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培优专题 07 直线与抛物线的交点问题
已知二次函数y=ax2 +bx+c
（1）y轴与二次函数
y=ax2 +bx+c
得交点为(0, c).
（2）与y轴平行的直线 x=h 与二次函数 y=ax2 +bx+c 有且只有一个交点( h , ah2 +bh+c ).
（3）二次函数与x轴的交点
二次函数
y=ax2 +bx+c
的图像与x轴的两个交点的横坐标
x
1、
x
2，是对应一元二次方程
ax2 +bx+c=0
的两个实数根.
二次函数与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔ Δ>0 ⇔二次函数与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）⇔ Δ=0 ⇔二次函数与x轴相切 此时二次函数为；
总结完全平方形式的二次函数与x轴只有一个交点
③没有交点⇔ Δ<0 ⇔二次函数与x轴相离.注意这种情况 当a＞0,y值恒＞0，当a＜0,y值恒＜0，
（4）平行于x轴的直线与二次函数的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐
标为
k
，则横坐标是
ax2 +bx+c=k
的两个实数根.
【方法归纳】
(1) 求直线与抛物线的交点坐标,只需联立直线与抛物线的解析式,解关于x,y的方程组,即可求得交点坐标;(2)
利用一次函数y=kx+t和二次函数y=ax2+bx+c的图象比较两函数值的大小及确定不等式kx+t>ax+bx+c或
んx+t<ax+x+c的解集,需运用数形结合进行分析判断,其中函数值较大,表现在图象上即图象在上方;函数值
较小,表现在图象上即图象在下方
◎类型一：与x轴交点问题
1．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知抛物线 与 轴有两个交点 ， ，抛物线
与 轴的一个交点是 ，则 的值是（ ）
A．5 B． C．5或1 D． 或
2．（2019·湖北荆门·中考真题）抛物线 与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2012·湖南株洲·中考真题）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该
抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】
A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．x=﹣3 D．x=﹣2◎类型二：与y轴交点问题
4．（2014·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的
交点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7）
5．（2007·浙江温州·中考真题）抛物线 与y轴的交点坐标是（ ）
A．（4，0） B．（-4，0） C．（0，-4） D．（0，4）
6．（2012·山东滨州·中考真题）抛物线 与坐标轴的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
◎类型三：直线与抛物线的交点问题
7．（2021·福建·长汀县第四中学九年级阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求该图象的顶点坐标；
(3)观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．
8．（2021·浙江·奉化市锦屏中学三模）如图，直线 与x轴交于点B．抛物线
与该直线交于A、B两点，交y轴于点D（0，4），顶点为C．(1)求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标．
(2)求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当 时，x的取值范围．
9．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，以下是探究函数
， 的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题：
x … -2 -1 0 1 2 …
… 2 1 0 2 …
… 4 1 1 4 …
(1)完成表格；
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，根据表中数值 画出这两个函数的图象；并写出这两个函数图象共
有的一条性质．
(3)观察画出的图象，写出使 的自变量x的值，写出使 的自变量x的取值范围．
10．（2022·河南南阳·九年级期末）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 的图象，再根据图象回答后面的问题．
（1）已知直线AB的解析式是 ，直接写出不等式 的解集______________；
（2）已知点 、 在二次函数的图象上，且 ，则 、 的大小关系是
_______ ．
（3）当 时， 的取值范围是_______________．
11．（2021·河南南阳·九年级期末）已知二次函数的解析式是 ．
(1)用配方法将 化成 的形式；
(2)在直角坐标系中，画出它的图象；
(3)当 为何值时，函数值 ；
(4)当 时，观察图象直接写出函数值 的取值的范围．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线 与直线y＝x＋n交于点 和点B．(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式 的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公
共点，直接写出点P的横坐标 的取值范围．
