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培优专题 24 反比例函数与实际问题
◎类型一：图形类
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一
个面积为 的矩形劳动基地 ，边 的长不超过墙的长度，在 边上开设宽为1m的门 （门
不需要消耗篱笆）．设 的长为 （m）， 的长为 （m）．
(1)求 关于 的函数表达式．
(2)若围成矩形劳动基地 三边的篱笆总长为10m，求 和 的长度
(3)若 和 的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地 三边的篱笆总长小于10m，请直接
写出所有满足条件的围建方案．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝12，进而可得出： ；（2）根据篱笆总长和门的长表示出AB与BC，列出方程求出即可；
（3）由x，y均为整数，围成矩形劳动基地 三边的篱笆总长小于10m，可得出x的值，进而可得出
各围建方案．
（1）
解：依题意得：xy＝12，
∴ ．
又∵墙长为6m，
∴ ，
∴ ．
∴y关于x的函数表达式为： ．
（2）
解：依题意得： ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）
解：依题意得： ， ，
∴ ，
∵ 和 的长都是正整数，
∴ 或 ，
∴则满足条件的围建方案为： 或
【点睛】本题考查了根据实际问题列出反比例函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式以及根据x，y均为整数找出x，y的值是解题的关键．
2．（2021·吉林白城·九年级阶段练习）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为 ，阻力
臂长为 ．设动力为 ，动力臂长为 ．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍
本身所受的重力忽略不计）
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)当动力臂长为 时，撬动石头至少需要多大的力？
【答案】(1) ；
(2)当动力臂长为 时，撬动石头至少需要 的力．
【分析】(1)根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式；
(2)将x=1.5代入(1)中所求解析式，即可得出y的值．
（1）
解：由题意，得 ，
则 ，
∴y关于x的函数解析式为 ．
（2）
解：∵ ，
∴当 时， ，故当动力臂长为 时，撬动石头至少需要 的力．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，李老师准备用篱笆围建一个面积为60m2的矩形花圃ABCD，其中
一边AB靠墙．
（1）设AD的长为x米，DC的长为y米，求y与x之间的函数关系式；
（2）当矩形花圃ABCD的相邻两边之比是0.6时（接近黄金分割），花圃最美观．若围成矩形花圃ABCD
的三边篱笆总长不超过24m，且为了美观，求此时篱笆AD的长．
【答案】（1） ；（2）6米
【分析】（1）根据长方形面积公式列出面积等式，再变形即可；
（2）根据相邻两边之比是0.6分类考虑，列出方程与不等式组，根据不等式取舍即可
【详解】解：（1）由题意得，S ABCD=AD×DC=xy，
矩形
∴ ；
（2）由题意得，
，
解得： ，
∴AD=6米；
或 ，解得： ，
，此种情况不成立舍去．
综合当篱笆AD的长为6米时，花圃最美观．
【点睛】本题考查反比例函数在生活中的运用，长方形面积，一元二次方程的解法，根据方程与不等式组
混合运用确定花圃最美观是解题关键．
4．（2022·广西·钦州市第四中学一模）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是 ．如果B面向下
放在地上，地面所受压强为 ，那么A面和C面分别向下放在地上时，地面所受压强各是多少？
【答案】 ，
【分析】根据题意：设该砖的质量为m，其为定值，且有P•S＝mg，即P与S成反比例关系，且B面向下
放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖的A面向下放在地上，地面所受压强P＝ ，把砖的C面向下放
在地上P＝2a．
【详解】解：设该砖的质量为m，则P•S＝mg，
∵B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，A，B，C三个面的面积之比是4：2：1，
∴把砖的A面向下放在地上，P＝ ，把砖的C面向下放在地上P＝ ，
答：A面向下放在地上时，地面所受压强是 ，C面向下放在地上时，地面所受压强是 ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问
题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
◎类型二：表格类
5．（2022·山东烟台·八年级期末）汛期到来，下表记录了某水库 内水位的变化情况，其中 表示时间
（单位： ）， 表示水位高度（单位： ），当 时，达到警戒水位，开始开闸放水．
0 2 4 6 8 10 12 16 18 20
14 15 16 17 18 14.4 12 9 8 7.2(1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点；
(2)求开闸放水前符合表中数据的函数关系式；
(3)求放水后符合表中数据的函数关系式；
(4)求出水库水位达到 的时间．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) (x>8)．
(4)出水库水位达到 的时间为9h．
【分析】（1）根据表中数据在直角坐标系中描出相应的点即可；
（2）据描点的趋势，发现当 时，y与x是一次函数关系，再利用待定系数法求出关系式即可；
（3）通过观察数据发现y与x的关系最符合反比例函数，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（4）把y＝16代入反比例函数解析式求出x即可．
（1）
描点如图，
（2）
观察图象可知，当0≤x≤8时，y与x是一次函数关系．设y=kx+b(k≠0)，把(0，14)，(8，18)代入得： ，
解得 ，
∴y与x的关系式 ．
∴放水前y与x的关系式为 ；
（3）
通过观察数据发现：8×18=10×14.4=12×12=16×9=18×8=20×7.2=144，
∴放水后y与x的关系符合反比例函数，关系式为 ，
∴放水后最符合表中数据的函数解析式为 (x>8)；
（4）
将y=16代入反比例函数解析式，得：
解得： ，且符合题意，
∴出水库水位达到 的时间为9h．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的实际应用．会利用待定系数法求函数解析式，根据图象猜测函
数类型是解决此题的关键．
6．（2022·江苏南京·八年级期末）某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的
数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值．
x 2 3 4 6
y 72 48 36 24
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？
【答案】(1)
(2)8万只【分析】（1）根据表格中数据得出每时生产口罩的数量与时间的积一定，即可得出反比例函数解析式；
（2）把y＝18代入 ，可得 ，再根据反比函数的性质，即可求解．
（1）
解：根据题意得：每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每小时生产口罩的数量与时间成反比例，
∴ ．
∴y与x的函数表达式为 ．
（2）
解：把y＝18代入 ，得： ，
解得： ，
∵144>0，
∴当x>0时，y随x的增大而减小，
∴每小时至少需要生产8万只口罩．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数关系式是解题关键．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记
录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强P（Pa） 400 500 800 1000 1250
受力面积S（ ） 0.5 0.4 a 0.2 0.16
(1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式及a的值．
(2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平
玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．【答案】(1) ，0.25
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析
【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后
用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
（1）
解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式为 ，
把（400，0.5）代入得： ，
解得：k=200，
∴压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式为 ，
当P=800时， ，
∴a=0.25；
（2）
解：这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02（ ），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为 ，
∵10000>2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
8．（2022·浙江·松阳县教育局教研室二模）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）
与产品成本y（万元/件）的对应关系如下表所示：投入维护资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4
(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并
求出其解析式．
(2)2022年，按照这种变化规律：
①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．
②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．
【答案】(1)反比例函数，理由见解析，
(2)①3.6万元/件；②6万元以上
【分析】（1）设 利用待定系数法求出解析式，再代入一组对应值验证，得到不是一次函数关系；
再设 （k为常数， ），求出解析式代入对应值验证即可；
（2）①将x=5代入计算可得；②将y=3代入计算可得．
(1)
设 （k，b为常数， ），
∴ ，解这个方程组得 ，
∴ ．
当 时， ．
∴一次函数不能表示其变化规律．
设 （k为常数， ），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
当 时， ；当 时， ；当 时 ；∴所求函数为反比例函数 ．
(2)
①当 时， ，
∴甲生产线生产出的产品成本为3.6万元/件．
②当 时， ，
∵ ，
∴x ，
∴需要投入维护资金6万元以上．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的实际问题，正确掌握一次
函数及反比例函数的性质并求出解析式是解题的关键．
◎类型三：几何类
9．（2022·江苏徐州·二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．
如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，
其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x 的函数关系式；
(2)解释线段BC的实际意义；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬
菜避免受到伤害？【答案】(1)y＝ ；
(2)线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；
(3)恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．
【分析】（1）应用待定系数法分段求出函数解析式即可；
（2）根据函数图象结合题意回答即可；
（3）把y＝10代入y＝ 中，即可求得结论．
(1)
解：设线段AB解析式为y＝kx＋b（k≠0），
1 1
∵线段AB过点（0，10），（3，15），
代入得 ，解得： ，
∴线段AB的解析式为：y＝ x＋10（0≤x＜6），
∵B在线段AB上，当x＝6时，y＝20，
∴点B坐标为（6，20），
∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10），
设双曲线CD解析式为：y＝ （k≠0），
2
∵C（10，20），
∴k＝200，
2
∴双曲线CD的解析式为：y＝ （10≤x≤24）；
∴y关于x的函数解析式为：y＝ ；
(2)线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；
(3)
把y＝10代入y＝ 中，解得：x＝20，
∴20−10＝10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．
【点睛】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数和常数函数的关系式．
解答时应注意临界点的应用．
10．（2022·福建省福州屏东中学一模）“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销
售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天
（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：
销售量n（株） n＝-x＋50
当 时，m＝______
销售单价
m（元/株）
当 时，
(1)求出表中当 时，m与x间的函数关系式；
(2)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部
捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？
【答案】(1)
(2)基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠 元
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设该基地第x天的利润为W，根据利润=（售价-成本）×数量列出W关于x的关系式，然后根据二次函数与反比例函数的性质求解即可．
（1）
解：由函数图象可知当 时，m与x间的函数关系式满足一次函数关系式，故可设当 时，
m与x间的函数关系式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，m与x间的函数关系式为 ；
（2）
解：设该基地第x天的利润为W，
由题意得： ，
当 时， ，
∵ ，
∴当 时，W最大为 ；
当 时，
∵ ，
∴ 随x增大而减小，即W随x增大而减小，
∴当 时，W最大为580，
∵ ，
∴基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠 元．
【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键．
11．（2022·江苏·滨海县教师发展中心二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机
自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止
加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，
饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当 时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式，再将 代入解析式，即可得 的值；
（3）由题可知，饮水机的水温呈周期性变化，利用周期进行计算．
（1）
解：当 时，设 ．
将点 ， 代入上式，
得 ，解得 ．
（2）
解：当 时，设 ，
将点 代入上式，得 ，解得 ，
，
将点 代入 ，
得 ，解得 ．
（3）
解：由题可知，开机 分钟与开机 分钟时饮水机的水温相等，
当 时， ．
小丽散步 分钟回到家时，饮水机内的温度约为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求反比例函数解析式，根据自变量求函数值，解决本
题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．
12．（2022·四川成都·九年级期末）2020年9月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030年前实现碳达峰、
2060年前实现碳中和的目标．为推进实现这一目标，某工厂投入资金进行了为期6个月的升级改造和节能
减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润与时间成反比例函数关系；到6月底开始恢复全面生
产后，工厂每月的利润都比前一个月增加30万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，
其图象如图所示，试解决下列问题：
(1)分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后y与x的函数表达式；
(2)当月利润少于90万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个月．
【答案】(1) ， （x>6且x为整数）
(2)该工厂资金紧张期共有5个月
【分析】（1）根据待定系数法可得到反比例函数解析式；由工厂每月的利润都比前一个月增加30万元，
可求出改造后y与x的函数表达式；（2）对于 ，y＝90时，x＝2，得到x＞2时，y＜90，对于y＝30x−150，当y＝90时，x＝8，于是可
得到结论．
（1）
解：设改造前y与x的函数关系式为y＝ ，把x＝1，y＝180代入得，k＝180，
∴改造前y与x之间的函数关系式为 ，
把x＝6代入得y＝180÷6＝30，
由题意设6月份以后y与x的函数关系式为y＝30x＋b，
把x＝6，y＝30代入得，30＝30×6＋b，
∴b＝−150，
∴y与x之间的函数关系式为y＝30x−150（x>6且x为整数）；
（2）
对于 ，y＝90时，x＝2，
∵k＝180＞0，y随x的增大而减小，
∴x＞2时，y＜90，
对于y＝30x−150，当y＝90时，x＝8，
∵k＝10＞0，y随x的增大而增大，
∴x＜8时，y＜90，
∴2＜x＜8时，月利润少于90万元，
∴该工厂资金紧张期共有5个月．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
◎类型四：探究类
13．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显
示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整
改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的
变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天
起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
(2)y＝ （x≥3）；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：y= ，把C点坐标代入，求出k的值即可；
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
（1）
解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）
解：当x≥3时，设y= ，
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5= ，解得k=13.5，
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）
解：能，理由如下：
当x=15时，y= =0.9，
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关
键．
14．（2020·山西晋中·九年级阶段练习）函数是刻画事物运动变化过程和发展规律的数学模型，应用非常
广泛．用图象的方法研究函数，形象直观．在现实生活中，我们常用图象的方法研究函数，例如，气温随
着时间的变化、股票随着时间变化等，就常用图象法把函数关系表示出来，然后利用图象进一步分析它们
的变化情况．
小明根据相关数据和学习函数的经验，对成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）
随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫
克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时），下表记录了6小时以内11个时间点血液中酒精含量y（毫
克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（x＞0）的变化情况：
饮酒后
的时间
… 1 2 3 4 5 6 …
x（小
时）
血液中
酒精含
量y 20
… 150 150 45 …
（毫 0
克/百毫
升）
下面是小明的探究过程请补充完整
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出血
液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；
（2）观察函数图象，写出一条该函数的性质：______．
（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能
驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上7：30能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）第二天早上7：30可
以驾车去上班；理由见解析．
【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可；
（2）根据图象写出一条性质即可；
（3）把y＝20代入反比例函数 得x＝11.25．喝完酒经过11.25小时为早上7：15，即早上7：15以
后血液中的酒精含量小于或等于20毫克/百毫升．由此即可判断．
【详解】解：（1）图象如图所示：
（2）当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＝1时，y有最大值，最大值为200；
当x＞1时，y随x的增大而减小，
故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）由图象可知1.5时后（包括1.5时）y与x可近似地用反比例函数 （k＞0）刻画，
∵当x＝5时，y＝45，且（5，45）在反比例函数 （k＞0）图象上，
∴把（5，45）代入 得 ，
解得k＝225，∴ ，
把y＝20代入反比例函数 得x＝11.25．
∴喝完酒经过11.25时（即11：15时）为早上7：15．
∴第二天早上7：30可以驾车去上班．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、待定系数法，解题的关键是理解反比例函数的定义，学会利用图象
解决实际问题，属于中考常考题型．
15．（2021·河南开封·二模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水
箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，
再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止：当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按
照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探
究，发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度，x（单位：min）表示接通电源
后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了16 min内9个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况：
接通电源后的时间 （单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 …
6
水箱中水的温度 （单位： ） 20 35 65 80 40 32 20 …
4
m的值为__________．
（2）①当 时，写出一个符合表中数据的函数解析式__________；当 时，写出一符合表
中数据的函数解析式__________．
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当 时，
温度y随时间x变化的函数图象；
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源__________min．
【答案】（1）50 ；（2）① ， ；②见解析；（3）56【分析】（1）观察表格，可得每分钟上升多少温度，由此即可解决问题；
（2）①观察表格，可知当 时，函数是一次函数，由此利用待定系数法解决问题；观察表格可知当
时，函数为反比例函数，利用待定系数法即可解决；②根据表格，利用描点法画出图像即可；
（3）利用图像寻找规律即可．
【详解】解：（1）由题意可知每分钟温度上升了15℃，
∴ ，
故答案为：50；
（2）① 时，设函数解析式为： ，
代入两点得 ，
解得： ，
所以函数解析式为 ；
当 时，设函数解析式为 ，
带入一点得： ，解得： ，
所以函数解析式为：
故答案为： ， ；
②画出的函数图象如解图所示．
（3）观察图像可知16分钟一个周期，
每个周期内会出现两次40℃，
∴第8次达到40℃时，距离接通电源56min，
故答案为：56．
【点睛】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
学会利用图像解决实际问题．
16．（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的
平移规律．类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的．下面，数学
兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证：
步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数 的图象；
步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数 的图象；
步骤③：比较反比例函数 与函数 的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”
的平移规律．
（1）完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）．
（2）根据图象，回答下列问题：
①函数 的图象是由反比例函数 的图象向______平移______个单位长度后得到的．
②函数 的图象的对称中心是______．（填点的坐标）
（3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程 的根的个数．
【答案】（1）见解答；（2）①右，2；②（2，0）；（3）1．【分析】（1）列表、描点，连线画出函数图象即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y= 的图象，根据图象即可得到结论．
【详解】解：（1）列表：
x … -2 -1 0 1 3 4 5 …
y … -1 -2 2 1 …
- - -
描点、连线（如图所示），
（2）①函数y= 的图象是由反比例函数y= 的图象向右平移2个单位长度后得到的．
②函数y= 的图象的对称中心是（2，0），
故答案为右，2；（2，0）；
（3）由题意可知，反比例函数的图象也遵循“上加下减”的平移规律，
如图所示，画出函数y= 的图象，方程 的根的个数即函数y= 与函数y= 的图象交点的个数，
由图象可知，函数y= 与函数y= 的图象只有一个交点，
∴方程 的根的个数为1．
【点睛】本题考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，数形结合是解题的关键．
