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专题 22.1.4 二次函数 y=a（x-h)²+k（a≠0）图像和性质（知识解
读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)²+k（a、h、k是常数，a≠0）的图像，
并熟练掌握 y=a(x-h)²+k图像有性质，并能用函数掌握二次函数 y=a(x-h)²+k
的性质解决一些实际问题；
2. 掌握y=a(x-h)²+k与y=ax²之间的关系。
【知识点梳理】
考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）与y=a（x-h）²（a≠0）的图像与性质考点2 平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）
（2）从函数y=ax²平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
y=ax2 +bx+c
{向上平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c+m
向下平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c−m
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即
可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为
y=ax2 +bx+c
，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为
顶点式
y=a(x−h) 2 +k
然后再进行相应的变形
{若向左平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h+n) 2 +k
若向右平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h−n) 2 +k
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即
可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。【典例分析】
【考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）的图像和性质】
【例1】（2022九下·南雄）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【变式1-1】（2021九上·海曙期末）已知抛物线 y=2(x−3) 2−5 , 其对称轴是( )
A．直线 x=−3 B．直线 x=3 C．直线 x=−5 D．直线 x=5
1
【变式1-2】（2021九上·肃州期末）抛物线 y=− (x−2) 2+5 的顶点坐标是 .
2
【变式1-3】（2021九上·昌平期末）关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是
（ ）
A．当x＞-2时，y随x增大而减小 B．当x＞-2时，y随x增大而增大
C．当x＞2时，y随x增大而减小 D．当x＞2时，y随x增大而增大
【例2】（2021九上·武汉月考）已知二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+k的图象上有三点A（
√2 ，y），B（﹣2，y），C（5，y），则y、y、y 的大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【变式2-1】（2021九上·瑶海月考）已知二次函 y=(x−1) 2+ ℎ ，
(0，y )，(2，y )，(3，y ) 为其上面的点，则y，y，y 的大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y＝y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＝y D．y＜y＝y
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2
【变式2-2】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y）和
1
B（1，y）在此函数图象上，则y 与y 的大小关系是：y y．
2 1 2 1 2
【变式2-3】（2021九上·温州月考）在二次函数 y=−(x+1) 2+2 的图象中，若y随x
的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x≤－1 B．x≥－1 C．x≤1 D．x≥1
【例3】（2021九上·瑶海月考）抛物线 ，如图所示，则函
y=(x+1) 2−4(−2≤x≤2)
数y的最小值和最大值分别是（ ）A．− 3和5 B．− 4和5 C．− 4和 − 3 D．− 1和
5
【变式】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的
最大值是5，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【例4】（2021九上·南京期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为
（－1，－4）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有
一个公共点.
【变式4-1】（2021九上·蜀山月考）已知二次函数 y=−(x−1) 2+m ．
（1）请将下表填写完整，并在网格中画出该二次函数图象；x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 …
1
（2）若A(﹣ ，y)，B(2，y)，C( √10 ，y)是该函数图象上的三点，请比较y，
2 1 2 3 1
y，y 之间的大小关系（直接写出结果）
2 3
【变式4-2】（2021九上·谷城期中）已知函数 y=(x+1) 2−4
（1）若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点C，求△ABC的面积；
（2）直接回答：①当x取何值时，函数值大于0？②当x取何值时，函数值y随x的
增大而增大？
【考点2 平移】
【例5】（2021九上·淮北月考）将抛物线 y=−2(x−1) 2+3 先向左平移4个单位长度，
再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=−2(x+3) 2−2 B．y=−2(x+3) 2+8C．y=−2(x−5) 2−2 D．y=−2(x−5) 2+8
【变式5-1】将抛物线y=x2-3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A．y=x2-1 B．y=x2-5
C．y=（x+2）2-3 D．y=（x-2）2-3
【变式5-2】抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，与y轴交于点B(0，4).
（1）求a的值
（2）若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标；
专题 22.1.4 二次函数 y=a（x-h)²+k（a≠0）图像和性质（知识解
读）
【直击考点】
【学习目标】
3. 会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)²+k（a、h、k是常数，a≠0）的图像，
并熟练掌握 y=a(x-h)²+k图像有性质，并能用函数掌握二次函数 y=a(x-h)²+k
的性质解决一些实际问题；
4. 掌握y=a(x-h)²+k与y=ax²之间的关系。
【知识点梳理】
考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）与y=a（x-h）²（a≠0）的图像与性质考点2 平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）
（3）从函数y=ax²平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
y=ax2 +bx+c
{向上平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c+m
向下平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c−m
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为
y=ax2 +bx+c
，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为
顶点式
y=a(x−h) 2 +k
然后再进行相应的变形
{若向左平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h+n) 2 +k
若向右平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h−n) 2 +k
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即
可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
【典例分析】
【考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）的图像和性质】
【例1】（2022九下·南雄）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】A
【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
【变式1-1】（2021九上·海曙期末）已知抛物线 y=2(x−3) 2−5 , 其对称轴是( )
B．直线 x=−3 B．直线 x=3 C．直线 x=−5 D．直线 x=5
【答案】B
【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2﹣5，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
故选：B
1
【变式1-2】（2021九上·肃州期末）抛物线 y=− (x−2) 2+5 的顶点坐标是 .
2
【答案】（2，1）
【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（2，1），故填：（2，1）
【变式1-3】（2021九上·昌平期末）关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是
（ ）
A．当x＞-2时，y随x增大而减小 B．当x＞-2时，y随x增大而增大
C．当x＞2时，y随x增大而减小 D．当x＞2时，y随x增大而增大
【答案】C
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∴当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，
故选：C．
【例2】（2021九上·武汉月考）已知二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+k的图象上有三点A（
√2 ，y），B（﹣2，y），C（5，y），则y、y、y 的大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
B．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】A
【解答】解：在二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+k，对称轴x＝1，
∵ 在 图 象 上 的 三 点 A （ ， y ） ， B （ ﹣ 2 ， y ） ， C （ 5 ， y ） ，
1 2 3
，
∴y 、y 、y 的大小关系为y ＞y ＞y ．
1 2 3 1 2 3
故选：A．
【变式2-1】（2021九上·瑶海月考）已知二次函 y=(x−1) 2+ ℎ ，
(0，y )，(2，y )，(3，y ) 为其上面的点，则y，y，y 的大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
B．y＝y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＝y D．y＜y＝y
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2
【答案】A
【解答】解：在二次函数 ，对称轴x＝1，
y=(x−1) 2+
ℎ
∵在图象上的三点 (0，y )，(2，y )，(3，y ) ，
1 2 3∴y 、y 、y 的大小关系为y＝y＜y
1 2 3 1 2 3
故选：A．
【变式2-2】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y）和
1
B（1，y）在此函数图象上，则y 与y 的大小关系是：y y．
2 1 2 1 2
【答案】＞．
【解答】解：∵点A（0，y ）、B（3，y ）是二次函数y＝（x﹣2）2+1图象上的两点，
1 2
∴y ＝5，y ＝2．
1 2
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：＞．
【变式2-3】（2021九上·温州月考）在二次函数 y=−(x+1) 2+2 的图象中，若y随x
的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
B．x≤－1 B．x≥－1 C．x≤1 D．x≥1
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x≤﹣1，
故选：A．
【例3】（2021九上·瑶海月考）抛物线 ，如图所示，则函
y=(x+1) 2−4(−2≤x≤2)
数y的最小值和最大值分别是（ ）
B．− 3和5 B．− 4和5 C．− 4和 − 3 D．− 1和
5
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴是：直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5；x＝﹣1时，
y有最小值，是﹣4，
故选：B
【变式】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的
最大值是5，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，
∴当x＝4时，a（4﹣1）2﹣4＝5，
解得a＝1，
故选：C．
【例4】（2021九上·南京期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为
（－1，－4）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有
一个公共点.
【答案】（1） y＝x2+2x﹣3．（2）﹣4≤y＜12． （3）先向上平移4个单位长度，再
向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长度．
【解答】解：（1）根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+1） 2﹣4，将（1，0）代入，得4a﹣4＝0，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3．
（2）当x＝﹣5时，y＝12；当y＝0时，y＝﹣3；
∵当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴﹣4≤y＜12．
（3）∵平移后的函数图象与x轴只有一个交点，
∴函数向上平移了4个单位长度，
此时，函数图象经过点（1，4），
∵函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∴函数图象经过点（﹣3，4），
∵平移后的函数图象经过点（3，4），
∴再向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长度，
∴函数图象先向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长
度．
【变式4-1】（2021九上·蜀山月考）已知二次函数 y=−(x−1) 2+m ．
（1）请将下表填写完整，并在网格中画出该二次函数图象；
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 …
1
（2）若A(﹣ ，y)，B(2，y)，C( √10 ，y)是该函数图象上的三点，请比较
2 1 2 3
y，y，y 之间的大小关系（直接写出结果）
1 2 3
【答案】（1）略（2）y ＞y ＞y ．
3 1 2
【解答】解：（1）将（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+m得3＝﹣1+m，
解得m＝4，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4．
把x＝﹣1代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝0，
把x＝1代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝4，
把x＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝3，
故答案为：0，4，3．作图如下：
（2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，且 ﹣1＞1﹣（﹣ ）＞2﹣1，
∴y ＞y ＞y ．
3 1 2
【变式4-2】（2021九上·谷城期中）已知函数 y=(x+1) 2−4
（1）若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点C，求△ABC的面积；
（2）直接回答：①当x取何值时，函数值大于0？②当x取何值时，函数值y随x的
增大而增大？
【答案】（1）A、B的坐标为（1，0），（﹣3，0）；6 （2）当x＜﹣3或x＞1时，函
数值大于0．当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而增大．
【解答】解：（1）当y＝0时，（x+1）2﹣4＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
∴A、B的坐标为（1，0），（﹣3，0），
当x＝0时，y＝（x+1）2﹣4＝﹣3，则C（0，﹣3），
∴S△ABC ＝ ×（3+1）×3＝6．
（2）①∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的开口向上，与x轴交于（1，0），（﹣3，0），
∴当x＜﹣3或x＞1时，函数值大于0．
②∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而增大．
【考点2 平移】【例5】（2021九上·淮北月考）将抛物线 y=−2(x−1) 2+3 先向左平移4个单位长度，
再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=−2(x+3) 2−2 B．y=−2(x+3) 2+8
C．y=−2(x−5) 2−2 D．y=−2(x−5) 2+8
【答案】A
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移4个单位，将抛物线y＝
﹣2（x﹣1）2+3先变为y＝﹣2（x+3）2+3，
再沿y轴方向向下平移5个单位抛物线y＝﹣2（x+3）2+3﹣5，即变为：y＝﹣2（x+3）2
﹣2．
故所得抛物线的解析式是：y＝﹣2（x+3）2﹣2．
故选：A．
【变式5-1】将抛物线y=x2-3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A．y=x2-1 B．y=x2-5
C．y=（x+2）2-3 D．y=（x-2）2-3
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位后解析式为y＝3（x+2）2，
故选：C．
【变式5-2】抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，与y轴交于点B(0，4).
（1）求a的值
（2）若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标；
【答案】（1）a=1 （2）y＝(x-8)²，交点坐标为（6，0）
【解答】（1）将B(0，4).代入y=a(x-2)2，
4=a(0-2)²，解得a=1
（2）按照“左加右减，上加下减”的规律，由该抛物线向右平移6个单位即
y=(x-2-6)²＝(x-8)²，另(x-2)2=(x-8)²，x=5,∴交点坐标为（5，9）
