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培优专题 06 二次函数的图像与字母系数的关系
二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号 图象的特征
a>0 开口向上
a
a<0 开口向下
b=0 对称轴为y轴
b ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0 经过原点
c c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点（顶
b2–4ac=0
点）
b2–4ac
b2–4ac>0 与x轴有两个交点
b2–4ac<0 与x轴没有交点
常用公式及方法：
（1）二次函数三种表达式：
表达式 顶点坐标 对称轴
( b 4ac−b2 ) b
一般式 y=ax2 +bx+c − , x=−
2a 4a 2a
顶点式 y=a(x−h) 2 +k (h,k) x=h
(x +x a(x −x ) 2 ) x +x
交点式 1 2 ,− 1 2 x= 1 2
2 4 2
（2）韦达定理：若二次函数
y=ax2 +bx+c
图象与x轴有两个交点且交点坐标为（
x
1，0）和
b c
x +x =− x ⋅x =
（ x 2，0），则 1 2 a， 1 2 a 。（3）赋值法：在二次函数 y=ax2 +bx+c 中，令 x=1，则 y=a+b+c ；令 x=−1，则
y=a−b+c ；令x=2，则 y=4a+2b+c ；令x=−2，则 y=4a−2b+c ；利用图象上对应点的
位置来判断含有a、b、c的关系式的正确性。
1．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数 ，其中 、 ，则该函数的图象
可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，由 得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，
根据B选项和C选项中对称轴 ，得出 ，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确
答案．
【详解】解：对于二次函数 ，
令 ，则 ，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵ ，
∴ ，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴 ，
∵ ，
∴ ，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项，故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
2．（2022·湖北黄石·中考真题）已知二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，
有以下结论：① ；②若t为任意实数，则有 ；③当图象经过点 时，方程
的两根为 ， （ ），则 ，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到 ，利用抛物线与y轴的交
点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数
与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一
个交点为（-3，3），从而得到x=-3，x=1，则可对③进行判断．
1 2
【详解】∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴ ，
∴ ，所以①正确；
∵ 时，y有最小值，
∴ （t为任意实数），即 ，所以②正确；
∵图象经过点 时，代入解析式可得 ，方程 可化为 ，消a可得方程的两根为 ， ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴二次函数 与直线 的另一个交点为 ，
， 代入可得 ，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，
抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当
a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛
物线与y轴交于（0，c）．
3．（2019·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图所示，现
给以下结论：① ；② ；③ ；④ 为实数 ；⑤ ．
其中错误结论的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断．
【详解】解：①由抛物线可知： ， ，
对称轴 ，
，，故①正确；
②由对称轴可知： ，
，
时， ，
，
，故②正确；
③ 关于 的对称点为 ，
时， ，故③正确；
④当 时， 的最小值为 ，
时， ，
，
即 ，故④错误；
⑤抛物线与 轴有两个交点，
，
即 ，
，故⑤正确；
故选：A．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及数形结合的思想．
4．（2021·湖北襄阳·中考真题）一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能
是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知： ，由此可知二次函数开口方
向，坐标轴情况，依此判断即可．
【详解】解：观察一次函数图像可知 ，
∴二次函数 开口向下，
对称轴 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴
的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．
5．（2020·四川宜宾·中考真题）函数 的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，
n)，其中 ，以下结论正确的是（ ）
① ；②函数 在 处的函数值相等；
③函数 的图象与的函数 图象总有两个不同的交点；
④函数 在 内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解．
【详解】如图，根据题意作图，
故a＜0，b＜0，c＞0
∴ ，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数 在 处的函数值相等，故②错误；
图中函数 的图象与的函数 图象无交点，故③错误；
当 时，x=-1时，函数 有最大值
x=3时，函数 有最小值，故④正确；
故选C．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解．
6．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于
， 两点，若 ，则下列四个结论：① ，② ，③ ，
④ ．正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交
点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c
＜0，即可判断④．
【详解】∵对称轴为直线x=1，-2 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，以④错误；
故选B
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌
握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
7．（2021·山东东营·中考真题）一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐
标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b
的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，
是解题的关键．
8．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数 的图象与一次函数 在同一平面直角坐标
系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分析二次函数 的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数 的图像恒
过定点 ，即可得出正确选项．
【详解】二次函数 的对称轴为 ，一次函数 的图像恒过定点 ，所
以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为 ，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数
的图像恒过定点 ，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
9．（2021·山东聊城·中考真题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图
象和反比例函数y＝ 的图象在同一坐标系中大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判
定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决
本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的
正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
10．（2020·山东菏泽·中考真题）一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由
此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象
经过的象限是解题的关键．
11．（2020·山东泰安·中考真题）在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答．
【详解】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；
D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
12．（2020·四川达州·中考真题）如图，直线 与抛物线 交于A、B两点，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目所给的图像，首先判断 中k＞0，其次判断 中a＜0，b＜0，c＜0，
再根据k、b、的符号判断 中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判断出图像．
【详解】解：由题图像得 中k＞0， 中a＜0，b＜0，c＜0，
∴b-k＜0，
∴函数 对称轴x= ＜0，交x轴于负半轴，
∴当 时，即 ，
移项得方程 ，
∵直线 与抛物线 有两个交点，
∴方程 有两个不等的解，即 与x轴有两个交点，
根据函数 对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B正确．
故选：B
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是根据图像判断k、a、b、c的正负号，再根据二次函数与一元二次方程的关系判断出正确图像．
13．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，
对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）D．﹣1＜a＜﹣
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=- =1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴ （m为任意实数），
∴ ，
∵a＜0，
∴ （m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵- =1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，∴-1＜a＜﹣ ，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
14．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数 的图象，其对称轴为直线 ，且过点
．有以下四个结论：① ，② ，③ ，④若顶点坐标为 ，当 时，
y有最大值为2、最小值为 ，此时m的取值范围是 ．其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①：根据二次函数的对称轴 ， ，即可判断出 ；
②：结合图象发现，当 时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当 时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数 的图象，其对称轴为直线 ，且过点 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，故①正确；
从图中可以看出，当 时，函数值大于1，因此将 代入得， ，即
，故②正确；
∵ ，∴ ，从图中可以看出，当 时，函数值小于0，
∴ ，∴ ，故③正确；
∵二次函数 的顶点坐标为 ，∴设二次函数的解析式为 ，将 代入得， ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
∴当 时， ；
∴根据二次函数的对称性，得到 ，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象
和性质是本题的关键．
15．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣
2）和点（x，y），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞
0 0
4b；④若 ＞﹣4，则 ＞c．其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判
断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物
线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若-4< <0，则 ＞c．若 ≥0，则 ≤c，故④错误；故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二
次函数的性质．
16．（2022·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为 ，
且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点 ，（3，y）是抛物线上的两点，则y0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（ ，
y）、C（ ，y）、D（ ，y）是抛物线上的三点，则y0，开口向上，且当 时， ；当 时， ，
∴抛物线 与x轴有两个不同的交点，
∴ ，
∴ ；故①正确；
∵当 时， ，
∴ -b+c<0，即b> +c，
∵c>1，
∴b> ，故②正确；
抛物线 的对称轴为直线x=b，且开口向上，
当x1时，b> ，
∴则x+x>3，但当c<1时，则b未必大于 ，则x+x>3的结论不成立，
1 2 1 2
故④不正确；
综上，正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系等知识，解题的关
键是读懂题意，灵活运用所学知识解决问题．
