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培优专题 05 细究整式的的规律探究题
【专题精讲】
专题精讲
近年来与整式相关的中考题,改变了以往单一的整式计算,出现了整式的规律探究
题,这类题新颖别致,主要考查数感对于图形的理解以及观察问题和解决问题的能
力.对给出的式或图认真观察、大胆猜想、反复验证,找到其中内在的规律,是解
决此类问题的关键。
一、探究常见类型
(1)单项式的系数及次数变化类;
(2)多项式的项及次数变化类;
(3)数字变化规律类;
(4)图形变化规律类.
二、数式常见规律
一般地,用n表示正整数,从1开始,偶数用2n表示,奇数用2m-1或2m+1表示
①正方形数:1,4,9,16,…,n²;
n)(n＋1)
②三角形数:1,3,6,10，
2
③连续奇数的和:1+3+5+…+(2n-1)＝n²
④连续偶数和:2+4+6+…+2n＝n(n+1)
1
⑤连续整数的平方和:1²+2²+3²+…+n²= n(n+1)(2n+1);
61
⑥连续整数的立方和:1³+2³+3³+…+n³= n²(n+1)²
4
◎类型一：单项式的系数及次数变化类
1．（2022·全国·七年级课时练习）按一定规律排列的单项式：3 ， ， ，
， ，…，第8个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，
单项式中a的指数偶数，b的指数不变，
所以第8个单项式是： ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的
变化规律是解题的关键．
2．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学七年级期中）观察下面一列数：x，-2x2，3x3，-4x4，5x5，-
6x6，……，根据你发现的规律，第n个数是（ ）
A．nxn B．-nxn C． D．
【答案】D
【分析】通过观察可以发现：各单项式的系数的绝对值是连续的正整数，且奇数是正数，
偶数为负数，字母指数与该项序号相同，即可解答．
【详解】通过观察可以发现第n个数是 ，
故选D．
【点睛】本题考查单项式的变化规律．观察得出各单项式的系数和次数的变化规律是解题
关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，
， ，第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式
【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关
系是解决本题的关键．4．（2022·辽宁大连·七年级期末）按一定规律排列的单项式：2x，-3x2，4x3，-5x4，6x5，-
7x6，…第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过观察题意可得：奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且系数的绝对值是
从2开始的连续整数，次数是连续整数，由此可解出本题．
【详解】解：第1个单项式是2x=（-1）1+1（1+1）x1，
第2个单项式是-3x2=（-1）2+1（1+2）x2，
第3个单项式是4x3=（-1）3+1（1+3）x3，
•••，
第n个单项式是（-1）n+1（n+1）xn．
故选：D．
【点睛】本题考查单项式规律题，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字
因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数
的规律也是解决此类问题的关键．
◎类型二：多项式的项及次数变化类
5．（2022·云南·昆明市第三中学七年级期末）一组按规律排列的多项式： ， ，
， ，……，其中第10个式子的次数是（ ）
A．10 B．17 C．19 D．21
【答案】C
【分析】通过已知多项式找出规律，判定出第10个多项式，然后根据多项式次数的定义即
可得出结论．
【详解】解：第1个多项式为： = ；
第2个多项式为 = ；
第3个多项式为 = ；
第4个多项式为 = ；
故第10个式子为 ，其次数为19
故选C．
【点睛】此题考查的是探索规律题和求多项式的次数，找出多项式指数的变化规律和掌握
多项式次数的定义是解决此题的关键．
6．（2022·广东深圳·七年级期末）多项式按规律排列：ab2，a2b3，a3b4……．则第100
个多项式的次数是_________．【答案】101
【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的
符号是正号，第二项中b的次数是序号加1，据此写出100个多项式即可．
【详解】解：一组按规律排列的多项式：a+b，a2+b3，a3+b4，a4+b5…
每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的符号是正号，第二项中b的次数是
序号加1，其中第100个式子是a100+b101；次数为101
故答案为：101．
【点睛】本题考查了多项式的次数，解题关键是发现规律写出多项式，把多项式分成几个
单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．
7．（2021·全国·七年级课时练习）有一组多项式： ， ， ，
，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 个多项式为________．
【答案】
【分析】观察已知多项式，得出一般性规律，确定出第n个多项式即可．
【详解】解：根据题意，
∵ ， ， ， ，．．．，
∴第n个多项式为： ；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了多项式，找出正确的规律是解本题的关键．
8．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨
辉三角”（如图），此图揭示了 （n为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例
如：
请写出 展开式中间一项的系数（ ）
A．70 B．64 C．56 D．54
【答案】A
【分析】根据题意可得每行第一个和最后一个数都是1，其他位置的数下面的数等于上面
两个数的和，即可求出 展开式中间一项的系数．
【详解】解：由题意可得下面一个数等于上面两个数的和，∴ 中，各项的系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，
∴ 中，各项的系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1，
∴ 展开式中间一项的系数为70，
故选：A．
【点睛】此题考查了多项式的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数
的有关规律．
9．（2022·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）
n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三
角”．
（a＋b）0＝1
（a＋b）1＝a＋b
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
…
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048 B．1024 C．512 D．256
【答案】B
【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出 展开式的项系数和为
，求出系数知和即可
【详解】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，
当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，
当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，
当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23
……
由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n，
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024，
故选：B．
【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关键．
◎类型三：数字变化规律类
10．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据： ， ， ， ， ，
，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把第3个数转化为： ，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是 ，且奇
数项是正，偶数项是负，据此即可求解．
【详解】原数据可转化为： ，
∴ ，
，
，
..．
∴第n个数为： ，
∴第10个数为： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
11．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需
要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，
我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推
算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．
【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
12．（2021·山东济宁·中考真题）按规律排列的一组数据： ， ，□， ， ， ，
…，其中□内应填的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方 ，根据规律即可得到答案．
【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方 ，
第 个数据为：
当 时 的分子为 ，分母为
这个数为
故选： ．
【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．
13．（2020·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，
，…，第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，
发现规律进行概括即可得到答案．
【详解】解： ， ， ， ， ， ，…，
可记为：
第 项为：
故选A．
【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题
的关键．
◎类型四：图形变化规律类
14．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅
图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规
律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）A．297 B．301 C．303 D．400
【答案】B
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆
点的个数．
【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
15．（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1
个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，
则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
【答案】C
【分析】根据第①个图案中菱形的个数： ；第②个图案中菱形的个数： ；第③个
图案中菱形的个数： ；…第n个图案中菱形的个数： ，算出第⑥个图
案中菱形个数即可．
【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数： ；
第②个图案中菱形的个数： ；
第③个图案中菱形的个数： ；
…第n个图案中菱形的个数： ，
∴则第⑥个图案中菱形的个数为： ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变
化规律．
16．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5
个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17
个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
【答案】C
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，
……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图
形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数
字之间的规律是解决问题的关键．
17．（2021·广西玉林·中考真题）观察下列树枝分叉的规律图，若第 个图树枝数用 表示，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分
杈的变化规律，进而得到规律 ，代入规律求解即可．
【详解】解：由图可得到：
则： ，
∴ ，
故答案选：B．
【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【巩固训练】
1．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列关于x的单项式，探究其规律，x，3x2，5x3，
7x4，9x5，11x6…按照上述规律第2021个单项式是（ ）
A．2021x2021 B．4041x2020 C．4041x2021 D．4043x2021
【答案】C
【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字
母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第
2021个单项式．
【详解】解：∵一列单项式为：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，
∴第n个单项式为（2n-1）xn，
∴当n=2021时，这个单项式是（2×2021-1）x2021=4041x2021，
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是发现单项式系数与数字的变
化特点，写出相应的单项式．
2．（2022·全国·七年级专题练习）按一定规律排列的单项式：2x，4x3，8x5，16x7，32x9，
64x11，…，则第n个单项式是（ ）
A．2nxn＋1 B．2nxn－1 C．2nx2n－1 D．2nx2n＋1
【答案】C
【分析】根据前几个单项式的系数和次数的变化规律求解即可．
【详解】解：由题意，各单项式的系数为2n，次数为2n-1，∴第n个单项式是2nx2n－1，
故选：C．
【点睛】本题考查单项式规律题，单项式的系数、次数，理解题意，准确找到单项式系数
和次数的变化规律是解答的关键．
3．（2020·甘肃天水·中考真题）观察等式： ； ；
；…已知按一定规律排列的一组数： ，若
，用含 的式子表示这组数据的和是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得出 ，再利用整体
代入思想即可得出答案．
【详解】解：由题意得：这组数据的和为：
∵ ，
∴原式= ,
故选：A．
【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的
逆用，解题的关键是正确找到本题的规律： ，学会探究规
律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．（2019·湖南常德·中考真题）观察下列等式：
根据其中的规律可得
的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出 的结果的个位数字．
【详解】∵
∴个位数4个数一循环，
∴ ，∴ ，
∴ 的结果的个位数字是：0．
故选A．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
5．（2020·山东日照·中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律
摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．59 B．65 C．70 D．71
【答案】C
【分析】由题意观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3
个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个
图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n=10求得答案即可．
【详解】解：根据图中圆点排列，
当n＝1时，圆点个数5+2；
当n＝2时，圆点个数5+2+3；
当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；
当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11
＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）
＝
．
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，注意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，
利用规律解决问题．
6．（2020·重庆·中考真题）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有
1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，
按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21
【答案】B【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为
1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
【详解】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，
……
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图
案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n．
