ，
即当k-4=1或3时，方程有正整数解，
即k=5或7．
故选C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解的应用，解题的关键是得出k-4=1
或3．
15．（2019·全国·七年级单元测试）若关于x的方程 mx- = (x- )（其中m≠1）有负整
数解，则整数m的值为（ ）
A．2或3 B．-1或2 C．0或-1 D．-1或0或2
【答案】C【分析】首先移项、合并同类项,求出x与m之间的关系式,若方程有负整数解,则m-1<0,解
出m的取值范围．
【详解】
若方程有负整数解,
则m<1,
符合题意的有0、-1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查含字母系数的一元一次方程的知识点,解答本题的关键是合并化简,此
题难度不大．
◎类型二：含绝对值的一元一次方程
当一元一次方程中出现绝对值符号时,如何去掉绝对值符号往往是解决问题的关
键,若绝对值符号内的数或者式子的正负性是确定的,则可以根据绝对值的代数意
义去掉绝对值符号;若绝对值符号内的数或者式子的正负性是不确定的,则需要分
类讨论解决问题,例如,由ax+b
C,可得ax+b=c或ax+b=ーc.含多重绝对值符号的一元一次方程问题也可仿照上
述思想策略求解.
16．（2022·全国·七年级课时练习）对于等式： ，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程 B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2
【答案】D
【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等
式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；
（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而
通过解方程确定方程的解．
17．（2017·四川宜宾·七年级阶段练习）已知关于x的方程：mx+2=2(m-x)的解满足
│x│-1=0，则m的值是（ ）A．2 B．4 C．2或0 D．4或0
【答案】D
【分析】根据题意可求出x的值为1或-1，再将x=1和x=-1分别代入mx+2=2(m-x)，解出m
的值即可．
【详解】解：由|x|-1=0，
解得：x=1或x=-1，
将x=1代入mx+2=2(m-x)，得：m+2=2m-2，
解得：m=4；
将x=-1代入mx+2=2(m-x)，得：2-m=2m+2，
解得：m=0．
故选：D．
【点睛】本题考查方程的解的定义，解绝对值方程和解一元一次方程．掌握方程的解就是
使等式成立的未知数的值是解题关键．
18．（2022·贵州黔西·七年级期末）若 是关于x的一元一次方程，则m的
值为（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义，可列方程和不等式，即可求m的值．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，利用一元一次方程的定义解决问题是
本题的关键．
19．（2021·全国·七年级专题练习）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】先根据题意求出（3-x）的值，从而不难求出x的值，注意绝对值等于正数的数有
两个．
【详解】解：∵
∴
∴x=-4或10
故选：D．
【点睛】此题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的意义．【巩固训练】
1．（2019·湖北鄂州·七年级期末）若关于x的方程 有无数解，则3m+n的值
为( )
A．﹣1 B．1 C．2 D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】原方程经过移项，合并同类项，根据“该方程有无数解”，得到关于m和关于n
的方程，解方程后，代入3m+n，计算求值即可得到答案．
【详解】mx x，移项得：mx+x ，合并同类项得：（m+1）x ．
∵该方程有无数解，∴ ，解得： ，把m=﹣1，n=2代入3m+n得：
原式=﹣3+2=﹣1．
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
2．（2021·河南洛阳·七年级期中）当 时，方程 （其中 是未知数， 是
已知数）（ ）
A．有且只有一个解 B．无解
C．有无限多个解 D．无解或有无限多个解
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义即可判断求解.
【详解】解：当a=1时，b≠0时，方程为b=0，与b≠0矛盾，故无解；
当a=1时，b=0时，方程为b=0，当x取任意值皆可，故有无数解，
故选D
【点睛】此题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是熟知方程解得含义．
3．（2018·全国·七年级单元测试）已知关于 的方程 的解是 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把x=k-1代入-4x+2k=10得出-4（k-1）+2k=10，求出方程的解即可．
【详解】把x=k-1代入-4x+2k=10得：-4（k-1）+2k=10，
解得：k=-3，所以|k|=3
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关
于k的一元一次方程，难度适中．
4．（2018·天津·南开翔宇学校七年级阶段练习）若 是关于 的方程 的解，
则关于 的方程 （ ） 的解为（ ）
x=-2 x 2x+m=3
x 3 1-2x =m-1
A． B． C． D．
1
【答案】B
【分析】将x=-2代入2x+m=3求出m的值，将所得m的值代入3（1-2x）=m-1，解之可得
x的值．
【详解】解：将x=-2代入2x+m=3，得：-4+m=3，
解得：m=7，
将m=7代入3（1-2x）=m-1，得：3（1-2x）=6，
解得：x=- ，
故选B．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，
理解定义是关键．
5．（2022·湖南永州·七年级期末）已知方程 与 的解相同，则k的值为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先解方程5x＋3＝3x−1，求出x的值，然后再代入x−1＝k中，进行计算即可．
【详解】解：5x＋3＝3x−1，
5x−3x＝−1−3，
2x＝−4，
x＝−2，
把x＝−2代入x−1＝k中可得：k＝−3，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程是解题的关键．
6．（2022·重庆彭水·七年级期末）如果方程 与关于x的方程 的解相同，
则k的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】先解第一个方程，再代入第二个方程求解．【详解】解：∵ x+2= 0，
∴x=2，
−
∵方程 x+2= 0与关于x的方程7x 2k=4的解相同，
∴7 2 2k=4，
− −
∴k=5．
× −
故选：B．
【点睛】本题考查同解方程的定义，正确求解第一个方程是求解本题的关键．
7．（2020·山东临沂·八年级期中）已知 ， ， 为 的三边长 ， 满足
，且 为方程 的解，则 的周长为（ ）
A．6 B．7 C．6或2 D．7或11
【答案】B
【分析】利用绝对值和偶次方的非负性分别求出b、c的值，再讨论得出绝对值方程的解，
通过三角形三边关系得出正确的a的值，进而求出△ABC的周长．
【详解】解：∵（b－2）2＋|c－3|＝0，
∴b－2＝0且c－3＝0，
∴b＝2、c＝3，
∵a为方程|x－4|＝2的解，
∴x＝2或x＝6，
又c－b＜a＜c＋b，即1＜a＜5，
∴a＝2，
则△ABC的周长为2＋2＋3＝7，
故选B．
【点睛】本题主要考查绝对值和偶次方的非负性、三角形三边关系以及解绝对值的方程．
绝对值和偶次方的非负性、通过三角形三边关系得出a的值是解此类题关键．
8．（2021·四川乐山·七年级期末）方程 的解是（ ）
A．2 B．﹣3 C． D．2或﹣3
【答案】D
【分析】首先根据绝对值的意义将方程变形成两个一元一次方程，分别解方程即可．
【详解】 ，
或 ，
解得 或 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查含绝对值的方程，能够将所求转化成两个一元一次方程是解题的关
键．9．（2022·全国·七年级课时练习）关于x的方程 有正整数解，则符合条件的
整数 的值是________．
【答案】0
【分析】移项，合并同类项，得出x=- >0，再求出整数m即可．
【详解】解：mx+ ＝x+ ，
mx-x= - ，
(m-1)x=-1，
∵关于x的方程mx+ ＝x+ 有正整数解，
∴m-1≠0且- >0，
∴m≠1， <0，
∵m为整数， 为负整数，
∴m-1=-1，
解得：m=0，
符合条件的整数m的值是0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于m的方程m-1=-1是
解此题的关键．
