文档内容
第八章 实数 大单元教学设计
主备人 课型 新授 时间
课程标准 课题 第8章 实数 课时 课时
1.知识体系中的地位：实数这一单元在初中数学知识体系里起着关键的衔接作用.在
此之前，学生主要学习了有理数，对数的认知局限于有限小数、无限循环小数以及整
数、分数的范畴.而实数章节将数的范围从有理数扩充到实数，引入了无理数，让学
生对数的认识更加完整，为后续学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识奠
定了不可或缺的基础.从整个数学学习进程来看，也为高中数学中不等式、函数以及
解析几何等大部分知识的学习做好准备，是学生数学学习道路上从基础向更高层次迈
进的重要过渡阶段.
2.教材内容编排逻辑：教材先从学生熟悉的平方运算出发，引出平方根的概念，让学
生理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0 的平方根是 0，负数没有平方
根.接着在平方根的基础上，类比引入立方根的概念，探究立方与开立方互为逆运算
的关系以及互为相反数的两个数的立方根的关系.随后，通过回顾有理数的表示，引
入无理数的概念，进而将数的范围扩充到实数，并阐述实数与数轴上的点一一对应的
关系，最后介绍实数的简单运算，包括加、减、乘、除、乘方及开方运算，同时说明
有理数的运算法则及运算性质在实数范围内同样适用 .这种由浅入深、层层递进的编
大单元主
排方式，符合学生的认知规律，有助于学生逐步构建起关于实数的知识体系.
题背景分
析（教材
3.数学思想方法渗透：在这一单元的学习过程中，蕴含着丰富的数学思想方法.例
分析）
如，在探究平方根、立方根概念时，运用了从特殊到一般的归纳思想；在将数的范围
从有理数扩充到实数过程中，体现了分类讨论思想；通过数轴表示实数，建立了数与
形之间的联系，渗透了数形结合思想.这些数学思想方法不仅有助于学生更好地理解
和掌握实数的相关知识，而且对于培养学生的数学思维能力，提升学生的数学素养具
有重要意义，为学生今后学习更复杂的数学知识提供了有力的思维工具.
学生在学习实数前已掌握有理数知识，能基于此理解实数概念与运算，也能领会
乘方和开方的逆向关系，但逆向思维对部分学生仍有难度.进入七年级，学生们在学
习过程中的自觉性和主动性相较于小学阶段有了较为明显的提升，他们开始展现出一
定程度的自主学习能力以及探究学习的热情和潜力.然而，由于这个阶段的知识内容
逐渐复杂，深度和广度都有所拓展，学生们在学习时难免会遇到各种困难和挑战.比
如，无理数概念比较抽象，学生理解起来可能存在障碍；在进行实数运算时，由于涉
及多种运算规则以及符号变化，部分学生容易出现计算错误.老师在他们困难的时候
要适时地给予帮助，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣.
一、知识与技能
1.学生能够深入理解算术平方根、平方根、立方根的概念，熟练且准确地用根号
表示数的算术平方根、平方根、立方根.例如，能快速写出 25 的平方根是 ±5，0.64
的算术平方根是 0.8 等.
2.清晰了解开方与乘方互为逆运算，能够灵活运用平方运算求百以内完全平方数
的平方根，利用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，并且熟
练掌握用计算器计算平方根和立方根的方法.像求 144 的平方根、 - 27 的立方根等
单元教学
能迅速且正确解答.
的目标
3.透彻理解无理数和实数的概念，明确知道实数与数轴上的点一一对应这一重要
关系，能够准确无误地求实数的相反数与绝对值.如给出实数 - ❑√3，能马上说出其相
反数是❑√3，绝对值是❑√3.
4.可以熟练地用有理数估计一个无理数的大致范围.
二、数学思考
1.通过对平方根、立方根以及无理数、实数概念的探究学习过程，不断发展学生的抽象思维能力，使学生能够从具体的数学运算和实例中抽象出一般性的数学概念和
规律.比如在从众多平方运算结果归纳出平方根概念的过程中，锻炼学生的抽象概括
能力.
2.在探索实数与数轴的对应关系以及实数运算规律等内容时，培养学生的逻辑推
理能力，让学生学会依据已知的数学条件和规则，进行有条理的推理和论证.如在证
明实数运算中有理数运算法则同样适用的过程中，提升学生的逻辑思维.
3.借助对无理数的认识以及实数运算的学习，培养学生的数感，使学生对数字的
大小、数量关系和运算结果有更敏锐的感知和判断能力.例如在估算无理数大小时，
增强学生的数感.
三、问题解决
1.引导学生学会从数学的角度发现和提出关于实数的问题，能够运用所学的实数
知识和方法对问题进行深入分析，并尝试寻找有效的解决策略.比如在实际生活中遇
到与面积、体积相关的计算问题时，能转化为平方根、立方根的问题来解决.
2.鼓励学生积极参与小组合作学习，在与他人共同解决实数相关问题的过程中，
学会与他人合作交流，清晰准确地表达自己的观点和思路，同时也能够认真倾听并理
解他人的思考方法和结论，不断提高团队协作能力和沟通能力.
3.培养学生在解决问题后进行反思总结的习惯，让学生回顾解决问题的整个思考
过程，分析所用方法的优劣，思考是否还有其他更简便、更有效的方法，从而不断积
累解决问题的经验，提高解决问题的能力，逐步形成批判性思维和创新意识.
四、情感态度
1.通过介绍无理数的发现历史以及实数理论在数学发展中的重要地位等数学文化
知识，激发学生对数学学习的浓厚兴趣和探索欲望，使学生感受到数学的魅力和博大
精深.
2.在学生解决一个个实数相关问题的过程中，让学生体验到成功的喜悦，增强学
生学习数学的自信心，培养学生勇于克服困难的意志品质.
3.引导学生认识到数学与现实生活紧密相连，实数知识在实际生活中有广泛的应
用，从而让学生体会到数学的实用价值，提高学生学习数学的积极性和主动性，培养
学生用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的意识.
活动一 平方根
学习活动
活动二 立方根
设计
活动三 实数
1.课堂表现：密切观察学生在课堂上的参与度，包括是否积极主动回答问题、参与小
组讨论的活跃度和贡献度等.对于那些积极思考、勇于发表独特见解的学生给予及时的
口头表扬；对于参与度不高的学生，课后进行沟通交流，了解原因并鼓励他们积极参
与课堂互动.
2.作业完成情况：认真批改学生的日常作业，对作业完成质量高、准确率高且书写规
范的学生，在作业本上给予书面表扬，并在课堂上展示优秀作业；对于作业中出现的
学习评价 共性问题，在课堂上进行集中讲解；对于个别学生的问题，进行单独辅导.同时，根据
设计 作业情况分析学生对知识的掌握程度，及时调整教学进度和方法.
3.小组合作评价：在小组合作学习活动中，观察小组内成员的分工协作情况、团队凝
聚力以及问题解决能力等.每个小组推选一名组长，对小组内成员的表现进行评价，评
价内容包括参与讨论的积极性、对小组的贡献、团队协作精神等方面.教师综合组长评
价和自己的观察，对表现优秀的小组给予奖励，如颁发小组荣誉证书等，激励学生更
好地参与小组合作学习.
（一）教学过程反思
1.在教学过程中，关注学生对概念的理解程度.例如，在讲解平方根概念时，部分学生
反思性教
可能对一个正数有两个平方根的理解存在困难，教师应及时调整教学方法，可通过更
学改进
多具体的实例，如边长为 4 的正方形面积为 16，那么 16 的平方根就是 ±4，让学
生直观地感受平方根的概念.同时，增加课堂互动环节，让学生自己举例说明平方根的情况，加强学生对概念的理解和记忆.
2.对于实数运算部分，部分学生容易出现运算错误.教师要反思教学中是否对运算规则
的讲解不够清晰，练习量是否不足.在后续教学中，可针对学生容易出错的地方，如符
号问题、运算顺序问题等，进行专项练习，并加强对运算规则的强调和解释，通过对
比不同运算类型的题目，让学生明确运算规则的适用范围.
（二）教学方法改进
1.针对学生的学习特点和知识掌握情况，尝试采用多样化的教学方法.除了传统的讲授
法外，增加探究式教学、情境教学等方法的应用.例如，在讲解实数与数轴的关系时，
创设一个在数轴上寻找无理数对应点的情境，让学生通过小组合作探究的方式，尝试
在数轴上表示出像 ❑√3 这样的无理数，通过实际操作和探究，让学生更深刻地理解
实数与数轴上的点一一对应的关系.
2.充分利用现代信息技术辅助教学，如利用数学软件制作动态演示课件，展示平方
根、立方根的运算过程以及实数在数轴上的表示等，使抽象的数学知识更加直观形
象，便于学生理解和掌握.同时，借助在线学习平台，为学生提供更多的学习资源和练
习题目，满足不同学生的学习需求，实现个性化教学.
单元教学
结构图
教学设计
课题 实数
学习活动 教师活动 学生活动 设计意图
设计 复习引入
思考：从小学到初中我们学过哪些基 学生根据老师的提问完成计 这一环节
本运算？
算，然后认真观察结果，并将 主要是复习
加法：3 + 4 =7
减法： 7− 4 =3 自已的想法在班级内交流. 旧知识和提
乘法：4 × 6 =24
出问题,由
除法：24 ÷ 4 =6
平方：32 = 9 上 节 课 的
(−3)2= 9
“算术平方
将 9 逆运算回去得到原来的数字 3
根”的求法
或-3
活动一： 教师：它们互为逆运算 使学生能明
平方根
白“平方”
填空：
和“算术平
方根”的关
系,过生活
中的具体问
思考：反过来，如果已知一个数的平
题激发学生
方，
怎样求这个数呢？ 从前面我们知道，这个数可以 的 学 习 兴是 3. 除了 3 以外，还有没有 趣,并让他
思考：如果一个数的平方等于 9，这 别的数的平方也等于 9 呢？
们产生解决
个数是多少？ 由于 (−3)2=9 ，这个数也可以
是 -3. 问题的强烈
完成下列表格.
因此这个数是 3 或 -3. 欲望.
成 “ 平 方
一般地，如果一个数的平方等于 学生填图，并听老师介绍开平
a，那么这个数叫做 a 的平方根或二 根 ” 的 概
方运算.
次方根.
念．在列举
这就是说，如果 x2=a，那么 x 叫做 a
一些具体数
的平方根.
例如，3 和 -3 是 9 的平方根，简记 据的感性认
为 ±3 是 9 的平方根.
让学生多思、多说来充分 识基础上，
暴露他们所出现的问题.
思考：下列说法是否正确？ 由平方运算
(1) 0 的平方根是 0.
（1）√ 反推出平方
(2) 1 的平方根是 1.
（2）× 根的概念和
(3) -1 的平方根是 -1.
（3）×
(4) 0.01 是 0.1 的一个平方根. 定义.
（4）×
已知一个数，求它的平方的运算，叫
做平方运算. 让学生非常
熟练地进行
平方和平方
根之间的互
化并，明白
它们之间的
例题教学是使学生掌握知
互逆关系，
反之，已知一个数的平方，求这个数 识，形成技能，发展智力的重
辨 析 概 念
的运算叫什么？
要手段，上述例题设计做到了
“平方根”
有层次、有梯度、难易适当，
与 “算术
从而使不同层次的学生都能主
平方根”的
动参与并提出各自解决问题的
区 别 与 联
方法.
系，使之与
上一节课紧
求一个数a的平方根的运算，叫做开 密联系．
平方.平方与开平方互为逆运算.
例1.求下列各数的平方根：
(1) 100 ；
(2) 9/16 ；
(3) 0.25.
由于遵循了
从具体到抽
若一个数的平方等于a,则这个数叫做a
象的过程，
的平方根.
若x2=a，则x是a的平方根 注重学生原有认知基础
的回顾，并
学生先审题，然后认真听老师
的讲解后，独立完成例题. 和原有的概
念进行了比
1.
较与辨析，
2. 0
思考： 因此，学生
1. 144 的平方根是什么？ 3. 对这一抽象
2. 0 的平方根是什么？
的概念掌握
3.4/25的平方根是什么？ 4. 没有，因为一个数的平方不
4. -20 有没有平方根？为什么？ 可能是负数. 得 比 较 牢
靠．
特别注意：
1. 正数有两个平方根，两个平方根互
为相反数. （1）×
2. 0的平方根还是0. （2）√
3. 负数没有平方根. （3）√
（4）√
思考：下列说法是否正确，并说明理 （5）×
由．
（1）49 的平方根是 7；
（2）2 是 4 的平方根；
（3）-5 是 25 的平方根；
（4）64 的平方根是±8；
（5）-16 的平方根是 -4．
❑√7表示 7 的正的平方根
−❑√7表示 7 的负的平方根
±❑√7表示 7 的平方根
思考：❑√7，−❑√7，±❑√7各表示什
么意义？
例2.分别求下列各数的平方根：
解：由于一个正数的两个平方
（1）36；
根是2a＋1和a－4，
（2）1.21.
则有2a＋1＋a－4＝
0，
即3a－3＝0，
解得a＝1.
所以这个数为(2a＋1)2
例3.一个正数的两个平方根分别是2a ＝(2＋1)2＝9.
＋1和a－4，求这个数．
例4.求下列各式中 x 的值.(1) x2-49=0；
(2) 25-64x2=0；
了解开平方
(3)4(1-2x)2-1=0.
运 算 的 概
念.
我们知道，正数 a 有两个平方
根，其中正的平方根❑√a 叫作 a的算
术平方根 .正数 a 的算术平方根用
❑√a来表示.
规定：0 的算术平方根是0.0 的
平方根也记为❑√0.
例如： （1）√
① 5 是 25 的算术平方根. （2）×
② 0.1 是 0.01 的算术平方根. （3）×
（4）×
（5）√
掌握求一个
数的平方根
0 或算术平方
0,1
根
0
学生回答老师的提问，并听老
师讲解算术平方根、平方根的
表示方法、读法、平方根的性
归纳总结：
平方根等于本身的数是 ， 质及平方根与算术平方根的联 了解算术平
算术平方根等于它本身的数是 系与区别. 方根、平方
，
根的表示方
算术平方根和平方根相等的数是 .
法，探究平
思考：平方根与算术平方根有什么区
方 根 的 性
别和联系？
质.
让学生认识
到算术平方
根定义中的
两层含义:
中的a是一
个非负数,a
的算术平方根也是一个
非负数,负
数没有算术
平方根.这
也是算术平
方根的性质
——双重非
练习：说出下列各式的意义，并求它
们的值： 负性.再一
B
次深入地认
识算术平方
根的概念,
明确只有非
负数才有算
例5.
术平方根.
例6.
例7.求下列各数的算术平方根和平方
根.
归纳总结：
求一个正数 a 的算术平方根和平方根
的方法
先找出平方等于这个正数 a 的
数，这样的数有两个，它们互为相反
数，这两个数均为这个正数 a 的平方
根，其中正的平方根为这个正数 a 的
算术平方根.另外，当这个正数 a 为
带分数时，一般先将其化为假分数，
再求其平方根；当有乘方运算时，先
用乘方运算求出结果，针对结果再求
平方根；当这个正数 a 不能写成有理
数的平方的形式时，其平方根应表示
为 ±❑√a . 跟着老师回忆知识，并记忆本
节课的知识.学生回顾总结学习
例8.
收获，归纳本节课所学知识，
教师系统归纳.归纳小结是巩固
新知不可缺少的环节之一，此
环节对培养学生的归纳能力、自我获取知识的能力和语言表
达能力都十分重要.本节课我采
用让学生谈学习收获的方式对
所学知识进行归纳，重点是让 帮助学生加
学生用自己的语言谈对本节课 强 记 忆 知
的理解. 识.在教师
的引导下，
例9.如果将一个长方形 ABCD折叠，
学生自主对
得到一个面积为 144cm2 的正方形 学生自主完成课堂练习，做完
ABFE，已知正方形ABFE的面积等于长 之后班级内交流.学生认真做课 本节课的所
方形 CDEF 面积的 2 倍，求长方形 堂练习.通过课堂习题练习，进
学内容进行
ABCD的长和宽. 一步理解并掌握新知.
D 归纳小结，
B
使所学的知
识及时的纳
入学生的认
知结构.
课堂总结：
通过本节课的学习你学会了什么？由
什么样的收获和疑问？
借助练习，
课后练习
检测学生的
1.若 8xmy 与 6x3yn 的和是单项式，则
知识掌握程
(m +n)3的平方根为( )
度，同时便
A. 4 B. 8
于学生巩固
C. ±4 D. ±8
知识.
2.下列说法不正确的是（ ）
A. 0 的平方根是 0
B.-22的平方根是 2
C. 正数的平方根互为相反数
D. 一个正数的算术平方根一定大于这
个数的相反数
3.求下列各数的平方根：
（1）25；
（2）0.81;
（3）15；
4.已知 2a- 1 的平方根为 ±❑√3 ，3a
-2b 的算术平方根为 2，求 4a-b+2
的平方根.
情景引入 用多媒体展示图片和课件让学 通过实际情
2025年春节期间，车厘子口味独特，
生动手做一做.在做的过程中引 境引入,让
收到人们的喜爱，其价格也持续走高.
通常由海运运往国内销售，如果运送 导学生思考，利用体积等于边 学生感受新
活动二： 车厘子的箱子为正方体，大箱子的体 长的立方，将此题转化为求一 知学习的必
立方根 积为1000立方米，那么你能求出大箱
个数使它的立方等于1000，得 要性,激发
子的棱长吗？
出边长为10. 学生的求知
欲望.在思考问题的同
时,学生既
感受了数学
的 应 用 价
值,激发了
学生的学习
学生分组讨论，相互交流，再 热情,又很
总结定义，最后由教师补充. 快将问题归
结为如何确
定一个数,
思考：要做一个体积为8cm3的正方体 从而顺利引
模型（如图），它的棱长要取多少？ 入新课.
在这里让学
生原有的知
识和经验出
发，引导学
要做大小不同的正方体模型(如图),正
立方运算 生 通 过 类
方体棱长如下所示，你能求出它们的
比、思考、
体积吗？
探索、交流
来获取知识
和 学 会 学
思考：已知正方体棱长求正方体体积 习，同时让
这是做的什么运算呢？ 学生经历数
思考：反之，要做大小不同的正方体 学知识的形
模型(如图),正方体体积如下所示，你 学生积极回答老师的提问. 成与应用过
能求出它们的棱长吗？. 程，使他们
更好地理解
数学概念的
形成，发展
思考：类比平方根的定义，你可以对
他们的数学
上表中四对数之间的关系给出新的数
能力.
学概念吗？
通过小组讨
论 合 作 交
一般地，如果一个数x的立方等于a，
流，归纳得
那么这个数叫做a的立方根或三次方
出立方根的
根.即：如果x3=a，那么x叫做a的立
性质.这样方根. 让学生通过
a 的立方根记作√3 a，读作“立方根号 学生思考作答，相互交流，教 探究活动经
师点评. 历了一个由
a ”或“三次根号 a”．
1.× 特殊到一般
2.√ 的 认 识 过
3.× 程，在探究
4.× 的过程中发
5.× 展 思 维 能
6.√ 力，有效的
改变学生旧
思考：以下说法是否正确？
有 学 习 方
1.任何有理数都有立方根，它不是正
式.
数就是负数；
2.非负数的立方根还是非负数；
3.一个数的平方根与其立方根相同，
引导学生观察被开方数、根指
则这个数是1；
数及运算结果之间的关系，从
4.√3 a不可能是负数；
而得出立方根的性质；也可以
5.一个数的立方根有两个，它们互为
安排学生分小组讨论，通过交
相反数；
流，展示学生发现的规律；若
6.27的立方根的平方根是 . 学生的讨论不够深入，可由教
师补充得出结论．
思考：（1）2的立方等于多少？是否
有其他的数，它的立方也是8?
（2）-3的立方等于多少？是否有其他
的数，它的立方也是-27?
若学生通过上面的计算得出了 例题采取学
（1）2的立方等于8，除2以外，没
立方根的性质，可以直接展示
生自己先动
有其他数的立方等于8. 学生的成果；若没有得出结
果，可以引导学生分析， 手做，再由
（2）-3的立方等于-27，除-3以外，
教师点评，
没有其他数的立方等于-27.
学生举手回答 最后师生共
思考：
同小结的方
(1)正数有几个立方根？
式完成.这
(2)负数有几个立方根？
种师生互动
(3)0有几个立方根？ 的形式激发
思考：正数、0和负数的的平方根和 了学生学习
立方根各有什么特点？ 的热情，使
学生主动地
获取了知识
学生认真审题后回答问题，并平方根 立方根 观察老师的板书后独立书写例 和技能.
正数 有两个且互为相反数 有一个正的 立方根
题及练习题，然后班内交流
0 0 0
负数 没有平方根 有一个负的立方根
解 ： （ 1 ） 因 为
思考：
平方等于本身的数： （－3）3＝－27 ，所以－27 的
立方等于本身的数： 立 方 根 是 －3， 即 掌握利用立
平方根等于本身的数： 方运算来求
√ 3 －27＝－3；
算术平方根等于本身的数： 一个数的立
立方根等于本身的数： ( 2 ) 3 8 方 根 的 方
=
（2）因为
5 125
，所
法.
填空，你能发现其中的规律吗？
8 2
以 125 的立方根是 5 ，即
√3 8 2
＝
125 5
； 教师引导学
生先分析每
3 27 3
（ ） 3 ＝ ＝3 个式子所表
（3）因为 2 8 8， 示的意义再
例1.求下列各数的立方根： 填空.通过
3 3 这个活动，
8 3
让学生大胆
所以 8的立方根是2 ，即
（1）－27 ； （2） 125 ； 猜想，训练
学生由浅入
√ 3 3
3 3 3 ＝ 深，从特殊
3
（3） 8 ； （4）0.216 ； 8 2 ； 情形总结一
般规律的能
（5）－5． （4）因为（0.6）3＝0.216 ， 力，进一步
熟悉立方根
所以0.216 的立方根是0.6 的求法，总
结出负数立
思考：怎么求一个数的立方根? ，即√ 3 0.216＝0.6； 方根的一个
重要性质：
做开平方或开立方运算时，一般都是
3 3
利用 它们的定义，运用平方或立方法
（5）－5的立方根是√－5 √−a
=-
． 3
√a
去掉根号； .
当被开方数不是单独一个数时，则需
探究立方根的性质，并与平方
先将它们进行化简，再进行开方运 通过具体的
根的性质对比．
算． 举例计算，
思考： 如果 =a,那么x就是a的立方 让学生感受
（1）√ 3 a表示a的立方根，那么 根，即 x=√ 3 a,所以 = (√ 3 a) 3 到一个数的
立方根的唯
(√ 3 a) 3 等于什么？ √ 3 a3 呢？ =a, 同样，根据定义， 是的 一性，在小
组合作交流
（2）√ 3 －a与－√ 3 a有何关系？ a三次方，所以a3 的立方根就
中发展自主
是 a, 即 √ 3 a3 =a， √ 3 －a= 探索知识的例2.求下列各式的值：
－√
3
a．
能力．
√ 3 −8; √ 3 0.064;
（1） （2）
−
√3
12
8
5 (√ 3 9) 3 解 ： （ 1 ）
√ 3 −8
=
进
学
一
生
步
的
提
计
高
算
（3） ； （4） ．
√ 3 (−2) 3 =−2 能力，突出
； （ 2）
了立方根和
例3.求下列各式中 x 的值： √ 3 0.064 = √ 3 (0.4) 3 =0.4 ； 平方根的对
比，以利于
−
√3 8
−
√ 3(2) 3
=−
2
弄清两者
125 5 5
（3） = ；
(√ 3 9) 3 的区别和联
（4） =9．
系．
例4.已知
且y−4的平方根是它本身，求xy的立 培养学生归
方根. 纳总结的能
力，通过求
一个数的立
例5.有两个正方体形的纸盒，第一个
根提高学生
纸盒的棱长是6cm，第二个纸盒的体
运 算 的 能
积比第一个纸盒的体积大127cm3. 求
力．
第二个纸盒的棱长.
通过练习，
掌握求一个
数的立方根
的方法．借
助练习，检
本课小结
测学生的知
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 识 掌 握 程
度，同时便
立方根：一般地，如果一个数的立方 跟着老师回忆知识，并记忆本
于学生巩固
节课的知识.对本节课的知识点
等于 a，那么这个数叫做 a 的立方 进行归纳． 知识.
根，也叫做a的三次方根.记作 读
作“三次根号 a”，其中 a 是被开方
数，3是根指数．
立方根与平方根比较：
一个正数有一个正的立方根；一个负
数有一个负的立方根； 零的立方根是
零．
一个正数有一正一负两个平方根；负
数没有平方根； 零的平方根是零．当堂练习
1、一个数的立方根等于它本身，这个 学生自主完成课堂练习，做完
之后班级内交流.
数是（ ）
A．0 B．1
C．0或1 D．0或±1
2、下列选项中正确的是（ ）
A．27的立方根是±3
B． 的平方根是±4
C．9的算术平方根是3
D．立方根等于平方根的数是1
3、下列说法错误的是（ ）
A．5是125的立方根
B．±4是64的立方根
C．-2是-8的立方根
D．0是0的立方根
4、求下列各数的立方根：
125， -8 ， ， 64．
5、求下列各式的值：
（1） ； （2） ；
（3） ；（4）
．
思考:我们知道有理数包括整数和分 学生思考作答： 回顾以前学
数，利用计算器把下列分数写成小数 它们都可以化成有限小数或无 习 过 的 内
的形式，它们有什么特征？ 限循环小数的形式 容，为进一
5 3 23 11 7 步学习引入
,− , , ,
2 5 4 9 11 无理数后数
的范围的扩
思考:整数能写成小数的形式吗？3 可
活动三：
充作准备.
以看成是 3.0 吗？
实数
由此你可以得到什么结论？ 有理数都可以化成有限小数或
无限循环小数的形式.
思考:所有的数都可以写成有限小数和 反过来，任何有限小数或无限
循环小数也都是有理数.
无限循环小数的形式吗？
不是.如：
定义：无限不循环小数叫做无理数．判断标准：小数位数无限，小数形式 π =
3.1415926535897932384626…
为不循环．
1.01001000100001…
三种常见形式：
（两个 1 之间依次多一个 0）
(1)开方开不尽的数的方根，如：
❑√3，√35等；
(2) π 及化简后含 π 的数，如：
π/2，π+1等；
在实数概念
(3)具有特殊结构的数，
形成的基础
如：0.3030030003…(相邻两个 3
上对实数进
之间依次多一个 0 ).
行不同的分
类.引导学
思考：无理数与有理数的区别
生类比有理
理解无理数与有理数的区别
(1)任何有理数都能化成分数(整数可以
数的分类方
看成分母是1的分数)，无理数不能化
法对实数进
成分数. 行 两 种 分
(2)任何一个有理数都可以化成有限小 类，启发学
数(把整数看成小数点后是 0的小数) 生综合定义
或无限循环小数，无理数是无限不循 和符号两种
标准将实数
环小数.
进 一 步 分
像有理数一样，无理数也有正负之分.
类，让学生
例如，❑√3，√35，π 是正无理数，
去发现，培
−❑√2，−√35，−π是负无理数.
养学生类比
强化文化自信
【溯源】
思想和分类
无理数是不能写成两个整数之比
思想.
(分数)的数，它和有理数一样，都是现
实世界中客观存在的量的反映.
我国古人对无理数已经有了很多
认识.《九章算术》中用“面”来表示
开平方开不尽的数.刘徽在其著作《九
章算术注》中，不仅记录了包含无理
数运算的问题，而且给出了用有限小
数无限逼近无理数的算法“求微数
法”.思考：你还记得有理数的分类吗？
您能类比有理数的分类对实数进行分
类吗？
实数的概念：有理数和无理数统称实
数．
让学生讨论回答，形成共识：
实数也可以分为正实数、0、负
实数，并体会到了分类中不能
出现遗漏和重复的要求.
实数的分类有不同的方法，但不论用
哪一种分类方法，都要做到不重不漏.
探讨用数轴
例1.把下列各数填入相应的集合内
上的点来表
示实数，将
数和图形联
系在一起，
让学生进一
步领会数形
注意： 结 合 的 思
(1)对实数进行分类时，某些数应先进 想，利用数
行计算或化简，然后根据最后结果进 轴也可以直
行分类，不能看到带根号的数，就认 观地比较两
为是无理数，不能看到有分数线的 学生思考，解决问题 个实数的大数，就认为是有理数. 小.
(2)在实数范围内，一个数不是有理
数，那么它一定是无理数，反之亦成
立.
我们知道，每个有理数都可以用数轴
上的点来表示，那么无理数是否也可
以用数轴上的点表示出来呢？
如图，直径为1个单位长度的圆从原
学生解答，小组订正
点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点
由原点到达点 O'，点 O' 对应的数是
多少？
思考：你能在数轴上表示出❑√2和
−❑√2 吗？
把两个边长为1的小正方形通过剪、
拼，得到一个大正方形，大正方形的
边长为❑√2，从而说明边长为1的小正
方形的对角线长为❑√2.
实数与数轴间的关系：实数和数轴上
的点是一一对应的．
两层含义：
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个
点来表示；
(2)数轴上的每一个点都表示一个实 理解有理数大比较大小方法
数．
例2.如图所示，数轴上 A，B 两点表
示的数分别为－1 和❑√3，点 B 关于
点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示
的实数．学生独立完成，教师板书
与有理数一样，实数也可以比较大
小：
与有理数规定的大小一样，数轴上右
边的点表示的实数比左边的点表示的
实数大.
在实数范围
回顾有理数的运算律及运算法
内 , 相 反
则．
数、倒数和
与有理数一样，在实数范围内： 加法交换律：a＋b=b＋a 绝对值的意
加法结合律：(a＋b)+c=a+(b＋c)
1. 正数大于零，负数小于零，正数大 义和有理数
乘法交换律：ab=ba
于负数； 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 范围内的相
2. 两个正数，绝对值大的数较大； 乘法分配律：a(b＋c)=ab＋ac 反数、倒数
3. 两个负数，绝对值大的数反而小. 和绝对值的
意义完全一
例3.比较 3❑√2−1 与 1+2❑√2 的大小.
样.
学生独立思考
思考：用字母来表示有理数的加法交
从 复 习 入
换律、加法结合律、乘法交换律、乘
手，类比有
法结合律、乘法分配律.
理数中的相
思考：
关概念，建
立实数的相
学生借助数轴思考回答：
反数、倒数
和绝对值等
概念，它们
的意义和有
理数范围内
学生类比有理数中相关概念，
的意义是一
体会到了实数范围内的相反
在实数范围内 ，相反数、绝对值的意
致的，并动
数、倒数、绝对值的意义.
义和有理数范围内的相反数、绝对值
手实践.
的意义完全一样．
填空： 举手抢答
学生类比有
理数中相关
教师总结：
运算，体会学生回忆有理数的运算法则和 到了实数范
运算律,比较一下,在实数范围 围内的运算
内,这些运算法则和运算律是否 及运算律.
适用
填空:
由学生自己独立思考完成，并
找出做的好的同学谈谈自己的
思路和见解.
在实数范围内
1.运算类型：加、减、乘、除、乘方
和开方运算（开平方仅限非负数）
在教师的引
2.运算法则：与有理数的运算法则相
导下，学生
同
自主对本节
3.运算律：有理数的运算律在实数范
课的所学内
围同样适用
容进行归纳
4.运算顺序：先算乘方、开方，再算
小结，使所
乘除，最后算加减，同级运算按照自
学的知识及
左向右的顺序进行，有括号的先算括
时的纳入学
号里面的.
生的认知结
例4.求下列各数的绝对值：
构.培养学
生归纳总结
的能力，提
例5. 计算下列各式的值： 高学生计算
的能力．
对本节课的知识点进行归纳．
这个环节是
例6.如图，长方形内两个正方形的面
巩固本课知
积分别为3 cm2，1 cm2.
识点，通过
(1) 求长方形的周长；
设置一组由
(2) 求图中两块阴影部分的面积和.
浅入深的练
学生回顾总结学习收获，归纳 习，来检测
本节课所学知识，教师系统归
学生的掌握
纳.
学生认真做课堂练习.通过课堂 情况，在这
习题练习，进一步理解并掌握
部分的设计
课堂小结
新知.
中，主要是
谈一谈这节课有什么收获？
发挥学生作
一、实数定义二、实数分类： 为教学主体
实数 正实数
{ {0 的主动性，
¿ ¿ ¿¿¿
实数 ¿{有理数
¿¿¿ 让学生感受
或 学习的乐趣
三、实数的相关概念与运算：
和成功的喜
相反数 倒数 绝对值 运算
四、实数和数轴上的点一一对应 悦.
五、实数混合运算顺序：先算乘方和
开方，再算乘除，最后算加减．如果
遇到括号， 则先进行括号里的运算．
可以利用运算法则和运算律简化运算
过程．
当堂练习
1. 下列说法错误的是（ ）
A. 正整数和正分数统称正有理数
B. 两个无理数相乘的结果可能等于零
C. 正整数，0，负整数统称为整数
D. 3.141 592 6是小数，也是分数
2.下列说法不正确的是（ ）
A. −❑√7的相反数是❑√7
B. ❑√7−3的绝对值是3-❑√7
C. 2是❑√4的平方根
D.−√33 是-3的立方根
3.如图，在数轴上点A和点B之间的
整数是 ．
4.(1)正实数的绝对值是_________，
0的绝对值是_______，
负实数的绝对值是_____________.
(2) ❑√3的相反数是_______，
绝对值是_______．
(3)绝对值等于❑√5的数是________，
−❑√7的平方是_______．
5.把下列各数填入相应的集合内：
•
|−❑√9|， √35， ❑√64，π，0.6，
3
− ， √3−9，3，0.13
4
（ ）有理数集合： …
（ ）无理数集合： …
1 { }
（2）整数集合： { …
}
3 {
}（ ）负数集合： …
（4）分数集合：{ …
}
（5）实数集合：{
} …
6.计6算：
{ }
（1） ；
（2） ；
（3） ．
7.某地气象资料表明：某地雷雨持续
的时间t（h）可以用公式
来估计其中d（km）是雷雨区域的直
径．雷雨区域的直径为8 km，那么这
场雷雨大约能持续多长时间？
A组
1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知
条件是解题的关键．
单元作业
由数轴可知 ， ，得 ， ，由此逐一判断各选项即可．
设计
【详解】解：解：由数轴可知 ， ，
∴ ， ，
A、由数轴可知 ， ，那么 的范围是 ，而 的范围是
，所以 ，该选项错误，不符合题意；
B、因为 ，根据不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ，所以
该选项错误，不符合题意；
C、由于 ，根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得
所以该选项错误，不符合题意；D、因为 ，所以 的范围是 ，则 的范围是
；又因为 ，所以 的范围是 ，则 的范围是 ．所
以 ，故此选项符合题意；
故选：D．
2．在实数范围内，定义新运算“☆”： ，例如： ．
如果 ，则 的值是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了定义新运算、一元一次方程，理解新定义是解题的关键．根据新
定义可得 ，即可解出 的值．
【详解】解： ， ，
，
解得： ．
故选：B．
3．在实数 ， ， ， ， 中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了求立方根，无理数的定义：无限不循环小数为无理数，注意
带根号的要开不尽才是无理数．利用无理数是无限不循环小数分析求解即可求答
【详解】解： ， ， ，是有理数； ， ，为无理
数，共2个，
故选：B．
4．下列说法正确的是（ ）
A． 是 的算术平方根 B． 的立方根是
C． 的平方根是 D． 是 的算术平方根
【答案】B
【分析】此题考查了平方根和立方根的定义与性质，解题的关键是掌握平方根和立方
根的定义，根据平方根和立方根的定义和性质对选项逐个判断即可．
【详解】解：A. 是 的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意；
B. 的立方根是 ，故该选项正确，符合题意；
C. 的平方根是 ，故该选项不正确，不符合题意；D. 是 的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5．在下列实数中，最小的是（）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握法则是解题的关键；根据实数比较
大小的方法进行求解即可．
【详解】解：∵正数大于 ， 大于负数， ， ， ，
∴ 和 不是最小的，故C、D选项不符合题意，
∴最小的数在负数中，
， ．
∵ ，
∴ ．
∴最小的数是 ；
故选：B．
6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的加法、实数的乘法运算，先由数轴得
，再运算出 ， ，即可作答．
【详解】解：结合数轴得 ，
故A选项不符合题意；
∴ ，
故B选项符合题意；
则 ， ，
故C选项和D选项不符合题意；
故选：B
7．若 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】B
【分析】本题考查代数式求值，涉及算术平方根运算、立方根运算，先由条件求出的值，代入代数式，由立方根运算求解即可得到答案．熟记算术平方根运算、
立方根运算是解决问题的关键．
【详解】解：由 得 ；由 得 ，
，
故选：B．
8．下列说法正确的是（ ）
A． 表示25的算术平方根 B． 表示2的算术平方根
C．2的算术平方根记作 D．2是 的算术平方根
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案．
【详解】A、 表示25的算术平方根，故A正确；
B、 不是2的算术平方根，故B错误；
C、2的算术平方根为 ，故C错误；
D、 是2的算术平方根，故D错误；
故选：A．
9．与 互为相反数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有
符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解： 与 互为相反数，
故选：B．
10．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无
理数有：①π类，如 ， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③具有特殊结
构的数，如 （两个1之间依次增加1个0）， （两个2
之间依次增加1个1）．据此逐项分析即可．
【详解】解：A． 是有理数中的小数，故不符合题意；B． 是有理数中的整数，故不符合题意；
C． 是有理数中的分数，故不符合题意；
D． 是无理数，故符合题意；
故选D．
11．如图，在数轴上点 表示的实数可能是（ ）
A． B． C．2.4 D．1.6
【答案】B
【分析】此题考查了数轴，解题关键在于结合数轴进行解答．
根据数轴得到 ，再结合选项即可求解．
【详解】解：由数轴可得 ，
故符合题意的只有B，
故选：B．
12．计算： ．
【答案】
【分析】该题考查了实数的运算，先计算平方根，再合并即可．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
13．已知x，y满足 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，根据题意得出
，进而求得 的值，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为： ．
14． 为 的整数部分，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的估算，掌握实数的估算方法是解题的关键；本题根据实数估算的知识进行作答，即可求解；
【详解】解：∵ ，即 ， 为 的整数部分，
∴
故答案为： ．
15．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根．根据立方根的定义求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
16．整数a满足 ，则整数a的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了无理数的大小估算， 求一个数的算术平方根与哪个整数最接
近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间，与被开方数的差值较小的
那个正整数的算术平方根即为与其最接近的整数．
【详解】解： ，
，即 ，
整数a的值为 ，
故答案为：4．
17． 的相反数是 ， 的倒数是 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的立方根，倒数和相反数的定义，掌握以
上知识是解题的关键，根据求一个数的立方根，倒数和相反数的定义进行求解．
【详解】解： 的相反数是 ； 的倒数是
故答案为： ； ．
18．计算：
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算．利用绝对值、乘方、立方根进行计算即可．
【详解】解：19．计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，立方根．根据立方根，算术平方
根的定义化简，实数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：
．
20．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落
在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
(1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______．
(2)请你阅读以下材料，并完成作答：
，
，
的整数部分为2，小数部分为 ．
根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______．
(3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽
的比为 ，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据： ，
．）
【答案】(1) ，
(2)2，
(3)他不能裁出来，理由见详解
【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为 ，再运用数形结合思
想，即可作答．
（2）模仿题干过程，则 ，即 的整数部分为2，小数部分为 ，即可
作答．
（3）先列式 ，则 ，则长方形纸片的长为 ，根据 ，，故 ，进行作答即可．
【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一
条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点
B处．
则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为 ．
∴
∴点A表示的数为 ；点B表示的数为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：由（1）得点B表示的数为 ，
依题意， ，
，
的整数部分为2，小数部分为 ．
∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为 ；
故答案为：2， ；
（3）解：他不能裁出来，理由如下：
依题意，设长方形纸片的长为 ，
∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为 ，
∴宽为 ， ，
则 ，
∴ （负值已舍去）
则长方形纸片的长为 ，
∵ ，
∴ ，
依题意，面积为10的正方形纸片的边长为 ，且
∵
即 ，
∴他不能裁出来．
21．（1）计算： ．
（2）解方程： ．
【答案】（1） ；（2） 或 ．【分析】本题考查实数的运算以及平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方
根．熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式
的值即可．
（2）先移项，求出 ，再根据平方根的性质得出两个一元一次方程，解方程
求出 的值即可得答案．
【详解】解：（1）
．
（2）
或 ，
∴ 或 ．
22．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)6
(2)
【分析】此题考查了绝对值，算术平方根，立方根和有理数的乘方，解题的关键是掌
握以上运算法则．
（1）首先计算算术平方根，立方根和有理数的乘方，然后计算加法即可；
（2）首先计算算术平方根，立方根和化简绝对值，然后计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式．
B组
1．如图，这是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（ ）行的数据的
个数是解题的关键．
观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始
的连续偶数，求出 行的数据的个数，再加上 得到所求数的被开方数，然后写
出算术平方根即可。
【详解】前 行的数据的个数为 ，
所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是 ，
所以，第10行从左向右数第7个数是 ．
故选B．
2．已知：a的平方根是它本身， 的立方根是3， 的算术平方根是4．
(1)直接写出a，b，m的值；
(2)求 的平方根；
(3)若 的整数部分是x，小数部分是y，计算 的值．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数
部分等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义即可求解；（2）根据平方根的定义即可求解；
（3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身，
∴ ，
∵ 的立方根是3，
∴ ，
解得： ，
∵ 的算术平方根是4，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 的平方根是 ，
∴ 的平方根是 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴ ．
3．如图，某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为 的正方形
空地上建一个排球场．已知排球场的面积为 ，其中长和宽的比为 ．
(1)分别求出排球场的长和宽；
(2)若排球场的左右两侧必须留出至少 宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在
这块空地上建一个排球场？
【答案】(1)宽为 ，长为
(2)能按规定在这块空地上建一个排球场
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够根据题意求出排球
场的长和宽．（1）先设排球场的宽为 ，则长为 ，列出方程求得排球场的长和宽；
（2）求出正方形空地的边长，再结合题意即可判断能否按规定在这块空地上建排球
场了．
【详解】（1）解：设排球场的宽为 ，则长为 ，
则 ，即 ，
解得： （负值已舍去），即 ，
排球场的宽为 ，长为 ；
（2）解：能按规定在这块空地上建一个排球场，理由如下：
正方形空地的面积为 ，
正方形空地的边长为 ，
排球场的左右两侧必须留出至少 宽的空地，
，
，
能按规定在这块空地上建一个排球场．
C组
1．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作 ，又把 称为x
的小数部分，记作 ，则有 ．如： ， ，则有
．下列说法中正确的有（ ）个
① ；② ；③ ；④若 ，且 ，则 或
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新
定义成为解题的关键．
根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据 ，且 ，求出
或 即可判断④．
【详解】解：由题可知： ， ，
故①正确；②③错误；
由 ，则 或 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以④错误．
所以正确的只有①，即1个．
故选A．2．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把 表示在数轴上点 处，记 右
侧最近的整数点为 ，以点 为圆心， 为半径画半圆，交数轴于点 ，记 右
侧最近的整数点为 ，以点 为圆心， 为半径画半圆，交数轴于点 ，如此继
续，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数
的运算是解题的关键．
【详解】解：由题意可得 ，则 表示的数为 ，
，
表示的数为 ，
，
同理可得 ;
；
；
；
；
，
故选：A．
3．在 ， ， 三个盒子里分别放一些小球，小球数依次为 ， ， ，记为
．游戏规则如下：若三个盒子中的小球数不完全相同，则从小球数最多
的一个盒子中拿出两个，给另外两个盒子各放一个（若有两个盒子中的小球数相同，
且都多于第三个盒子中的小球数，则从这两个盒子字母序号在前的盒子中取小球），
记为一次操作．若三个盒子中的小球数都相同，游戏结束．例如， ，
， ， ，游戏结束．n次操作后的小球数记为
．（1）若 ，则第 次操作后游戏结束；
（2）小明发现：若 ，则游戏永远无法结束，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，以及数字找规律，解题的关键在于正确理解题干所示游
戏规则．
（1）根据题干所示游戏规则求解，即可解题；
（2）根据题干所示游戏规则表示出前7次操作，观察操作后的结果得出其规律，结
合规律求解，即可解题．
【详解】解：（1）根据游戏规则有 ， ， ，
，
则第 次操作后游戏结束；
故答案为： ．
（2）根据游戏规则有：
，
，
，
，
，
，
，
， ，依次类推，可知从第4次操作开始，每3次操作一个循环，
，
，
故答案为： ．
4．如图，数轴上点 所表示的数为3，老鼠 在点 处发现猫 在其左侧距离
个单位长度的点 ，设点 所表示的数为 ．
(1) _____．
(2) 发现 沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞 的方向逃跑，点 所表示的数为5，则 ______，若 的速度是1个单位长度/秒， 的速
度为 个单位长度/秒，则 从 到达 时， 运动的路程是_______，
______（填“能”或“不能”）逃脱 的魔爪．
【答案】(1)
(2) ； ；能
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的估算，熟练掌握相关
知识是解题的关键．
（1）用点A表示的数减去点A和点B之间的距离即可得到答案；
（2）用电C表示的数减去点B表示的数即可得到 的长；求出 运动的时间即
可求出 运动的路程；比较出 运动的路程与 的长的大小关系即可得到最后
的答案．
【详解】（1）解：∵数轴上点 所表示的数为3，老鼠 在点 处发现猫 在
其左侧距离 个单位长度的点 ，
∴ ；
（2）解：由（1）可得，点B表示的数为 ，
∵点 所表示的数为5，
∴ ；
∵ 的速度是1个单位长度/秒，
∴ 从 到达 时的运动时间为 秒，
∴ 运动的路程是 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 能逃脱 的魔爪
5．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出 的立方根？他进行了如下
步骤：
①首先进行了估算：因为 ， ，所以 是两位数；
②其次观察了立方数： ， ， ， ， ， ，
， ， ；猜想 的个位数字是7；③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为 ， ，所以
的十位数字应为3，于是猜想 ，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到 ，同时发现结论：若两个
数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) ______；
(2)若 ，则 ______；
(3)已知 ，且 与 互为相反数，求x，y的值．
【答案】(1)
(2)3
(3) ， 或 ，
【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立
方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为 ，进行分
类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即
可．
【详解】（1）解：因为 ， ，所以 是两位数，
因为 ；猜想
的个位数字是9，
接着将 往前移动3位小数点后约为117，因为 ，所以
的十位数字应为4，于是猜想 ，验证得： 的立方根是 ；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到 ；
（2）解：∵ ，
∴ 和 互为相反数，
∴ ，
∴ ；
故答案为：3．
（3）解：∵ ，即 ，
∴ 或1解得： 或
∵ 与 互为相反数，即 ，
∴ ，即 ，
∴当 时， ；
当 ， ．
