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培优专题 05 确定二次函数解析式的 8 种方法
◎方法一：利用平移确定二次函数的解析式
1．（2020·青海·湟源县第一中学九年级期中）把抛物线 的图象向左平移2个单位，再向上
平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的
顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是
∴所得抛物线解析式是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．
2．（2021·广西·梧州市第十中学九年级阶段练习）将二次函数 的图象向上平移2个单位，得到
的新图象的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”结合平移前的函数解析式，可得答案．
【详解】解：二次函数 的图象向上平移2个单位，
得到的新图象的函数表达式是 ，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，若抛物线 经一次变换后得到抛
物线 ，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位
【答案】B
【分析】先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．
【详解】解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．
y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．
所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题
的关键．
4．（2022·陕西西安·九年级期末）抛物线 的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为______．
【答案】
【分析】先求出如图所示的抛物线的解析式，再根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：根据题意可知抛物线过点 ，
把点（3，0）代入y=-x2+2x+c，
得0=-9+6+c，解得c=3．
故原图象的解析式为y=-x2+2x+3，即y=-（x-1）2+4，
将抛物线y=-（x-1）2+4向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
得y=-（x-1+2）2+4-3，即y=-x2-2x．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定及二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握二次函数的性质及
图象平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 的顶点为P，与x轴相交于M，N两点（点M
在点N左侧），平移此抛物线，使点P平移后的对应点 落在x轴上，点M平移后的对应点 落在y轴
上，则平移后的抛物线解析式为________．
【答案】
【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出 ， ， 点坐标，进而得出平移
方向和距离，即可得出平移后解析式．
【详解】解：当 ，则 ，
，
解得： ， ，， ，
，
点坐标为： ，
平移该抛物线，使点 平移后的对应点 落在 轴上，点 平移后的对应点 落在 轴上，
抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移2个单位长度即可，
平移后的解析式为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题
关键．
◎方法二：已知一点、两点或三点坐标求二次函数的解析式
6．（2022·全国·九年级专题练习）若抛物线 的顶点是 ，且经过点 ，则抛物线
的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据顶点A的坐标设抛物线的函数关系式是y=a（x-2）2+1，把B点的坐标代入，求出a即可．
【详解】解：∵抛物线顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），
∴设抛物线的函数关系式是y=a（x-2）2+1，
把B点的坐标代入得：0=a（1-2）2+1，
解得：a=-1，
即抛物线的函数关系式是y=-（x-2）2+1，即y=-x2+4x-3．
故选：B．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式，能熟记二次函数的三种形式的特点是解此题的
关键．7．（2022·全国·九年级单元测试）二次函数 的图象经过点 ，则代数式 的值为
（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】B
【分析】把（-1，0）代入y=ax2+bx+2，即可得出代数式a-b的值．
【详解】解：把（-1，0）代入y=ax2+bx+2，
得a-b+2=0，
即a-b=-2，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）已知抛物线 经过点 ，那么下列各点中，该抛物线必
经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将已知点的坐标代入 确定抛物线的解析式，再计算出自变量为0时所对应的函数
值即可求解．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴物线的解析式为： ，
∵ 时， ，
∴抛物线必经过的点是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，解题的关键
是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．（2022·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线 恰好经过 和两点．
（1）求a的值___________；
（2）平移抛物线 ，使其顶点仍在直线 上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的
最大值___________．
【答案】 -1
【分析】（1）将A，C两点的坐标代入 ，即可求解；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+1，设平移后所得抛物线对应的表达式为 ，
因为顶点在直线 上，得到 ．令 ，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为z=
．化成顶点式，利用二次函数的性质，可知此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为
．
【详解】（1）将A，C两点的坐标代入 ，
得
解得： ， ；
故a的值为-1
故答案为：-1．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+1，
设平移后所得抛物线对应的表达式为 ，
∵顶点在直线 上，
∴ ．
令 ，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为 ．
设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z∵z= ，
∴当 时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，
二次函数的性质，题目比较难．
10．（2022·河南洛阳·九年级期末）已知二次函数的图象经过(-1、0)、(3、0)、(0、3)三点，那么这个二次
函数的解析式为______．
【答案】
【分析】求函数的解析式的方法是待定系数法，可以设函数的解析式是y=ax2+bx+c，把(-1、0)、(3、0)、
(0、3)三点的坐标代入就得到一个关于a、b、c的方程组，就可以求出函数的解析式．
【详解】解：设：函数的解析式是：y=ax2+bx+c，
把(-1,0)，(3,0)和(0,3)三点的坐标代入得到：
，
解得： ，
因而函数的解析式是： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．
◎方法三：设“顶点式”确定二次函数的解析式
11．（2022·全国·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判
断不正确的是（ ）x 0 1 2
y 0 1.5 2 1.5
A．当 时，y随x的增大而增大 B．当 时，
C．顶点坐标为(1，2) D． 是方程 的一个根
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出二次函的解析式，得出顶点坐标，可判断选项C；由函数的增减性质可判断
选项A；代入x=4，可求得y的值，可判断选项B；由x=-1时，y=0，可判断选项D；即可得出结论．
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
∴二次函数y=ax2+bx+c的解析式为y=- x2+x+ =- （x-1）2+2，
∴顶点坐标为(1，2)，选项C不符合题意；
∵- 开口向下，∴x＜1时，y随x的增大而增大，
∴x＜0时，y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
当x=4时，y=-2.5，选项B符合题意；
∵x=-1时，y=0，∴x=-1是方程 的一个根，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识．熟练掌握二次函数图象的性质是解题
的关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线的顶点坐标是 ，且与y轴交于点 ，这个抛物线的
解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】用待定系数法确定解析式，对照选择即可．
【详解】∵抛物线的顶点坐标是 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把点 代入解析式，得
，
解得ａ=1，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握解析式是解题的关键．
13．（2022·湖南益阳·九年级期末）已知抛物线 的顶点坐标为 ，则b、c的值分别为
（ ）
A．2，2 B．-2，2 C．2，0 D．-2，0
【答案】D
【分析】直接利用顶点式写出抛物线的解析式即可求解．
【详解】解： 抛物线 的顶点坐标为
即
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，利用顶点式求得解析式，然后化
成一般式是解题的关键．
14．（2022·江苏泰州·九年级期末）若一条抛物线与y=2x2图像的形状相同且开口向下，顶点坐标为（0，
2），则这条抛物线的解析式为________．
【答案】y=-2x2+2
【分析】设抛物线解析式为y=ax2+2，根据抛物线与y=2x2图象的形状相同且开口向下，即可求得a=-2，即
可确定出解析式．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，2），
∴设抛物线解析式为y=ax2+2，∵抛物线与y=2x2图象的形状相同且开口向下，
∴a=-2，
∴抛物线解析式为y=-2x2+2，
故答案为：y=-2x2+2．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15．（2021·全国·九年级课时练习）已知，抛物线 经过原点，其顶点为 ．
（1）当 时，抛物线的解析式为_________．
（2）当点A在抛物线 上，且 时，a的取值范围是______．
【答案】 y=-3x2+6x
【分析】（1）根据顶点坐标设抛物线为y=a（x-1）2+3，将原点代入求出a值即可．
（2）分别求出m=1和m=7时点A的坐标，可得新的函数解析式，再根据经过原点可得a值，从而得到a
的取值范围．
【详解】解：（1）当m=1，n=3时，顶点坐标为（1，3），
设抛物线为y=a（x-1）2+3，
∵抛物线经过原点，
∴0=a（0-1）2+3，
∴a=-3，
∴抛物线解析式为y=-3x2+6x；
（2）∵点A在抛物线 上， ，
当x≥ 时，y随x的增大而增大，
当m=1时，n=1，当m=7时，n=43，
当A（1，1）时， ，
∵抛物线 过原点，
∴a+1=0，则a=-1，
当A（7，43）时， ，∵抛物线 经过原点，
∴ ，则 ，
∴a的取值范围是 ；
故答案为：y=-3x2+6x， ．
【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个
问题解不等式要注意讨论．
◎方法四：设“交点式”确定二次函数的解析式
16．（2021·全国·九年级课时练习）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（1，0），（﹣3，0），则
这条抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣3
【答案】B
【分析】根据“抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等”进行填空．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（1，0），（﹣3，0），
∴这条抛物线的对称轴是：x＝ ＝-1，
即x＝-1．
故选：B．
【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点问题，关键是掌握抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称；
17．（2020·江西·宜春九中九年级期中）已知抛物线 与 轴的交点为 ， ，则
该抛物线的对称轴（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴
【答案】C
【分析】根据抛物线的对称性得到点A和点B是抛物线上的对称点，所以点A和点B的对称轴即为抛物线
的对称轴．
【详解】∵抛物线 与x轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），∴该二次函数的对称轴为直线x=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x－x）（x－x）（a，b，c是常数，
1 2
a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x，0），（x，0）．解决本题的关键是掌握抛物线的对称
1 2
性．
18．（2023·河北·九年级专题练习）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标
系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
① ；
②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的 ．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，
将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．
【详解】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；
②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得 ，
解得 ，池底所在抛物线解析式为 ，则②正确；
③将 代入解析式得 ，解得 ，则池塘最深处到水面CD的距离为
m,则③错误；④设原宽度为 时最深处到水面的距离为 m，宽度减少为原来的一半时距离为
m，故④正确，
所以①、③错误，②、④正确，
选项B正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数
法求解．
19．（2022·宁夏·隆德县第二中学九年级期末）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应
值如下表：
x 0 1 2 3 4
y ⋯ 3 0 -1 0 3 ⋯
⋯ ⋯
则抛物线的解析式是______________．
【答案】
【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，得：
将 代入到 ，得：
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程
组的性质，从而完成求解．20．（2022·全国·九年级单元测试）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于A， 两点
，则该抛物线的解析式是____．
【答案】
【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为 ，根据 ，可得点A、B的坐
标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
【详解】当 时， ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
将 ， 代入 得，
，
解得 ，
∴该抛物线的解析式是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键．◎方法五：根据图形变换确定二次函数的解析式
类型1 平移变换
21．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点 是抛物线 的图象的
顶点，点 ， 的坐标分别为 ， ，将 沿 轴向下平移使点 平移到点 ，再绕点 逆时针
旋转 ，若此时点 ， 的对应点 ， 恰好落在抛物线上，则 的值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
【答案】A
【分析】先根据题意确定抛物线顶点 的坐标，过 作 于 ，得到 ， 的长，再根据题意，
与 重合，进而得到 和 的长，于是得到 的坐标，由于 在抛物线
上，进而求解．
【详解】过 作 于 ，如图∵抛物线的解析式： ，
∴其顶点是 ，对称轴
∵
∴ ，
根据题意， 与 重合，
∵
∴
∴ ，
∴
∵ ， 在抛物线 上
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，几何图形的平移与旋转的性质，掌握数形结合的思想方
法和灵活运用所学知识是解本题的关键．
22．（2022·全国·九年级）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2．
向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣4x C．y＝x2﹣4x﹣3 D．y＝x2﹣4x+3【答案】B
【分析】根据对称轴可求得 ，进而根据向下平移经过原点即可求得平移后的解析式
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2
∴
解得
向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，
平移后图象所对应的二次函数的表达式为
故选B
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的平移，求得二次函数的解析式是解题的关键．
类型2 旋转变换
23．（2010·湖北恩施·中考真题）将抛物线 绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是
（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】y=2x2-12x+16=2（x2-6x+8）=2（x-3）2-2，
将原抛物线绕顶点旋转180°后，得：y=-2（x-3）2-2=-2x2+12x-20；
故选D．
24．（2022·湖北荆州·九年级期末）在平面直角坐标系中，将抛物线 绕着原点旋转 ，所
得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【详解】试题分析：先将原抛物线化为顶点式，易得出与y轴交点，绕与y轴交点旋转180°，那么根据中
心对称的性质，可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式．
解：由原抛物线解析式可变为： ，
∴顶点坐标为（-1，2），
又由抛物线绕着原点旋转180°，
∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点原点中心对称，
∴新的抛物线的顶点坐标为（1，-2），
∴新的抛物线解析式为： ．
故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
类型3 轴对称变换
25．（2023·安徽·九年级专题练习）将抛物线C ：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线
1
C ，抛物线C 与抛物线C 关于x轴对称，则抛物线C 的解析式为（ ）．
2 2 3 3
A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2
【答案】D
【分析】根据抛物线C 的解析式得到顶点坐标，利用二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并根据
1
平移前后二次项的系数不变可得抛物线C 的顶点坐标，再根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点横坐标相
2
等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C 所对应的解析式．
3
【详解】解：∵抛物线 C ：y＝（x－3）2＋2，其顶点坐标为（3，2）
1
∵向左平移3个单位长度，得到抛物线C
2
∴抛物线C 的顶点坐标为（0，2）
2
∵抛物线C 与抛物线C 关于 x轴对称
2 3
∴抛物线C 的横坐标不变，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数
3
∴抛物线C 的顶点坐标为（0，－2），二次项系数为－1
3
∴抛物线C 的解析式为y＝－x2－2
3
故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移、对称问题，熟练掌握平移的规律以及关于x轴对称的两条
抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数是解题的关键．
26．（2020·江西·新建五中九年级阶段练习）抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于X轴对称，则抛物线C2
的解析式为（ ）
A．y=-x2 B．y=-x2+1 C．y=x2-1 D．y=-x2-1
【答案】D
【分析】画出图形后可根据开口方向决定二次项系数的符号，开口度是二次函数系数的绝对值；抛物线与
y轴的交点为常数项进行解答.
【详解】通过画图可知，关于x轴对称的两个函数解析式的开口方向改编，开口度不变，二次项系数互为
相反数；与y轴的交点互为相反数，因此常数项也互为相反数，故答案为y＝﹣x2－1，选D.
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，根据画图可以得到抛物线关于x轴对称的特点：二次项系
数，一次项系数，常数项均互为相反数.
◎方法六：根据图像信息确定二次函数的解析式
27．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线 与x轴相交于点 ，与y轴相交于点
C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线上不同的两点．
①若 ，求 之间的数量关系．
②若 ，求 的最小值．
【答案】(1)(2)① ；②最小值为
【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若 ，则 ，化简即可得到 的
关系；② 代入化简成顶点式即可得到最小值．
(1)
抛物线 与x轴相交于点
解得
；
(2)
①点 是抛物线上不同的两点．
若 ，则 ．
；
②
= = ，
当 =1时， 的最小值为-2．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待
定系数法是解题的关键．
28．（2019·浙江金华·九年级阶段练习）已知抛物线 的图象经过三个点（－1，0），点（3，0），点（0，-3）；
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1） ；（2）（1，-4）．
【分析】（1）利用待定系数法把（-1，0），（3，0），（0，-3）代入二次函数 中，即可
算出a,b,c的值，进而得到函数解析式；
（2）将（1）中所得解析式化为顶点式，可得结果．
【详解】（1）∵二次函数 过点（-1，0），（3，0），（0，-3），
∴ 解得：
∴二次函数的解析式为 ；
（2）∵ ＝（x-1）2−4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，−4）．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析
式．
29．（2021·全国·九年级专题练习）已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D 两点的坐标；
【答案】（1）y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）C(0，3)，D(2，－1)
【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可得二次函数的解
析式；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)，∴代入二次函数y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；
（2）当m＝2时，y＝(x－2)2－1，
∴D(2，－1)，
又当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)
【点睛】本题考查二次函数的综合应用以及二次函数顶点坐标以等知识，根据数形结合得出是解题关键．
◎方法七：根据几何图形的性质确定二次函数的解析式
30．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线 经过点 和点 ．解答下
列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为 ，对称抽与 轴的交点为 ，求线段 的长；
(3)点 在抛物线上运动，是否存在点 使 的面积等于6？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，
说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点 的坐标为： 或 或 或【分析】（1）抛物线 经过点 ， ，根据待定系数法即可求解；
（2）先把抛物线解析式配方成顶点式得对称轴为直线 和点 ，再由对称性求得 ，即
可求得 的长；
（3）设点 ，由 ，解得： ，即
可求解．
（1）
解：∵抛物线 经过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式是 ．
（2）
∵ ，
∴抛物线的对称轴为： ，顶点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）
存在，理由如下：
设 ，则点 的纵坐标为 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ 的面积等于6，
∴ ，
∴ ，
①当 时，解得 ， ；
②当 时，解得 ， ．
∴存在点 使 的面积等于6．点 的坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，解—元二次方程，其中第（3）问要注意分
类求解，避免遗漏．
31．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级阶段练习）如图，在▱ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以
点C为顶点的抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过x轴上的点A，B．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，根据 的坐标，即可求得 的坐标，根据 为顶
点，根据二次函数与 轴交于点 ，则 关于对称轴 对称， 且 ，即可求得 的坐标；
（2）根据（1）的结论求得抛物线解析式，设平移后的解析式为：代入 的坐标即可求得 的值，进而求
得平移后的抛物线的解析式．
【详解】（1） ▱ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），
，，
为抛物线的顶点，
抛物线的对称轴为 ，
二次函数与 轴交于点 ，则 关于对称轴 对称， 且 ，
，
（2） ，
设抛物线解析式为 将 代入
解得 ，
抛物线解析式为 ，
设向上平移 个单位后新抛物线的解析式为 ，
依题意，新抛物线过点 ，
则 ，
解得 ，
平移后的抛物线解析式为：
即 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，二次函数的性质，顶点式，二次函数图像的平移，掌握二次函数
的性质是解题的关键．
32．（2016·陕西安康·九年级期末）如图，二次函数y=a（x﹣2）2的图象与直线交于A（0，﹣1），B
1
（2，0）两点．
（1）确定二次函数的解析式；
（2）设直线AB解析式为y，根据图形，确定当y＞y 时，自变量x的取值范围．
2 1 2【答案】（1）y=﹣ （x﹣2）2．（2）0＜x＜2．
1
【详解】试题分析：（1）将点A（0，﹣1），代入抛物线解析式，即可求出a值，进而确定二次函数解析
式．
（2）确定y＞y 时，自变量x的取值范围即为抛物线图象在一次函数图形上方时对应的x的取值范围，观
1 2
察图形即可得出．
解：（1）∵二次函数y=a（x﹣2）2的图象与直线交于A（0，﹣1），
1
∴﹣1=a（x﹣2）2，
解得：a=﹣ ，
∴二次函数的解析式为：y=﹣ （x﹣2）2．
1
（2）∵二次函数y=a（x﹣2）2的图象与直线交于A（0，﹣1），B（2，0）两点，直线AB解析式为y，
1 2
∴y＞y 时，自变量x的取值范围为0＜x＜2．
1 2
考点：二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．
◎方法八：根据数量关系确定二次函数的解析式
33．（2022·全国·九年级课时练习）某件产品的成本是每件10元，试销售阶段每件产品的销售价x（元）
与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表所示．
x/元 15 20 30 35
y/件 25 20 10 5
(1)观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：y是x的什么函数？并求出解析式．
(2)要使得每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？
【答案】(1)y是x的一次函数，
(2)产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润最大，为225元
【分析】（1）先根据表中数据判断出y是x的一次函数，再用待定系数法求出函数解析式；
（2）设所获利润为W元，根据销售利润=一件利润×销售件数，一件利润=销售价-成本，得出日销售量y
是销售价x的一次函数；所获利润W为二次函数，再运用二次函数的性质，利用配方法可求最大利润．（1）
解：由表中数据可知，y是x的一次函数．
设此一次函数关系式为 ，
则 ，
解得 ， ，
故一次函数的关系式为 ；
（2）
解：设所获利润为W元，
则
，
所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润最大，为225元．
【点睛】此题考查一次函数与二次函数的实际运用，注意求最大值的方法和二次函数的性质．
34．（2022·广西·中考真题）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，
每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图
像如图所示．
(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润．
【答案】(1)y= -5x+500，50＜x＜100
(2)75元，3125元【分析】（1）设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得 ，确定解析式，结合图像，确定自
变量取值范围是50＜x＜100．
（2）设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意构造二次函数，根据函数的最值计算即可．
（1）设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得 ，解得 ∴ 函数的解析式为y=
-5x+500，当y=0时，-5x+500=0，解得x=100，结合图像，自变量取值范围是50＜x＜100．
（2）设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意，得：W=（x-50）(-5x+500)= ，∵-5
＜0，∴ w有最大值，且当x=75时，w有最大值，为3125，故销售单价定为75元时，该种油茶的月销售
利润最大；最大利润是3125元．
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，正
确构造二次函数是解题的关键．
35．（2022·浙江温州·九年级期末）某景区商店销售一种成本价为 10 元/件的纪念品，已知这种纪念品的
销售价不低于成本价，且物价部门规定销售价不得高于 24 元/件，经市场调查发现，该纪念品每天的销售
量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示．
(1)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2)求每天的销售利润 W（元）关于销售价 x（元/件）的函数解析式，并求出当每件的销售价为多少元时，
每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)y=－x+40（10≤x≤24）
(2)销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润为224元
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）由销售利润等于每件商品利润乘以销售数量即可得到函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值
即可.(1)
解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将（12，28），（15，25）代入，得：12kb28，15kb25
解得：k1，b40
∴关于x的函数解析式为y=－x+40（10≤x≤24）．
(2)
根据题意知，
W=（x－10）y=（x－10）（－x+40）=－（x－25）2+225，··
∵a=－1<0，
∴当x≤25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤24，
∴当x=24时，W取得最大值，最大值为224
答：当每件的销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润为224元．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，列二次函数的关系式，二次函数的性质，
熟练的利用二次函数的性质求解利润的最大值是解本题的关键.
