文档文本内容
培优专题 07 直线与抛物线的交点问题
已知二次函数y=ax2 +bx+c
（1）y轴与二次函数
y=ax2 +bx+c
得交点为(0, c).
（2）与y轴平行的直线 x=h 与二次函数 y=ax2 +bx+c 有且只有一个交点( h , ah2 +bh+c ).
（3）二次函数与x轴的交点
二次函数
y=ax2 +bx+c
的图像与x轴的两个交点的横坐标
x
1、
x
2，是对应一元二次方程
ax2 +bx+c=0
的两个实数根.
二次函数与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔ Δ>0 ⇔二次函数与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）⇔ Δ=0 ⇔二次函数与x轴相切 此时二次函数为；
总结完全平方形式的二次函数与x轴只有一个交点
③没有交点⇔ Δ<0 ⇔二次函数与x轴相离.注意这种情况 当a＞0,y值恒＞0，当a＜0,y值恒＜
0，（4）平行于x轴的直线与二次函数的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐
标为
k
，则横坐标是
ax2 +bx+c=k
的两个实数根.
【方法归纳】
(1) 求直线与抛物线的交点坐标,只需联立直线与抛物线的解析式,解关于x,y的方程组,即可求得交点坐标;(2)
利用一次函数y=kx+t和二次函数y=ax2+bx+c的图象比较两函数值的大小及确定不等式kx+t>ax+bx+c或
んx+t<ax+x+c的解集,需运用数形结合进行分析判断,其中函数值较大,表现在图象上即图象在上方;函数值
较小,表现在图象上即图象在下方
◎类型一：与x轴交点问题
1．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知抛物线 与 轴有两个交点 ， ，抛物线
与 轴的一个交点是 ，则 的值是（ ）
A．5 B． C．5或1 D． 或
【答案】C
【分析】将 往右平移m个单位后得到 ，由此即可求解．
【详解】解：比较抛物线 与抛物线 ，
发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，
∵ 与 轴的一个交点是 ， 与 轴有两个交点 ， ，
∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与 轴的一个交点是 ，故m=1，
当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与 轴的一个交点是 ，故m=5，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解．2．（2019·湖北荆门·中考真题）抛物线 与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与 轴的交点坐标，再解方程 得抛物线
与 轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【详解】当 时， ，则抛物线与 轴的交点坐标为 ，
当 时， ，解得 ，抛物线与 轴的交点坐标为 ，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 是常数， 与 轴的交点
坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．
3．（2012·湖南株洲·中考真题）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该
抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】
A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．x=﹣3 D．x=﹣2
【答案】A
【详解】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），
∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，
∴ =﹣1，解得b=﹣3．∴B（﹣3，0）．故选A．◎类型二：与y轴交点问题
4．（2014·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的
交点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7）
【答案】B
【分析】先根据顶点式确定抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标为（1，3），再利用点的平移得到平移后抛物
线的顶点坐标为（0，3），于是得到移后抛物线解析式为y=x2+3，然后求平移后的抛物线与y轴的交点坐
标．
【详解】解：抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标为（1，3），
把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），
所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，
所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后
的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出
解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．（2007·浙江温州·中考真题）抛物线 与y轴的交点坐标是（ ）
A．（4，0） B．（-4，0） C．（0，-4） D．（0，4）
【答案】D
【详解】试题分析：求图象与y轴的交点坐标，令x=0，求y即可．
当x=0时，y=4，
所以y轴的交点坐标是（0，4）．故选D．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
6．（2012·山东滨州·中考真题）抛物线 与坐标轴的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【详解】解：∵抛物线解析式 ，
令 ，解得： ，∴抛物线与 轴的交点为（0，4），令 ，得到
∴抛物线与 轴的交点分别为（ ，0），（1，0）．
综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．
故选A．
【点睛】本题考查抛物线与 轴的交点，解一元一次、二次方程，熟练掌握其性质是解题的关键．
◎类型三：直线与抛物线的交点问题
7．（2021·福建·长汀县第四中学九年级阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求该图象的顶点坐标；
(3)观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)该图象的顶点坐标为（﹣1，4）；
(3)﹣3＜x＜1
【分析】（1）由对称轴为直线x＝−1，可设抛物线解析式为 ，再利用待定系数法求解；
（2）根据抛物线顶点式可直接得出答案；
（3）根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后结合函数图象求解即可．
（1）
解：设抛物线解析式为 ，将（﹣3，0），（0，3）代入得： ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为： ；
（2）
∵ ，
∴该图象的顶点坐标为（﹣1，4）；
（3）
∵抛物线经过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线经过点（1，0），
由函数图象得：当y＞0时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜1．
【点睛】本题考查待定系数法的应用，二次函数的顶点式，二次函数与不等式的关系等知识，熟练掌握数
形结合思想的应用是解答本题的关键．
8．（2021·浙江·奉化市锦屏中学三模）如图，直线 与x轴交于点B．抛物线
与该直线交于A、B两点，交y轴于点D（0，4），顶点为C．
(1)求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标．
(2)求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当 时，x的取值范围．
【答案】(1)点A的坐标（－1， ），y＝－
2
(2)x≤－2或x=4【分析】（1）根据直线 与x轴交于点B，可以求得y=0时对应的x的值，从而可以得到点B的
坐标，再根据抛物线 过点D和点B，即可求得该抛物线的解析式，然后与直线
联立方程组，即可求得点A的坐标；
（2）根据（1）求得的抛物线解析式，可以求得二次函数图像与x轴的交点E的坐标，然后结合图像，可
以写出当 时，x的取值范围．
（1）
由直线 ＝－ 与x轴交于点B，可得点B的坐标为（4，0）．
把点B（4，0）与点D（0，4）代入 ＝－ 得
解得 ，
∴ ＝－ ，
∵点A为直线 与抛物线 的交点，
∴解方程－ ＝－
得x=－1，
∴点A的坐标（－1， ）；
（2）
当 =0时，－ =0，
解得 ，
∴点E的坐标为（-2，0），结合图像，当 时，x的取值范围是x≤－2或x=4．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是
解答本题的关键．
9．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，以下是探究函数
， 的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题：
x … -2 -1 0 1 2 …
… 2 1 0 2 …
… 4 1 1 4 …
(1)完成表格；
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，根据表中数值 画出这两个函数的图象；并写出这两个函数图象共
有的一条性质．
(3)观察画出的图象，写出使 的自变量x的值，写出使 的自变量x的取值范围．
【答案】(1)0，1；
(2)图像见解析；关于y轴对称；
(3) 或
【分析】（1）将 代入 ， 代入 即可求解．
（2）根据表格中的点，描点连线画出这两个函数的图象；并根据函数图象写出这两个函数图象共有的一
条性质关于y轴对称．（3）根据函数图象交点求得，使 的自变量x的值，使 的自变量x的取值范围．
（1）
将 代入 ，得 ，将 代入 得
故答案为：0，1；
（2）
如图，
这两个函数图象共有的一条性质：关于y轴对称，
（3）
根据图像可知x＝0，x＝1， 时
当 或 时，
【点睛】本题考查了求函数值，描点法画函数图象，根据函数图象获取信息，根据函数图象交点求不等式
的解集或方程的解是解题的关键．
10．（2022·河南南阳·九年级期末）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 的图象，再
根据图象回答后面的问题．
（1）已知直线AB的解析式是 ，直接写出不等式 的解集______________；（2）已知点 、 在二次函数的图象上，且 ，则 、 的大小关系是
_______ ．
（3）当 时， 的取值范围是_______________．
【答案】图见解析；（1） ；（2）>；（3）
【分析】（1）根据抛物线与直线交点横坐标，结合图象求解．
（2）由抛物线开口方向及对称轴求解．
（3）将抛物线解析式化为顶点式求解．
【详解】解： ，顶点坐标为
… -3 -2 -1 0 1 2 …
… 4 0 -2 -2 0 4 …
（1）如图，抛物线与直线交点坐标为（−2，0），（2，4），
x2＋x−2≤x＋2的解集为−2≤x≤2．
故答案为：−2≤x≤2．
（2）∵y＝x2＋x−2，
∴抛物线对称轴为直线x＝− ，抛物线开口向上，
∴当x＜ 时，y随x增大而减小，
∵ ，
∴y＞y．
1 2故答案为：＞．
（3）∵ ，
∴当x＝− 时，y取最小值为y＝− ，
∵1−（− ）＞− −（−1），
∴x＝1时，y取最大值y＝0，
故答案为：− ≤y≤0．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
11．（2021·河南南阳·九年级期末）已知二次函数的解析式是 ．
(1)用配方法将 化成 的形式；
(2)在直角坐标系中，画出它的图象；
(3)当 为何值时，函数值 ；
(4)当 时，观察图象直接写出函数值 的取值的范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或
(4)【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可；
（3）根据（2）中函数图象求解即可；
（4）根据（2）中函数图象求解即可．
(1)
解：由题意得： ；
(2)
解：列表如下：
-1 0 1 2 3
0 -3 -4 -3 0
函数图象如下所示：
(3)
解：由（2）中函数图象可知当 或 时， ；
(4)
解：由（2）中函数图象可知当 时， ．
【点睛】本题主要考查了把二次函数化为顶点式，画二次函数图象，图象法解不等式等等，熟知二次函数
的相关知识是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线 与直线y＝x＋n交于点 和点B．(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式 的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公
共点，直接写出点P的横坐标 的取值范围．
【答案】(1)
(2)（-1，-3）
(3) 或
(4) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立抛物线和直线解析式进行求解即可；
（3）根据不等式 的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值
范围，进行求解即可；
（4）分点P在点B下方，点P在线段AB上，点P在A点上方进行讨论求解即可．
(1)
解：∵抛物线 与直线y＝x＋n交于点 和点B，
∴ ，∴ ；
(2)
解：由（1）得抛物线解析式为 ，直线解析式为 ，
联立 ，
解得 或 （舍去），
∴点B的坐标为（-1，-3）；
(3)
解：由题意得不等式 的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的
取值范围，
∴不等式 的解集为 或 ；
(4)
解：如图所示，当点P在点B下方时，线段PQ与抛物线没有交点；
当点P在线段AB之间（包含B不包含A）时，线段PQ与抛物线只有一个交点，此时 ，当P在
A点时，线段PQ与抛物线有两个交点；
当线段PQ恰好经过抛物线顶点时，线段PQ与抛物线恰好只有一个交点，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴此时点P的纵坐标为1，
∴点P的坐标为（3，1），
∴ ；
综上所述，线段PQ与抛物线只有一个公共点， 或 ．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，图象法解不等式等等，利
用数形结合的思想求解是解题的关键．
