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第8 章 二元一次方程组（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知方程 ，当 时 ，那么 为（ ）
A． B． C． D．
2．若 与 是同类项，则m，n满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．用加减法解方程组 中，消 用________法，消 用________法（ ）
A．加，加 B．加，减 C．减，加 D．成，减
4．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组 有 整数解，则 的值为（ ）
A．4 B．1 C．49 D．4或49
5．两位同学在解关于x、y的方程组 时甲看错①中的a，解得 ，乙看错②
中的b，解得 ，那么a和b的正确值应是（ ）
A． B． C． D．
6．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天
平右边应放“▲”的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在方程组 的解中， 、 的和等于9，则 的算术平方根为（ ）A．7 B． C． D．
8．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是( )
A． B． C． D．
9．已知多项式 中， ， ， 为常数， 的取值与多项式对应的值如下表：
1 2
7
则 值为（ ）
A．15 B．19 C．21 D．23
10．一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且 比 小 ．若设 ， ，则可得
到的方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若关于 ， 的方程 是二元一次方程，则 .
12．已知二元一次方程 ，用含 的代数式表示 ＝ ．
13．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则k的值为14．已知关于x、y的方程组 的解为 ，则 ．
15．下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程 的一个解，则表中“？”表示的数为
…
x 2 1 0 ？
…
…
y 2 4 6 8 102
…
16．已知 ， ，…， 中 的数值只能取 、0、1中的一个，且满足
， ．则 的值为 ．
17．三个面积均是 的多边形如图叠放，其中，正方形阴影部分外的面积是 ，六边形阴影部分外
的面积是 ，若两块阴影部分的面积之和正好是五边形面积的一半，则a、b、m三者之间的数量关
系是 ．
18．一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的边长是 ，则这个正方体容器的内部底面积
是 ；若该正方体容器内水深 ，现将三条棱长分别为 、 、 （ ）的
长方体铁块放入水中，此时铁块的顶部高出水面 ，则长方体铁块的棱长 （用含x的
代数式表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解下列方程组：
(1). ； (2)20．（8分）已知y=kx+b，当x=2时，y=-1；当x=-1时，y=5.
(1)求k、b的值；
(2)当x取何值时，y=2.
21．（10分）解方程组： ．
22．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求 的值．
23．（10分）甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组
的解为 ，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，试计算 的值．
24．（12分）为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分
旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元 ，建造新校舍的费用为700元 ．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 ．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的 ，
而拆除校舍则超过了 ，结果恰好完成了原计划的拆建总面积．
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米；
(2)如果绿化的费用为200元 ，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约
是多少？参考答案：
1．C
【分析】把 代入原方程得关于 的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：把 代入原方程得：
故选C．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解的含义，掌握二元一次方程的解的含义是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定
义中相同字母的指数也相同，可求得m和n的值．
【详解】解：由同类项的定义可知
，即 ；
．
故选：D．
【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是熟练掌握同类项的定义．
3．C
【分析】观察两方程中x的系数相同，y的系数相反，利用加减消元法判断即可．
【详解】解：用加减法解方程组 中，消x用减法，消y用加法，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了加减消元法，解题的关键是注意观察x的系数，y的系数．
4．A
【分析】首先解方程组求得方程组的解是： ，则 是10和15的公约数，且是正整数，据此
即可求得 的值，求得代数式的值．
【详解】解：两式相加得： ，则 ，
代入第二个方程得： ，
当方程组有整数解时， 是10和15的公约数．
或 ．
即 或 或2或 ．
又 是正整数，
，
则 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解，正确理解3+m是10和15的公约数是关键．
5．C
【分析】甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求
解即可．
【详解】解：∵两位同学在解关于x、y的方程组 时甲看错①中的a，解得 ，乙
看错②中的b，解得 ，
∴把 代入②，得 ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
解得： ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意设■，●，▲分别为 ，根据题干图列出关于
的等式找出等量关系即为本题答案．
【详解】解：设■，●，▲分别为 ，
根据题意得：第一个天平： ，第二个天平： ，
即： ，
解得： ，
∴第三个天平： ，即第三个天平左边为一个 时，右边为 个 ，
故选：B．
7．A
【分析】根据条件得到二元一次方程组 ，求出x，y的值，进而求出 的算术平方根，即可．
【详解】∵ 且x+y=9，
∴ ，解得： ，
∴ = =6 4+5 5=49，
× ×
∴ 的算术平方根为：7．
故选A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的意义，掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
8．C
【分析】先将 化简为 ，然后用“整体代换”法，求出方程组的解即可；
【详解】解： ，
，设 ，
，
方程组 的解是 ，
方程组 的解为 ，
，
解得： ．
故选C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
9．D
【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方
法解方程即可；先求解 ， ，再利用整体代入法可得答案．
【详解】解：当 时， ①，
当 时， ②，
当 时， ③，
当 时， ④，
③ ①得： ，即 ，
④ ②得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D10．D
【分析】根据平角的定义可得 ，再由 比 小 ，即可列出对应的方程组．
【详解】解：设 ， ，
由题意得， ，即
故选D．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
11．2
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项
的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得 ．
故答案为： ．
12．
【分析】根据等式的性质表示即可．
【详解】解：∵ 3x−y=1 ，
根据等式的性质可得 y=3x−1．
故答案为3x-1
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
13．
【分析】
本题考查二元一次方程组的解，根据题意得出 ，再求解是解题的关键．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
14．11
【分析】将x=1，y=2代入方程组，可得关于m与n的方程组，相加即可得到答案．
【详解】解：∵关于x，y的方程组 的解为 ，
∴ ，
①+②得：3m-4n=11，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，解决问题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使
方程组中两方程成立的未知数的值，用特殊方法解方程组求代数式求值．
15．
【分析】代入原方程，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，进而可得出原方程为
，再代入 ，即可求出表中“？”表示的数．
【详解】解：将 ， 代入原方程得： ，
解得： ，
∴原方程为 ，
当 时， ，
解得： ，
∴表中“？”表示的数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，代入二元一次方程的两组解，求出a，b值
是解题的关键．
16．3025【分析】先设有p个x取1，q个x取 ，根据 可得出关于p、q的
二元一次方程组，求出p、q的值，再把p、q的值代入 求解，即可得出结果．
【详解】解：设有p个x取1，q个x取 ，
， ，
，
解得：
，
．
故答案为：3025．
【点睛】本题考查了数字的变化规律及二元一次方程组的应用，根据题意列出关于p、q的二元一次方程组
是解答此题的关键．
17．
【分析】本题考查了二元一次方程组，设正方形与五边形阴影部分的面积是 ，六边形与五边形阴影部分
的面积是 ，根据题意列出相应的方程组，再消元即可．
【详解】解：设正方形与五边形阴影部分的面积是 ，六边形与五边形阴影部分的面积是 ，根据题意得：
，
整理得到： ，
故答案为： ．18． x＋2或40−5x
【分析】利用正方体体积公式即可求得，根据体积关系确定y与x之间的关系．
【详解】解：这个正方体容器的内部底面积为：20×20＝400（cm2），
放入铁块后水深为：（y−2）cm或10−2＝8cm．
∴10×10（y−2）＋400x＝400（y−2）或10y×8＋400x＝400×8．
∴y＝ x＋2或y＝40−5x．
故答案为：400， x＋2或40−5x．
【点睛】本题考查认识立体图形，代入法求二元一次方程组，通过体积关系确定x与y的关系是求解本题
的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接运用代入消元法解答即可；
（2）先化简原方程组．
【详解】（1）解：
将①代入②可得：3x-（x+1）=1，解得x=1
将x=1代入①可得：y=2
所以方程组的解为 ．
（2）解： 可化为
①×2-②可得：7x=19，即x=将x= 代入②可得：y=
所以方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法成为解答本题的关键．
20．(1)k=-2，b=3
(2)x= 时，y=2
【分析】（1）直接将x与y的对应值代入等式中求解即可；
（2）令y=2，求出x的值即可．
【详解】（1）由题意，得
解这个方程组，
得k=-2，b=3；
（2）由(1)得，y=-2x+3.
∵ y=2.
∴ -2x+3=2，
∴ .
∴ x= 时，y=2.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是列出二元一次方程组并能正确求解．
21．
【详解】试题分析：①+②消去z得到一个方程，记作④，②×2+③消去z得到另一个方程，记作⑤，两
方程联立消去y求出x的值，将x的值代入④求出y的值，将x、y的值代入③求出z的值，即可得到原方程
组的解．
试题解析：①+②得：4x+y=16④，②×2+③得：3x+5y=29⑤，
④⑤组成方程组
解得
将x=3，y=4代入③得：z=5，
则方程组的解为 ．
考点： 解三元一次方程组．
22．(1)
(2)1
【详解】（1）由题意，得
①＋②，得5x＝10，解得x＝2．
把x＝2代入①，得4＋5y＝－26，解得y＝－6．
∴这两个方程组的相同解为
（2）把 代入 得
解此方程组，得a＝1，b＝－1，
∴（2a＋b）2024＝（2－1）2024＝1．
23．0
【分析】因为甲看错了方程①中的a，而方程②中的b没有看错，所以 满足方程 ，将代入 可求 ，同理乙看错了方程②中的b，而方程①中的 没有看错，所以 满足
方程 ，将 代入 可求 ，最后将 、 代入 求解即可．
【详解】解：将 代入方程 中得： ，即 ；
将 代入方程 中的得： ，即 ，.
将 ， 代入 ，
则 ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组的错看问题，掌握方程组的解为使方程组中两个方程同时成立的未知
数的值是解题的关键．
24．(1)原计划拆、建面积分别是 、
(2)在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约
【分析】
（1）根据新旧校舍的总面积，列出方程组，即可求解，
（2）根据节约资金 原计划资金 实际资金，列出算式，即可求解，
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式．
【详解】（1）解：设原计划拆、建面积各是 ，由题意得： ，解得：
，故答案为：原计划拆、建面积分别是 、 ，
（2）解： ，
，
．
故在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约 ．
