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培优专题 07 设元的五种技巧
【专题精讲】
解应用题时,设元是常用来解题的方法,通过设元可以找到条件和结论之间的联系,
准确、恰当地设元往往有助于简化解题过程,达到事半功倍的作用,设什么元需要
根据具体问题的条件确定,就常见的设元法简析如下:
1.直接设元法
就是将题目中需要求的量直接设为未知元,即求什么设什么,这是最常用的设元法。
1．（2022·全国·七年级专题练习）A，B两地相距448km，一列慢车从A地出发，速度为
60km/h，一列快车从B地出发，速度为80km/h，两车相向而行，慢车先行28min，快车开
出多长时间后两车相遇？
2．（2022·全国·七年级专题练习）甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，
甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B
两城相距多少千米？
3．（2022·江西赣州·七年级期末）石城县矿山机械设备闻名省内外．在某矿山机械设备车
间工人正在紧张地按订单进度进行生产，若每人每天平均可以生产轴承12个或者轴杆16
个，1个轴承与2个轴杆组成一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生
产的轴承和轴杆正好配套？
4．（2022·辽宁大连·七年级期末）列一元一次方程解应用题∶
某社区为响应抗击“新冠病毒”号召，组织志愿者到各个街道进行“少出门，少聚集”的
安全知识宣传．原计划在甲街道安排20个志愿者，在乙街道安排12个志愿者，但到现场
后发现任务较重，决定增派16名志愿者去支援两个街道，增派后甲街道的志愿者人数是乙
街道志愿者人数的2倍，请问新增派的志愿者中有多少名去支援甲街道？2.间接设元法
对于直接设元比较困难的问题,通常可以间接设元,所设的量不是要求的,但更易
找出符合题意的等量关系,这种把题中要求量以外的量设为未知元的方法,称为间
接设元法。
5．（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）列一元一次方程解应用题：
在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同
样的航线要用3h．求无风时这架飞机在这一航线的平均航速和两机场之间的航程．
6．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学七年级阶段练习）小刚和小强分别从 、 两地
出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一线路相向匀速而行，出发两小时两人相遇，相遇
时小刚比小强多走了 千米，相遇后 小时小刚到达 点．
(1)两人的行驶速度各是多少？
(2) 两地相距多少千米？
7．（2022·河南驻马店·七年级期末）在一条铁路上，有甲，乙两个站，相距408千米，一
列慢车从甲站开出每小时行72千米，一列快车从乙站开出，每小时行96千米，若两车同
向而行，几小时后两车相距60千米？
8．（2022·全国·九年级专题练习）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距
离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的
速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？
3.整体设元法 3个
有些问题未知量太多,而等量关系又太少,若末知量的某一部分存在一个整体关系,
则可设这一部分为未知数,这样就成少了设未知数的个数,这种设元的方法叫做整
体设元法。
9．（2021·湖南·衡阳市实验中学七年级期中）小聪是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的
用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图；并
用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答
下列问题：
（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（2）设中间的数为 ，用代数式表示十字框中的五个数的和；（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于2025吗？
如能，写出这五位数，如不能，说明理由．
10．（2021·江苏·七年级专题练习）一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大
1，个位上的数比十位上的数的3倍小1．如果把这个三位数的百位上的数字和个位上的数
字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求这个三位数．
11．（2022·江西上饶·七年级期末）一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，
那么应该怎样写呢？
在理解例题的基础上，完成下列三个问题：
例题：如何将 化为分数形式？
解：设x= ． 则10x=10× ．
由 =0.444···，可知10x=4.444···
得：10x=4+
可得 10x=4+x ，解方程，得：
于是，得 =
(1)将 化为分数形式；
(2)将 化为分数形式；
(3)将 化为分数形式．
4. 辅助设元法
对于一些较复杂的问题,往往条件较少、关系交错,不管是直接设元还是间接设元,
都存在一定困难,这时不妨增加未知数,也就是引入辅助元,在已知量和未知量之
间架起一座“桥梁”,更好地理顺各个量之间的关系,便于列出方程.这种方法叫
做辅助设元法,也叫设而不求法。
12．（2022·湖北省宜昌市渔峡口中学七年级期中）某书城开展学生优惠购书活动，凡是一
次性购买不超过200元的一律九折优惠；超过200元时，其中的200元按九折计算，超过
200元的部分按八折计算．小军第一次购书付款72元，第二次购书享受了八折优惠，他查
看了所买书的定价，发现两次共节省了34元．
(1)求小军第一次所购书的定价是多少元？
(2)求小军第二次购书的实际付款是多少元？13．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）文峰文具店分两次购进一款礼品盲
盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒
12元．
(1)文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第
二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少利润？
(2)在实际销售中，该文具店老板在以（1）中标价销售完m盒后，决定搞一场促销活动，
尽快清理库存．老板先将标价提高到每盒40元，再推出活动：购买两盒，第一盒七折，第
二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒该老板共获利600元，求m的值．
14．（2021·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）列一元一次方程解应用题．
甲、乙两件服装进价共500元，商店决定把甲服装按进价提高50%标价，乙服装按进价提
高40%标价，如果两件服装均按标价的九折出售，这样商店获利共157元．甲、乙两件服
装进价分别是多少元？
15．（2022·山东烟台·期末）列方程解应用题：
某商厦以每件80元的价格购进了某品牌T恤500件，并以每件120元的价格销售400件，
商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，请你帮商场计算一下，当每件衬衫降价
多少元时，销售完这批衬衫，正好达到盈利45%的预期目标．
5.比值设元法
比值设元法是经常运用的一种方法,有些问题中给了几个未知数的比值关系,这时
我们可以通过它们之间的比例关系设出一份量的未知数,然后可以通过关系换算
进而得到方程,也就是知比值设份数
16．（2022·广东·九年级专题练习）列方程解应用题，若没有列方程，则给0分．
(1)洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为
1：2：14，计划生产这三种洗衣机各多少台？
(2)一列火车匀速行驶，经过（从车头进人到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时
间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的
长度．
17．（2021··期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133
人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，
七年级各选出多少人？18．（2021·福建南平·七年级期中）顺昌县疾控中心往三个乡镇运送新冠疫苗15000支，
其中大历、岚下、高阳、需要数量比是2：3：5，试用列方程求出各个乡镇需要新冠疫苗
多少支？
19．（2021·全国·七年级课时练习）有某种三色冰淇淋50g，咖啡色､红色和白色配料的比
是2∶3∶5，这种三色冰淇淋中咖啡色､红色和白色配料分别是多少克？
【巩固训练】
1．（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）一项筑路工程，甲队
单独完成需要80天，乙队单独完成需要120天．若甲队每天比乙队多筑路50米，求这项
工程共需筑路多少米？
2．（2022·全国·七年级专题练习）某厂接到一所中学的冬季校服定做任务，计划用 、
两台大型设备进行加工，如果单独用 型设备，需要45天做完；如果单独用 型设备，需
要30天做完；为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
(1)填空： 型设备的工作效率是_________， 型设备的工作效率是_________；
(2)若两台设备同时加工10天后， 型设备出了故障，暂时不能工作，如果由 型设备单独
完成剩下的任务，则还需要多少天？
3．（2022·全国·七年级专题练习）[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部
分内容．
问题3 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告
牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以
上信息解答下列问题：
（1）两人合作需要__________天完成．
（2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，
完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？
[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按
3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．
4．（2022·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）甲、乙两人想共同承
包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过
1天罚款1000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．正常情况下，甲、乙两人能否履行
该合同？
5．（2022·云南文山·七年级期末）某体育用品专卖店准备购进篮球服和足球服两种运动服装，根据批发商提供的信息，每套篮球服的价格比每套足球服的价格多5元，进购5套篮
球服和4套足球服共需700元．
(1)篮球服和足球服的进购单价各是多少元？
(2)专卖店第一次进购了两种服装共260套，并且将篮球服和足球服的售价均定为每套100
元，售完后获得总利润5800元，求专卖店第一次进购了两种服装各多少套？
(3)由于进购的服装销售情况良好，所以专卖店又进购了一批服装，两种服装的数量分别与
上次相同，且批发商对所有服装都给予了八折的优惠．因此专卖店采取了篮球服在上次售
价的基础上打折，足球服售价不变的方式销售，结果全部售完后总利润比上次还多540元，
求篮球服打了几折？
6．（2022·湖北恩施·七年级期末）元旦期间，某商场将甲种商品降价40%，乙种商品降价
20%开展优惠促价活动．已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为1200元，小敏的妈妈参
加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付800元．
(1)甲、乙两种商品原销售单价各是多少元？
(2)商场在这次促销活动中销售甲种商品800件，销售乙种商品1500件，共获利99000元，
已知每件甲种商品的利润比乙种商品的利润低20元，那么甲、乙两种商品每件的进价分别
是多少元？
7．（2020·山西·七年级期中）山西省某人民医院门口有一个长为 的长方形电子显示
屏，如图所示，医院的有关重要通知事项都会在电子显示屏播出，由于事项的名称不同，
字数也就不等，为了制作方便、显示美观，负责播出的工作人员对有关数据作出了如下规
定：边空宽：字宽：字距 ．请用列方程的方法解决下列问题：为欢迎援鄂抗疫英雄
凯旋，需要输人迎接词共 个字，求此时的字距．
8．（2017·湖南怀化·七年级期末）列方程解应用题
某建筑公司有甲.乙两个施工队，甲队的技术人员人数是乙队技术人员人数的2倍.今年公司
进行人员调整，从甲施工队调出10名技术人员到乙施工队，结果两队技术人员相等了.
（1）原来甲.乙两施工队各有多少技术人员（2）若这个建筑公司的人员人数比例是：领导:技术人员:工人=0.2:1:10，那么这个公司有
多少人员？
