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培优专题 07 直线与抛物线的交点问题
已知二次函数y=ax2 +bx+c
（1）y轴与二次函数
y=ax2 +bx+c
得交点为(0, c).
（2）与y轴平行的直线 x=h 与二次函数 y=ax2 +bx+c 有且只有一个交点( h , ah2 +bh+c ).
（3）二次函数与x轴的交点
二次函数
y=ax2 +bx+c
的图像与x轴的两个交点的横坐标
x
1、
x
2，是对应一元二次方程
ax2 +bx+c=0
的两个实数根.
二次函数与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔ Δ>0 ⇔二次函数与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）⇔ Δ=0 ⇔二次函数与x轴相切 此时二次函数为；
总结完全平方形式的二次函数与x轴只有一个交点
③没有交点⇔ Δ<0 ⇔二次函数与x轴相离.注意这种情况 当a＞0,y值恒＞0，当a＜0,y值恒＜
0，（4）平行于x轴的直线与二次函数的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐
标为
k
，则横坐标是
ax2 +bx+c=k
的两个实数根.
【方法归纳】
(1) 求直线与抛物线的交点坐标,只需联立直线与抛物线的解析式,解关于x,y的方程组,即可求得交点坐标;(2)
利用一次函数y=kx+t和二次函数y=ax2+bx+c的图象比较两函数值的大小及确定不等式kx+t>ax+bx+c或
んx+t；（3）
【分析】（1）根据抛物线与直线交点横坐标，结合图象求解．
（2）由抛物线开口方向及对称轴求解．
（3）将抛物线解析式化为顶点式求解．
【详解】解： ，顶点坐标为
… -3 -2 -1 0 1 2 …
… 4 0 -2 -2 0 4 …
（1）如图，抛物线与直线交点坐标为（−2，0），（2，4），
x2＋x−2≤x＋2的解集为−2≤x≤2．
故答案为：−2≤x≤2．
（2）∵y＝x2＋x−2，
∴抛物线对称轴为直线x＝− ，抛物线开口向上，
∴当x＜ 时，y随x增大而减小，
∵ ，
∴y＞y．
1 2故答案为：＞．
（3）∵ ，
∴当x＝− 时，y取最小值为y＝− ，
∵1−（− ）＞− −（−1），
∴x＝1时，y取最大值y＝0，
故答案为：− ≤y≤0．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
11．（2021·河南南阳·九年级期末）已知二次函数的解析式是 ．
(1)用配方法将 化成 的形式；
(2)在直角坐标系中，画出它的图象；
(3)当 为何值时，函数值 ；
(4)当 时，观察图象直接写出函数值 的取值的范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或
(4)【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可；
（3）根据（2）中函数图象求解即可；
（4）根据（2）中函数图象求解即可．
(1)
解：由题意得： ；
(2)
解：列表如下：
-1 0 1 2 3
0 -3 -4 -3 0
函数图象如下所示：
(3)
解：由（2）中函数图象可知当 或 时， ；
(4)
解：由（2）中函数图象可知当 时， ．
【点睛】本题主要考查了把二次函数化为顶点式，画二次函数图象，图象法解不等式等等，熟知二次函数
的相关知识是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线 与直线y＝x＋n交于点 和点B．(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式 的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公
共点，直接写出点P的横坐标 的取值范围．
【答案】(1)
(2)（-1，-3）
(3) 或
(4) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立抛物线和直线解析式进行求解即可；
（3）根据不等式 的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值
范围，进行求解即可；
（4）分点P在点B下方，点P在线段AB上，点P在A点上方进行讨论求解即可．
(1)
解：∵抛物线 与直线y＝x＋n交于点 和点B，
∴ ，∴ ；
(2)
解：由（1）得抛物线解析式为 ，直线解析式为 ，
联立 ，
解得 或 （舍去），
∴点B的坐标为（-1，-3）；
(3)
解：由题意得不等式 的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的
取值范围，
∴不等式 的解集为 或 ；
(4)
解：如图所示，当点P在点B下方时，线段PQ与抛物线没有交点；
当点P在线段AB之间（包含B不包含A）时，线段PQ与抛物线只有一个交点，此时 ，当P在
A点时，线段PQ与抛物线有两个交点；
当线段PQ恰好经过抛物线顶点时，线段PQ与抛物线恰好只有一个交点，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴此时点P的纵坐标为1，
∴点P的坐标为（3，1），
∴ ；
综上所述，线段PQ与抛物线只有一个公共点， 或 ．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，图象法解不等式等等，利
用数形结合的思想求解是解题的关键．
