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专题 05 二次函数中的线段长度问题
类型一、单线段长度问题
例1．综合与探究
如图，二次函数 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．点 是射线 上的动点，过
点 作 ，并且交 轴于点 ．
(1)请直接写出 ， ， 三点的坐标及直线 的函数表达式；
(2)当 平分 时，求出点 的坐标；
(3)当点 在线段 上运动时，直线 与抛物线在第一象限内交于点 ，则线段 是否存在最大值？若
存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，抛物线 与x轴交于点 、 ，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求 的最小值；
(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作 于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，
求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，二次函数 的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标
为 ，顶点C的坐标为 ．
(1)求二次函数的解析式和直线 的解析式；
(2)点P是直线 上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段
长度的最大值．类型二、双线段长度问题
例1．已知抛物线 （a，b，c为常数， ）的顶点 ，抛物线与x交于点 和
B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点 和点 ．
(1)求抛物线的解析式及点B坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点E，使 的值最小，求点E的坐标；
(3)若F为抛物线对称轴上的一个定点，
①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点 都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离
相等，求点F的坐标；
②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使 最小，若存在，求出点P的坐标及 的最
小值；若不存在，请说明理由．
例2.如图，平面直角坐标系中，二次函数 图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，图像对
称轴交x轴于点D．点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点．
(1)则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段BC的长为 ；
(2)如图1，在P点运动过程中，若 OPC中有一个内角等于∠HCA，求OP的长；
△
(3)如图2，点 在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM，则 的最小值为 ．
【变式训练1】已知抛物线 （b，c为常数）的图象与x轴交于 ，B两点（点A在点
B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．
(1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；
(3)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为 ，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线
段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求 的最小值．
【变式训练2】已知如图，二次函数 的图象交x轴于A，C两点，交y轴于点 ，
此抛物线的对称轴交x轴于点D，点P为y轴上的一个动点，连接 ．
(1)求a的值；(2)求 的最小值．【变式训练3】如图，已知抛物线 与x轴相交于 ， 两点，与y轴相交于点
，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作 轴于点H，与BC交于点M．
①求线段PM长度的最大值．
②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求 的最小值．
【变式训练4】已知抛物线 过点 ， 两点，与 轴交于点 ， ．(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)过点 作 ，垂足为 ，求证：四边形 为正方形；
(3)若点 为线段 上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，
请说明理由．
类型三、周长问题
例1．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
(1)求该抛物线和直线BC的解析式；
(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求 ABD的面积；
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q△，使得 QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，
请说明理由． △
【变式训练1】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S NBC=S ABC时，求N点的坐标；
△ △
(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连
接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标中，抛物线 与x轴交于点 、 两点，
与y轴交于点C，连接BC，直线 交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P
作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；
(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足 ，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
