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热点专题 06 反比例函数（9 个热点）
考点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即
，或表示为 ，其中 是不等于零的常数.
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变
量 的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量 的取值范围是
，函数 的取值范围是 ，故函数图象与 轴、 轴无交点；
（2） 可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是 ，在解决有关自变量指数问
题时应特别注意系数 这一条件.（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得到
反比例函数的解析式.
考点二、反比例函数的图像和性质
1.反比例函数的图象及性质
反比例函数的图象是双曲线
图象
（1）图象分别位于第二、四象限；
（1）图象分别位于第一、三象限；
性质 （2）在每个象限内， 值随 值的增大而增
（2）在每个象限内， 值随 值的增大而减小
大
对称性 反比例的图像关于原点的对称
2.画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写 值时，
只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连
接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐
标轴相交
考点三、实际问题与反比例函数
1.待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为 ，
然后求出k的值即可．
2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自
变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式．题型一 反比例函数的定义
【例1】下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有（ ）
①当路程一定时，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系；
②当商品的进价一定时，利润k与售价a之间的函数关系；
③当矩形的面积一定时，矩形的长a与宽b之间的函数关系；
④当电压一定时，电路中通过的电流强度I与电阻R之间的函数关系．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】若函数 是反比例函数，则 ．
【变式1-1】下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若 是关于 的反比例函数，则常数 ．
【变式1-3】已知： ，并且 与x成正比例， 与 成反比例，且当 时， ，当
时， ，求y与x之间的函数解析式．
题型二 待定系数法求解析式
【例3】反比例函数的图象经过点A(3，2)，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】如图，反比例函数 的图象与直线 交于点 ，直线 ： 分别交两函数图象于
点 和点 ，过点 作 交反比例函数图象于点 ．(1)求反比例函数的解析式；
(2)当 时，求点 的坐标．
【变式2-1】如图， 是面积为4的等腰三角形，底边 在x轴上，若反比例函数图象过点B，则它的
解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 、 ，与y
轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接 、 ，求 的面积．【变式2-3】在平面直角坐标系中，将点 向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数
的图象上，则此反比例函数的表达式为 ．
题型三 反比例函数的图象的判断问题
【例5】在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是
（ ）
A． B． C． D．
【例6】函数 与 ( )在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．【变式3-1】函数 与函数 在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】已知在同一直角坐标系中，二次函数 和反比例函数 的图象如图所示，则一次
函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．【变式3-3】函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C．
D．
题型四 反比例函数的增减性问题
【例7】对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 随 的增大而减小
B．图象分布在第二、四象限
C．图象经过点D．若点 都在图象上，且 ，则
【例8】若点 ， ，在反比例函数 的图象上，且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D． 或
【变式4-1】从下列4个函数：① ；② ；③ ；④ 中任取
一个，函数值 随自变量 的增大而增大的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【变式4-2】当反比例函数 的自变量 满足 时，函数值 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． 或2 C． 或 D．2或
【变式4-3】已知反比例函数 的图象上两点 ．若 ，则m的取值范围是
．
题型五 图形面积与比例系数
【例9】如图，在反比例函数 的图象上，有 ， ， ， 等点，它们的横坐标依次为
1，2，3， ，分别过这些点作 轴与 轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为 ， ， ，
， ，则 ．【例10】如图，点A是双曲线 上一点，过点A分别作 轴， 轴，垂足分别为B，C两
点. ， 与双曲线 分别交于D，E两点，若四边形 的面积为6，则 ．
【变式5-1】如图，点A在函数 的图象上，过点A作 轴于点B，作 轴交函数
的图象于点C，连接 ，四边形 的面积为 ．
【变式5-2】如图，点 为坐标原点，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图像上，顶点 在反比例函数 的图像上，点 在 轴的正半轴上，则平行四边形 的面积是 ．
【变式5-3】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分
别为1， ，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数 ，当 时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S ＝ S ，请求出点P的坐标．
△BDP △ODA
题型六 一次函数与反比例函数的交点问题
【例11】已知反比例函数 与正比例函数 图象交于 ， 两点，
若 ，则 的值为 ．
【例12】已知点 、点 都在反比例函数 图象上．(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S，求S；
(3)一次函数 的图象过点P、Q，求一次函数的表达式，并根据图象直接写出不等式 的
解集．
【变式6-1】如图，直线 与双曲线 交于点A，将直线 向右平移3个单位后，直
线与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若 ，则 ．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，两条平行直线 和 分别与反比例函数
的图象相交于点 ．已知直线 经过点 ，且 ．(1)求 的值；
(2)求 的值，并直接写出：当 时，不等式 的解集．
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与反比例函数 的图
象都经过点 ．
(1)求反比例函数解析式；
(2)若这两个函数图象的另一个交点为C，点B在x轴上，且 ，求点B的坐标；
(3)若点 在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围．
题型七 反比例函数的实际应用
【例13】受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速
滑到终点．第一次用了 秒；第二次比第一次速度提高了 米 秒，用了 秒．
(1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？
(2)求所用时间 秒 与速度 米 秒 的函数关系式；若要使所用时间不超过 秒，则速度应不低于多少
米/秒？
【例14】学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵
塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数” （
）与放学后时间 （分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数 的图象趋势．若“拥挤指数” ，校门外呈现
“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．
(1)求该二次函数的解析式和k的值；
(2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由．
【变式7-1】为了更好助推乡村振兴，今年水果上市期间，某单位驻村工作队立足本地特色，在打通为农
服务“最后一公里”上主动作为，在村里成立村级供销合作社，帮助果农进行销售，该村水果月销售额y
（万元），在成立村级供销合作社前是反比例函数图象的一部分，成立村级供销合作社后是一次函数图象
的一部分．
(1)当 时，求y与x的关系式，并求出该种水果4月份的销售额；
(2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元？
【变式7-2】制作一种工艺品时，需先将材料加热到 ，再进行后续操作．设整个过程所用时间为x（分
钟），材料的温度为y（ ），材料加热过程中，温度y是时间x的一次函数，工艺品制作过程中，y是x
的反比例函数，材料加热与工艺品制作过程中，y与x的函数图象如图所示．(1)求工艺品制作过程中y与x的函数关系式；
(2)若此工艺品在制作过程中温度不能低于 ，那么只加热一次后，最多几分钟后就得停止工艺品的制作？
【变式7-3】大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨
经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，
当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到
蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当 时， ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若小孔到蜡烛的距离为 ，求火焰的像高；
(3)若火焰的像高不得超过 ，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
题型八 反比例函数的存在性问题
【例15】如图，已知反比例函数 与一次函数 交于 ，N两点．
(1)求M，N两点的坐标；
(2)求 的面积？
(3)若反比例函数在第一象限上存在一点P，使得 是以 为腰的等腰三角形，求P点坐标？【例16】已知点A是反比例函数 的图象与正比例函数图象在第三象限的交点， 轴于点B，等
腰直角三角形 的面积等于4．
(1)求反比例函数与正比例函数的表达式；
(2)直线： 图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若 ，求点M的坐
标；
(3)在（2）问条件下，点P是反比例函数图象第一象限分支上一动点，连接 ，是否存在直线
，作 于点Q，使得 ？若存在求出 的表达式，若不存在请说明理由．
【变式8-1】如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于点 与
轴交于 点，交 轴交于点 ．
(1)求 ， 的值；
(2)若点 是反比例函数 的图象上的一动点，连接 ， ，当 的面积等于 时，求
的坐标；(3)在反比例函数图象上存在一点 ，若点 为坐标轴上一动点，当以 ， ， ， 为顶点的四边形为平
行四边形时，直接写出 的坐标．
【变式8-2】如图，直线 与双曲线 （ ）交于A，B两点，点A的坐标为 ，点C是
双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且 ．
(1)求k的值并直接写出点B的坐标；
(2)P是x轴上的一点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形 是矩形？若存在，请求出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点G是直线 上的动点，连接 ， ，若三角形 的面积为6，求点G的坐标．
【变式8-3】如图， 是 的直径， ， 与 相交于点E，D 是 的中点，直线
与直线 相交于点F．
(1)求证： 是 的切线．
(2)已知 ，当 长度变化时， 的长也随之变化．
①当 时，②在整个变化过程中， 的长是否存在最大值？ 判断并说明理由．
题型九 反比例与几何的综合
【例17】如图，点 和 在反比例函数 （ ）的图象上，其中 ．过点A作
轴于点 ．
（1） 的值为 ；
（2）若 的面积为 ，则 ．
【例18】如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，与 轴， 轴分别交于点 ．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设点 是 轴上的一个动点，当 的周长最小时，请求出点 的坐标；
(3)将直线 向下平移 个单位后，与双曲线 有唯一交点， 的值为______．
【变式9-1】如图，平面直角坐标系中有一 ， ，点 坐标为 ， ，边 与 轴交于点 ，且 ，反比例函数 与 的图象分别经过点 和点 ，则
．
【变式9-2】如图，矩形 中， ， ，点E是 的中点，连接 ，点P是线段 上的
一动点，从E向B运动，连接 ，点M是 的中点，连接 ，反比例函数 的图像经
过点M，当 取得最小值时，k的值是 ．
【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，长方形 的边 分别在 轴、 轴
上，点 的坐标为 ，双曲线 的图象经过线段 的中点 ．(1)求 的值；
(2)若点 在反比例函数的图象上运动（不与点 重合），过 作 轴于点 ，记 的面积
为 ，求 关于 的解析式，并写出 的取值范围．
一、单选题
1．下列函数中，y是x反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（ ）
A． B．C．
D．
3．在函数 的图象上有三点 ， ， ．则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在直角坐标系中， 与 轴相切于点 ， 为 的直径，点 在函数 的图
象上， 为 轴上一点， 的面积为 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
5．如图，P，Q是反比例函数 图象上的两个点，分别过P，Q作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个
相邻且不重叠的小矩形，其面积分别表示为 ， ， ，已知 ，则 的值为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，甲所示的是一款酒精浓度监测仪的简化电路图，其电源电压保持不变， 为定值电阻， 为酒
精气体浓度传感器 气敏电阻 ， 的阻值与酒精浓度的关系如图乙所示，当接通电源时，下列说法正确的
是（ ）
A．当酒精浓度增大时， 的阻值增大
B．当酒精浓度增大时，电压表的示数与电流表的示数的比值不变
C．当酒精浓度增大时，电流表的示数变小
D．当酒精浓度增大时，电压表的示数变小
7．我们知道函数 的图象可以由反比例函数 的图象左右平移得到，下列关于 的图象
的性质：
① 的图象可以由 的图象向右平移3个单位长度得到；
② 的图象关于点 对称；
③ 的图象关于直线 对称；④若 ，根据图象可知， 的解集是 ．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
8．如图，点 ，B均为双曲线 在第一象限上的点，且 ，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图像位于第二、四象限，则k的取值范围是
．
10．若点 在反比例函数 的图象上，则代数式 的值为 ．
11．如图，已知反比例函数 ， ，点A在y轴的正半轴上，过点A作直线
轴，且分别与两反比例函数的图象交于点C和点B，连接 ， ，若 的面积为9，
，则 ．12．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点，若点 的坐
标为 ，则点 的坐标为 ．
13．如图，点 是双曲线 上一点，射线 与另一支曲线交于点 轴，垂足为点 ．
有以下结论：① ；②点 坐标为 ；③ 面积为 ；④ 随 的增大而增大，其中正确的结
论是 （填入正确答案的序号）．
14．如图，已知在平面直角坐标系 中，点 在 轴的负半轴上，点 在 轴的负半轴上，
，以 为边向上作正方形 ．若图象经过点 的反比例函数的表达式是 ，则图象
经过点 的反比例函数的表达式是 ．15．定义 ，若 ，则 的取值范围是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中， 为 轴正半轴上一点，过点 的直线 轴，分别交反比例函数
和 的图象于点 ， ，且 ， ．
（1） 的值为 ；
（2）若直线 与直线 交于点 ，当点 ， ， 中其中两点关于第三点对称时， 的值为 ．
三、解答题
17．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 这两点，与y
轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求 的面积．(3)根据图象直接写出 的x的取值范围．
18．如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点， ， 轴，
交 轴于点 ．
(1)若 ，则 ．
(2)若 ，则点 坐标 ；当 时， 的取值范围 ．
(3)点 在第一象限反比例函数图像上， ，设 ， ，用含 或 的式子表示
和 长，并求 值．
19．某种原料需要达到60℃及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度y（℃）与时间x（min）之间
的关系，其中线段 表示原料加热阶段；线段 轴，表示原料的恒温阶段；曲线 是反比例函数
图象的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
(1)填空：a的值为 ；
(2)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间．20．如图，已知 ， ，连接 ，以 为边在第一象限内作正方形 ，直线 与反比例
函数 相交于 ， 两点，连接 ，交 轴于点 ．
(1)求 的值及直线 的解析式；
(2)求 的面积．
21．如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， ，与反比例函数
的图象交于点 ， ．
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)当 时，直接写出 的取值范围．
(3)连接 ， ，求 的面积；
(4)点 是反比例函数上一点， 轴交直线 于 ，且 请直接写出点 的坐标．
