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专题 03 二次函数图像与系数之间关系
类型一、判断图像位置关系
例1.如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 、 两点，则函数
的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 由 =x2+bx+c图象可知，对称轴x= ＞0， ，
，抛物线 与y轴的交点在x轴下方，故选项B，C错误，
抛物线 的对称轴为 ，∴ ，
∴抛物线y=x2+（b-1）x+c的对称轴在y轴的右侧，故选项D错误，
故选：A．
【变式训练1】二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致是( )．A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：观察二次函数 的图象得： ，
∴ ， ，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限．
故选：C
【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】解：函数 经过原点（0，0），则B错误；
当a<0时， 经过二、四象限，则D错误；
当 时，b>0， 经过一、二、四象限，则C错误；
当a>0， 时，b<0， 经过一、三、四象限，则A符合题意．
故选：A．
【变式训练3】在同一平面直角坐标系中，函数 与y＝ax＋b的图象不可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、
二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合； 当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正
确，不符合题意题意； 当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b
经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意； 当a<0，b<0时，
y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不
符合题意；
只有选项D的两图象的交点不经过x轴， 故选D.
【变式训练4】如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 ， 两点，则函数
的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵一次函数 与二次函数 的图像相交于 ， 两点，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴函数 与 轴有两个交点，
由题意可知： ， ，∴ ，∴函数 的对称轴 ，∴选项D符合条件．
故选D．
类型二、根据图像判断a，b，c之间关系
例1．二次函数 的图象如图所示，下列选项错误的是（ ）
A． B． 时，y随x的增大而增大
C． D．方程 的根是 ，
【答案】C
【详解】A.由二次函数的图象开口向上可得a>0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得c<0，所以ac<0，正确；
B.由a>0，对称轴为x=1，可知x>1时，y随x的增大而增大，正确；
C.把x=1代入 得，y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为负，错误；
D.由二次函数的图象与x轴交点的横坐标是-1或3，可知方程 的根是 ，正确．
故选：C．
例2．如图，已知抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过点 ，且对称轴为直线 ，
有下列结论：① ；② ；③ ；④无论 ， ， 取何值，抛物线一定经过
；⑤ ；⑥一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确结论有
（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【详解】解：①∵抛物线图象开口朝上， ，
∵抛物线对称轴为直线 ，∴ ，
∴ ，即 ，故②错误；
∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方，∴c<0， ，故①正确；
③ 经过 ，
又由①得c<0， ， ，故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等，
当 时 ，即
， 即 ， 经过 ，即经过 ，故④正确；
⑤当 时， ，当 时， ，
， 函数有最小值 ， ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
⑥方程 的解即为抛物线 与直线 的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛
物线 与直线 有两个不同的交点，即方程 有两个不相等的实数根，故⑥正
确；
综上所述：①③④⑤⑥正确．故选D．
【变式训练1】如图，二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，结合图象给出下列结论：
① ；
② ；
③关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1；
④若点 ， ， 均在二次函数图象上，则 ；
⑤ （m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，
∴当x=1时， ，故结论①正确；根据函数图像可知，
当 ，即 ，对称轴为 ，即 ，
根据抛物线开口向上，得 ，∴ ，∴ ，即 ，故结论②正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为 ，对称轴为 可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1，故结论③正确；
根据函数图像可知： ，故结论④错误；当 时， ，∴当 时， ，即 ，故结论⑤错误，
综上：①②③正确，故选：C．
【变式训练2】二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝0；② ；
③ ；④ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为 ，∴ ，∴ ，①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴ ，②正确；
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，∴ ，③正确；
由对称性可知 时对应的y值与 时对应的y值相等，∴当 时， ，
∵ ，∴ ，∴ ，④错误；
故选：C．
【变式训练3】抛物线 （ ）如图所示，下列结论中：① ；② ；③
当 时， ；④ ．正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：从图象上可以看出二次函数的对称轴是直线x=1．∴ ．
∴ ．∴ ．故①符合题意．
从图象上可以看出当x=-1时，二次函数的图象在x轴下方．
∴当x=-1时，y<0即 ．故②不符合题意．
从图象上可以看出当x=1时，二次函数取得最大值．
∴当 时， ．
∴ ．故③符合题意．
从图象上可以看出二次函数图象与x轴有两个交点．
∴ ．∴ ．
故④符合题意．故①③④共3个符合题意．
故选：C．
【变式训练4】已知二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)下列结论正确的是（ ）
①已知点M(4，y)，点N(−2，y)在二次函数的图象上，则y>y；
1 2 1 2
②该图象一定过定点（5，1）和（－1，1）；
③直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；
④当−3≤x≤1时，y的最小值是a，则a=
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③④
【答案】B
【详解】解：二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)，开口向上，且对称轴为x=- =2，
①点N(−2，y)关于对称轴对称的点为(6，y) ，
2 2
∵a>0，∴y随x的增加而增加，∵4<6，∴y0，
直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；故③正确；
④当−3≤x≤1时，y随x的增加而减少，∴当x=1时，y有最小值为a，即a−4a−5a+1=a，
解得：a= ，故④错误；综上，正确的有②③，故选：B．
【变式训练5】抛物线 的对称轴是直线 ．抛物线与x轴的一个交点在点 和点
之间，其部分图象如图所示，下列结论：① ；② ；③关于x的方程 有
两个不相等实数根；④若 ， 是抛物线上的两点，则 ；⑤ ．正确的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=- =-2，
∴4a-b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，
∴x=-1时，y＞0，且b=4a，即a-b+c=a-4a+c=-3a+c＞0，∴c＞3a，所以②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（-2，3），∴抛物线与直线y=2有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=- =-2，∴ ，
∵a＜0，∴ 所以④错误；
∵抛物线的顶点坐标为（-2，3），∴ ，∴b2+12a=4ac，
∵4a-b=0，∴b=4a，∴b2+3b=4ac，
∵a＜0，∴b=4a＜0，
∴b2+2b＞4ac，所以⑤正确；
∴正确的为①③⑤．
故选：C
【变式训练6】如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为 ，
其部分图象如图所示，下列结论：① ，② ，③方程 的两个根是 ，
，④当 时，x的取值范围是 ，其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ，，与x轴的一个交点坐标为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， ，
∴ ， ，即 ，故①正确；
∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，∴ ，
∴ ，
∴ ，故②错误；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
∴方程 的两个根是 ， ，故③正确；
由函数图象可知当 时，x的取值范围是 ，故④正确；
故选C．
