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专题22.1.3 二次函数y=ax²+c 的图像和性质（专项训练）
1．（2021.南宁）抛物线y＝2x2＋1的对称轴是（ ）
1 1
A．直线x＝ B．直线y＝－
2 2
C．y轴 D．直线x＝2
2．（2021.河池）下列各点在抛物线 y=x2+1 上的是（ ）
A．(0,1) B．(−1,0) C．(0,0) D．(1,1)
3．（2021.沙坝）抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（0，1） C．（0，－1） D．（－
2，0）
4．（2021.黑龙江）抛物线y＝2x2﹣3的顶点在（ ）
A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上
5．（2021.云南）关于二次函数 y=−2x2+1 的图象，下列说法中，正确的是
（ ）．
A．对称轴为直线 x=1
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数 y=−2x2 的图象向左平移1个单位得到；
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
6．（2021.浙江）二次函数 y=2x2−3 的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说
法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线与 x 轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线 x =1 D．抛物线经过点（2,3）
7．（2021.柳州）二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位后得到函数解析式为
（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）2
8．（2021.贵阳）抛物线 y=2x2−1 的图像经过点 A(−3,y ) ， B(1,y ) ，
1 2
C(4,y ) ，则 y ， y ， y 大小关系是（ ）
3 1 2 3A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
9．（2021.西城）若点A（2，m）在函數y=x2-1的图像上，则A点的坐标是
10．（2021.朝阳）已知二次函数y＝2x2＋2021，当x分别取x，x（x≠x ）时，函数值
1 2 1 2
相等，则当x取2x＋2x 时，函数值为
1 2
10．（2021.深圳）抛物线 y=3x2，y=−2x2+1 在同一直角坐标系内，则它们
（ ）
A．都关于 y 轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
11．（2021.佛山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点
1
A与x轴平行的直线交抛物线y= x2于B，C两点，则BC的长为 。
3
1 1
12.（2021.百色）如图，两条抛物线 y =− x2+1,y =− x2−1 与分别过点（ −2
1 2 2 2
， −1 ）（2， −3 ）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴部分的面积为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．413．（2021.长沙）已知
y=(m+2)xm2+m−4+1
是关于x的二次函数.
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x
的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增
大而减小？专题22.1.3 二次函数y=ax²+c 的图像和性质（专项训练）
（解析）
1．（2021.南宁）抛物线y＝2x2＋1的对称轴是（ ）
1 1
A．直线x＝ B．直线y＝－
2 2
C．y轴 D．直线x＝2
【答案】C
【解答】y=2x2+1的对称轴是x=0即y轴．
故答案为：C
2．（2021.河池）下列各点在抛物线 y=x2+1 上的是（ ）
A．(0,1) B．(−1,0) C．(0,0) D．(1,1)
【答案】A
【解答】当x=0时，y=1，故A符合题意，C不符合题意；
当x=1时，y=2，故D不符合题意；
当x=-1时，y=2，故B不符合题意；
故答案为：A．
3．（2021.沙坝）抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（0，1） C．（0，－1） D．（－
2，0）
【答案】B
【解答】解：抛物线 y=−2x2+1 的顶点坐标为 (0,1) ，
故答案为：B
4．（2021.黑龙江）抛物线y＝2x2﹣3的顶点在（ ）
A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上
【答案】D
【解答】解：∵抛物线的解析式为 y=2x2−3 ，
∴其顶点坐标为（0，-3），∴抛物线的顶点坐标在y轴负半轴上，
故答案为：D．
5．（2021.云南）关于二次函数 y=−2x2+1 的图象，下列说法中，正确的是
（ ）．
A．对称轴为直线 x=1
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数 y=−2x2 的图象向左平移1个单位得到；
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
【答案】D
【解答】关于二次函数 y=−2x2+1 的对称轴为直线x=0，开口向下，在对称轴左
侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，顶点坐标（0，1），可以由二次函数
y=−2x2 的图像向上平移1个单位得到．
故答案为：D．
6．（2021.浙江）二次函数 y=2x2−3 的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说
法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线与 x 轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线 x =1 D．抛物线经过点（2,3）
【答案】B
【解答】A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项不符合题意；
B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，
所以B选项符合题意；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项不符合题意；
D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项不符合题意，
故答案为：B．
7．（2021.柳州）二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位后得到函数解析式为
（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）2
【答案】B
【解答】解：∵y＝x2的图象向下平移2个单位，
∴平移后函数图象顶点坐标为（0，﹣2），∴得到函数解析式为y＝x2﹣2．
故答案为：B．
8．（2021.贵阳）抛物线 y=2x2−1 的图像经过点 A(−3,y ) ， B(1,y ) ，
1 2
C(4,y ) ，则 y ， y ， y 大小关系是（ ）
3 1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
【答案】C
【解答】∵二次函数的解析式为y＝2x2−1，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵A（−3，y），B（1，y），C（4，y），
1 2 3
∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，
∵抛物线开口向上，
∴y＜y＜y．
2 1 3
故答案为：C．
9．（2021.西城）若点A（2，m）在函數y=x2-1的图像上，则A点的坐标是
【答案】（2,3）
【解答】解：将x=2代入函数解析式
y=22-1=3
∴点A的坐标为（2,3）
10．（2021.朝阳）已知二次函数y＝2x2＋2021，当x分别取x，x（x≠x ）时，函数值
1 2 1 2
相等，则当x取2x＋2x 时，函数值为
1 2
【答案】2021
【解答】∵二次函数y＝2x2+2021的对称轴为y轴，x分别取x，x（x≠x ）时函数值
1 2 1 2
相等，
∴ x +x =0 ，
1 2
∴当x取2x+2x 时，函数值y=2021，
1 2
故答案为：2021．
10．（2021.深圳）抛物线 y=3x2，y=−2x2+1 在同一直角坐标系内，则它们
（ ）A．都关于 y 轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
【答案】A
【解答】 A ．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴
b
x=− =0 ，对称轴为 y 轴，都关于 y 轴对称,该选项符合题意；
2a
B ．前一个 a>0 ，开口向上，后一个 a<0 ，开口向下，该选项不符合题意；
C． 前一个经过原点 (0，0) ，后一个经过点 ，(0，1) ，该选项不符合题意；
D ．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项不符合题意；.
故答案为： A ．
11．（2021.佛山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点
1
A与x轴平行的直线交抛物线y= x2于B，C两点，则BC的长为 。
3
【答案】6
【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），
1
当y=3时， x2=3，
3
解得x=±3，
∴ B点坐标为（-3，3），C点坐标为（3，3），
∴BC=3-（-3）=6.
故答案为：6
1 1
12.（2021.百色）如图，两条抛物线 y =− x2+1,y =− x2−1 与分别过点（ −2
1 2 2 2
， −1 ）（2， −3 ）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴部分的面积为（ ）A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，两个抛物线的形状相同
1 1
∴y-y=- x2+1-（- x2-1）=2
1 2 2 2
∴阴影部分面积=（y-y）×|2-（-2）|=2×4=8
1 2
故答案为：B.
13．（2021.长沙）已知
y=(m+2)xm2+m−4+1
是关于x的二次函数.
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x
的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增
大而减小？
【解答】（1）因为函数为二次函数
∴m+2≠0，m2+m-4=2
∴m≠-2，m2+m-6=0
∴m≠-2，（m+3）（m-2）=0
∴m=-3，m=2
（2）当m=2时，函数为y=4x2+1，有最低点，最低点为（0,1），且x≥0时，y随x的
增大而增大
（3）m=-3时，函数为-x2+1，有最大值，最大值为1，x≥0时，y随x的增大而减小
