文档内容
培优专题 23 反比例函数的比例系数 K 和面积的关系
【专题讲解】
◎反比例函数的比例系数k的几何意义:
k
过双曲线y= (k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形的面积为1K1.
x
k
过双曲线y= (k≠0)上任意一点作x轴(或y轴)的垂线,连接这点和原点的线段,它们与x轴(或y轴)
x
1
所围成的三角形的面积为 1k1.
2
◎反比例函数中常见的解题模型
1.双曲线与一次函数的图象交于两点
两点和原点
结论2.双K模型
两曲一
平行
结论
3.双曲线过矩形“中点”
位置 过矩形相邻两边的中点 过矩形对角线的中点
图示
结论
【专题训练】
◎类型一：已知比例系数求面积
1．（2022·全国·九年级单元测试）如图， 的顶点 在第一象限，顶点 在 轴的正半轴，函数
的图象经过 的中点 ，与直角边 交于点 ，若点 的坐标为 ，则 的面
积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据点 是 的中点即可求出 点坐标，由 点坐标即可求出反比例函数的解析式，故可
得出 的面积，由 即可得出结论
【详解】解： 是 的中点，点 的坐标为 ，
∴ ，
把 代入反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中 的特点是解答此题的关键．
2．（2022·山东·济南高新区东城逸家初级中学九年级阶段练习）如图，两个反比例函数y＝ 和y＝ 在
1 2第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C 上，PA⊥x轴于点A，交C 于点B，则 POB的面积为（
1 2 1 2
） △
A．4 B．2 C．1 D．6
【答案】C
【分析】根据反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义得到 ，然后利用
进行计算即可．
【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，交 于点B，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y= （k≠0）图象上任意一
点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）如图，A，B是函数y= （m＞0）的图象上关于原点
对称的任意两点，BC x轴，AC y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据A、B两点在曲线上可设A、B两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答案．
【详解】设点A（x，y），则点B（-x，-y），
∴xy=m，
∴AC=2y，BC=2x，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根
据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．
4．（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点P在
的图象上，PC⊥x轴，交 的图象于点A，PD⊥y轴，交 的图象于点B．当点P在 的图
象上运动时，以下结论：①△ODB与 OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积不
会发生变化；④当点A是PC的中点时△，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D【分析】①由点 、 均在反比例函数 的图象上，利用反比例函数系数 的几何意义即可得出
，结论①正确；③利用分割图形求面积法即可得出 ，结论③正确；②设点
的坐标为 ，则点 的坐标 ， ，点 ，求出 、 的长度，由此可得出 与 的关系
无法确定，结论②错误；④设点 的坐标为 ，则点 的坐标 ， ，点 ，由点 是 的
中点可得出 ，将其带入点 、 的坐标即可得出点 是 的中点，结论④正确．此题得解．
【详解】解：① 点 、 均在反比例函数 的图象上，且 轴， 轴，
， ，
，结论①正确；
②设点 的坐标为 ，则点 的坐标 ， ，点 ，
， ，
与 的关系无法确定，结论②错误；
③ 点 在反比例函数 的图象上，且 轴， 轴，
，
，结论③正确；
④设点 的坐标为 ，则点 的坐标 ， ，点 ，
点 是 的中点，
，
， ， ，
点 是 的中点，结论④正确．
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，逐一分析说四条结论的正误是解题的关键．
5．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反
比例函数 在第一象限的图象经过点B，则 与 的面积差为（ ）．
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】C
【分析】已知反比例函数的解析式为 ，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，
)再结合已知条件求解即可；
【详解】解：如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数 的图象上，所以设点B(m， )．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n， )，
由AD=BD，得n− =m−n，化简整理得m2−2mn=−16．
∴S OAC−S BAD= n2− (m−n)2=− m2+mn=− (m2−2mn)，
△ △
即S OAC−S BAD=8．
故选△C △
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是掌握反比例函数系数 的几何意义．
◎类型二：两点和原点
6．（2022·河南南阳·一模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交
于二、四象限内的 、 两点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)则 ， ；
(2)若 时，则 的取值范围是 ；
(3)过点 作 轴于 点，连接 ，过点 作 于点 ，求线段 的长．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【分析】（1）先将点 坐标代入反比例函数解析式中，求出 ，再将点 坐标代入反比例函数解析式中
求出 ；
（2）根据图象直接得出结论；
（3）先求出 ， ，再求出 ，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论．
（1）
点 ， 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的解析式为 ，在反比例函数 的图象上，
，
，
故答案为： ， ；
（2）
由（1）知， ，
，
，
当 或 时， ，
故答案为： 或 ；
（3）
轴， ，
，
，
点 到 的距离 ，
， ，
，
，
，
．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形的面积公式，用
方程的思想解决问题是解本题的关键．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点 是直线 与反比例函数 图象的
两个交点， 轴，垂足为点 已知 ，连接 ．求反比例函数和直线 的表达式：
和 的面积分别为 求 ．
【答案】（1）反比例函数的解析式为 ，直线AB为 ；（2）
【分析】（1）先将点A（ ，4）代入反比例函数解析式中求出n的值，进而得到点B的坐标，已知点
A、点B坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；
（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S，S 的值，即可求出 ．
1 2
【详解】解： 由点 在反比例函数 图象上，
反比例函数的解析式为
将点 代入 得
设直线 的表达式为
解得直线 的表达式为 ；
由点 坐标得 点 到 的距离为
设 与 轴的交点为 可得 如图：
由点 知点 到 的距离分别为 ，3
.
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，属于中考常考题型．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝ x的图像与反比例函数y
＝ 的图像交于A，B两点，且点A的坐标为（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点C（b，4）在反比例函数y＝ 的图像上，点P在x轴上，若△AOC的面积等于△AOP的面积
的两倍，请求出点P的坐标．【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝ ；（2）点P的坐标为（ ，0）或（－ ，0）．
【分析】（1）先求解A的坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式，
（2）先求解C的坐标，利用S AOC＝S COEA－S OAE＝S COEA－S COD＝S CDEA求解
四边形 四边形 梯形
△ △ △
，再求 ，利用面积公式可得答案．
【详解】解：（1）∵点A（6，a）在正比例函数y＝ x的图像上
∴a＝ ×6＝2
∵点A（6，2）在反比例函数y＝ 的图像上
∴2＝ ，
k＝12
∴反比例函数的表达式为y＝ ．
（2）分别过点C，A作CD⊥ 轴，AE⊥ 轴，垂足分别为点D，E．
∵点C（b，4）在反比例函数y＝ 的图像上
∴4＝ ，b＝3，即点C的坐标为（3，4）
∵点A，C都在反比例函数y＝ 的图像上∴S OAE＝S COD＝ ×12＝6
△ △
∴S AOC＝S COEA－S OAE＝S COEA－S COD＝S CDEA
四边形 四边形 梯形
△ △ △
∴S AOC＝ ×(CD＋AE)·DE＝ ×(4＋2)×(6－3)＝9
△
∵△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍
∴S AOP＝ S AOC＝ ，
△ △
设点P的坐标为（m，0）
则S AOP＝ ×2·︱m︱＝ ，．
△
∴m＝ ，
∴点P的坐标为（ ，0）或（－ ，0）．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，考查反比例函数中系数 的几何意义，掌
握以上知识是解题的关键
◎类型三：两曲一平行
9．（2021·福建·厦门外国语学校八年级期末）如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，
交函数 的图像于点A，交函数 的图像于点B，过点B作x轴的平行线，交 于点C，连
接AC．
（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积；
（2）若AB＝BC，求点A的坐标；
（3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理
由．【答案】（1） ；（2）点A（−2， ）；（3）△OAC的面积不随t的值的变化而变化，理由见详解
【分析】（1）点P（−1，0）则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（− ，4），S ABC＝ BC×AB，
△
即可求解；
（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t， ）、（ ， ），AB＝BC，
即： -( )＝ −t，即可求解；
（3）由S OAC＝S AMNC＝ （ −t）（ ＋ ）＝ ，即可得到结论．
梯形
△
【详解】解：（1）点P（−1，0），则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（− ，4），
∴S ABC＝ BC×AB＝ ×（− ＋1）×（4−1）＝ ；
△
（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t， ）、（ ， ），
∵AB＝BC，
∴ -( )＝ −t，解得：t＝±2（舍去2），
∴点A（−2， ）；
（3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，
则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t， ）、（ ， ），∴S OAC＝S AMNC＝ （ −t）（ ＋ ）＝ ，
梯形
△
∴△OAC的面积不随t的值的变化而变化．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是通过函数关系，确定相应坐标，进而求解．
10．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点 在反比例函数 的图象上， 轴，且交y轴于点
C，交反比例函数 于点B，已知 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求反比例函数 的解析式；
（3）点D为反比例函数 上一动点，连接 交y轴于点E，当E为 中点时，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）先求解 的坐标，再把 的坐标代入正比例函数 ，解方程即可得到答案；
（2）利用 先求解 的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）设 而 为 的中点，利用中点坐标公式求解 的坐标，再利用
，计算即可得到答案.
【详解】解：（1） 点 在反比例函数 的图象上，
则设直线 为：
则
所以直线 为：
（2） 轴， ．
所以反比例函数为：
（3）设 而 为 的中点，
【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，
熟练应用以上知识解题是关键.
◎类型四：一点两垂线
11．（2022·黑龙江牡丹江·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在第二象限，直线
轴，垂足是D， 轴，垂足是C，AB，AD的长分别是方程 的两根．(1)求点C的坐标；
(2)连接CD，过点B作CD的垂线，垂足是H，交y轴负半轴于点E， ，双曲线 的一支经过
点B，求k的值；
(3)在（2）条件下，点M在y轴上，点N直线BE上，是否存在点N，使以B，M，N为顶点的三角形与
△BCD相似？若存在？请写出满足条件的点N的个数，并直接写出其中两个点N的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)点
(2)
(3)存在9个点N，当点N的坐标为（0，-3）或（-4，5）或（ ，0）或（ ，2）或（ ， ）或（
， ）或（-1，-1）或（ ， ）或（ ， ），使以B，M，N为顶点的三角形与△BCD相似
【分析】（1）先解一元二次方程求出 ， ，从而求出BD=2即可得到答案；
（2）先求出OE=3，然后证明 得到 ，从而求出BC的长即可得到答案；
（3）分以B、M、N三个点分别为直角顶点三种大情形，画出图形，利用相似三角形的性质进行求解即可．
(1)
解：∵ ，
∴ ，
解得 ， ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∴点 ．
(2)
解：∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 或－4（舍去）
∴点 ．
∵双曲线 的一支经过点B，
∴ ．
(3)
解： 设直线BE的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线BE的解析式为 ，
同理可以求出直线CD的解析式为 ，联立 ，
解得 ，
∴点H的坐标为（ ， ）；
如图1所示，当∠MBN=90°，△MBN∽△CBD时，
∴∠MNB=∠CDB，
由（1）得 ，
∴∠MEB=∠CDB，
当N与点E重合时，满足题意，
∴此时点N的坐标为（0，-3）；
当点N在 点，且 时，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点B是 的中点，
∴点 的坐标为（-4，5）；如图2所示，当∠MBN=90°，△MBN∽△DBC时，
设点M的坐标为（0，m），
∴ , ， ，
∴ ，
解得 ，
∴点M的坐标为（0，2），
∴ ，
∵△MBN∽△DBC，
∴ ，
∴ ，
∴点N的坐标为（n，-2n-3），
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为（ ，0），点 的坐标为（ ，2）；如图3所示，当∠MNB=90°，△MNB∽△DBC时，
∵∠BDH=∠CDB，∠CBD=∠BHD=90°，
∴△BHD∽△CBD，
∴当点N与点H重合，点M与点D重合时，满足题意，
∴点 的坐标为（ ， ）；
当点N在点 位置，点M在点 位置时，
同理可证 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
设点 的坐标为（t，-2t-3），
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴点 的坐标为（ ， ）；如图4所示，当∠MNB=90°，△MNB∽△CBD时，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴点 为BE的中点，
∴点 的坐标为（-1，-1）；
当点 在 时，点M在 时，
∵ ，
∴ ，
即此时 不符合题意；
如图5所示，当∠BMN=90°，△BMN∽△CBD时，
当点M与点D重合，当点N与点E重合，此时满足题意，即点N的坐标为（0，-3）；当 时，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于T，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
设点 的坐标为（s，-2s-3），
∴ ，
解得 或 （舍去），∴点 的坐标为（ ， ）；
如图6所示，当∠BMN=90°，△BMN∽△DBC，时，
∴∠MBN=∠BDC=∠MEN，
当点N在B点上方时，
∴ ，不符而合题意，
当点N在点B下方时，
同理可以推出 ，
∴ ，
设点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
设点 的坐标为（x，-2x-3），∴ ，
解得 或 （舍去），
∴点 的坐标为（ ， ）；
当点M在 位置时，同理可证 ，不符而合题意；
综上所述，存在9个点N，当点N的坐标为（0，-3）或（-4，5）或（ ，0）或（ ，2）或（ ，
）或（ ， ）或（-1，-1）或（ ， ）或（ ， ），使以B，M，N为顶点的三角形与
△BCD相似
．
【点睛】本题考查反比例函数、解一元二次方程、相似三角形，灵活运用相似三角形的性质、分类讨论思
想是解题的关键．
12．（2022·四川成都·二模）如图1，动点 在函数 的图象上，过点 分别作 轴和 轴
的平行线，交函数 的图象于点 、 ，作直线 ，设直线 的函数表达式为 ．（1）若点 的坐标为 ．
① 点坐标为______， 点坐标为______，直线 的函数表达式为______；
②点 在 轴上，点 在 轴上，且以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 、
的坐标；
（2）连接 、 ．
①当 时，求 的长度；
②如图2，试证明 的面积是个定值．
【答案】（1）①(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；②D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；（2）
① ；②见详解
【分析】（1）①把x＝2代入 中，求得C点的纵坐标，进而得C点坐标，把y＝4代入 中，求
得B点的横坐标，进而得B点坐标，再用待定系数法求得BC的解析式；
②设D（m，0），E（0，n），显然BC为平行四边形的对角线时不存在，则BC必为平行四边形的边，分
别两种情况BE∥CD或BD∥CE，求出结果便可；
（2）①设M（m， ），则B（ ， ），C（m， ），由OB＝OC列出方程求得m2，由两点距离公式
求得OB；②延长MC与x轴交于点A，设M（m， ），则B（ ， ），C（m， ），A（m，0），根
据梯形面积公式和三角形的面积公式计算便可得答案．
【详解】解：（1）①∵点M的坐标为（2，4），BM∥x轴，CM∥y轴，
∴xC＝2，yB＝4，
把y＝4代入 中，得x＝1，∴B(1，4)，
把x＝2代入 中，得y＝2，
∴C（2，2），
把B、C的坐标都代入y＝kx＋b中，得 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y＝−2x＋6．
故答案为：(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；
②设D（m，0），E（0，n），
当四边形BEDC为平行四边形时，
∵B(1，4)，C（2，2），BE∥CD，BE＝CD，
∴1−0＝2−m，4−n＝2−0，
∴m＝1，n＝2，
∴D(1，0)，E(0，2)，
当四边形BDEC为平行四边形时，
∵B(1，4)，C（2，2），BD∥CE，BD＝CE，
∴1−m＝2−0，4−0＝2−n，
∴m＝−1，n＝−2，
∴D（−1，0），E（0，2），
综上所述：D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；
（2）①设M（m， ），则B（ ， ），C（m， ），
∵OB＝OC，
∴OB2＝OC2，
∴( )2＋( )2＝m2＋( )2，解得，m2＝8，
∴OB＝ ；
②延长MC与x轴交于点A，设M（m， ），则B（ ， ），C（m， ），A（m，0），
∴BM＝ ，MA＝ ，AC＝ ，CM＝ ，OA＝m，
∴S OBC＝S OAMB−S BCM−S OAC
梯形
△ △ △
＝ ( ＋m)• − × • − m• ＝3，
∴△BOC的面积是个定值．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与性质，一次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，等
腰三角形的性质，三角形的面积，关键在于分情况讨论，数形结合正确根据点的坐标特点表示线段长度．
◎类型五：一点一垂线
13．（2015·浙江嘉兴·中考真题）如图，直线y＝2x与反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象交于点A(1，
a)，点B是此反比例函数图象上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C．
(1)求k的值；
(2)求△OBC的面积．
【答案】(1)2
(2)1
【分析】（1）由直线y=2x与反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），先将A（1，a）代入直线y=2x求出a的值，从而确定A点的坐标，然后将A点的坐标代入反比例函数y= 中即可求出k的值；
（2）由反比例函数y= 的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积等于 |k|，从而求出△OBC的面积．
(1)
解：∵直线y=2x与反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），
∴将A（1，a）代入直线y=2x，得：a=2
∴A（1，2），
将A（1，2）代入反比例函数y= 中得：k=2，
∴y= ；
(2)
解：∵B是反比例函数y= 图象上的点，且BC⊥x轴于点C，
∴△BOC的面积= |k|= ×2=1．
【点睛】反比例函数与一次函数的交点问题．
14．（2021·全国·九年级专题练习）已知图中的曲线是反比例函数y＝ （m为常数）图象的一支．
（1）根据图象位置，求m的取值范围；
（2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求m的值．
【答案】（1）m＞5；（2）m＝13．
【分析】（1）由反比例函数图象位于第一象限得到m﹣5大于0，即可求出m的范围；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义得出 （m﹣5）＝4，解得即可．【详解】解：（1）∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，
∴m﹣5＞0，
解得m＞5；
（2）∵S△OAB＝ |k|，△OAB的面积为4，
∴ （m﹣5）＝4，
∴m＝13．
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象与性质，根据系数k的几何意义得
出 （m−5）＝4是解题的关键．
