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第 04 讲 点与圆的位置关系
1. 了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。
2. 掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆
的方法。
3. 能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。
知识点1 点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
知识点2 过三点的圆
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角
形的外心。
【题型1 根据线段长度判断点与圆的位置关系】
【典例1】（2023•增城区一模）已知 O的半径为5，当线段OA＝6时，则点
A与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
⊙
【变式1-1】（2023•拱墅区模拟）已知 O的半径为4，若PO＝3，则点P与
⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．无法判断
⊙
【变式1-2】（2023•越秀区校级一模）已知 O的半径是8，点P到圆心O的
⊙ ⊙ ⊙
距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）
⊙
A． O的内部 B． O的外部
C． O上或 O的内部 D． O上或 O的外部
⊙ ⊙
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【变式1-3】（2023•徐汇区模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3 ，点P在
边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下
列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
【题型2 根据点坐标判断点与圆的位置关系】
【典例 2】（2023•南海区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，P点坐标为
（3，4），若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与 O的位置关系是
（ ）
⊙
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【变式2-1】 O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，
3），则点P与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O上
⊙
C．点P在 O外 D．点P在 O上或 O外
⊙ ⊙
【变式2-2】（2021秋•青冈县期末）一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离
⊙ ⊙ ⊙
为5cm，则圆的半径为（ ）
A．6cm或16cm B．3cm或8cm C．3cm D．8cm
【变式2-3】（2022秋•荔湾区校级期末）已知 O半径为4，圆心O在坐标原
⊙点上，点P的坐标为（3，4），则点P与 O的位置关系是（ ）
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．不能确定
⊙
【题型3 根据点与圆的距离求半径】
⊙ ⊙ ⊙
【典例3】（2023•东洲区模拟）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，
最小距离为1，则此圆的半径为（ ）
A．3 B．4或6 C．2或3 D．6
【变式3-1】（2022秋•宛城区校级期末）已知点 P为平面内一点，若点 P到
O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则 O的半径为 ．
【变式3-2】（2022•鄞州区校级开学）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大
⊙ ⊙
值是6，最小值是1，则这个圆的半径是 ．
【题型4 确定圆的条件】
【典例4】（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，
则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式4-1】（2022秋•裕华区校级期末）下列条件中，不能确定一个圆的是（
）
A．圆心与半径 B．直径
C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点
【变式4-2】（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列条件中能够确定一个圆的是（
）
A．已知圆心
B．已知半径
C．已知三个点
D．过一个三角形的三个顶点
【变式4-3】（2022•湖里区校级二模）平面直角坐标系内的三个点 A（1，﹣
3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 确定一个圆，（填“能”或“不
能”）．
【题型5 根据三角形的外接圆的性质求角度】【典例5】（2022秋•信都区校级期末）如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，
若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100° B．160° C．150° D．130°
【变式5-1】（2023春•朝阳区校级月考）如图，已知 O是△ABD的外接圆，
AB 是 O 的直径，CD 是 O 的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD 的度数是
⊙
（ ）
⊙ ⊙
A．24° B．28° C．34° D．56°
【变式5-2】（2023•方城县模拟）如图，△ABC和△ABD内接于 O，∠ABC
＝80°，∠D＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
⊙
A．40° B．45° C．50° D．60°
【变式 5-3】（2023 春•株洲期中）如图， O 是△ABC 的外接圆，半径为
5cm，若BC＝5cm，则∠A的度数为（ ）
⊙
A．30° B．25° C．15° D．10°【题型6根据三角形的外接圆的性质求线段长度】
【典例6】（2023•雁塔区校级模拟）如图， O的半径为2，△ABC是 O的
内接三角形，连接 OB，OC，若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦 BC 的长为（
⊙ ⊙
）
A．2 B． C． D．
【变式6-1】（2023•灞桥区模拟）如图，AB是 O的直径，AB＝8，△BCD内
接于 O，若∠BCD＝60°，则圆心O到弦BD的距离是（ ）
⊙
⊙
A．5 B．3 C．2 D．1
【变式6-2】（2023•雁塔区模拟）如图，△BCD内接于 O，点B是 的中点，
⊙
CD是 O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长为（ ）
⊙
A．5 B． C． D．
【变式 6-3】（2023•成县三模）如图，△ABC 是圆 O 的内接三角形，AB＝
BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝10，则AC的长为（ ）A． B． C．5 D．5
1．（2023•巴中）如图， O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（
）
⊙
A．25° B．50° C．60° D．65°
2．（2023•自贡）如图，△ABC 内接于 O，CD 是 O 的直径，连接 BD，
∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．41° B．45° C．49° D．59°
3．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为 1，A、O两点皆在格线
的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点 B、C，使得△ABC的外
心为O，求BC的长度为何（ ）A．4 B．5 C． D．
4．（2022•梧州）如图， O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，
⊙
在 上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度
数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
5．（2023•常州）如图，AD是 O的直径，△ABC是 O的内接三角形．若
∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则 O的直径AD＝ ．
⊙ ⊙
⊙
6．（2023•金昌）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，点D是 O上
一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝ °．
⊙ ⊙ ⊙
7．（2023•广安）如图，△ABC内接于 O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则
弦BC的长度为 ．
⊙8．（2022•黑龙江）如图，在 O中，AB是 O的弦， O的半径为3cm．C
为 O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 cm．
⊙ ⊙ ⊙
⊙
10．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，
B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况
下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
11．（2022•南京）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 在 BC 上，BD＝
CE．过A，D，E三点作 O，连接AO并延长，交BC于点F．
（1）求证AF⊥BC；
⊙
（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求 O的半径长．
⊙1．（2022秋•思明区校级期末） O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA
＝3cm，则点A与 O的位置关系为（ ）
⊙
A．点A在 O上 B．点A在 O内 C．点A在 O外 D．无法确定
⊙
2．（2022秋•沭阳县校级期末）下列语句中，正确的是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．经过三点一定可以作圆
B．等弧所对的圆周角相等
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．三角形的外心到三角形各边距离相等
3．（2023•越秀区校级二模）如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径，若
∠DAC＝52°，则∠B的大小为（ ）
⊙ ⊙
A．38° B．40° C．48° D．65°
4．（2023•绥德县三模）如图，在△ABC中，AC＝BC， O是△ABC的外接
圆，AB是 O的直径，点D在 O上，连接CD交AB于点E，连接OD，若
⊙
∠BOD＝120°，则∠BED的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．60° B．75° C．100° D．105°
5．（2023•碑林区校级模拟）如图， O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交 O
于点E，垂足为点D．AE、CB的延长线交于点F，若BF＝4，AB＝8，则BC
⊙ ⊙
的长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023•宁江区四模）如图，△ABC内接于 O，AC是 O的直径，∠ACB
⊙ ⊙
＝40°，点D是劣弧 上一点，连接CD、BD，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．45° C．140° D．130°
7．（2023•文成县一模）如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，∠B＝70°，则
∠OCB等于（ ）
⊙
A．40° B．50° C．60° D．65°
8．（2023•金安区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，
线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N
分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．10﹣ B． ﹣3 C．2 ﹣6 D．3
9．（2023•中山市二模）如图，△ABC内接于 O，∠A＝68°，则∠OBC等于
（ ）
⊙
A．22° B．26° C．32° D．34°
10．（2023•东莞市一模）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A在x轴负半轴
上，点B在y轴正半轴上， D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB
＝4，则圆心点D的坐标是（ ）
⊙
A． B． C． D．
11．（2023•新华区校级模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，
BC＝3，点D是半径为2的 A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大
值是（ ）
⊙A．3 B．3.5 C． D．
12．（2023•新华区校级模拟）若 P 的半径为 4，圆心 P 的坐标为（﹣3，
4），则平面直角坐标系的原点O与 P的位置关系是（ ）
⊙
A．在 P内 B．在 P上 C．在 P外 D．无法确定
⊙
13．（2023•芜湖模拟）如图，△ABC内接于 O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，
⊙ ⊙ ⊙
BD是 O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（ ）
⊙
⊙
A．70° B．90° C．110° D．120°
14．（2022秋•定西期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在 O内，
则 O的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．0＜r＜4 B．3＜r＜4 C．4＜r＜5 D．r＞5
⊙
15．（2023•兴庆区校级模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A，B，C
的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为
．16．（2023•市中区二模）如图，点 A，B的坐标分别为 A（6，0），B（0，
6），C为坐标平面内一点，BC＝2 ，M为线段AC的中点，连接OM，当
OM取最大值时，点M的坐标为 ．
17．（2022秋•东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是 M上
的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
⊙
（1）圆心M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与 M的位置关系．
⊙
18．（2022秋•海州区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作 A（画图），则B、C、D与圆的位置
关系是什么？
⊙
（2）若作 A，使B、C、D三点至少有一个点在 A内，至少有一点在 A
⊙ ⊙ ⊙外，则 A的半径r的取值范围是 ．
⊙
